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文檔簡介
吉林省梅河口五中等聯(lián)誼校2025屆數(shù)學高三上期末經(jīng)典試題請考生注意:1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上,請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2.答題前,認真閱讀答題紙上的《注意事項》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知雙曲線的一條漸近線為,圓與相切于點,若的面積為,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.2.已知集合,,,則的子集共有()A.個 B.個 C.個 D.個3.關于函數(shù)有下述四個結論:()①是偶函數(shù);②在區(qū)間上是單調遞增函數(shù);③在上的最大值為2;④在區(qū)間上有4個零點.其中所有正確結論的編號是()A.①②④ B.①③ C.①④ D.②④4.已知函數(shù),,其中為自然對數(shù)的底數(shù),若存在實數(shù),使成立,則實數(shù)的值為()A. B. C. D.5.己知四棱錐中,四邊形為等腰梯形,,,是等邊三角形,且;若點在四棱錐的外接球面上運動,記點到平面的距離為,若平面平面,則的最大值為()A. B.C. D.6.運行如圖所示的程序框圖,若輸出的值為300,則判斷框中可以填()A. B. C. D.7.設,則()A. B. C. D.8.已知集合A={x|–1<x<2},B={x|x>1},則A∪B=A.(–1,1) B.(1,2) C.(–1,+∞) D.(1,+∞)9.已知圓錐的高為3,底面半徑為,若該圓錐的頂點與底面的圓周都在同一個球面上,則這個球的體積與圓錐的體積的比值為()A. B. C. D.10.為雙曲線的左焦點,過點的直線與圓交于、兩點,(在、之間)與雙曲線在第一象限的交點為,為坐標原點,若,且,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.11.計算等于()A. B. C. D.12.已知甲盒子中有個紅球,個藍球,乙盒子中有個紅球,個藍球,同時從甲乙兩個盒子中取出個球進行交換,(a)交換后,從甲盒子中取1個球是紅球的概率記為.(b)交換后,乙盒子中含有紅球的個數(shù)記為.則()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.二項式的展開式的各項系數(shù)之和為_____,含項的系數(shù)為_____.14.設,分別是橢圓C:()的左、右焦點,直線l過交橢圓C于A,B兩點,交y軸于E點,若滿足,且,則橢圓C的離心率為______.15.設平面向量與的夾角為,且,,則的取值范圍為______.16.如圖,在平面四邊形中,點,是橢圓短軸的兩個端點,點在橢圓上,,記和的面積分別為,,則______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x-2|.若不等式|a+b|+|a-b|≥|a|f(x)(a≠0,a、b∈R)恒成立,求實數(shù)x的取值范圍.18.(12分)在底面為菱形的四棱柱中,平面.(1)證明:平面;(2)求二面角的正弦值.19.(12分)中的內(nèi)角,,的對邊分別是,,,若,.(1)求;(2)若,點為邊上一點,且,求的面積.20.(12分)如圖所示,在三棱柱中,為等邊三角形,,,平面,是線段上靠近的三等分點.(1)求證:;(2)求直線與平面所成角的正弦值.21.(12分)已知函數(shù).其中是自然對數(shù)的底數(shù).(1)求函數(shù)在點處的切線方程;(2)若不等式對任意的恒成立,求實數(shù)的取值范圍.22.(10分)如圖在直角中,為直角,,,分別為,的中點,將沿折起,使點到達點的位置,連接,,為的中點.(Ⅰ)證明:面;(Ⅱ)若,求二面角的余弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
由圓與相切可知,圓心到的距離為2,即.又,由此求出的值,利用離心率公式,求出e.【詳解】由題意得,,,.故選:D.【點睛】本題考查了雙曲線的幾何性質,直線與圓相切的性質,離心率的求法,屬于中檔題.2、B【解析】
根據(jù)集合中的元素,可得集合,然后根據(jù)交集的概念,可得,最后根據(jù)子集的概念,利用計算,可得結果.【詳解】由題可知:,當時,當時,當時,當時,所以集合則所以的子集共有故選:B【點睛】本題考查集合的運算以及集合子集個數(shù)的計算,當集合中有元素時,集合子集的個數(shù)為,真子集個數(shù)為,非空子集為,非空真子集為,屬基礎題.3、C【解析】
