小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)案例課程第二章如何進(jìn)行估算教學(xué)

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)案例課程第二章如何進(jìn)行估算教學(xué)本章重難點(diǎn)分析【重點(diǎn)】在教學(xué)中，能指導(dǎo)學(xué)生選擇適當(dāng)?shù)膯挝贿M(jìn)行簡(jiǎn)單的估算。2.學(xué)生能理解估算的意義?！倦y點(diǎn)】1.對(duì)有關(guān)于估算的教學(xué)案例進(jìn)行評(píng)析。第一節(jié)導(dǎo)言估算作為一種重要的數(shù)學(xué)能力，近些年來(lái)逐漸受到國(guó)際數(shù)學(xué)教育界的重視，全美數(shù)學(xué)教師理事會(huì)編寫(xiě)的《美國(guó)學(xué)校數(shù)學(xué)教育的原則和標(biāo)準(zhǔn)》中對(duì)估算提出了明確的要求：學(xué)前期至十二年級(jí)的數(shù)學(xué)教育應(yīng)該使所有的學(xué)生都能夠熟練地計(jì)算并進(jìn)行合理的估算。荷蘭、英國(guó)、法國(guó)等國(guó)家的正式課程中也包括估算內(nèi)容的教學(xué)。我國(guó)新一輪數(shù)學(xué)課程改革對(duì)學(xué)生估算能力的培養(yǎng)也給予了充分的重視?！墩n程標(biāo)準(zhǔn)》中對(duì)估算教學(xué)提出了具體的目標(biāo)和要求。第一學(xué)段的具體目標(biāo)提出“在具體情境中，能選擇適當(dāng)?shù)膯挝贿M(jìn)行簡(jiǎn)單的估算”，第二學(xué)段的目標(biāo)是“理解估算的意義”。一、關(guān)于估算問(wèn)題的認(rèn)識(shí)從一份測(cè)試說(shuō)起在一次考試中出現(xiàn)了下面兩道題，而分析學(xué)生的答案會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)很有趣的現(xiàn)象。第1題計(jì)算估算第2題計(jì)算估算37人0人27人10人可以發(fā)現(xiàn)在這兩道題目中學(xué)生受“大約”一詞的影響，在可以估算的題目中沒(méi)有采取估算策略，而在不應(yīng)估算的題目中卻錯(cuò)誤地使用了估算，約占總?cè)藬?shù)的27%。具體看：在第1題中，雖然沒(méi)有出現(xiàn)“大約”一詞，但在實(shí)際生活中人們常常無(wú)法（有時(shí)也沒(méi)必要）進(jìn)行精確的運(yùn)算和判斷，這時(shí)只需采用估算。如購(gòu)物吃飯，要估算價(jià)格；行車(chē)走路，要估算時(shí)間；出差旅游，要估算路程；投資經(jīng)商，要估算成本、利潤(rùn)等等。但37名學(xué)生沒(méi)有一人用了估算策略，學(xué)生只是簡(jiǎn)單地將有無(wú)表示大概的詞作為是否進(jìn)行估算的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，可以看出估算意識(shí)沒(méi)有深入學(xué)生的頭腦中。在第2道題目中“大約”的含義是因?yàn)閮傻刂g的距離不可能是準(zhǔn)確的348千米，“大約”在題目中有近似的意義。因此在這樣的問(wèn)題表述中表面看有“大約”，但不屬于需要估算的問(wèn)題，學(xué)生錯(cuò)用估算在其他情境中也常出現(xiàn)。從上面的例子中可以看出，估算在教學(xué)中仍然存在很大的問(wèn)題，值得我們給予關(guān)注。（1）何為估算?！肮浪恪钡难芯?，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中是一個(gè)較新的課題，從20世紀(jì)80年代開(kāi)始才獲得了人們的一定重視。但是，實(shí)際上每個(gè)人對(duì)估算都不陌生，在日常生活中，人們或多或少都會(huì)運(yùn)用估算能力來(lái)解決一些問(wèn)題。譬如，到超市選購(gòu)物品，人們?cè)诮Y(jié)算前大多會(huì)對(duì)自己所買(mǎi)物品的價(jià)錢(qián)進(jìn)行一下估算，一來(lái)可以看看自己帶的錢(qián)是否充足，二來(lái)還可以和收銀處的結(jié)果對(duì)照。這就是估算在生活中的典型應(yīng)用?？梢?jiàn)，日常生活離不開(kāi)估算，估算在生活中有著廣泛的應(yīng)用性。估算會(huì)為人們的生活帶來(lái)方便與快捷。由此，估算是數(shù)學(xué)教育中的重要內(nèi)容。教師要幫助學(xué)生提高估算能力，首先要清楚估算的含義。什么是估算？估算是一種近似計(jì)算，是對(duì)計(jì)算結(jié)果在一定范圍內(nèi)做出合理的估計(jì)。估算采用口算的形式，不借助筆、紙、計(jì)算器等工具，并且要求迅速得出結(jié)果。從估算的定義可以看出其特點(diǎn)有以下五個(gè)：第一，估算值與精確計(jì)算的準(zhǔn)確值之間有一定的差距；第二，估算雖不要求精確的計(jì)算結(jié)果，但是也不能漫無(wú)邊際地估計(jì)，估算值與準(zhǔn)確值的差距是在一定范圍內(nèi)的；第三，估算要有一定的依據(jù)，其結(jié)果應(yīng)是合理的；第四，估算采用口算的形式，不借助筆、紙、計(jì)算器等工具；第五，估算要求迅速，人們往往對(duì)一些復(fù)雜的數(shù)據(jù)進(jìn)行估算，估算的目的之一便是迅速地了解大致結(jié)果。