數(shù)學(xué)自主訓(xùn)練：任意角、弧度

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精自主廣場我夯基我達(dá)標(biāo)1。集合A={α|α=k·90°-36°，k∈Z}，B={β|-180°<β<180°｝，則A∩B等于（)A.｛—36°，54°}B。{-126°，144°}C.{—126°，—36°,54°，144°}D.｛—126°,54°｝思路解析：在集合A中,令k取不同的整數(shù),找出既屬于A又屬于B的角度即可。驗(yàn)證可知k=-1，0,1，2時,A∩B=｛-126°，—36°，54°,144°｝。答案:C2.如果角α與x+45°終邊相同，角β與x-45°終邊相同，那么α與β間的關(guān)系是()A。α+β=0B。α—β=0C.α+β=k·360°，k∈ZD。α-β=k·360°+90°，k∈Z思路解析:利用終邊相同的角的關(guān)系,分別寫出α、β，找出它們的關(guān)系即可。由題意，知α=k·360°+x+45°，k∈Z；β=n·360°+x—45°，n∈Z。兩式相減,得α—β=（k—n）·360°+90°，(k-n）∈Z。答案:D3.α=—2rad，則α的終邊在（）Ａ.第一象限Ｂ.第二象限Ｃ.第三象限Ｄ。第四象限思路解析:由已知α是個負(fù)角，且—2∈(-π，)，所以-2rad是第三象限角。答案:C4.若扇形的面積是1cm2,它的周長是4cm，則扇形圓心角的弧度數(shù)為（)Ａ.1Ｂ.2Ｃ。3Ｄ。4思路解析：確定扇形的條件有兩個，最直接的條件是給出扇形的半徑、弧長和圓心角中的兩個.設(shè)扇形的半徑為R,弧長為l，由已知條件，有所以扇形的圓心角度數(shù)為=2.答案：B5。角α小于180°而大于-180°,它的7倍角的終邊又與自身終邊重合，則滿足條件的角α的集合為__________________.思路解析：終邊相同的角大小相差360°的整數(shù)倍。與角α終邊相同的角連同角α在內(nèi)可表示為｛β｜β=α+k·360°,k∈Z}。∵它的7倍角的終邊與其終邊相同，∴7α=α+k·360°。解得α=k·60°,k∈Z。∴滿足條件的角α的集合為｛—120°，-60°，0°，60°，120°｝.答案：｛—120°，-60°，0°,60°，120°}6.圓的一段弧長等于這個圓內(nèi)接正三角形的一條邊長,那么這段弧所對的圓心角是____________弧度.思路解析:利用圓半徑與內(nèi)接正三角形邊長的關(guān)系，得到圓弧長，再利用公式|α|=求得這段弧所對圓心角的弧度數(shù).設(shè)圓的半徑為r,則圓內(nèi)接正三角形的邊長為r，即弧長為r，所以所求圓心角的弧度數(shù)為｜α|===。答案：7.已知A=｛銳角｝,B={0°到90°的角｝，C={第一象限角｝,D={小于90°的角}。求A∩B,A∪C,C∩D，A∪D.思路分析：搞清各集合的范圍，是解題的關(guān)鍵.解：由題意，知A=｛α|0°<α〈90°｝;B={α｜0°≤α<90°}；C=｛α｜k·360°<α<k·360°+90°，k∈Z}；D={α|α<90°}。所以A∩B=｛α｜0°〈α〈90°};A∪C=｛α｜k·360°〈α<k·360°+90°，k∈Z｝；C∩D=｛α｜k·360°<α<k·360°+90°，k為非正整數(shù)｝;A∪D=｛α｜α<90°}。8.在直徑為10cm的輪子上有一長為6cm的弦,P為弦的中點(diǎn)，輪子以每秒5弧度的角速度旋轉(zhuǎn)，求經(jīng)過5秒鐘后，點(diǎn)P轉(zhuǎn)過的弧長。思路分析:P點(diǎn)在一新圓上,所以要求點(diǎn)P轉(zhuǎn)過的弧長，需先求新圓的半徑.畫出草圖，根據(jù)位置關(guān)系求出P點(diǎn)到圓心的距離，即為新圓的半徑。解：P到圓心O的距離PO==4(cm）,即為點(diǎn)P所在新圓的半徑，又點(diǎn)P轉(zhuǎn)過的角的弧度數(shù)α=5×5=25，所以P點(diǎn)轉(zhuǎn)過的弧長為α·OP=25×4=100(cm).我綜合我發(fā)展9.如圖1—1—3，在扇形AOB中，∠AOB=90°,弧AB的長為l，求此扇形的內(nèi)切圓的面積.圖1—1—3思路分析：因?yàn)閳A內(nèi)切于扇形，所以可以建立圓的半徑與扇形的半徑的關(guān)系式,再由弧長公式代入解出圓的半徑即可解決問題.解：設(shè)扇形AOB所在圓面的半徑為R，此扇形內(nèi)切圓的半徑為r，由圖可知R=r+r，弧AB=l=·R,故r=.則扇形的內(nèi)切圓的面積為S=πr2=l2。10。設(shè)兩個集合M={α|α=+，k∈Z}，N=｛α|α=kπ-，k∈Z｝,試求M、N之間的關(guān)系.思路分析：由于集合M、N中的角都與kπ有關(guān),故可采用坐標(biāo)系將角的終邊的范圍表示出來，再比較求解.解：集合M、N中角的終邊分別如圖1—1-4甲和乙所示.圖1—1—4由圖可知NM.11。有人說,鐘的時針和分針一天內(nèi)會重合24次，你認(rèn)為這種說法是否正確？請說明理由。思路分析:鐘的時針與分針重合,實(shí)質(zhì)是角的終邊相同的問題.解：設(shè)經(jīng)過tmin分針就與時針重合，n為兩針重合的次數(shù).因?yàn)榉轴樞D(zhuǎn)的角速度為(rad/min）,時針旋轉(zhuǎn)的角速度為(rad/min)，所以（)t=2nπ，即t=n。用計算機(jī)或計算器作出函數(shù)t=n的圖象或表格，從中可清楚地看到時針與分針每次重合所需的時間.因?yàn)闀r針旋轉(zhuǎn)一天所需的時間為24×60=1440(min），所以n≤1440，于是n≤22.故時針與分針一天內(nèi)只會重合22次。12.自行車大鏈輪有48個齒，小鏈輪有20個齒，彼此由鏈條連接.當(dāng)大鏈輪轉(zhuǎn)過一周時，小鏈輪轉(zhuǎn)過多少度？合多少弧度？思路分析：解決本題的關(guān)鍵是在相同的時間內(nèi)，兩輪轉(zhuǎn)動的齒數(shù)相同,因此兩輪轉(zhuǎn)過的圈數(shù)之比與它們的齒數(shù)成反比，從而使得問題得以突破。對于這類實(shí)際問題的解決，要熟練掌握半徑、周長、圓心角、角速度等相關(guān)量之間的關(guān)系；此外對角度制與弧度制的換算也要熟練掌握。解:由于大鏈輪與小鏈輪在相同的時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的齒數(shù)相同,所以兩鏈輪轉(zhuǎn)