數(shù)學(xué)自主訓(xùn)練：從速度的倍數(shù)到數(shù)乘向量

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精自主廣場(chǎng)我夯基我達(dá)標(biāo)1.O是平行四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，下列各組向量：①與；②與;③與；④與.其中可作為這個(gè)平行四邊形所在平面表示它的所有向量的基底的是（）A.①②B.①③C。①④D。③④思路解析：平面內(nèi)任意不共線的兩個(gè)向量均能構(gòu)成一組向量基底.通過畫圖可得①與不共線；②=—,則∥,所以與共線；③與不共線；④=—，則∥，所以與共線。由平面向量基底的概念知①③可以構(gòu)成平面內(nèi)所有向量的基底.答案:B2。如圖2-3—8，矩形ABCD中，若=5e1,=3e2，則等于(）圖2—3-8A。(5e1+3e2）B.（5e1—3e2）C。(3e2+5e1）D。(5e2-3e1）思路解析：用,表示,再代入向量和的值即可。==（-）=（+）=（+）=(5e1+3e2).答案：A3。M為△ABC的重心，點(diǎn)D、E、F分別為三邊BC、AB、AC的中點(diǎn)，則++為（)A.6B.—6C。0D.6思路解析：如圖2—3—9所示，由題意，知設(shè)MB的中點(diǎn)為P，連結(jié)DP、PE，得平行四邊形MDPE，取向量,為一組基底，則有=2=2（+），=-2，=-2,則有++=0。圖2—3-9答案：C4.(2006廣東高考卷，3）如圖2-3-10所示，D是△ABC的邊AB上的中點(diǎn)，則向量為（)圖2—3—10A。-+B。—-C。-D。+思路解析:用基向量，表示向量。=+=—+.答案：A5.（2006河北石家莊一模，理7）在△ABC中，點(diǎn)D在直線BC上，且=4=r-s，則s+t等于（）A.0B.C.D.3思路解析：如圖2-3-11所示，由題意，得點(diǎn)D在線段CB的延長線上.∵=4，∴=.又∵=-，∴=(—)=-,∴r=s=，∴s+t=.圖2-3—11答案：C6。在△ABC中，設(shè)=m，=n，D、E是邊BC上的三等分點(diǎn)，則=_______________,=_______________.思路解析：由D、E是邊BC上的三等分點(diǎn)，可得=,=，轉(zhuǎn)化為已知向量即可。答案：m+nm+n我綜合我發(fā)展7。如圖2—3-12,在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段BD上，且有BN=BD,求證：M，N，C三點(diǎn)共線。圖2—3—12思路分析：要證M，N，C三點(diǎn)共線，只需證向量與共線即可。證明：設(shè)=a，=b(a,b不共線)，則=+=-=b-a?！逳是BD的三等分點(diǎn)，∴==b—b.而=+=+=a+b-a=a+b，=+=+=a+b，∴=。又∵、有共同的起點(diǎn)M，∴M，N，C三點(diǎn)共線。8。用向量方法證明：梯形中位線平行于底且等于上、下兩底和的一半.思路分析：用向量證明幾何問題，首先要用向量表示幾何元素,然后進(jìn)行向量線性運(yùn)算，最后作出運(yùn)算結(jié)果的幾何意義解釋即可.證明：如圖2—3-13，已知梯形ABCD中，E、F是兩腰、的中點(diǎn)，求證：∥∥，且||=（|｜+|｜).圖2—3—13證明:∵E、F分別是AD、BC的中點(diǎn),∴=—，=—，∵=++,=++?！?(+++++）=（+).又∵∥,∴設(shè)=λ（λ∈R）.∴=(+）=(+λ)=?！唷巍！逧、F、D、C四點(diǎn)不共線，∴∥.同理，可證∥，∵∥且同向,∴｜｜=｜(+）|=|+|=（｜|+|｜）?！鄚|=（||+|｜）。9.在正六邊形ABCDEF中,=a，=b，求，，.思路分析：由平面幾何的知識(shí)可知,正六邊形的各邊長相等，相對(duì)的邊平行且相等,邊長與其外接圓的半徑也相等。應(yīng)用平行向量及相等向量的知識(shí)、向量的加法運(yùn)算，容易用a,b表示所求的向量.解:如圖2—3—14，連結(jié)FC交AD于O，連結(jié)OB，由平面幾何知識(shí)得四邊形ABOF、四邊形ABCO均是平行四邊形.圖2—3-14解法一：根據(jù)向量的平行四邊形法則有=+=a+b.在平行四邊形ABCO中，=+=a+b+a=2a+b。由正六邊形知識(shí)知，=2=2a+2b。又=+,且=-，∴=-=2a+2b—a=a+2b。解法二：根據(jù)向量的平行四邊形法則有=+=a+b?！?，∴=a+b.根據(jù)向量加法的三角形法則得=+，∴=a+b+a=2a+b。又∵==b，∴=+=2a+b+b=2a+2b。=+=-=2a+2b—a=a+2b.10。設(shè)x為未知向量，解方程x+3a-b=0。思路分析：這是一個(gè)關(guān)于未知向量的向量方程，由于向量具有許多與數(shù)相同的運(yùn)算性質(zhì)，我們可以按照解關(guān)于數(shù)的方法來解這個(gè)方程.解：原方程可化為x+（3a-b）=0，∴x=-(3a-b）.∴x=-9a+b。11.如圖2-3—15，在平行四邊形PQRS中，在PQ、QR、RS、SP上分別取點(diǎn)K、L、M、N,其中K、N分別為PQ，PS的中點(diǎn)，QL=QR，SM=SR，設(shè)KM與LN交于A點(diǎn)，=q,=s，試用q，s表示。圖2-3-15思路分析：由于，而=，關(guān)鍵是求.又由于與共線，而可用q,s表示，這樣可以求得一個(gè)關(guān)于q,s的分解式(含參數(shù)）。同樣，利用,還可求得另一個(gè)關(guān)于q，s的分解式（也含參數(shù))。由于關(guān)于q，s的分解式的唯一性，就可得到含參數(shù)的兩個(gè)方程,解出參數(shù)值，問題得到解決.解：∵與共線,∴存在實(shí)數(shù)λ1，使=λ1。∵=，K為的中點(diǎn)，=,=