（2）估算與精算。估算與精算兩個(gè)詞的字面意義反映出了兩種計(jì)算方式在結(jié)果的準(zhǔn)確程度上的差異，估算能力與精算能力是個(gè)體最基本的兩種計(jì)算能力。研究表明，雖然它們都是個(gè)體計(jì)算能力的重要成分，但是二者具有不同的性質(zhì)，主要表現(xiàn)在以下幾方面：首先，從它們的表現(xiàn)特點(diǎn)來(lái)看，精算能力主要是一種程序化、精確化、相對(duì)更外部化的認(rèn)知能力，個(gè)體往往需要運(yùn)用紙筆或語(yǔ)言幫助計(jì)算，所得結(jié)果較為精確；估算能力則表現(xiàn)出較強(qiáng)的直覺(jué)化與內(nèi)隱性特點(diǎn)，其所得結(jié)果只是在一定范圍內(nèi)對(duì)答案的估計(jì)。其次，從它們?cè)趥€(gè)體工作、學(xué)習(xí)中的作用來(lái)看，精算能力有助于個(gè)體有效地解決抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題，形成嚴(yán)格的邏輯思維；而估算能力則在個(gè)體解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中發(fā)揮著重要作用，估算在日常生活中使用較為頻繁，具有很強(qiáng)的實(shí)用性和廣泛性。最后，從它們發(fā)展的先后順序看，在兒童計(jì)算能力的發(fā)展過(guò)程中，估算能力的發(fā)展要相對(duì)早于精算能力，表現(xiàn)為一個(gè)由以估算能力為主逐漸過(guò)渡為以精算能力為主的發(fā)展模式。從目前對(duì)于這兩種計(jì)算能力的研究結(jié)果來(lái)看，估算能力與精算能力不僅在表現(xiàn)形式、作用、發(fā)展順序等方面存在差異，同時(shí)，它們的起源、認(rèn)知機(jī)制與腦基礎(chǔ)也不盡相同，是兩種不同性質(zhì)的計(jì)算能力。雖然這兩種計(jì)算能力存在著如此多的區(qū)別，但是，它們之間也存在著密切的聯(lián)系。估算能力與精算能力在精算過(guò)程中均發(fā)揮著重要作用；估算能力與精算能力的特點(diǎn)具有較好的互補(bǔ)性，在解決問(wèn)題的過(guò)程中存在一定的協(xié)同性；估算能力與精算能力在個(gè)體發(fā)展過(guò)程中并不是并列或平行的關(guān)系，而是彼此交錯(cuò)、相互影響的。（3）估算與取近似值。估算與取近似值之間既有相似之處，又有本質(zhì)區(qū)別。估算和取近似值的結(jié)果都不是精確計(jì)算的準(zhǔn)確值，它們與準(zhǔn)確值之間都有一定的差距。但是，估算是一種計(jì)算的方法，其本質(zhì)是“算”；而取近似值是對(duì)精確計(jì)算的結(jié)果運(yùn)用“四舍五入法”或“進(jìn)一法”、“退一法”取值。估算結(jié)果要求只要在一定范圍內(nèi)即可，因此，對(duì)一個(gè)算式的估算可以有多種結(jié)果；而當(dāng)取近似值的要求一旦確定（如，結(jié)果保留兩位小數(shù)），答案便是唯一的。（4）估算的方法與策略。估算的基本過(guò)程大致可以分為三個(gè)階段：第一，簡(jiǎn)化數(shù)據(jù)，簡(jiǎn)化的目的是使數(shù)據(jù)的處理變得較為容易，例如，將算式176X29÷9簡(jiǎn)化成180X30÷9，值得注意的是，簡(jiǎn)化是對(duì)數(shù)據(jù)的簡(jiǎn)化，不要改變問(wèn)題的結(jié)構(gòu)，即運(yùn)算順序。第二，變換，是對(duì)問(wèn)題的結(jié)構(gòu)進(jìn)行變形以便于操作，如將180X30÷9轉(zhuǎn)變成180÷9X30，進(jìn)而計(jì)算出結(jié)果。估算的基本過(guò)程大致可以分為三個(gè)階段：第三，調(diào)整結(jié)果，由于實(shí)行前面的兩步會(huì)使原題結(jié)果產(chǎn)生變化，因此，要適當(dāng)調(diào)整所得結(jié)果以減小誤差，如上面例子中，由于前面的簡(jiǎn)化會(huì)使結(jié)果變大，因此，要適當(dāng)縮小估算結(jié)果。根據(jù)上述三個(gè)階段，可以具體地總結(jié)出一些相應(yīng)的策略。以下這些策略與技巧是國(guó)外學(xué)者通過(guò)對(duì)優(yōu)秀估算者使用策略的研究得出的結(jié)論。①首位策略。首位策略是利用最高位進(jìn)行估算。利用首位策略估算時(shí)，首先要確定題目中最重要的數(shù)字——最高位上的數(shù)字，然后進(jìn)行適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算，最后確定結(jié)果的數(shù)位。這個(gè)過(guò)程適用任何運(yùn)算，但是更適合加法、減法和除法的估算。首位策略的優(yōu)點(diǎn)在于它很簡(jiǎn)單，運(yùn)算過(guò)程中的數(shù)在原題中是可見(jiàn)的，年齡小的學(xué)生也能算得很快。使用這種策略可以讓學(xué)生經(jīng)歷成功的體驗(yàn)，這種成功體驗(yàn)是很重要的。同時(shí)，這種技巧也適合高年級(jí)的學(xué)生和成人，而且適用于其他的數(shù)，像分?jǐn)?shù)、小數(shù)等。②取近似值法。取近似值法就是先對(duì)算式中的數(shù)取近似值，最好是取整十整百的數(shù)，然后再進(jìn)行計(jì)算，這樣計(jì)算起來(lái)就簡(jiǎn)單多了。取近似值的方法尤其適用多位數(shù)的乘法。在使用這種方法時(shí)，學(xué)生可以取不同的近似值。