2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第2章一元二次函數(shù)方程和不等式2.2第2課時基本不等式的實際應(yīng)用鞏固練習(xí)含解析新人教A版必修第一冊

PAGE第2課時基本不等式的實際應(yīng)用課后訓(xùn)練鞏固提升A組1.當x<0時,y=12x+4x的最大值為(A.-4 B.-8 C.-83 D.-16解析:∵x<0,∴-x>0,∴y=--12x+(-4x)≤答案:C2.函數(shù)y=xx+1的最大值為(A.25 B.12 C.22解析:當x=0時,y=0;當x>0時,x+1≥2x>0,則y≤x2x=12,當且僅當x=故函數(shù)y=xx+1的最大值為答案:B3.當a>0時,關(guān)于代數(shù)式2aa2+1,A.有最大值無最小值 B.有最小值無最大值C.有最小值也有最大值 D.無最小值也無最大值解析:∵a>0,∴2aa2+1=2a+1a≤22a·1a=1,當且僅當a=1答案:A4.某汽車運輸公司購買了一批豪華大客車并將其投入營運,據(jù)市場分析,每輛客車營運的總利潤y(單位:萬元)與營運年數(shù)x的函數(shù)關(guān)系為y=-(x-6)2+11(x∈N*),則營運的年平均利潤最大時,每輛客車的營運年數(shù)為()A.3 B.4 C.5 D.6解析:由題意可知,yx=-x+25x+12≤-2x×25x+12,當且僅當x=25x時,等號成立答案:C5.若對x>0,y>0,有(x+2y)2x+1y≥m恒成立,則mA.m≤8 B.m>8 C.m<0 D.m≤4解析:∵(x+2y)2x+1y=2+4yx+xy+2≥4+答案:A6.若函數(shù)y=x+1x-2(x>2)在x=a處取最小值,則a=解析:y=x+1x-2=x-2+1∵x>2,∴x-2>0.∴y=x-2+1x-2+2≥2(x當且僅當x-2=1x-2,即x=3時,“=又y在x=a處取最小值,∴a=3.答案:37.已知a>0,b>0,1a+2b=2,則a+2b解析:∵a>0,b>0,1a+∴a+2b=12(a+2b)1a+2b=125+2ba+2ab≥12(5+4)=92,當且僅當2ba=2a答案:98.在4×□+9×□=60的兩個□中,分別填入兩個自然數(shù),使它們的倒數(shù)和最小,應(yīng)分別填上和.

解析:設(shè)兩數(shù)為x,y,即4x+9y=60,1x+1y=1x+1當且僅當4xy=9yx,且4x+9y=60,即x=6,且y=4時答案:649.(1)求函數(shù)y=14x-5+4(2)求函數(shù)y=x(a-2x)(x>0,a為大于2x的常數(shù))的最大值;(3)已知x>0,y>0,且1x+9y=1,解:(1)∵x>54,4x-5>∴y=14x-5+4x=14x-5當且僅當4x-5=14x-5,即x=3∴y的最小值為7.(2)∵x>0,a>2x,∴y=x(a-2x)=12·2x·(a-2x)≤1當且僅當x=a4時取等號,∴y的最大值為a(3)方法一:∵1x+∴x+y=(x+y)1x+9y=∵x>0,y>0,∴yx+9xy≥當且僅當yx=9xy,即y=3又1x+9y=1,∴x=∴當x=4,y=12時,x+y取最小值16.方法二:由1x+9y=1,∵x>0,y>0,∴y>9.x+y=yy-9+y=y+y-9+9y-9=y+9y-9∵y>9,∴y-9>0,∴y-9+9y-9+10≥2(y當且僅當y-9=9y-9,即y=12時又1x+9y=1,∴當x=4,y=12時,x+y取最小值16.10.某房地產(chǎn)開發(fā)公司安排在一樓區(qū)內(nèi)建立一個長方形公園ABCD,公園由形態(tài)為長方形A1B1C1D1的休閑區(qū)和環(huán)公園人行道(陰影部分)組成.