數(shù)學(xué)自主訓(xùn)練：二元一次不等式（組）與簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精自主廣場(chǎng)我夯基我達(dá)標(biāo)1.下列各點(diǎn)中，與點(diǎn)(1，2）位于直線(xiàn)x+y—1=0的同一側(cè)的是()A。（0，0）B。（-1，1）C.（—1，3）D.(2，—3）思路解析：首先把點(diǎn)（1，2）代入x+y—1=1+2-1=2＞0，然后把選項(xiàng)中的坐標(biāo)逐個(gè)代入檢驗(yàn)只有C能使x+y—1＞0。答案：C2。下列各點(diǎn)中，位于不等式（x+2y+1)（x—y+4）＜0表示的平面區(qū)域內(nèi)的是（)A.（0，0）B.（-2，0)C。（—1，0）D。(2，3）思路解析：只有滿(mǎn)足不等式的點(diǎn)才在不等式所表示的平面區(qū)域內(nèi),所以只需要把選項(xiàng)中的坐標(biāo)代入，滿(mǎn)足不等式的就是正確答案。答案：B3.如果實(shí)數(shù)x、y滿(mǎn)足條件那么2x—y的最大值為(）A。2B.1C。-2思路解析:作出可行域，可知當(dāng)直線(xiàn)2x—y=t過(guò)點(diǎn)(0，-1)時(shí)，t最大.答案：B4.已知實(shí)數(shù)x、y滿(mǎn)足則x+2y的最大值是______________.思路解析:已知實(shí)數(shù)x、y滿(mǎn)足在坐標(biāo)系中畫(huà)出可行域如圖3-5-11所示，則三個(gè)頂點(diǎn)分別是A（0，1）,B(1,0），C(2，1)，∴當(dāng)直線(xiàn)z=x+2y過(guò)點(diǎn)C(2,1）時(shí)，x+2y有最大值4。圖3-5-11答案:45.用不等式組表示以點(diǎn)（0,0）、(2，0）、（0，-2)為頂點(diǎn)的三角形內(nèi)部，該不等式組為_(kāi)__________.思路解析：首先根據(jù)三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)在坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出相應(yīng)的三角形，再根據(jù)三個(gè)點(diǎn)寫(xiě)出三邊對(duì)應(yīng)的直線(xiàn)方程，根據(jù)直線(xiàn)的位置即可寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的不等式組.答案：6.甲、乙兩地生產(chǎn)某種產(chǎn)品，它們可調(diào)出的數(shù)量分別是300t和750t.A、B、C三地需要該種產(chǎn)品的數(shù)量分別為200t、450t、400t，甲運(yùn)往A、B、C三地每1t產(chǎn)品的運(yùn)費(fèi)分別為6元、3元、5元，乙地運(yùn)往A、B、C三地每1t產(chǎn)品的運(yùn)費(fèi)分別為5元、9元、6元,為使運(yùn)費(fèi)最低，調(diào)運(yùn)方案是______________，最低運(yùn)費(fèi)是______________。思路解析：首先可設(shè)甲運(yùn)往A、B地的數(shù)量分別為xt、yt，則根據(jù)條件可知運(yùn)往C地（300-x-y)t,再根據(jù)條件，列出不等式組畫(huà)圖即可得到調(diào)運(yùn)方案.答案：甲地運(yùn)往B地300t，乙地運(yùn)往A地200t，運(yùn)往B地150t，運(yùn)往C地400t5650元7.已知-4≤a-b≤—1，-1≤4a—b≤5,求9a-b的取值范圍.思路分析:可以把a(bǔ)，b分別看成橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，根據(jù)不等式組畫(huà)出可行域，然后求目標(biāo)函數(shù)9x—y的最大值和最小值.解：?jiǎn)栴}轉(zhuǎn)化為在約束條件下，目標(biāo)函數(shù)z=9a—b的取值范圍。其可行域?yàn)閳D3-5—12所示的四邊形ABCD及其內(nèi)部。圖3-5—12由得點(diǎn)A（0，1）。當(dāng)直線(xiàn)9a-b=t通過(guò)與可行域的公共點(diǎn)A（0，1）時(shí)，使目標(biāo)函數(shù)z=9a—b取得最小值為zmin=9×0—1=—1.由得點(diǎn)C（3，7）.當(dāng)直線(xiàn)9a—b=t通過(guò)與可行域的公共點(diǎn)C(3,7）時(shí)，使目標(biāo)函數(shù)z=9a—b取得最大值為zmax=9×3-7=20.∴9a-b的取值范圍是［—1，20］.8。