例如，估算95X43，可以將95看成90，將43看成40，那么就是計(jì)算90X40了；還可以將95看成100，43不變，計(jì)算100X43。這種取近似值的方法都可以簡(jiǎn)化題目，使問(wèn)題易于口算。隨著學(xué)生估算能力的提高，對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)逐步深入，他們會(huì)根據(jù)自己計(jì)算的習(xí)慣來(lái)取近似值，以達(dá)到簡(jiǎn)化的目的。取近似值的方法比首位策略要抽象一些，它包括兩個(gè)步驟，取近似值和口算。學(xué)生在使用這種方法時(shí)應(yīng)該知道，取近似值的目的是為了將題目中的數(shù)簡(jiǎn)化成可以口算的數(shù)。③協(xié)調(diào)法。協(xié)調(diào)法與取近似值法有些類(lèi)似，相比之下，協(xié)調(diào)法更復(fù)雜一些。協(xié)調(diào)法，也是先對(duì)算式中的數(shù)取近似值，然后計(jì)算，但是近似值不是隨意取，而是取容易計(jì)算的數(shù)。拿除法算式估商的例子來(lái)說(shuō)明，我們?cè)趯?duì)被除數(shù)和除數(shù)取近似值時(shí)，所取近似值要使得除數(shù)能夠整除被除數(shù)。例如，在估算2256÷6時(shí)，將2256看成2300（最接近的整百數(shù)）或者2000（最接近的整千數(shù)）對(duì)于估算是沒(méi)有幫助作用的，但是將2256看成2400（協(xié)調(diào)數(shù)）就容易計(jì)算了，因?yàn)?400能夠被6整除。在除法算式估商的時(shí)候，找這樣的協(xié)調(diào)數(shù)是很有效的方法。協(xié)調(diào)法也適用于估算多個(gè)加數(shù)的加法。④平均估算法。平均估算法適用于包含許多加數(shù)的加法運(yùn)算，其中，這些加數(shù)的大小又都比較接近。平均估算法就是先在這組數(shù)中選擇一個(gè)合理的平均值，然后再用這組數(shù)的個(gè)數(shù)乘以這個(gè)平均值，得到估算結(jié)果的方法。下面舉個(gè)例子來(lái)說(shuō)明，這組數(shù)都接近3，又因?yàn)橛?個(gè)數(shù)，所以，估算的結(jié)果是18。雖然平均估算法是個(gè)特殊的方法，但是，它仍然具有很強(qiáng)的適用性。這種方法最大的優(yōu)點(diǎn)在于避免了多次反復(fù)使用首位策略和取近似值的方法，而是用很簡(jiǎn)單的數(shù)字和容易的算式取代。⑤調(diào)整策略。調(diào)整策略是對(duì)其他估算策略的補(bǔ)充與完善，使得估算的結(jié)果更為合理，這個(gè)過(guò)程通常在使用其他估算方法后使用。例如，在首位策略中提到的問(wèn)題13000明顯地估小了，應(yīng)當(dāng)加上一些。對(duì)于此題，加上1000比較合適，那么14000應(yīng)該是估算的最終結(jié)果。恰當(dāng)?shù)厥褂谜{(diào)整策略是學(xué)生估算能力提高的標(biāo)志。雖然許多學(xué)生很清楚估算的結(jié)果需要調(diào)整，但是，他們不知道如何確定究竟要調(diào)整多少才合適，這對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是一個(gè)較大的困難。一開(kāi)始，學(xué)生們通常借助直覺(jué)來(lái)決定調(diào)整多少。但是，隨著學(xué)生估算能力的提高，他們調(diào)整的能力也會(huì)逐步提高。二、學(xué)習(xí)估算的意義估算能力是人們?nèi)粘Ｉ钪斜匦璧哪芰?，是社?huì)生活對(duì)人的基本要求。因此，學(xué)習(xí)估算對(duì)學(xué)生適應(yīng)社會(huì)生活有很重要的意義。除了適應(yīng)社會(huì)生活之外，學(xué)習(xí)估算還可以培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，發(fā)展其數(shù)感，有利于學(xué)生數(shù)學(xué)能力的發(fā)展。1.日常生活的需要在日常生活中，許多情況下是不需要進(jìn)行精確計(jì)算的。據(jù)統(tǒng)計(jì)，人們平時(shí)在解決問(wèn)題時(shí)，利用估算與精確計(jì)算的比例為3：1，一個(gè)人估算能力的強(qiáng)弱直接影響到人的生活節(jié)奏的快慢和工作效率的高低。隨著社會(huì)科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，估算能力變得越來(lái)越重要?？茖W(xué)技術(shù)的進(jìn)步，尤其是計(jì)算器和計(jì)算機(jī)的普及，使估算能力變得更為重要。2.培養(yǎng)學(xué)生的思維能力估算教學(xué)可以培養(yǎng)學(xué)生思維能力，主要表現(xiàn)在以下四方面：（1）培養(yǎng)學(xué)生思維的準(zhǔn)確性。思維的準(zhǔn)確性是指學(xué)生的思維活動(dòng)符合邏輯，判斷推理準(zhǔn)確。估算的目的之一是對(duì)計(jì)算結(jié)果做出合理的判斷，這個(gè)判斷不僅僅針對(duì)算式的計(jì)算結(jié)果，還包括考慮是否符合實(shí)際情況。通過(guò)估算，學(xué)生可以確定計(jì)算結(jié)果的數(shù)值范圍，并根據(jù)實(shí)際情況，判斷計(jì)算結(jié)果是否合理和正確，達(dá)到減少錯(cuò)誤的目的，從而提高學(xué)生思維的準(zhǔn)確性。