根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調性、最值和零點對四個結論逐一分析,由此得出正確結論的編號.【詳解】的定義域為.由于,所以為偶函數(shù),故①正確.由于,,所以在區(qū)間上不是單調遞增函數(shù),所以②錯誤.當時,,且存在,使.所以當時,;由于為偶函數(shù),所以時,所以的最大值為,所以③錯誤.依題意,,當時,,所以令,解得,令,解得.所以在區(qū)間,有兩個零點.由于為偶函數(shù),所以在區(qū)間有兩個零點.故在區(qū)間上有4個零點.所以④正確.綜上所述,正確的結論序號為①④.故選:C【點睛】本小題主要考查三角函數(shù)的奇偶性、單調性、最值和零點,考查化歸與轉化的數(shù)學思想方法,屬于中檔題.4、A【解析】令f(x)﹣g(x)=x+ex﹣a﹣1n(x+1)+4ea﹣x,令y=x﹣ln(x+1),y′=1﹣=,故y=x﹣ln(x+1)在(﹣1,﹣1)上是減函數(shù),(﹣1,+∞)上是增函數(shù),故當x=﹣1時,y有最小值﹣1﹣0=﹣1,而ex﹣a+4ea﹣x≥4,(當且僅當ex﹣a=4ea﹣x,即x=a+ln1時,等號成立);故f(x)﹣g(x)≥3(當且僅當?shù)忍柾瑫r成立時,等號成立);故x=a+ln1=﹣1,即a=﹣1﹣ln1.故選:A.5、A【解析】
根據(jù)平面平面,四邊形為等腰梯形,則球心在過的中點的面的垂線上,又是等邊三角形,所以球心也在過的外心面的垂線上,從而找到球心,再根據(jù)已知量求解即可.【詳解】依題意如圖所示:取的中點,則是等腰梯形外接圓的圓心,取是的外心,作平面平面,則是四棱錐的外接球球心,且,設四棱錐的外接球半徑為,則,而,所以,故選:A.【點睛】本題考查組合體、球,還考查空間想象能力以及數(shù)形結合的思想,屬于難題.6、B【解析】
由,則輸出為300,即可得出判斷框的答案【詳解】由,則輸出的值為300,,故判斷框中應填?故選:.【點睛】本題考查了程序框圖的應用問題,解題時應模擬程序框圖的運行過程,以便得出正確的結論,是基礎題.7、C【解析】試題分析:,.故C正確.考點:復合函數(shù)求值.8、C【解析】
根據(jù)并集的求法直接求出結果.【詳解】∵,∴,故選C.【點睛】考查并集的求法,屬于基礎題.9、B【解析】
計算求半徑為,再計算球體積和圓錐體積,計算得到答案.【詳解】如圖所示:設球半徑為,則,解得.故求體積為:,圓錐的體積:,故.故選:.【點睛】本題考查了圓錐,球體積,圓錐的外接球問題,意在考查學生的計算能力和空間想象能力.10、D【解析】
過點作,可得出點為的中點,由可求得的值,可計算出的值,進而可得出,結合可知點為的中點,可得出,利用勾股定理求得(為雙曲線的右焦點),再利用雙曲線的定義可求得該雙曲線的離心率的值.【詳解】如下圖所示,過點作,設該雙曲線的右焦點為,連接.,.,,,為的中點,,,,,由雙曲線的定義得,即,因此,該雙曲線的離心率為.故選:D.【點睛】本題考查雙曲線離心率的求解,解題時要充分分析圖形的形狀,考查推理能力與計算能力,屬于中等題.11、A【解析】
利用誘導公式、特殊角的三角函數(shù)值,結合對數(shù)運算,求得所求表達式的值.【詳解】原式.故選:A【點睛】本小題主要考查誘導公式,考查對數(shù)運算,屬于基礎題.12、A【解析】分析:首先需要去分析交換后甲盒中的紅球的個數(shù),對應的事件有哪些結果,從而得到對應的概率的大小,再者就是對隨機變量的值要分清,對應的概率要算對,利用公式求得其期望.詳解:根據(jù)題意有,如果交換一個球,有交換的都是紅球、交換的都是藍球、甲盒的紅球換的乙盒的藍球、甲盒的藍球交換的乙盒的紅球,紅球的個數(shù)就會出現(xiàn)三種情況;如果交換的是兩個球,有紅球換紅球、藍球換藍球、一藍一紅換一藍一紅、紅換藍、藍換紅、一藍一紅換兩紅、一藍一紅換亮藍,對應的紅球的個數(shù)就是五種情況,所以分析可以求得,故選A.點睛:該題考查的是有關隨機事件的概率以及對應的期望的問題,在解題的過程中,需要對其對應的事件弄明白,對應的概率會算,以及變量的可取值會分析是多少,利用期望公式求得結果.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
將代入二項式可得展開式各項系數(shù)之和,寫出二項展開式通項,令的指數(shù)為,求出參數(shù)的值,代入通項即可得出項的系數(shù).【詳解】將代入二項式可得展開式各項系數(shù)和為.二項式的展開式通項為,令,解得,因此,展開式中含項的系數(shù)為.故答案為:;.【點睛】本題考查了二項式定理及二項式展開式通項公式,屬基礎題.14、【解析】
