第一章 全等三角形（單元重點綜合測試）

第一章全等三角形（單元重點綜合測試）一、單項選擇題：每題3分，共8題，共計24分。1．如圖，已知的六個元素，則下面甲、乙、丙三個三角形和全等的圖是（）A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙2．如圖，在△ABC中，∠PAQ＝∠APQ，PR＝PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，則三個結(jié)論①AS＝AR；②；③△BPR≌△QSP中（）A．全部正確 B．僅①和②正確C．僅①正確 D．僅①和③正確3．如圖，，，要使得．若以“”為依據(jù)，需添加的條件是（）

A． B． C． D．4．在和中，①，②，③，④，⑤，⑥．在下列條件中，不能保證的一組條件是（）A．①③⑤ B．①②⑤ C．②④⑤ D．①②③5．如圖，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，AD＝2cm，BE＝0.5cm，則DE的長為（）A．0.5cm B．1cm C．1.5cm D．2cm6．如圖，，點和點是對應頂點，點和點是對應頂點，過點作，垂足為點，若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．7．根據(jù)下列條件能畫出唯一的是（）A．，， B．，，C．，， D．，，8．是的中線，，則的取值可能是（）A．3 B．6 C．8 D．12二、填空題：每題3分，共10題，共計30分9、如圖，在△ABC和△ADC中，，，，則________o．10、小明不慎將一塊三角形的玻璃摔碎成如圖的四塊（即圖中標有1、2、3、4的四塊），你認為將其中的哪一塊帶去玻璃店，就能配一塊與原來一樣大小的三角形玻璃．應該帶第_______塊.11、如圖，為6個邊長相等的正方形的組合圖形，則∠1+∠2+∠3=_______.12、如圖，△ABE和△ADC是△ABC分別沿著AB、AC邊翻折180°形成的，若∠1：∠2：∠3=28：5：3，則∠α的度數(shù)為_______度．13、如圖，△ABC，△CDE均為等邊三角形，連接AD，BE交于點O，AC與BE交與點P，則∠AOB＝_______．14．如圖：已知AC=AD，BC=BD，CE=DE，則全等三角形共有_____對，并說明全等的理由．15．如圖，在△ACD與△BCE中，AD與BE相交于點P，若AC＝BC，AD＝BE，CD＝CE，∠DCE＝55°，則∠APB的度數(shù)為______．16．在△ABC中，AB＝AC，點D是△ABC內(nèi)一點，點E是CD的中點，連接AE，作EF⊥AE，若點F在BD的垂直平分線上，∠BAC＝α，則∠BFD＝_________．（用α含的式子表示）17．如圖，在四邊形中，于，則的長為__________18．如圖，EB交AC于點M，交FC于點D，AB交FC于點N，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，給出下列結(jié)論：其中正確的結(jié)論有______個．①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN；⑤△AFN≌△AEM．三、解答題：共9題，共計86分。19、已知：如圖，AB∥CD，AB=CD，AD、BC相交于點O，BE∥CF，BE，CF分別交AD于點E、F．（1）求證：△ABO≌△DCO；（2）求證：BE=CF．20、如圖，，，，且，求證：．21、已知：如圖，點E、C、D、A在同一條直線上，AB∥DF，ED=AB，∠E=∠CPD．求證：△ABC≌△DEF．22、已知：如圖，在△ABC、△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，點C、D、E三點在同一直線上，連接BD．（1）求證：△BAD≌△CAE；（2）試猜想BD、CE有何特殊位置關(guān)系，并證明．23、如圖（1）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點C，且AD⊥MN于點D，BE⊥MN于點E．（1）求證：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE．（2）當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖（2）的位置時，DE、AD、BE又怎樣的關(guān)系？并加以證明．24、如圖，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F(xiàn)為AB延長線上一點，點E在BC上，且AE=CF．（1）求證：△ABE≌△CBF；（2）若∠CAE=20°，求∠ACF的度數(shù)．25、如圖（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．點P在線段AB上以1cm/s的速度由點A向點B運動，同時，點Q在線段BD上由點B向點D運動．它們運動的時間為t（s）．（1）若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，當t＝1時，△ACP與△BPQ是否全等，并判斷此時線段PC和線段PQ的位置關(guān)系，請分別說明理由；（2）如圖（2），將圖（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”為改“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他條件不變．