湖南省長沙市岳麓區(qū)湖南師范大學附中2025屆數學高二上期末質量跟蹤監(jiān)視試題含解析

湖南省長沙市岳麓區(qū)湖南師范大學附中2025屆數學高二上期末質量跟蹤監(jiān)視試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知點在平面內，是平面的一個法向量，則下列各點在平面內的是（）A. B.C. D.2．函數的導函數的圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A.函數在上單調遞增B.函數的遞減區(qū)間為C.函數在處取得極大值D.函數在處取得極小值3．函數的定義域為，，對任意，，則的解集為（）A. B.C. D.4．已知橢圓的右焦點為，則正數的值是（）A.3 B.4C.9 D.215．如圖所示，正方體的棱長為2，以其所有面的中心為頂點的多面體的表面積為（）A. B.C.8 D.126．小明騎車上學，開始時勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時間，后為了趕時間加快速度行駛．與以上事件吻合得最好的圖象是（）A. B.C. D.7．金剛石的成分為純碳，是自然界中天然存在的最堅硬物質，它的結構是由8個等邊三角形組成的正八面體．若某金剛石的棱長為2，則它的體積為（）A. B.C. D.8．已知向量，，且與互相垂直，則（）A. B.C. D.9．是等差數列，，，的第（）項A.98 B.99C.100 D.10110．已知函數，在上隨機任取一個數，則的概率為（）A. B.C. D.11．三等分角是“古希臘三大幾何問題”之一，數學家帕普斯巧妙地利用圓弧和雙曲線解決了這個問題．如圖，在圓D中，為其一條弦，，C，O是弦的兩個三等分點，以A為左焦點，B，C為頂點作雙曲線T．設雙曲線T與弧的交點為E，則．若T的方程為，則圓D的半徑為（）A. B.1C.2 D.12．在等差數列中，若，則（）A.6 B.9C.11 D.24二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．對于實數表示不超過的最大整數，如.已知數列的通項公式，前項和為，則___________.14．已知橢圓交軸于A，兩點，點是橢圓上異于A，的任意一點，直線，分別交軸于點，，則為定值．現將雙曲線與橢圓類比得到一個真命題：若雙曲線交軸于A，兩點，點是雙曲線上異于A，的任意一點，直線，分別交軸于點，，則為定值___15．若，，，，與，，，，，，均為等差數列，則______16．已知，求_____________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓，直線.（1）若直線與橢圓相切，求實數的值；（2）若直線與橢圓相交于A、兩點，為線段的中點，為坐標原點，且，求實數的值.18．（12分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線C：y2=4x經過點A（1，2），直線l：y=kx+b與拋物線C交于M，N兩點.（1）若，求直線l的方程；（2）當AM⊥AN時，若對任意滿足條件的實數k，都有b=mk+n（m，n為常數），求m+2n的值.19．（12分）已知拋物線的準線方程是.（Ⅰ）求拋物線方程；（Ⅱ）設直線與拋物線相交于，兩點，為坐標原點，證明：.20．（12分）已知函數.（1）求的導數；（2）求函數的圖象在點處的切線方程.21．（12分）已知拋物線E：y2＝8x（1）求拋物線的焦點及準線方程；（2）過點P(-1,1)的直線l1與拋物線E只有一個公共點，求直線l1的方程；（3）過點M(2,3)的直線l2與拋物線E交于點A，B．若弦AB的中點為M，求直線l2的方程22．（10分）在平面直角坐標系中，動點到點的距離和它到直線的距離之比為.動點的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程，并說明曲線是什么圖形；（2）已知曲線與軸的交點分別為，點是曲線上異于的一點，直線的斜率為，直線的斜率為，求證：為定值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】設平面內的一點為，由可得，進而可得滿足的方程，將選項代入檢驗即可得正確選項.【詳解】設平面內的一點為(不與點重合)，則，因為是平面的一個法向量，所以，所以，即，對于A：，故選項A不正確；對于B：，故選項B正確；對于C：，故選項C不正確；對于D：，故選項D不正確，故選：B.2、C【解析】根據函數單調性與導數之間的關系及極值的定義結合圖像即可得出答案.【詳解】解：根據函數的導函數的圖象可得，當時，，故函數在和上遞減，當時，，故函數在和上遞增，所以函數在和處取得極小值，在處取得極大值，故ABD錯誤，C正確.故選：C.3、B【解析】構造函數，利用導數判斷出函數在上的單調性，將不等式轉化為，利用函數的單調性即可求解.【詳解】依題意可設，所以.所以函數在上單調遞增，又因為.所以要使，即，只需要，故選B.【點睛】本題考查利用函數的單調性解不等式，解題的關鍵就是利用導數不等式的結構構造新函數來解，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.4、A【解析】由直接可得.【詳解】由題知，所以，因為，所以.故選：A5、B【解析】首先確定幾何體的空間結構特征，然后求解其表面積即可.