2024高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題練三核心熱點(diǎn)突破專題三立體幾何第1講空間幾何體的表面積和體積含解析

PAGE第1講空間幾何體的表面積和體積高考定位簡潔幾何體的表面積與體積計(jì)算，主要以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn)，在解答題中，有時(shí)與空間線、面位置證明相結(jié)合，面積與體積的計(jì)算作為其中的一問.真題感悟1.(2024·全國Ⅰ卷)已知A，B，C為球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，⊙O1為△ABC的外接圓.若⊙O1的面積為4π，AB＝BC＝AC＝OO1，則球O的表面積為()A.64π B.48π C.36π D.32π解析如圖所示，設(shè)球O的半徑為R，⊙O1的半徑為r，因?yàn)椤袿1的面積為4π，所以4π＝πr2，解得r＝2，又AB＝BC＝AC＝OO1，所以eq\f(AB,sin60°)＝2r，解得AB＝2eq\r(3)，故OO1＝2eq\r(3)，所以R2＝OOeq\o\al(2,1)＋r2＝(2eq\r(3))2＋22＝16，所以球O的表面積S＝4πR2＝64π.故選A.答案A2.(2024·全國Ⅲ卷)已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為________.解析圓錐內(nèi)半徑最大的球即為圓錐的內(nèi)切球，設(shè)其半徑為r.作出圓錐的軸截面PAB，如圖所示，則△PAB的內(nèi)切圓為圓錐的內(nèi)切球的大圓.在△PAB中，PA＝PB＝3，D為AB的中點(diǎn)，AB＝2，E為切點(diǎn)，則PD＝2eq\r(2)，△PEO∽△PDB，故eq\f(PO,PB)＝eq\f(OE,DB)，即eq\f(2\r(2)－r,3)＝eq\f(r,1)，解得r＝eq\f(\r(2),2)，故內(nèi)切球的體積為eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(\r(2),3)π.答案eq\f(\r(2),3)π3.(2024·新高考山東卷)已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的棱長均為2，∠BAD＝60°.以D1為球心，eq\r(5)為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線長為__________.解析如圖，設(shè)B1C1的中點(diǎn)為E，球面與棱BB1，CC1的交點(diǎn)分別為P，Q，連接DB，D1B1，D1P，D1E，EP，EQ，由∠BAD＝60°，AB＝AD，知△ABD為等邊三角形，∴D1B1＝DB＝2，∴△D1B1C1為等邊三角形，則D1E＝eq\r(3)且D1E⊥平面BCC1B1，∴E為球面截側(cè)面BCC1B1所得截面圓的圓心，設(shè)截面圓的半徑為r，則r＝eq\r(Req\o\al(2,球)－D1E2)＝eq\r(5－3)＝eq\r(2).可得EP＝EQ＝eq\r(2)，∴球面與側(cè)面BCC1B1的交線為以E為圓心的圓弧PQ.又D1P＝eq\r(5)，∴B1P＝eq\r(D1P2－D1Beq\o\al(2,1))＝1，同理C1Q＝1，∴P，Q分別為BB1，CC1的中點(diǎn)，∴∠PEQ＝eq\f(π,2)，知eq\o(PQ,\s\up8(︵))的長為eq\f(π,2)×eq\r(2)＝eq\f(\r(2)π,2).答案eq\f(\r(2)π,2)4.(2024·全國Ⅱ卷)中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形態(tài)多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形態(tài)是“半正多面體”(圖①).半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.圖②是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體，它的全部頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長為1，則該半正多面體共有________個(gè)面，其棱長為________.