（2）培養(yǎng)學(xué)生思維的敏捷性。思維的敏捷性是指思維過(guò)程的速度或迅速程度，即在處理具體問(wèn)題的過(guò)程中，能夠迅速判斷，迅速做出反應(yīng)，迅速得出結(jié)論。敏捷地思維，可以使人在緊急的情況下積極地思維，正確地判斷和迅速地做出結(jié)論從而解決問(wèn)題。估算的特征之一，就是根據(jù)具體的條件和相關(guān)的知識(shí)，對(duì)事物結(jié)果迅速合理地做出推斷。估算教學(xué)，可以讓學(xué)生靈活運(yùn)用已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，以敏銳的觀察能力和迅速的判斷能力，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)化推理，一下就抓住問(wèn)題的本質(zhì)，使問(wèn)題得到解決，這個(gè)過(guò)程培養(yǎng)了學(xué)生思維的敏捷性。（3）培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性。思維的靈活性是指思維活動(dòng)的靈活程度，這是一種隨機(jī)應(yīng)變的思維能力，主要表現(xiàn)是，學(xué)生在思維活動(dòng)中，善于打破常規(guī)，主動(dòng)克服思維定式的消極影響，機(jī)動(dòng)靈活地從多角度、多層次去思考問(wèn)題。這里的思維的靈活性與發(fā)散思維的意思比較接近。由于估算結(jié)果不唯一，因此，估算給學(xué)生提供了一個(gè)比較靈活、寬松的思考空間，可以培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性。（4）培養(yǎng)學(xué)生思維的創(chuàng)造性。思維的獨(dú)創(chuàng)性是人類(lèi)思維的高級(jí)形態(tài)，是智力的高級(jí)形態(tài)。它的四個(gè)主要特點(diǎn)是：認(rèn)知的深刻性、獨(dú)特性、發(fā)散性和新穎性。在學(xué)習(xí)過(guò)程中，表現(xiàn)為學(xué)生善于獨(dú)立思考，能夠發(fā)現(xiàn)事物的本質(zhì)屬性和共同規(guī)律，提出新穎的、與眾不同的解決問(wèn)題的途徑和方法。由于估算的結(jié)果不唯一，估算的方法也可以是多種多樣的，學(xué)生在估算時(shí)就有很大的空間來(lái)發(fā)揮自己的想象，學(xué)生可以根據(jù)自己的計(jì)算習(xí)慣或?qū)?wèn)題的判斷來(lái)確定使用哪種估算方法，在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生思維的創(chuàng)造性得到了培養(yǎng)。在教學(xué)中，教師要不斷鼓勵(lì)學(xué)生從不同的角度靈活運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)，結(jié)合估算發(fā)現(xiàn)一些獨(dú)特的解題思路，尋找到一些新穎的解題方法。這樣，學(xué)生的創(chuàng)造能力才能得到發(fā)展。3.發(fā)展學(xué)生的數(shù)感國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者都研究過(guò)“數(shù)感”，但對(duì)什么是“數(shù)感”，很難做出清楚的界定。不同學(xué)者有著不同的看法。例如，學(xué)者索德等人認(rèn)為，“數(shù)感”主要是指“很好地發(fā)展起來(lái)的整體性概念網(wǎng)絡(luò)”，也就是指將數(shù)和運(yùn)算的各種性質(zhì)很好地聯(lián)結(jié)起來(lái)。由此可以看出，對(duì)數(shù)和運(yùn)算的性質(zhì)能夠靈活地、創(chuàng)造性地加以應(yīng)用，既是“數(shù)感”的表現(xiàn)，也是估算的要求。全美數(shù)學(xué)教師理事會(huì)組織編寫(xiě)的《數(shù)學(xué)教與學(xué)研究手冊(cè)》是數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域內(nèi)的一部權(quán)威性著作。此書(shū)第十六章“估計(jì)與數(shù)感”中明確提出了估算是發(fā)展“數(shù)感”的重要手段之一，同時(shí)，估算能力又可以看作“數(shù)感”的表現(xiàn)之一。三、影響估算能力的多種因素影響估算能力的因素有多種，包括具體的估算策略和相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)與能力，如一定的心算能力、一定的解決問(wèn)題能力等。另外，一般的數(shù)學(xué)能力和心理因素都會(huì)影響學(xué)生估算能力的發(fā)展。例如，學(xué)生是否具有相關(guān)的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生對(duì)自己所進(jìn)行的估算活動(dòng)是否有足夠的自信心，以及學(xué)生如何看待計(jì)算結(jié)果，都是影響估算活動(dòng)的重要因素。由此，要提高學(xué)生的估算能力，除去必要的知識(shí)和技能以外，教師還應(yīng)該幫助學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)估算的性質(zhì)和意義，并且培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的自信心。