26麥克斯韋速率分布率玻爾茲曼分布定律

一.分布的概念氣體系統(tǒng)是由大量分子組成，而各分子的速率通過碰撞不斷地改變，不可能逐個加以描述,只能給出分子數(shù)按速率的分布?！栴}的提出·分布的概念例如學生人數(shù)按年齡的分布

年齡15~1617~18

19~20

21~22人數(shù)按年齡的分布

2000

3000

4000

1000

人數(shù)比率按年齡的分布

20%

30%

40%

10%§9.5麥克斯韋速率分布定律

速率v1

～v2

v2

～v3

…

vi

～vi+Δv

…分子數(shù)按速率的分布

ΔN1

ΔN2…

ΔNi…

分子數(shù)比率按速率的分布ΔN1/N

ΔN2/N…

ΔNi/N…例如氣體分子按速率的分布｛ΔNi｝就是分子數(shù)按速率的分布數(shù)二.速率分布函數(shù)f(v)

設(shè)某系統(tǒng)處于平衡態(tài)下，

總分子數(shù)為

N

，則在v～v+dv

區(qū)間內(nèi)分子數(shù)的比率為單位速率區(qū)間內(nèi)分子數(shù)的比率稱為速率分布函數(shù)意義：分布在速率v

附近單位速率間隔內(nèi)的分子數(shù)與總分子數(shù)的比率。三.氣體速率分布的實驗測定1.實驗裝置2.測量原理(1)能通過細槽到達檢測器D

的分子所滿足的條件通過改變角速度ω的大小，選擇速率v

(3)通過細槽的寬度，選擇不同的速率區(qū)間(4)沉積在檢測器上相應(yīng)的金屬層厚度必定正比相應(yīng)速率下的分子數(shù)四.麥克斯韋速率分布定律理想氣體在平衡態(tài)下分子的速率分布函數(shù)(麥克斯韋速率分布函數(shù))式中μ為分子質(zhì)量，T為氣體熱力學溫度，

k為玻耳茲曼常量k=1.38×10-23J/K1.麥克斯韋速率分布定律說明(1)從統(tǒng)計的概念來看講速率恰好等于某一值的分子數(shù)多少，是沒有意義的。(2)麥克斯韋速率分布定律對處于平衡態(tài)下的混合氣體的各組分分別適用。(3)在通常情況下實際氣體分子的速率分布和麥克斯韋速率分布能很好的符合。理想氣體在平衡態(tài)下，氣體中分子速率在v～v+dv

區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)與總分子數(shù)的比率為這一規(guī)律稱為麥克斯韋速率分布定律2.麥克斯韋速率分布曲線f(v)vOv(速率分布曲線)·由圖可見，氣體中速率很小、速率很大的分子數(shù)都很少。

·在dv

間隔內(nèi),曲線下的面積表示速率分布在v～v+dv

中的分子數(shù)與總分子數(shù)的比率v＋dv···在v1~v2區(qū)間內(nèi),曲線下的面積表示速率分布在v1~v2之間的分子數(shù)與總分子數(shù)的比率v1v2TvOT(速率分布曲線)·曲線下面的總面積，等于分布在整個速率范圍內(nèi)所有各個速率間隔中的分子數(shù)與總分子數(shù)的比率的總和最概然速率vp

f(v)出現(xiàn)極大值時,所對應(yīng)的速率稱為最概然速率

·(歸一化條件)f(v)物理意義：將速率分為相等的速率間隔，則在包含vp的間隔中的分子數(shù)最多。①μ

一定,T越大,這時曲線向右移動②

T一定,

μ

越大,這時曲線向左移動vp越大,

vp越小,T1f(v)vOT2(>T1)μ1f(v)vOμ2(>μ1)由于曲線下的面積不變,由此可見

不同氣體,不同溫度下的速率分布曲線的關(guān)系·五.分子速率的三種統(tǒng)計平均值

1.平均速率式中M為氣體的摩爾質(zhì)量，R為摩爾氣體常量思考：

是否表示在v1

~v2區(qū)間內(nèi)的平均速率？3.最概然速率

2.方均根速率T(1)一般三種速率用途各不相同

討論分子的碰撞次數(shù)用說明討論分子的平均平動動能用討論速率分布一般用f(v)vO(2)同一種氣體分子的三種速率的大小關(guān)系:···(3)平均平動動能

(4)速率的任意函數(shù)的平均值

指出下列各式的物理意義速率在v~v+dv之間的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率速率在v~v+dv之間的分子數(shù)速率在0~vp之間的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率速率在v1~v2之間的分子數(shù)分子總數(shù)分子的平均平動動能速率在v1~v2之間的分子的平動動能之和氦氣的速率分布曲線如圖所示.解例求(2)氫氣在該溫度時的最概然速率和方均根速率O(1)試在圖上畫出同溫度下氫氣的速率分布曲線的大致情況，

(2)例

某一假想的氣體系統(tǒng)含有N個氣體分子，其分子速率分布函數(shù)為：其中,C為歸一化常數(shù)。求：（1）C=?；（2）速率在之間的分子數(shù)；（3）最概然速率；（4）平均速率和方均根速率。（1）（2）（3）（4）解：§9.8玻耳茲曼分布律一.重力場中粒子按高度的分布麥克斯韋速率分布律是無外力場時，氣體分子的速率分布。此時，分子在空間的分布是均勻的。若有外力場存在，分子數(shù)密度如何分布呢？問題：(非均勻的穩(wěn)定分布)平衡態(tài)下氣體的溫度處處相同，氣體的壓強為hh+dh在重力場中，粒子數(shù)密度隨高度增大而減小，

越大，n

減小越迅速；T越高，n

減小越緩慢。(等溫氣壓公式)式中p0是高度為零處的壓強實驗測得常溫下距海平面不太高處，每升高10m，大氣壓約降低133.3Pa。試用恒溫氣壓公式驗證此結(jié)果（海平面上大氣壓按1.013×105Pa計，溫度取273K）。

解例等溫氣壓公式將上式兩邊微分，有二.玻耳茲曼分布律平衡態(tài)下溫度為T的氣體中，位于空間某一小區(qū)間x~x+dx

，y~y+dy

，

z~z+dz

中的分子數(shù)為這是粒子關(guān)于位置的分布的規(guī)律。常稱為玻耳茲曼分布律。它適用于任何形式的保守力場式中εp是位于（x、y、z）處分子的勢能它表明，在勢場中的分子總是優(yōu)先占據(jù)勢能較低的狀態(tài)。根據(jù)玻耳茲曼分布律，在重力場中，存在于x~x+dx

，

y~y+dy

，

z~z+dz

區(qū)間內(nèi)，具有各種速度的分子數(shù)為取z

軸垂直向上，地面處z=0，可得在大氣中取一無限高的直立圓柱體，截面積為A

，設(shè)柱體中分子數(shù)為N

。設(shè)大氣的溫度為T，空氣分子的質(zhì)量μ

。就此空氣柱求玻耳茲曼分布律中的n0解例解得拉薩海拔約為3600m

，氣溫為273K，忽略氣溫隨高度的變化。當海平面上的氣