解析依題意知，題中的半正多面體的上部分有9個(gè)面，中間部分有8個(gè)面，下部分為9個(gè)面，共有9＋8＋9＝26(個(gè))面，因此題中的半正多面體共有26個(gè)面.留意到該半正多面體的俯視圖的輪廓是一個(gè)正八邊形，設(shè)題中的半正多面體的棱長為x，則eq\f(\r(2),2)x＋x＋eq\f(\r(2),2)x＝1，解得x＝eq\r(2)－1，故題中的半正多面體的棱長為eq\r(2)－1.答案26eq\r(2)－1考點(diǎn)整合1.空間幾何體的兩組常用公式(1)柱體、錐體、臺體、球的表面積公式：①圓柱的表面積S＝2πr(r＋l)；②圓錐的表面積S＝πr(r＋l)；③圓臺的表面積S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)；④球的表面積S＝4πR2.(2)柱體、錐體和球的體積公式：①V柱體＝Sh(S為底面面積，h為高)；②V錐體＝eq\f(1,3)Sh(S為底面面積，h為高)；③V球＝eq\f(4,3)πR3.2.球的簡潔組合體中幾何體度量之間的關(guān)系，如棱長為a的正方體的外接球、內(nèi)切球、棱切球的半徑分別為eq\f(\r(3),2)a，eq\f(a,2)，eq\f(\r(2),2)a.熱點(diǎn)一空間幾何體的表面積【例1】(1)如圖所示的幾何體是從棱長為2的正方體中截去以正方體的某個(gè)頂點(diǎn)為球心，2為半徑的eq\f(1,8)球體后的剩余部分，則該幾何體的表面積為()A.24－3π B.24－πC.24＋π D.24＋5π(2)(多選題)等腰直角三角形的直角邊長為1，現(xiàn)將該三角形繞其某一邊旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的幾何體的表面積可以為()A.eq\r(2)π B.(1＋eq\r(2))πC.2eq\r(2)π D.(2＋eq\r(2))π解析(1)由題意知該幾何體的表面積S＝6×22－3×eq\f(1,4)×π×22＋eq\f(1,8)×4×π×22＝24－π.故選B.(2)假如是繞直角邊旋轉(zhuǎn)，則形成圓錐，圓錐底面半徑為1，高為1，母線就是直角三角形的斜邊，長為eq\r(2)，所以所形成的幾何體的表面積S＝π×1×eq\r(2)＋π×12＝(eq\r(2)＋1)π.假如繞斜邊旋轉(zhuǎn)，則形成的是上、下兩個(gè)圓錐，圓錐的半徑是直角三角形斜邊上的高eq\f(\r(2),2)，兩個(gè)圓錐的母線都是直角三角形的直角邊，母線長是1，所以形成的幾何體的表面積S′＝2×π×eq\f(\r(2),2)×1＝eq\r(2)π.綜上可知，形成幾何體的表面積是(eq\r(2)＋1)π或eq\r(2)π.故選AB.答案(1)B(2)AB探究提高1.求空間幾何體的表面積，首先要駕馭幾何體的表面積公式，其次把不規(guī)則幾何體分割成幾個(gè)規(guī)則的幾何體.2.(1)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和；組合體的表面積留意連接部分的處理.(2)旋轉(zhuǎn)體的表面積問題留意其側(cè)面綻開圖的應(yīng)用.【訓(xùn)練1】(1)已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為()A.12eq\r(2)π B.12πC.8eq\r(2)π D.10π(2)(2024·衡水金卷)一個(gè)圓錐的軸截面是邊長為4的等邊三角形，在該圓錐中有一個(gè)內(nèi)接圓柱(下底面在圓錐底面上，上底面的圓周在圓錐側(cè)面上)，則當(dāng)該圓柱側(cè)面積取最大值時(shí)，該圓柱的高為()A.1 B.2 C.3 D.eq\r(3)解析(1)因?yàn)檫^直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，所以圓柱的高為2eq\r(2)，底面圓的直徑為2eq\r(2).所以S表面積＝2×π×(eq\r(2))2＋2π×eq\r(2)×2eq\r(2)＝12π.(2)如圖，設(shè)圓柱底面半徑為r(0＜r＜2)，高為h，則eq\f(h,4sin60°)＝eq\f(2－r,2)，即h＝eq\r(3)(2－r)，其側(cè)面積為S＝2eq\r(3)πr(2－r)＝2eq\r(3)π(－r2＋2r)，依據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)，當(dāng)r＝1時(shí)，側(cè)面積取得最大值，此時(shí)h＝eq\r(3).