學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的觀念和對(duì)于估算意義與目的的認(rèn)識(shí)，在很大程度上也會(huì)影響學(xué)生的估算能力。一些不恰當(dāng)?shù)挠^念對(duì)學(xué)生的估算活動(dòng)會(huì)產(chǎn)生嚴(yán)重的消極影響，例如，有研究表明，學(xué)生們通常會(huì)認(rèn)為“計(jì)算的精確性是最高的準(zhǔn)則，我們完全無(wú)須從其他角度再對(duì)運(yùn)算的正確性做出分析”，“任何問(wèn)題都只有唯一正確的解答與解題方法”，等等。這些不正確的觀念，不僅會(huì)影響學(xué)生的估算活動(dòng)，而且會(huì)對(duì)其他數(shù)學(xué)活動(dòng)產(chǎn)生嚴(yán)重的消極影響。因此，幫助學(xué)生很好地認(rèn)識(shí)估算的性質(zhì)和作用有助于糾正學(xué)生的一些錯(cuò)誤觀念。第二節(jié)案例分析與評(píng)析一、創(chuàng)設(shè)估算情境，挖掘估算內(nèi)容二、估算課上的教師角色一、創(chuàng)設(shè)估算情境，挖掘估算內(nèi)容案例一加減法估算情境一師：同學(xué)們，媽媽帶100元錢(qián)去商店買(mǎi)下列生活用品，熱水瓶28元，茶壺43元，一套茶杯24元，你說(shuō)媽媽帶的錢(qián)夠嗎？（生想了想，幾秒鐘后紛紛舉手）生：老師，我是口算的，三樣用品總共需要95元，媽媽帶的錢(qián)夠了。生：老師，100元是夠的。我是這樣算的：28元加43元是71元，再加上24元等于95元。（其他同學(xué)聽(tīng)了也紛紛點(diǎn)頭同意）師：（有些著急，希望接下去會(huì)有心中的標(biāo)準(zhǔn)答案出現(xiàn)）還有沒(méi)有其他算法呢？師：（稍等了一下，開(kāi)始講解估算方法）這道題我們還可以估算！同學(xué)們看，我們已經(jīng)學(xué)過(guò)了“四舍五入”法，可以把28元估成30元，43元估成40元，24元估成20元，30加40加20等于90元，所以媽媽帶的錢(qián)夠了。情境二師：同學(xué)們，這兩樣用品標(biāo)價(jià)上的個(gè)位數(shù)字不小心被墨汁弄臟看不清了，請(qǐng)大家?guī)托∶鞯膵寢屜胍幌?，買(mǎi)兩樣用品各一件，需要多少錢(qián)？帶80元夠了嗎？先請(qǐng)學(xué)生思考后，安排小組討論。生：兩樣用品各一件可能要60多元。熱水瓶是20多元，加上茶壺是40多元，所以我估計(jì)大概是60多元。生：也有可能是70多元，如果當(dāng)兩樣用品價(jià)錢(qián)的個(gè)位數(shù)相加超過(guò)10元時(shí)，總價(jià)就是70多元了。情境三生：我也覺(jué)得是70元左右，兩樣用品價(jià)錢(qián)的個(gè)位數(shù)字也有可能在5元左右，因?yàn)槲移綍r(shí)看超市里一些標(biāo)價(jià)的個(gè)位數(shù)字，有5的比較多。生：如果我們把這兩樣用品價(jià)錢(qián)的個(gè)位數(shù)字都想成1，那么總價(jià)是62元，如果我們把這兩樣用品價(jià)錢(qián)的個(gè)位數(shù)字都想成9，那么總計(jì)最多就是78元?！军c(diǎn)評(píng)】：面對(duì)同一教學(xué)內(nèi)容，對(duì)比兩個(gè)教學(xué)情境，我們可以發(fā)現(xiàn)：讓學(xué)生能想到應(yīng)用“估算”是進(jìn)行估算教學(xué)的第一步，為此教師可以為學(xué)生創(chuàng)設(shè)生活化的情境。在教學(xué)時(shí)，教師要遵循學(xué)生認(rèn)知發(fā)展規(guī)律和心理特點(diǎn)設(shè)計(jì)適合學(xué)生思考的有效情境，給學(xué)生留有足夠的思考和探究空間。在情境一中，學(xué)生已經(jīng)有百以?xún)?nèi)的計(jì)算基礎(chǔ)，利用口算就能解決問(wèn)題。面對(duì)這樣的問(wèn)題，學(xué)生很難感受到估算的價(jià)值和必要性。在教師帶領(lǐng)下進(jìn)行的“偽估算”效果必定不好。情境二雖然只對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行很小的修改，但卻使學(xué)生充分感知了估算在生活中的作用，了解、體驗(yàn)、經(jīng)歷了估算的內(nèi)容、意義和方法。數(shù)學(xué)家弗賴(lài)登塔爾說(shuō)過(guò)：數(shù)學(xué)是現(xiàn)實(shí)的，學(xué)生從現(xiàn)實(shí)生活中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，再把學(xué)到的數(shù)學(xué)應(yīng)用到現(xiàn)實(shí)中去。可見(jiàn)，生活經(jīng)驗(yàn)是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。此教學(xué)過(guò)程充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，貫徹了數(shù)學(xué)教學(xué)要從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)的思想，使學(xué)生有運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際生活問(wèn)題的機(jī)會(huì)，有用數(shù)學(xué)的眼光觀察周?chē)澜绲臋C(jī)會(huì)，增強(qiáng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，從而培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的能力和實(shí)踐能力。