設點Q的運動速度為xcm/s，是否存在實數(shù)x，使得△ACP與△BPQ全等？若存在，求出相應的x、t的值；若不存在，請說明理由．26．在中，，，為直線上一點，連接，過點作交于點，交于點，在直線上截取，連接．（1）當點，都在線段上時，如圖①，求證：；（2）當點在線段的延長線上，點在線段的延長線上時，如圖②；當點在線段的延長線上，點在線段的延長線上時，如圖③，直接寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明．27．（1）如圖1，圖2，圖3，在△ABC中，分別以AB，AC為邊，向△ABC外作正三角形，正四邊形，正五邊形，BE，CD相交于點O．①如圖1，求證：△ABE≌△ADC；②探究：如圖1，∠BOC＝________；如圖2，∠BOC＝________；如圖3，∠BOC＝________；（2）如圖4，已知：AB，AD是以AB為邊向△ABC外所作正n邊形的一組鄰邊；AC，AE是以AC為邊向△ABC外所作正n邊形的一組鄰邊，BE，CD的延長相交于點O．①猜想：如圖4，∠BOC＝________（用含n的式子表示）；②根據(jù)圖4證明你的猜想．

第一章全等三角形（單元重點綜合測試）答案全解全析一、單項選擇題：每題3分，共8題，共計24分。1．如圖，已知的六個元素，則下面甲、乙、丙三個三角形和全等的圖是（）A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙【答案】B【解析】解：甲、邊a、c夾角不是，∴甲錯誤；乙、兩角為，夾邊是a，符合，∴乙正確；丙、兩角是角對的邊是a，符合，∴丙正確．故選：B．2．如圖，在△ABC中，∠PAQ＝∠APQ，PR＝PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，則三個結(jié)論①AS＝AR；②；③△BPR≌△QSP中（）A．全部正確 B．僅①和②正確C．僅①正確 D．僅①和③正確【答案】B【解析】∵PR＝PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S∴AP平分，在和中故①對∵∠PAQ＝∠APQ∴∴故②對在△BPR和△QSP中，只有一邊和一角是無法判斷三角形全等的故③錯故選：B3．如圖，，，要使得．若以“”為依據(jù)，需添加的條件是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：∵，，∴，∴和是直角三角形，∵和有公共直角邊，∴以“”為依據(jù)判斷，需要使，故A正確．故選：A．4．在和中，①，②，③，④，⑤，⑥．在下列條件中，不能保證的一組條件是（）A．①③⑤ B．①②⑤ C．②④⑤ D．①②③【答案】A【解析】解：A、①③⑤符合SSA，不能判定△ABC≌△A′B′C′；B、①②⑤符合SAS，能判定△ABC≌△A′B′C′；C、②④⑤符合AAS，能判定△ABC≌△A′B′C′；D、①②③符合SSS，能判定△ABC≌△A′B′C′．故選：A．5．如圖，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，AD＝2cm，BE＝0.5cm，則DE的長為（）A．0.5cm B．1cm C．1.5cm D．2cm【答案】C【解析】解：∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠ADC＝∠CEB，∵∠ACB＝90°，即∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠CAD＝90°，∴∠CAD＝∠BCE，在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（AAS），∴AD＝CE＝2，CD＝BE＝0.5，∴DE＝CE﹣CD＝2﹣0.5＝1.5（cm）．故選：C．6．如圖，，點和點是對應頂點，點和點是對應頂點，過點作，垂足為點，若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：∵，∴，∴，即，∵，∴，∵，∴，∴；故選B．7．根據(jù)下列條件能畫出唯一的是（）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】D【解析】解：A.當，，時，，則線段、、不能構(gòu)成三角形，故選項不符合題意；B.邊邊角三角形不能唯一確定，如圖1，故選項不符合題意；C.角角角三角形不能唯一確定，如圖2所示，故選項不符合題意；D.邊角邊可以畫出唯一的三角形，故選項符合題意；故選：．8．是的中線，，則的取值可能是（）A．3 B．6 C．8 D．12【答案】A【解析】解：如圖，延長至點，使得，連接，則，

