玻耳茲曼分布熱力學

§6.6玻耳茲曼分布一.最可幾分布二.麥克斯韋—玻耳茲曼分布三.經典統(tǒng)計的最可幾分布＊.數學補充：1.Lagrange不定乘子法2.Stirling公式數學補充：Lagrange不定乘子法：存在約束條件的多元函數的極值問題約束條件多元函數的極值應由下式確定由于xi不完全獨立，Lagrange引入不定乘子法。1)每個約束方程的全微分2)f的全微分3)約束條件下求函數極值等效于求：拉氏乘子即：拉氏函數即3)令每一個dxi

的系數等于零約束條件m+n個方程求解m+n個未知量總結：約束條件：求函數極值：約束條件下求函數極值等效于求：拉氏乘子拉氏函數Stirling公式：更精確的公式：取對數得一.最概然（可幾）分布等概率原理分布---微觀狀態(tài)含微觀態(tài)數多的分布出現的概率大例：則{al}出現的概率大于{al′}和{al′′}最概然分布：含微觀態(tài)數最多的分布出現的概率最大，叫最概然分布二、玻耳茲曼分布1.定義：玻耳茲曼系統(tǒng)的粒子的最概然分布2.玻耳茲曼分布的導出：(1)分布{al}對應的玻耳茲曼系統(tǒng)的微觀態(tài)數為：Ω是

{al}的函數。最概然分布是使Ω最大的分布Ω很大且lnΩ隨Ω單調增減，故Ω極大等價于lnΩ極大兩邊取對數：假設所有al都很大，利用Stirling公式，得：約束條件：(3)變分：為求lnΩ

極大，令al有一個虛變動δal

，則lnΩ

也有虛變動δlnΩlnΩ有極大值，須約束條件要求：(4)Lagrange不定乘子法求極大值：約束條件：求函數極值：約束條件下求函數極值等效于求：------玻耳茲曼分布須每項系數均為零------玻耳茲曼分布聯合約束條件可以確定α,β：3.討論：(1)玻耳茲曼分布給出了最概然分布下εl上的粒子數令fs代表處在能級εl上的一個量子態(tài)εs上的平均粒子數------也稱玻耳茲曼分布(2)我們只證明了lnΩ的一級變分等于零，還應該證明

lnΩ的二級變分小于零(3)玻耳茲曼分布所包含的系統(tǒng)微觀狀態(tài)數，幾乎

等于所有可能的微觀狀態(tài)數![說明]若與玻耳茲曼分布有一個小的偏差Δal,那么Ω有一個相應的ΔΩ假設與玻耳茲曼分布的偏差很小，那么這個估計說明，即使與最概然分布有極小的偏差，它的微觀狀態(tài)數與最概然分布的微觀狀態(tài)數相比也是幾近于零的。最概然分布的微觀狀態(tài)數非常接近于全部可能的微觀狀態(tài)數!(4)推導中使用的近似條件al>>1,ωl>>1實際上往

往并不能滿足。系綜理論會給出更嚴格的推導。(5)推導是針對單元系的，可以推廣到多元系的情況。三、經典統(tǒng)計的最可幾分布α,β可由下式確定：兩種粒子N、N’，總能量E，體積V，分布{al

}和{al’}須滿足才可以實現作業(yè)：6.56.5提示：§6.7玻色分布和費米分布一.對應于一分布{al}的平衡態(tài)的孤立系統(tǒng)(N,E,V)約束條件：玻色系統(tǒng)：費米系統(tǒng)：二.最概然分布：玻色、費米約束條件下求函數極值問題1.玻色系統(tǒng)的最概然分布推導若假設al

>>1

，ωl

>>1

可得利用Stirling公式，得：虛變動：------玻色分布約束條件：拉氏函數：2.費米系統(tǒng)的最概然分布推導假設------費米分布類似玻色分布推導可得：取對數：并用stirling公式：微觀態(tài)數：玻耳茲曼分布：§6.8三種分布的關系玻色分布：費米分布：約束條件：玻色分布和費米分布過渡到玻耳茲曼分布若：一、極限條件：經典極限條件非簡并條件此時，二、的意義：2.說明1.(1)1/N!

對求極值無影響;(2)定域粒子組成的系統(tǒng)遵從玻耳茲曼分布；(3)定域系統(tǒng)和滿足經典條件的玻色（費米）系統(tǒng)的差別；定域系統(tǒng)------