二、估算課上的教師角色乘法估算案例（一）創(chuàng)設(shè)情境實(shí)例引入師：課前，請(qǐng)同學(xué)們調(diào)查我校三年級(jí)各班的人數(shù)。誰(shuí)來(lái)向大家介紹一下？生1：三（1）班有78人，三（2）班76人，三（3）班79人，三（4）班77人，三（5）班76人，三（6）班77人。師：根據(jù)這位同學(xué)匯報(bào)的結(jié)果，思考一下：三年級(jí)每個(gè)班大約有多少人，再估計(jì)一下整個(gè)三年級(jí)一共有多少名同學(xué)？生2：三年級(jí)每個(gè)班人數(shù)大約有80人，有6個(gè)班，所以三年級(jí)的總?cè)藬?shù)大約有480人。師：香蕉每千克1元8角，媽媽要買(mǎi)5千克，她帶多少錢(qián)合適？誰(shuí)來(lái)幫媽媽估計(jì)一下？生3：媽媽帶9元錢(qián)合適。因?yàn)?元8角×5=9元。生4：媽媽帶10元錢(qián)合適。因?yàn)?元8角接近2元，2元×5=10元。師：在這里，9元是一個(gè)準(zhǔn)確數(shù)，10元是一個(gè)近似數(shù)。平時(shí)，我們?cè)谫I(mǎi)東西之前，也需要像媽媽一樣先估計(jì)一下大約帶多少錢(qián)。這種計(jì)算不需要算得太精確，只要能方便地算出它的近似數(shù)就可以了。像這樣的計(jì)算就是估算。今天我們就來(lái)探究有關(guān)估算的知識(shí)。（板書(shū)：估算）（二）探究新知XX。（三）鞏固新知XX。（四）發(fā)展練習(xí)形成技能XX。（五）課堂小結(jié)（此處因篇幅受限，故省略）【評(píng)析】：此案例中，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，他們自己調(diào)查數(shù)據(jù)，并對(duì)自己調(diào)查的數(shù)據(jù)進(jìn)行估算，充分體驗(yàn)了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程。教學(xué)過(guò)程當(dāng)中，教師不斷地為學(xué)生提供合作交流的機(jī)會(huì)，不論是組內(nèi)交流還是全班交流，學(xué)生都在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上借鑒了其他同學(xué)的思想與方法，并在此過(guò)程中不斷完善自己的想法。教師提出的所有問(wèn)題，都是學(xué)生們通過(guò)自己的獨(dú)立思考、討論交流、分享總結(jié)這幾個(gè)環(huán)節(jié)解決的。新課程下，數(shù)學(xué)被看成是一項(xiàng)人類(lèi)活動(dòng)，學(xué)生在數(shù)學(xué)課上的學(xué)習(xí)就是在參與數(shù)學(xué)活動(dòng)。數(shù)學(xué)課堂的一切都要圍繞學(xué)生的活動(dòng)展開(kāi)，學(xué)生是活動(dòng)的主人。與之相隨的，就是教師的角色要發(fā)生改變，教師要從一個(gè)知識(shí)的傳授者轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生發(fā)展的促進(jìn)者。《課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“教師是數(shù)學(xué)活動(dòng)的組織者、引導(dǎo)者和合作者?！苯處煹淖饔?，特別要體現(xiàn)在引導(dǎo)學(xué)生思考和尋找眼前的問(wèn)題與自己已有的知識(shí)體驗(yàn)之間的關(guān)聯(lián)方面，在于提供把學(xué)生置于問(wèn)題情境之中的機(jī)會(huì)，在于營(yíng)造一個(gè)激勵(lì)探索和理解的氣氛，在于為學(xué)生提供有啟發(fā)性的討論模式。上面的案例中，教師就較好地處理了教師的角色和師生間的關(guān)系，成為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的組織者、引導(dǎo)者和合作者，對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)起到了良好的促進(jìn)作用。第三節(jié)教學(xué)機(jī)智一、加深認(rèn)識(shí)，轉(zhuǎn)變觀念傳統(tǒng)教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生形成了一些對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的不正確的觀念。有研究表明，許多學(xué)生不理解估算的內(nèi)涵、意義和目的，認(rèn)為估算得到的結(jié)果不如精算的結(jié)果好，認(rèn)為估算不是真正的數(shù)學(xué)，估算值不是要得到的最終答案，因而，他們總傾向于求出精確答案。例如，當(dāng)五年級(jí)的學(xué)生看到“估算56×28”這一題時(shí)，一些學(xué)生會(huì)試圖心算以得到精確答案。許多學(xué)生想得到所謂的“正確”答案，而忽視了估算的應(yīng)用。