是的中線，，在和中，，，，在中，，即，，觀察四個選項可知，只有A符合，故選：A．二、填空題：每題3分，共10題，共計30分9、如圖，在△ABC和△ADC中，，，，則________o．【答案】130【解析】解：在△ABC和△ADC中∴△ABC≌△ADC，∴∠D=∠B=130°，故答案為：130．10、小明不慎將一塊三角形的玻璃摔碎成如圖的四塊（即圖中標有1、2、3、4的四塊），你認為將其中的哪一塊帶去玻璃店，就能配一塊與原來一樣大小的三角形玻璃．應該帶第_______塊.【答案】2【解析】結(jié)合ASA判定三角形全等，選擇211、如圖，為6個邊長相等的正方形的組合圖形，則∠1+∠2+∠3=_______.【答案】135°【解析】∵△ABC和△DBE中，∴△ABC≌△DBE（SAS）∴∠3=∠ACB∵∠ACB﹢∠1=90°∴∠1﹢∠3=90°∴∠1﹢∠2﹢∠3=90°﹢45°=135°12、如圖，△ABE和△ADC是△ABC分別沿著AB、AC邊翻折180°形成的，若∠1：∠2：∠3=28：5：3，則∠α的度數(shù)為_______度．【答案】80【解析】解析：由題意得，∠1=140°，∠2=25°，∠3=15°∵△ABE和△ADC是△ABC分別沿著AB、AC邊翻折180°形成的∴∠EBC=2∠2=50°，∠DCB=2∠3=30°∴∠α=∠EBC﹢∠DCB=50°﹢30°=80°13、如圖，△ABC，△CDE均為等邊三角形，連接AD，BE交于點O，AC與BE交與點P，則∠AOB＝_______．【答案】60【解析】解析：∵△ABC和△CDE是等邊三角形∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°∴∠ACB﹢∠BCE=∠DCE﹢∠BCE即∠ACE=∠BCD在△ACE和△BCD中∴△ACE≌△BCD（SAS）∴∠CAE=∠CBD∵∠APC=∠BPO∴∠BOP=∠ACP=60°即∠AOB=60°14．如圖：已知AC=AD，BC=BD，CE=DE，則全等三角形共有_____對，并說明全等的理由．【答案】3【解析】全等三角形共有3對，△ACE≌△ADE，△ACB≌△ADB，△ECB≌△EDB，理由：在△ECB和△EDB中，∴△ECB≌△EDB（SSS），在△ACE和△ADE中，∴△ACE≌△ADE（SSS），在△ACB和△ADB中，∴△ACB≌△ADB（SSS）．15．如圖，在△ACD與△BCE中，AD與BE相交于點P，若AC＝BC，AD＝BE，CD＝CE，∠DCE＝55°，則∠APB的度數(shù)為______．【答案】55°【解析】解：如圖：在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SSS），∴∠D＝∠E，∵∠DPE+∠1+∠E＝∠DCE+∠2+∠D，而∠1＝∠2，∴∠DPE＝∠DCE＝55°，∴∠APB＝∠DPE＝55°．故答案為：55°．16．在△ABC中，AB＝AC，點D是△ABC內(nèi)一點，點E是CD的中點，連接AE，作EF⊥AE，若點F在BD的垂直平分線上，∠BAC＝α，則∠BFD＝_________．（用α含的式子表示）【答案】180°﹣α．【解析】解：延長AE至M，使EM＝AE，連接AF，F(xiàn)M，DM，∵點E是CD的中點，∴DE＝CE，在△AEC與△MED中，，∴△AEC≌△MED（SAS），∴∠EAC＝∠EMD，AC＝DM，∵EF⊥AE，∴AF＝FM，∵點F在BD的垂直平分線上，∴FB＝FD，在△MDF與△ABF中，，∴△MDF≌△ABF（SSS），∴∠AFB＝∠MFD，∠DMF＝∠BAF，∴∠BFD+∠DFA＝∠DFA+∠AFM，∴∠BFD＝∠AFM＝180°﹣2（∠DMF+∠EMD）＝180°﹣（∠FAM+∠BAF+∠EAC）＝180°﹣∠BAC＝180°﹣α，故答案為：180°﹣α．17．如圖，在四邊形中，于，則的長為__________【答案】【解析】解：過點B作交DC的延長線交于點F，如右圖所示，∵，，∴≌，，，即，，故答案為．18．如圖，EB交AC于點M，交FC于點D，AB交FC于點N，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，給出下列結(jié)論：其中正確的結(jié)論有______個．①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN；⑤△AFN≌△AEM．【答案】4【解析】∵∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，∴△ABE≌△ACF（AAS），∴∠BAE=∠CAF，BE=CF，AF=AE，故②正確，∴∠BAE?∠BAC=∠CAF?∠BAC，即∠1=∠2，故①正確，∵△ABE≌△ACF，∴AB=AC，又∵∠BAC=∠CAB，∠B=∠C∴△CAN≌△ABM（ASA），故③正確，CD=DN不能證明成立，故④錯誤∵∠1=∠2，∠F=∠E，AF=AE，∴△AFN≌△AEM（ASA），故⑤正確．三、解答題：共9題，共計86分。19、已知：如圖，AB∥CD，AB=CD，AD、BC相交于點O，BE∥CF，BE，CF分別交AD于點E、F．（1）求證：△ABO≌△DCO；（2）求證：BE=CF．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【解析】（1）證明：（2）證明：．20、如圖，，，，且，求證：．【答案】見解析【解析】證明：∵AB⊥AC，AD⊥AE，∴∠BAE+∠CAE＝90°，∠BAE+∠BAD＝90°，∴∠CAE＝∠BAD，又AB＝AC，，∴△ABD≌△ACE(AAS)，∴．21、已知：如圖，點E、C、D、A在同一條直線上，AB∥DF，ED=AB，∠E=∠CPD．求證：△ABC≌△DEF．