已知休閑區(qū)A1B1C1D1的面積為4000平方米,人行道的寬分別為4米和10米(如圖所示).(1)若設(shè)休閑區(qū)的長和寬的比|A1B1||B1C1|=x(2)要使公園所占面積最小,休閑區(qū)A1B1C1D1的長和寬該如何設(shè)計?解:(1)設(shè)休閑區(qū)的寬為a米,則長為ax米,由a2x=4000,得a=2010則S=(a+8)(ax+20)=a2x+(8x+20)a+160=4000+(8x+20)·2010x=80102x+5x(2)80102x+5x+4160≥8010=1600+4160=5760.當且僅當2x=5x,即x=2.5時,等號成立,此時a=40,所以要使公園所占面積最小,休閑區(qū)A1B1C1D1應(yīng)設(shè)計為長100米,寬40米.B組1.若a>0,b>0,且a+b=4,則下列不等式恒成立的是()A.1ab≤14 B.1a+1b≤1 C.ab≥2解析:4=a+b≥2ab(當且僅當a=b時,等號成立),即ab≤2,ab≤4,故1ab≥14,1a+1b=aa2+b2=(a+b)2-2ab=16-2ab≥8,選項D成立.答案:D2.已知x,y>0,x+y=1,若4xy<t恒成立,則實數(shù)t的取值范圍是()A.t>1 B.t<1 C.t<2 D.t>2解析:由基本不等式,得4xy≤4·x+y22=1,當且僅當x=y=12時,等號成立,所以4xy的最大值為因此實數(shù)t的取值范圍是t>1.答案:A3.若正數(shù)x,y滿意x+3y=5xy,則3x+4y的最小值是()A.245 B.285 C.5 D解析:由x+3y=5xy可得15y+35x=1,所以3x+4y=(3x+4y)15y+35x=9故3x+4y的最小值是5.答案:C4.已知正數(shù)x,y滿意x2+2xy-3=0,則2x+y的最小值是()A.1 B.3 C.6 D.12解析:∵x2+2xy-3=0,∴y=3-∴2x+y=2x+3-x22x=當且僅當3x2=32x,即答案:B5.函數(shù)y=x2+2x+2x+1(解析:由題意得,y=(x+1)2+1x+1=(x+1)+1x+1≥2,答案:(0,2)6.設(shè)a>1,b>0,若a+b=2,則2a-1+解析:由a>1,b>0,且a+b=2,得a-1+b=1,a-1>0,b>0,則2a-1+1b=2a-1+1b[(a-1)+b]=當且僅當2ba-1=a-1b,且a+b=2,即a=3-2,b=答案:3+227.已知正常數(shù)a,b和正變數(shù)x,y滿意a+b=10,ax+by=1,x+y的最小值是18,求a解:∵x+y=(x+y)ax+by=a+b+bxy+ayx≥a+b+2ab=(a+b)又a+b=10,∴a=2,b=8或a=8,b=2.8.某企業(yè)打算投入適當?shù)膹V告費對產(chǎn)品進行促銷,在一年內(nèi)預(yù)料銷售量Q(單位:萬件)與廣告費x(單位:萬元)之間的函數(shù)關(guān)系為Q=3x+1x+1(x≥0).已知生產(chǎn)此產(chǎn)品的年固定投入為3萬元,每生產(chǎn)1萬件此產(chǎn)品仍需再投入32萬元.若每件產(chǎn)品的銷售價為“年平均每件產(chǎn)品的生產(chǎn)成本的150%”與“年平均每件產(chǎn)品所占廣告費的(1)試將年利潤W(單位:萬元)表示為年廣告費x(單位:萬元)的函數(shù);(2)當年廣告費投入多少萬元時,企業(yè)年利潤最大?最大利潤為多少?解:(1)由題意可得,產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為(32Q+3)萬元,每件銷售價為32Q+3Q×150%+所以年銷售收入為32Q+3Q×150%+xQ×5