還有一些學(xué)生會(huì)寫(xiě)下算式，用紙、筆計(jì)算得出答案，然后再取積的近似值來(lái)得到估算的答案。這個(gè)過(guò)程當(dāng)然不是估算，教師也不應(yīng)該允許學(xué)生用這種計(jì)算后再取近似值的方法。學(xué)生不理解估算的內(nèi)涵、意義和目的，就不可能主動(dòng)運(yùn)用估算技能解決問(wèn)題。學(xué)生對(duì)估算的錯(cuò)誤態(tài)度是進(jìn)行估算教學(xué)的主要障礙，因?yàn)樗麄兺幌肟焖儆?jì)算出精確答案而忽略了估算。要提高學(xué)生的估算能力，教師首先要幫助學(xué)生理解估算的意義和目的，認(rèn)識(shí)估算的重要性。估算與精算的思維方式是不同的，許多好的估算者說(shuō)他們?cè)跀?shù)學(xué)課上從不估算，因?yàn)閿?shù)學(xué)課上總是要求得到精確答案。因此，估算教學(xué)的前提，是教師幫助學(xué)生轉(zhuǎn)變觀念，使他們認(rèn)識(shí)到估算是一種非常重要的能力。只有讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)，學(xué)生才會(huì)主動(dòng)使用估算策略解決問(wèn)題。觀念的轉(zhuǎn)變將會(huì)幫助學(xué)生轉(zhuǎn)變對(duì)估算的態(tài)度，增強(qiáng)學(xué)生的估算意識(shí)，促進(jìn)學(xué)生估算能力的提高。要轉(zhuǎn)變學(xué)生的關(guān)于估算的不正確的觀念，教師首先要對(duì)估算持有正確的理解。上圖是一幅選擇計(jì)算方法解決問(wèn)題的流程圖。從圖中我們可以看出：當(dāng)給定一個(gè)具體的問(wèn)題情境后，首先要確定是否需要計(jì)算，然后再根據(jù)題目的具體要求，確定適合的計(jì)算方法。如果這個(gè)情境不需要精確答案，可以使用估算，快速地算出大概范圍；如果需要精確答案，再根據(jù)題目特點(diǎn)考慮使用哪種精算的方法。從圖中我們還可以看出：估算與其他計(jì)算方法關(guān)系密切。即使用筆算、心算或借助計(jì)算器等算出精確答案，在計(jì)算之前或之后也需要估算一下答案的合理性與可靠性。教師不僅要對(duì)估算的內(nèi)涵、意義和目的有正確的認(rèn)識(shí)，而且在教學(xué)過(guò)程中，教師還要轉(zhuǎn)變角色?！墩n程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“教師是數(shù)學(xué)活動(dòng)的組織者、引導(dǎo)者和合作者?！痹诠浪憬虒W(xué)過(guò)程中，教師只有發(fā)揮好了組織者、引導(dǎo)者和合作者的作用，才能保護(hù)學(xué)生估算的熱情和主動(dòng)性。二、估算教學(xué)策略以下估算教學(xué)策略來(lái)自國(guó)外的研究。1.估計(jì)練習(xí)要提高學(xué)生的估算能力，首先要培養(yǎng)學(xué)生估計(jì)的能力。對(duì)于估算用途的介紹能夠幫助學(xué)生意識(shí)到估算的重要性，并且讓學(xué)生知道究竟哪些情況下需要估計(jì)，哪些情況下不能估計(jì)。例如，教師可以向?qū)W生提出的問(wèn)題，有的需要精確答案，如：“你家的電話號(hào)碼是多少?”而有些則不需要精確答案，大概接近就可以了如：“你多大了?”教師也可以用另外一種方法提問(wèn)，如下面哪種請(qǐng)求需要精確答案，哪種請(qǐng)求用精確答案來(lái)回答不實(shí)際？飛行員告訴我們正在多少千米的高空飛行？美國(guó)有多少人口？你的新車(chē)用的是哪種里程表？世界上最大的漢堡連鎖店從開(kāi)店到現(xiàn)在賣(mài)了多少個(gè)漢堡包了？一旦學(xué)生開(kāi)始注意估計(jì)的用途，他們很快會(huì)開(kāi)始思考其他的估計(jì)情境。估計(jì)的題目中通常有一些關(guān)鍵詞，學(xué)生能夠總結(jié)出一些，例如“幾乎、將近、大約、接近”等。這些基礎(chǔ)練習(xí)會(huì)有效地激發(fā)學(xué)生對(duì)估計(jì)的目的和作用的正確認(rèn)識(shí)。一旦這種認(rèn)識(shí)形成了，基本和有效的估計(jì)策略就可以開(kāi)始學(xué)習(xí)了。2.首位策略學(xué)生需要意識(shí)到在估算中，一個(gè)數(shù)中最重要的數(shù)字是首位（或最高位）數(shù)字，而不像筆算要從最低位開(kāi)始算起。要幫助學(xué)生明白這點(diǎn)，教師可以在黑板上寫(xiě)一個(gè)三位數(shù)，并用一張紙或一塊板子遮住，然后讓學(xué)生來(lái)猜這個(gè)數(shù)，看學(xué)生猜的能夠多么接近這個(gè)數(shù)。在猜之前，學(xué)生可以看到一個(gè)數(shù)字，這個(gè)數(shù)字是學(xué)生自己選擇的。在這個(gè)活動(dòng)中，會(huì)有一些學(xué)生選擇看百位數(shù)字，這個(gè)數(shù)字可以提供非常重要的信息（見(jiàn)圖2—2）；其他同學(xué)也許會(huì)要求看別的數(shù)字（見(jiàn)圖2—3）。在游戲之后，教師要引導(dǎo)學(xué)生討論在猜之前選擇看哪個(gè)數(shù)字更容易猜得接近？為什么？像這樣的練習(xí)能夠幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到首位數(shù)字是最有用的。如圖2—4，加法算式的一部分被遮住了，教師問(wèn)學(xué)生：“如果被遮住的部分不能看到，能計(jì)算出精確答案嗎?”