采用數(shù)形結合,計算以及,然后根據(jù)橢圓的定義可得,并使用余弦定理以及,可得結果.【詳解】如圖由,所以由,所以又,則所以所以化簡可得:則故答案為:【點睛】本題考查橢圓的定義以及余弦定理的使用,關鍵在于根據(jù)角度求出線段的長度,考查分析能力以及計算能力,屬中檔題.15、【解析】
根據(jù)已知條件計算出,結合得出,利用基本不等式可得出的取值范圍,利用平面向量的數(shù)量積公式可求得的取值范圍,進而可得出的取值范圍.【詳解】,,,由得,,由基本不等式可得,,,,,因此,的取值范圍為.故答案為:.【點睛】本題考查利用向量的模求解平面向量夾角的取值范圍,考查計算能力,屬于中等題.16、【解析】
依題意易得A、B、C、D四點共圓且圓心在x軸上,然后設出圓心,由圓的方程與橢圓方程聯(lián)立得到B的橫坐標,進一步得到D橫坐標,再由計算比值即可.【詳解】因為,所以A、B、C、D四點共圓,直徑為,又A、C關于x軸對稱,所以圓心E在x軸上,設圓心E為,則圓的方程為,聯(lián)立橢圓方程消y得,解得,故B的橫坐標為,又B、D中點是E,所以D的橫坐標為,故.故答案為:.【點睛】本題考查橢圓中的四點共圓及三角形面積之比的問題,考查學生基本計算能力及轉化與化歸思想,本題關鍵是求出B、D橫坐標,是一道有區(qū)分度的壓軸填空題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、≤x≤【解析】由題知,|x-1|+|x-2|≤恒成立,故|x-1|+|x-2|不大于的最小值.∵|a+b|+|a-b|≥|a+b+a-b|=2|a|,當且僅當(a+b)·(a-b)≥0時取等號,∴的最小值等于2.∴x的范圍即為不等式|x-1|+|x-2|≤2的解,解不等式得≤x≤.18、(1)證明見解析;(2)【解析】
(1)由已知可證,即可證明結論;(2)根據(jù)已知可證平面,建立空間直角坐標系,求出坐標,進而求出平面和平面的法向量坐標,由空間向量的二面角公式,即可求解.【詳解】方法一:(1)依題意,且∴,∴四邊形是平行四邊形,∴,∵平面,平面,∴平面.(2)∵平面,∴,∵且為的中點,∴,∵平面且,∴平面,以為原點,分別以為軸、軸、軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標系,則,,,,∴設平面的法向量為,則,∴,取,則.設平面的法向量為,則,∴,取,則.∴,設二面角的平面角為,則,∴二面角的正弦值為.方法二:(1)證明:連接交于點,因為四邊形為平行四邊形,所以為中點,又因為四邊形為菱形,所以為中點,∴在中,且,∵平面,平面,∴平面(2)略,同方法一.【點睛】本題主要考查線面平行的證明,考查空間向量法求面面角,意在考查直觀想象、邏輯推理與數(shù)學運算的數(shù)學核心素養(yǎng),屬于中檔題.19、(1)(2)10【解析】
(1)由二倍角的正弦公式以及正弦定理,可得,再根據(jù)二倍角的余弦公式計算即可;(2)由已知可得,利用余弦定理解出,由已知計算出與,再根據(jù)三角形的面積公式求出結果即可.【詳解】(1),,在中,由正弦定理得,,又,,,(2),,,由余弦定理得,,則,化簡得,,解得或(負值舍去),,,,,,的面積.【點睛】本題考查了三角形面積公式以及正弦定理、余弦定理的應用,考查了二倍角公式的應用,考查了運算能力,屬于基礎題.20、(1)證明見解析(2)【解析】
(1)由,故,所以四邊形為菱形,再通過,證得,所以四邊形為正方形,得到.(2)根據(jù)(1)的論證,建立空間直角坐標,設平面的法向量為,由求得,再由,利用線面角的向量法公式求解.【詳解】(1)因為,故,所以四邊形為菱形,而平面,故.因為,故,故,即四邊形為正方形,故.(2)依題意,.在正方形中,,故以為原點,所在直線分別為、、軸,建立如圖所示的空間直角坐標系;如圖所示:不紡設,則,又因為,所以.所以.設平面的法向量為,則,即,令,則.于是.又因為,設直線與平面所成角為,則,所以直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】本題考查空間線面的位置關系、線面成角,還考查空間想象能力以及數(shù)形結合思想,屬于中檔題.21、(1);(2).【解析】
(1)利用導數(shù)的幾何意義求出切線的斜率,再求出切點坐標即可得在點處的切線方程;(2)令,然后利用導數(shù)并根據(jù)a的情況研究函數(shù)的單調性和最值.【詳解】
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