答案(1)B(2)D熱點(diǎn)二空間幾何體的體積【例2】(1)(2024·濟(jì)南模擬)已知三棱錐S－ABC中，∠SAB＝∠ABC＝eq\f(π,2)，SB＝4，SC＝2eq\r(13)，AB＝2，BC＝6，則三棱錐S－ABC的體積是()A.4 B.6 C.4eq\r(3) D.6eq\r(3)(2)(2024·長沙模擬)如圖，在四面體PBCD中，點(diǎn)A是CD的中點(diǎn)，PA＝AD，△ABC為等邊三角形，邊長為6，PB＝8，PC＝10，則△PBD的面積為________，四面體PABC的體積為________.解析(1)∵∠ABC＝eq\f(π,2)，AB＝2，BC＝6，∴AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝eq\r(22＋62)＝2eq\r(10).∵∠SAB＝eq\f(π,2)，AB＝2，SB＝4，∴AS＝eq\r(SB2－AB2)＝eq\r(42－22)＝2eq\r(3).由SC＝2eq\r(13)，得AC2＋AS2＝SC2，∴AC⊥AS.又∵SA⊥AB，AC∩AB＝A，∴AS⊥平面ABC，∴AS為三棱錐S－ABC的高，∴V三棱錐S－ABC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×6×2eq\r(3)＝4eq\r(3).故選C.(2)因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形，邊長為6，點(diǎn)A為CD的中點(diǎn)，所以AD＝AB＝6，所以△ADB為等腰三角形.又∠DAB＝180°－∠CAB＝120°，所以∠ADB＝eq\f(1,2)(180°－120°)＝30°，所以∠ADB＋∠DCB＝90°，所以∠DBC＝90°，所以CB⊥DB，所以DB＝eq\r(CD2－BC2)＝eq\r(144－36)＝6eq\r(3).因?yàn)镻B＝8，PC＝10，BC＝6，所以PC2＝PB2＋BC2，所以CB⊥PB.又DB∩PB＝B，DB?平面PBD，PB?平面PBD，所以CB⊥平面PBD.因?yàn)镈A＝AC＝AP＝6，所以△PDC為直角三角形，且∠DPC＝90°，所以PD＝eq\r(CD2－PC2)＝eq\r(144－100)＝2eq\r(11).又DB＝6eq\r(3)，PB＝8，所以DB2＝PD2＋PB2，即△PBD為直角三角形，所以S△PBD＝eq\f(1,2)×8×2eq\r(11)＝8eq\r(11).因?yàn)辄c(diǎn)A為DC的中點(diǎn)，所以VP－ABC＝eq\f(1,2)VP－CBD＝eq\f(1,2)VC－PBD＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×S△PBD×CB＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×8eq\r(11)×6＝8eq\r(11)，即四面體PABC的體積為8eq\r(11).答案(1)C(2)8eq\r(11)8eq\r(11)探究提高1.求三棱錐的體積：等體積轉(zhuǎn)化是常用的方法，轉(zhuǎn)換原則是其高易求，底面放在已知幾何體的某一面上.2.求不規(guī)則幾何體的體積：常用分割或補(bǔ)形的思想，將不規(guī)則幾何體轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體以易于求解.【訓(xùn)練2】(1)已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為()A.π B.eq\f(3π,4) C.eq\f(π,2) D.eq\f(π,4)(2)(2024·東北三校一聯(lián))如圖，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，ED⊥平面ABCD，F(xiàn)C⊥平面ABCD，ED＝2FC＝2，則四面體ABEF的體積為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(2,3) C.1 D.eq\f(4,3)解析如圖畫出圓柱的軸截面ABCD，O為球心.球半徑R＝OA＝1，球心究竟面圓的距離為OM＝eq\f(1,2).∴底面圓半徑r＝AM＝eq\r(OA2－OM2)＝eq\f(\r(3),2)，故圓柱體積V＝π·r2·h＝π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))eq\s\up12(2)×1＝eq\f(3π,4).(2)∵ED⊥平面ABCD且AD?平面ABCD，∴ED⊥AD.