學(xué)生可以展開(kāi)討論。既然首位數(shù)字可以看到，學(xué)生會(huì)進(jìn)行估算。例如，4+2+1=7，7是最后的答案嗎？很顯然，算式中的每個(gè)數(shù)都是三位數(shù)，因此，700是合理的估算結(jié)果。接下來(lái)，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)進(jìn)一步的討論，如，700是不是估多了？我們?cè)趺床拍艿玫礁咏拇鸢?？通過(guò)這種練習(xí)，學(xué)生將會(huì)掌握估計(jì)的方法與技巧。3.取近似值雖然取近似值與估算有著本質(zhì)的區(qū)別，但是培養(yǎng)學(xué)生取近似值的能力有助于培養(yǎng)學(xué)生的估算能力，因?yàn)楣浪愕牡谝徊骄褪且獙?fù)雜的數(shù)據(jù)簡(jiǎn)化，即取其近似值。同時(shí)，要加強(qiáng)學(xué)生心算乘數(shù)是10的乘法的能力，為估算奠定基礎(chǔ)。當(dāng)學(xué)生熟練掌握以上技巧后，教師要為學(xué)生提供交流和共享的機(jī)會(huì)。學(xué)生們都有自己獨(dú)特的估算方法，為學(xué)生提供交流的機(jī)會(huì)是非常重要的。值得注意的是，估算并不是給定策略的機(jī)械應(yīng)用，這也正是好的估算者與較差的估算者的一個(gè)重要區(qū)別，前者明顯地表現(xiàn)出思維的靈活性與策略的多樣性。有一個(gè)調(diào)查可以說(shuō)明此問(wèn)題。在一次對(duì)35個(gè)數(shù)學(xué)家進(jìn)行的測(cè)試中，僅就“546÷33.5”這樣一個(gè)問(wèn)題，被試就采用了22種不同的策略；而且，在幾個(gè)星期后對(duì)部分?jǐn)?shù)學(xué)家進(jìn)行的復(fù)試中，又有大約一半的人使用了與原來(lái)測(cè)試中完全不同的策略。《數(shù)學(xué)教與學(xué)研究手冊(cè)》中也寫(xiě)道：“好的估算者表現(xiàn)出了思維的靈活性，并能采用多種不同的策略，他們對(duì)數(shù)和運(yùn)算有深刻的理解，并能在估算中不斷地對(duì)此加以應(yīng)用?！币虼耍處熢诮淌诠浪悴呗缘耐瑫r(shí)，不要輕易否定學(xué)生的方法，要保護(hù)學(xué)生的獨(dú)特想法。三、估算評(píng)價(jià)方法對(duì)學(xué)生估算能力的評(píng)價(jià)是一個(gè)較難的問(wèn)題。當(dāng)教師出示卷子要求學(xué)生估算時(shí)，學(xué)生通常想用筆、紙快速計(jì)算出答案，然后再取近似值作為估算的答案。這個(gè)過(guò)程顯然不是估算。下面是幾個(gè)檢測(cè)學(xué)生估算水平時(shí)可采用的技巧：三、估算評(píng)價(jià)方法1.時(shí)間的控制估算每道題的時(shí)間必須嚴(yán)格控制。但是時(shí)間不能太長(zhǎng)，也不能太短。時(shí)間太長(zhǎng)學(xué)生將會(huì)有時(shí)間用紙、筆進(jìn)行計(jì)算，時(shí)間太短學(xué)生就會(huì)亂猜答案。要避免這兩個(gè)極端現(xiàn)象，可以找一些學(xué)生來(lái)試驗(yàn)，然后確定合適的時(shí)間。答題時(shí)間的長(zhǎng)短可以根據(jù)題目的復(fù)雜性和學(xué)生年級(jí)的高低進(jìn)行調(diào)整。2.問(wèn)題的設(shè)計(jì)估算測(cè)驗(yàn)的題目最好使用開(kāi)放題。估算的答案要在一個(gè)范圍內(nèi)，劃定這個(gè)答案范圍的有效方法是找到解決這個(gè)問(wèn)題的所有方法，然后找到最小值和最大值以確定范圍。例如，一箱罐頭賣(mài)47元，要買(mǎi)28箱，最小值1200是有局限性的，然而最大值1500能使估算者決定這些錢(qián)是否夠用。選擇題不適合用來(lái)測(cè)試學(xué)生的估算能力，研究表明學(xué)生對(duì)待選擇題和開(kāi)放題使用的方法和策略是不同的。也有證據(jù)表明，對(duì)于同一個(gè)問(wèn)題，分別用選擇題的形式和開(kāi)放題的形式呈現(xiàn)，其正確率是不同的。3.數(shù)據(jù)的選擇估算題目中的數(shù)據(jù)越復(fù)雜越好，這樣才能激發(fā)學(xué)生估算的欲望。問(wèn)題中的數(shù)據(jù)要讓學(xué)生明確感覺(jué)到?jīng)]有足夠的時(shí)間來(lái)精確計(jì)算，即便有時(shí)間，計(jì)算起來(lái)也將是一件苦差事。學(xué)生們已經(jīng)習(xí)慣了計(jì)算出精確答案，當(dāng)他們逐漸意識(shí)到快速得到一個(gè)近似答案是被老師接受的，他們的估算意識(shí)就會(huì)增強(qiáng)了。下面就舉一些適合的和不適合的例子。68×10很適合口算，然而68×12就需要估算了。像78+83這樣的問(wèn)題學(xué)生能夠很快地口算出來(lái)，但是783427+830224就能激發(fā)學(xué)生的估算欲望。大體上來(lái)說(shuō)，加法問(wèn)題應(yīng)該有兩個(gè)以上的加數(shù)或者加數(shù)是多位數(shù)（四位或更多）。4.創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境國(guó)外有研究表明，學(xué)生回答有問(wèn)題情境的題目的正確率明顯高于回答干巴巴的只有數(shù)字的算式題目。因此可以認(rèn)為，情境