一個(gè)農(nóng)民有田2畝,根據(jù)他的經(jīng)驗(yàn),若種水稻，則每畝每期產(chǎn)量為400千克；若種花生，則每畝每期產(chǎn)量為100千克，但水稻成本較高,每畝每期需240元，而花生只要80元，且花生每千克可賣(mài)5元，稻米每千克只賣(mài)3元，現(xiàn)在他只能湊足400元,問(wèn)這位農(nóng)民對(duì)兩種作物各種多少畝,才能得到最大利潤(rùn)？思路分析:這是一個(gè)求最大利潤(rùn)問(wèn)題,首先根據(jù)條件設(shè)種兩種作物分別為x，y畝,根據(jù)條件列出不等式組和目標(biāo)函數(shù),然后畫(huà)圖，即可得到最大利潤(rùn).解:設(shè)種x畝水稻，種y畝花生，則由題意，得其可行域如圖3-5—13所示圖3-5—13而利潤(rùn)P=（3×400-240）x+（5×100-80）y=960x+420y（目標(biāo)函數(shù)）。聯(lián)立得交點(diǎn)B（1。5，0。5)。故當(dāng)x=1.5,y=0.5時(shí)，Pmax=960×1。5+420×0。5=1650(元)，即水稻種1.5畝，花生種0。5畝時(shí)所得到的利潤(rùn)最大.我綜合我發(fā)展9.(2006湖北高考,理9）已知平面區(qū)域D由以A(1，3),B(5，2），C（3,1）為頂點(diǎn)的三角形內(nèi)部和邊界組成.若在區(qū)域D上有無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)（x，y)可使目標(biāo)函數(shù)z=x+my取得最小值,則m等于（）A.—2B。—1C。1思路解析：依題意,令z=0，可得直線(xiàn)x+my=0的斜率為，結(jié)合可行域可知當(dāng)直線(xiàn)x+my=0與直線(xiàn)AC平行時(shí),線(xiàn)段AC上的任意一點(diǎn)都可使目標(biāo)函數(shù)z=x+my取得最小值，而直線(xiàn)AC的斜率為-1，所以m=1。答案：C10。（2006重慶高考,理16)已知變量x,y滿(mǎn)足約束條件1≤x+y≤4,—2≤x-y≤2.若目標(biāo)函數(shù)z=ax+y(其中a＞0）僅在點(diǎn)(3,1)處取得最大值，則a的取值范圍為_(kāi)____________.圖3—5-14思路解析：變量x，y滿(mǎn)足約束條件1≤x+y≤4，-2≤x—y≤2.在坐標(biāo)系中畫(huà)出可行域，為如圖所示的四邊形ABCD，其中A（3，1)，kAD=1,kAB=-1,目標(biāo)函數(shù)z=ax+y（其中a＞0)中的z表示斜率為—a的直線(xiàn)系中的截距的大小，若僅在點(diǎn)(3，1)處取得最大值，則斜率應(yīng)小于kAB=—1，即—a＜—1，所以a的取值范圍為（1，+∞)。答案：(1，+∞）11.求不等式|x-2｜+｜y-2|≤2所表示的平面區(qū)域的面積。思路分析:主要是去絕對(duì)值,可以運(yùn)用分類(lèi)討論思想依絕對(duì)值的定義去掉絕對(duì)值符號(hào)。也可以運(yùn)用化歸、轉(zhuǎn)化思想化陌生問(wèn)題為熟悉問(wèn)題，化復(fù)雜問(wèn)題為簡(jiǎn)單問(wèn)題。解法一：原不等式|x—2｜+|y—2｜≤2等價(jià)于作出以上不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖3-5—15所示，它是邊長(zhǎng)為的正方形，其面積為8.圖3-5—15解法二：∵｜x—2|+｜y-2｜≤2是｜x|+|y|≤2由經(jīng)過(guò)向右、向上各平移2個(gè)單位而得到的，∴｜x-2|+｜y—2｜≤2表示的平面區(qū)域的面積等于|x｜+｜y|≤2表示的平面區(qū)域的面積，由于｜x｜+｜y|≤2的圖象關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)均對(duì)稱(chēng)，故求得平面區(qū)域如圖所示的面積為2,故|x|+|y｜≤2的面積為4×2=8.∴所求面積為8.圖3-5—1612.給出的平面區(qū)域是△ABC內(nèi)部及邊界（如圖3-5-17所示），若目標(biāo)函數(shù)z=ax+y（a＞0）取得最大值的最優(yōu)解有無(wú)窮多個(gè)，求a的值及z的最大值。圖3—5—17思路分析：利用圖形的特性和規(guī)律解決數(shù)的問(wèn)題或?qū)D形信息轉(zhuǎn)換成代數(shù)信息，削弱或清除形的推理部分，使要解決的形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的討論。解：直線(xiàn)z=ax+y（a＞0）是斜率為-a，y軸上的截距為z的直線(xiàn)族，從上圖可以看出，當(dāng)—a小于直線(xiàn)AC的斜率時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z=ax+y（a＞