∵在正方形ABCD中，AD⊥DC，而DC∩ED＝D，∴AD⊥平面CDEF.易知FC＝eq\f(ED,2)＝1，VA－BEF＝VABCDEF－VF－ABCD－VA－DEF.∵VE－ABCD＝ED×S正方形ABCD×eq\f(1,3)＝2×2×2×eq\f(1,3)＝eq\f(8,3)，VB－EFC＝BC×S△EFC×eq\f(1,3)＝2×2×1×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)，∴VABCDEF＝eq\f(8,3)＋eq\f(2,3)＝eq\f(10,3).又VF－ABCD＝FC×S正方形ABCD×eq\f(1,3)＝1×2×2×eq\f(1,3)＝eq\f(4,3)，VA－DEF＝AD×S△DEF×eq\f(1,3)＝2×2×2×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(4,3)，VA－BEF＝eq\f(10,3)－eq\f(4,3)－eq\f(4,3)＝eq\f(2,3).故選B.答案(1)B(2)B熱點(diǎn)三多面體與球的切、接問題【例3】(1)在封閉的直三棱柱ABC－A1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球.若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，則V的最大值是()A.4π B.eq\f(9π,2) C.6π D.eq\f(32π,3)(2)在《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬.如圖，若四棱錐P－ABCD為陽馬，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，且PA＝3，BC＝AB＝4，設(shè)該陽馬的外接球半徑為R，內(nèi)切球半徑為r，則R＝________；內(nèi)切球的體積V＝________.解析(1)由AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，得AC＝10.要使球的體積V最大，則球與直三棱柱的部分面相切，若球與三個(gè)側(cè)面相切，設(shè)底面△ABC的內(nèi)切圓的半徑為r.則eq\f(1,2)×6×8＝eq\f(1,2)×(6＋8＋10)·r，所以r＝2.∴2r＝4＞3不合題意.球與三棱柱的上、下底面相切時(shí)，球的半徑R最大.由2R＝3，即R＝eq\f(3,2).故球的最大體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(9,2)π.(2)在四棱錐P－ABCD中，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，且底面為矩形，將該“陽馬”補(bǔ)成長方體，則(2R)2＝AB2＋AD2＋AP2＝16＋16＋9＝41，因此R＝eq\f(\r(41),2).依題意Rt△PAB≌Rt△PAD，則內(nèi)切球O在側(cè)面PAD內(nèi)的正視圖是△PAD的內(nèi)切圓，故內(nèi)切球的半徑r＝eq\f(1,2)(3＋4－5)＝1，則V＝eq\f(4,3)πr3＝eq\f(4,3)π.答案(1)B(2)eq\f(\r(41),2)eq\f(4,3)π探究提高1.與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接.球與旋轉(zhuǎn)體的組合通常是作它們的軸截面解題，球與多面體的組合，通過多面體的一條側(cè)棱和球心，或“切點(diǎn)”、“接點(diǎn)”作出截面圖，把空間問題化歸為平面問題.2.若球面上四點(diǎn)P，A，B，C且PA，PB，PC兩兩垂直或三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，可構(gòu)造長方體或正方體確定直徑解決外接問題.【訓(xùn)練3】(1)(2024·太原模擬)如圖所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC是等腰直角三角形，AB＝BC＝1，點(diǎn)D為側(cè)棱BB1上的動(dòng)點(diǎn).若△ADC1周長的最小值為eq\r(3)＋eq\r(5)，則三棱錐C1－ABC的外接球的體積為()A.2π B.eq\f(\r(3),2)π C.eq\f(5π,2) D.3π(2)(2024·煙臺診斷)已知點(diǎn)A，B，C在半徑為2的球面上，滿意AB＝AC＝1，BC＝eq\r(3)，若S是球面上隨意一點(diǎn)，則三棱錐S－ABC體積的最大值為________.