【詳解】由題意知，該幾何體是一個由8個全等的正三角形圍成的多面體，正三角形的邊長為：，正三角形邊上的一條高為：，所以一個正三角形的面積為：，所以多面體的表面積為：.故選：B6、C【解析】先研究四個選項中圖象的特征，再對照小明上學路上的運動特征，兩者對應即可選出正確選項.【詳解】考查四個選項，橫坐標表示時間，縱坐標表示的是離開學校的距離，由此知，此函數圖象一定是下降的，由此排除A；再由小明騎車上學，開始時勻速行駛可得出圖象開始一段是直線下降型，又途中因交通堵塞停留了一段時間，故此時有一段函數圖象與x軸平行，由此排除D，之后為了趕時間加快速度行駛，此一段時間段內函數圖象下降的比較快，由此可確定C正確，B不正確故選C【點睛】本題考查函數的表示方法，關鍵是理解坐標系的度量與小明上學的運動特征，屬于基礎題.7、C【解析】由幾何關系先求出一個正四面體的高，再結合錐體體積公式即可求解正八面體的體積.【詳解】如圖，設底面中心為，連接，由幾何關系知，，則正八面體體積為.故選：C8、D【解析】根據垂直關系可得，由向量坐標運算可構造方程求得結果.【詳解】，，又與互相垂直，，解得：.故選：D.9、C【解析】等差數列，，中，，，由此求出，令，得到是這個數列的第100項【詳解】解：等差數列，，中，，令，得是這個數列的第100項故選：C10、A【解析】先解不等式，然后由區(qū)間長度比可得.【詳解】解不等式，得，所以，即的概率為.故選：A11、C【解析】由題設寫出雙曲線的方程,對比系數,求出即可獲解【詳解】由題知所以雙曲線的方程為又由題設的方程為,所以,即設AB的中點為,則由.所以,即圓的半徑為2故選：C12、B【解析】根據等差數列的通項公式的基本量運算求解【詳解】設的公差為d，因為，所以，又，所以故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、54【解析】由，利用裂項相消法求得，再由的定義求解.【詳解】由已知可得：，，當時，，；當時，，；當時，，；當時，，；當時，；；所以.故答案為：54.14、－【解析】由雙曲線的方程可得，的坐標，設的坐標，代入雙曲線的方程可得的橫縱坐標的關系，求出直線，的方程，令，分別求出，的縱坐標，求出的表達式，整理可得為定值【詳解】由雙曲線的方程可得，，設，則，可得，直線的方程為：，令，則，可得，直線的方程為，令，可得，即，∴，，，故答案為：－另解：雙曲線方程化為，只是將的替換為－，故答案也是只需將中的替換為－即可.故答案為：－.15、##【解析】由題意利用等差數列的定義和通項公式，求得要求式子的值【詳解】設等差數列，，，，的公差為，等差數列，，，，，，的公差為，則有，且，所以，則，故答案為：16、【解析】根據導數的定義即可求解.【詳解】，所以，故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）m值為或.【解析】（1）利用判別式直接求解；（2）用“設而不求法”表示出，即可求出m.【小問1詳解】聯(lián)立,消去y可得.因為直線與橢圓相切，所以，解得：.【小問2詳解】設.聯(lián)立,消去y可得.所以,，所以.又由,可得.所以.因為,所以，解得，所以實數m的值為或.18、（1）（2）3或【解析】（1）由可得，則可得直線為，設，然后將直線方程代入拋物線方程中消去，再利用根與系數的關系，由可得，三個式子結合可求出，從而可得直線方程，（2）將直線方程代入拋物線方程中消去，再利用根與系數的關系表示出，再結合直線方程表示出，由AM⊥AN可得，化簡結合前面的式子可求出或，從而可可求出的值，進而可求得答案【小問1詳解】因為A（1，2），，所以，則直線為，設，由，得，由，得則，因為，所以，所以，所以，所以，解得，所以直線的方程為，即，【小問2詳解】設，由，得，由，得，則，所以，，因為AM⊥AN，所以，所以，即，所以，所以，所以或，所以或，所以或19、（Ⅰ）（Ⅱ）詳見解析【解析】（Ⅰ）利用排趨性的準線方程求出p，即可求解拋物線的方程；（Ⅱ）直線y=k（x-2）（k≠0）與拋物線聯(lián)立，通過韋達定理求解直線的斜率關系即可證明OM⊥ON試題解析：（Ⅰ）解：因為拋物線的準線方程為，所以，解得，所以拋物線的方程為.（Ⅱ）證明：設，.將代入，消去整理得.所以.由，，兩式相乘，得，注意到，異號，所以.所以直線與直線的斜率之積為，即.考點：直線與拋物線的位置關系；拋物線的標準方程20、（1）；（2）.【解析】(1)利用基本初等函數的導數公式及求導法則直接計算作答.(2)求出，再利用導數的幾何意義求出切線方程作答.【小問1詳解】函數定義域為，所以函數.【小問2詳解】由(1)知，，而，于是得，即，所以函數的圖象在點處的切線方程是.21、（1）焦點為(2,0)，準線方程為x＝-2；（2）y＝1或x-y+2＝0或2x+y+1＝0；（3）4x-3y+1＝0.【解析】（1）根據拋物線的方程及其幾何性質，求焦點和準線；（2）分直線l1的斜率為0和不為0兩種情況，根據直線與拋物線只有一個公共點，由直線與x軸平行或Δ＝0，得解；（3）利用點差法求出直線l2的斜率，即可得直線l2的方程【小問1詳解】由題意，p＝4，則焦點為(2,0)，準線方程為x＝-2【小問2詳解】當直線l1的斜率為0時，y＝1；當直線l1的斜率不為0時，設直線l1為x+1＝m(y-1)，聯(lián)立，得y2-8my+8m+8＝0，因為直線l1與拋物線E只有一個公共點，所以Δ＝64m2-4(8m+8)＝0，解得m＝1或，所以直線l1的方程為x-y+2＝0或2x+y+1＝0，綜上，直線l1為y＝1或x-y+2＝0或2x+y+1＝0【小問3詳解】由題意，直線l2的斜率一定存在