解析(1)將側(cè)面ABB1A1和側(cè)面BCC1B1綻開在同一平面內(nèi)，示意圖如圖所示，易知當(dāng)D為側(cè)棱BB1的中點(diǎn)時(shí)，△ADC1的周長最小，此時(shí)設(shè)BD＝x(x＞0)，則2eq\r(1＋x2)＋eq\r(2＋4x2)＝eq\r(3)＋eq\r(5)，解得x＝eq\f(1,2)，所以CC1＝1，AC1＝eq\r(3).又三棱錐C1－ABC的外接球的球心為AC1的中點(diǎn)，所以外接球的半徑R＝eq\f(\r(3),2)，于是三棱錐C1－ABC的外接球的體積為V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(\r(3),2)π.(2)設(shè)球心為O，△ABC的外心為D，則OD⊥平面ABC.在△ABC中，由余弦定理，得cosA＝eq\f(12＋12－（\r(3)）2,2×1×1)＝－eq\f(1,2)，則sinA＝eq\f(\r(3),2).所以S△ABC＝eq\f(1,2)AB·ACsinA＝eq\f(1,2)×1×1×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),4)，且△ABC的外接圓半徑DA＝eq\f(BC,2sinA)＝eq\f(\r(3),2×\f(\r(3),2))＝1.因此在Rt△OAD中，OD＝eq\r(OA2－DA2)＝eq\r(22－12)＝eq\r(3).當(dāng)三棱錐S－ABC的高最大時(shí)，三棱錐S－ABC的體積取最大值，而三棱錐S－ABC的高的最大值為eq\r(3)＋2，所以三棱錐S－ABC的體積的最大值為eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(3)＋2)＝eq\f(3＋2\r(3),12).答案(1)B(2)eq\f(3＋2\r(3),12)A級鞏固提升一、選擇題1.母線長為5的圓錐的側(cè)面綻開圖的圓心角等于eq\f(8π,5)，則該圓錐的體積為()A.16π B.8π C.eq\f(16π,3) D.eq\f(8π,3)解析∵母線長為5的圓錐的側(cè)面綻開圖的圓心角等于eq\f(8π,5)，∴側(cè)面綻開圖的弧長為5×eq\f(8π,5)＝8π，設(shè)底面圓半徑為r，弧長8π＝底面周長＝2πr，∴r＝4，∴圓錐的高h(yuǎn)＝eq\r(52－42)＝3，∴圓錐體積V＝eq\f(1,3)×π×r2×h＝16π.答案A2.(2024·全國百校聯(lián)考)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝BB1＝1，M是AC的中點(diǎn)，則三棱錐B1－ABM的外接球的表面積為()A.eq\f(3,2)π B.2π C.eq\f(5,4)π D.eq\f(9,8)π解析取AB的中點(diǎn)D，取B1A1的中點(diǎn)D1，連接DD1，設(shè)O是線段DD1的中點(diǎn)，在△ABC中，AB⊥BC，AB＝BC，M為AC中點(diǎn)，∴BM⊥AC.因此BD＝DM＝DA＝D1B1，從而OB1＝OB＝OA＝OM，故O為三棱錐B1－ABM的外接球心，∴R2＝OB2＝OD2＋BD2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,2)，故三棱錐外接球的表面積S＝4πR2＝2π.答案B3.(2024·濟(jì)南檢測)已知球O是三棱錐P－ABC的外接球，PA＝AB＝PB＝AC＝2，CP＝2eq\r(2)，點(diǎn)D是PB的中點(diǎn)，且CD＝eq\r(7)，則球O的體積為()A.eq\f(28π,3) B.eq\f(14π,3)C.eq\f(28\r(21)π,27) D.eq\f(16π,3)解析依題意，由PA＝AC＝2，CP＝2eq\r(2)，得AP⊥AC.連接AD，由點(diǎn)D是PB的中點(diǎn)且PA＝AB＝PB＝2，得AD＝eq\r(3)，又CD＝eq\r(7)，AC＝2，可知AD⊥AC，又AP∩AD＝A，AP?平面PAB，AD?平面PAB，所以AC⊥平面PAB.以△PAB為底面，AC為側(cè)棱補(bǔ)成一個(gè)直三棱柱，則球O是該三棱柱的外接球，球心O究竟面△PAB的距離d＝eq\f(1,2)AC＝1.由正弦定理得△PAB的外接圓半徑r＝eq\f(PA,2sin60°)＝eq\f(2,\r(3))，所以球O的半徑R＝eq\r(d2＋r2)＝eq\r(\f(7,3)).故球O的體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×eq\f(7,3)×eq\r(\f(7,3))＝eq\f(28\r(21),27)π.答案C4.(多選題)如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，線段B1D1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)，且EF＝eq\f(1,2)，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()A.AC⊥AFB.EF∥平面ABCDC.三棱錐A－BEF的體積為定值D.△AEF的面積與△BEF的面積相等解析由題意及圖形知，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)B1重合時(shí)，∠CAF＝60°，故A錯(cuò)誤；由正方體ABCD－A1B1C1D1的兩個(gè)底面平行，EF?平面A1B1C1D1，知EF∥平面ABCD，故B正確；由幾何體的性質(zhì)及圖形知，三角形BEF的面積是定值，點(diǎn)A到平面DD1B1B的距離是定值，故可得三棱錐A－BEF的體積為定值，故C正確；由圖形可以看出，B到直線EF的距離與A與直線EF的距離不相等，故△AEF的面積與△BEF的面積不相等，故D錯(cuò)誤.故選AD.答案AD5.(多選題)長方體ABCD－A1B1C1D1的長、寬、高分別為3，2，1，則()A.長方體的表面積為20B.長方體的體積為6C.沿長方體的表面從A到C1的最短距離為3eq\r(2)D.沿長方體的表面從A到C1的最短距離為2eq\r(5)解析長方體的表面積為2×(3×2＋3×1＋2×1)＝22，A錯(cuò)誤.長方體的體積為3×2×1＝6，B正確.如圖1所示，長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，BB1＝1，將側(cè)面ABB1A1和側(cè)面BCC1B1綻開，如圖2所示.連接AC1，則有AC1＝eq\r(52＋12)＝eq\r(26)，即經(jīng)過側(cè)面ABB1A1和側(cè)面BCC1B1時(shí)，A到C1的最短距離是eq\r(26)；將側(cè)面ABB1A1和底面A1B1C1D1綻開，如圖3所示，連接AC1，則有AC1＝eq\r(32＋32)＝3eq\r(2)，即經(jīng)過側(cè)面ABB1A1和底面A1B1C1D1時(shí)，A到C1的最短距離是3eq\r(2)；將側(cè)面ADD1A1和底面A1B1C1D1綻開，如圖4所示.連接AC1，則有AC1＝eq\r(42＋22)＝2eq\r(5)，即經(jīng)過側(cè)面ADD1A1和底面A1B1C1D1時(shí)，A到C1的最短距離是2eq\r(5).因?yàn)?eq\r(2)<2eq\r(5)<eq\r(26)，所以沿長方體表面由A到C1的最短距離是3eq\r(2)，C正確，D錯(cuò)誤.故選BC.答案BC二、填空題6.(2024·浙江卷)已知圓錐的側(cè)面積(單位：cm2)為2π，且它的側(cè)面綻開圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐的底面半徑(單位：cm)是__________.解析如圖，設(shè)圓錐的母線長為l，底面半徑為r，則圓錐的側(cè)面積S側(cè)＝πrl＝2π，即r·l＝2.由于側(cè)面綻開圖為半圓，可知eq\f(1,2)πl(wèi)2＝2π，可得l＝2，因此r＝1.答案17.如圖，已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，則四棱錐A1－BB1D1D的體積為________.解析法一連接A1C1交B1D1于點(diǎn)E，則A1E⊥B1D1，A1E⊥BB1，則A1E⊥平面BB1D1D，所以A1E為四棱錐A1－BB1D1D的高，且A1E＝eq\f(\r(2),2)，矩形BB1D1D的長和寬分別為eq\r(2)，1，故VA1－BB1D1D＝eq\f(1,3)×1×eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,3).法二連接BD1，將四棱錐A1－BB1D1D分成兩個(gè)三棱錐B－A1DD1與B－A1B1D1，VA1－BB1D1D＝VB－A1DD1＋VB－A1B1D1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,3).答案eq\f(1,3)8.(2024·沈陽一監(jiān))農(nóng)歷五月初五是端午節(jié)，民間有吃粽子的習(xí)俗，粽子又稱“粽籺”，故稱“角黍”，是端午節(jié)大家都會(huì)品嘗的食品，傳聞這是為了紀(jì)念戰(zhàn)國時(shí)期楚國大臣、愛國主義詩人屈原.如圖(1)的平行四邊形形態(tài)的紙片是由六個(gè)邊長為1的正三角形組成的，將它沿虛線折起來，可以得到如圖(2)的粽子形態(tài)的六面體，則該六面體的體積為________；若該六面體內(nèi)有一球，則該球的體積的最大值為________.解析由對稱性可知該六面體是由兩個(gè)全等的正四面體合成的，正四面體的棱長為1，則正四面體的高為eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(6),3)，所以正四面體的體積為eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(6),3)＝eq\f(\r(2),12).因?yàn)樵摿骟w的體積是正四面體體積的2倍，所以該六面體的體積是eq\f(\r(2),6).要使球的體積達(dá)到最大，則球與該六面體的六個(gè)面都要相切.連接球心和六面體的五個(gè)頂點(diǎn)，把六面體分成了六個(gè)全等的三棱錐.設(shè)球的半徑為R，則eq\f(\r(2),6)＝6×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)×\f(1,2)×1×\f(\r(3),2)×R))，解得R＝eq\f(\r(6),9)，所以球的體積V＝eq\f(4π,3)R3＝eq\f(4π,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),9)))eq\s\up12(3)＝eq\f(8\r(6)π,729).答案eq\f(\r(2),6)eq\f(8\r(6)π,729)三、解答題9.(2024·全國Ⅰ卷)如圖，D為圓錐的頂點(diǎn)，O是圓錐底面的圓心，△ABC是底面的內(nèi)接正三角形，P為DO上一點(diǎn)，∠APC＝90°.(1)證明：平面PAB⊥平面PAC；(2)設(shè)DO＝eq\r(2)，圓錐的側(cè)面積為eq\r(3)π，求三棱錐P－ABC的體積.(1)證明由題設(shè)可知，PA＝PB＝PC.由△ABC是正三角形，可得△PAC≌△PAB，△PAC≌△PBC.又∠APC＝90°，故∠APB＝90°，∠BPC＝90°.從而PB⊥PA，PB⊥PC，又PA，PC?平面PAC，PA∩PC＝P，故PB⊥平面PAC，又PB?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC.(2)解設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長為l，由題設(shè)可得rl＝eq\r(3)，l2－r2＝2，解得r＝1，l＝eq\r(3).從而AB＝eq\r(3).由(1)可得PA2＋PB2＝AB2，故PA＝PB＝PC＝eq\f(\r(6),2).所以三棱錐P－ABC的體積為eq\f(1,3)·eq\f(1,2)·PA·PB·PC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(\r(6),8).10.如圖，在四棱錐P－ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，PA＝PB，AD∥BC，AB＝AC，AD＝eq\f(1,2)BC＝1，PD＝3，∠BAD＝120°，M為PC的中點(diǎn).(1)證明：DM∥平面PAB；(2)求四面體MABD的體積.(1)證明取PB中點(diǎn)N，連接MN，AN.∵M(jìn)為PC的中點(diǎn)，∴MN∥BC且MN＝eq\f(1,2)BC，又AD∥BC，且AD＝eq\f(1,2)BC，得MN綉AD.∴ADMN為平行四邊形，∴DM∥AN.又AN?平面PAB，DM?平面PAB，∴DM∥平面PAB.(2)解取AB中點(diǎn)O，連接PO，∵PA＝PB，∴PO⊥AB，又∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，PO?平面PAB，則PO⊥平面ABCD，取BC中點(diǎn)H，連接AH，∵AB＝AC，∴AH⊥BC，又∵AD∥BC，∠BAD＝120°，∴∠ABC＝60°，Rt△ABH中，BH＝eq\f