【答案】見解析【解析】∵AB∥DF∴∠B=∠CPD，∠A=∠FDE∵∠E=∠CPD∴∠E=∠B在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（ASA）22、已知：如圖，在△ABC、△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，點C、D、E三點在同一直線上，連接BD．（1）求證：△BAD≌△CAE；（2）試猜想BD、CE有何特殊位置關(guān)系，并證明．【答案】見解析【解析】答案：（1）證明如下（2）BD⊥CE解析：（1）∵∠BAC=∠DAE=90°∴∠BAC﹢∠CAD=∠EAD﹢∠CAD∴∠BAD=∠CAR在△BAD和△CAE中∴△BAD≌△CAE（SAS）（2）∵△BAD≌△CAE∴∠ABD=∠ACE∵AB=AC，∠BAC=90°∴∠ABC=∠ACB=45°∴∠ABD﹢∠DBC=∠ABC=45°∵∠ABD=∠ACE∴∠ACE﹢∠DBC=45°∴∠DBC﹢∠DCB=∠DBC﹢∠ACE﹢∠ACB=90°∴∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠DCB=90°即BD⊥CE23、如圖（1）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點C，且AD⊥MN于點D，BE⊥MN于點E．（1）求證：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE．（2）當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖（2）的位置時，DE、AD、BE又怎樣的關(guān)系？并加以證明．【答案】（1）①證明見解析；②證明見解析；（2）DE=AD﹣BE，證明見解析．【解析】解：（1）①證明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC=∠BEC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE，在△ADC和△CEB中，∴△ADC≌△CEB（AAS）．②證明：由（1）知：△ADC≌△CEB，∴AD=CE，CD=BE，∵DC+CE=DE，∴AD+BE=DE．（2）成立．證明：∵BE⊥EC，AD⊥CE，∴∠ADC=∠BEC=90°，∴∠EBC+∠ECB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ECB+∠ACE=90°，∴∠ACD=∠EBC，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴AD=CE，CD=BE，∴DE=EC﹣CD=AD﹣BE．24、如圖，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F(xiàn)為AB延長線上一點，點E在BC上，且AE=CF．（1）求證：△ABE≌△CBF；（2）若∠CAE=20°，求∠ACF的度數(shù)．【答案】答案：（1）證明如下（2）70°【解析】解析：（1）∵∠ACB=90°∴∠CBF=∠ACB=90°在Rt△ABE和Rt△CBF中∴Rt△ABE和Rt△CBF（HL）（2）∵AB=BC，∠ABC=90°，∠CAE=20°∴∠BAC=∠ACB=45°∵∠BAE=45°﹣20°=25°由（1）可得，∠BCF=∠BAE=25°∴∠ACF=∠BCF﹢∠ACB=45°﹢25°=70°25、如圖（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．點P在線段AB上以1cm/s的速度由點A向點B運動，同時，點Q在線段BD上由點B向點D運動．它們運動的時間為t（s）．（1）若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，當t＝1時，△ACP與△BPQ是否全等，并判斷此時線段PC和線段PQ的位置關(guān)系，請分別說明理由；（2）如圖（2），將圖（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”為改“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他條件不變．設點Q的運動速度為xcm/s，是否存在實數(shù)x，使得△ACP與△BPQ全等？若存在，求出相應的x、t的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）全等，理由見詳解；PC⊥PQ，理由見解析；（2）存在，或．【解析】解：（1）當時，，，又，在和中，．，．，即線段與線段垂直．（2）①若，則，，則，解得：；②若，則，，則，解得：；綜上所述，存在或使得與全等．26．在中，，，為直線上一點，連接，過點作交于點，交于點，在直線上截取，連接．（1）當點，都在線段上時，如圖①，求證：；（2）當點在線段的延長線上，點在線段的延長線上時，如圖②；當點在線段的延長線上，點在線段的延長線上時，如圖③，直接寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明．【答案】（1）見解析；（2）圖②：；圖③：【解析】（1）證明：如圖，過點作交的延長線于點．∴．∵，∴，．∵，∴．∴．在和中，∴．∴，．∵，，∴．∴．∴．∵，，∴．在和中，∴．∴．∵，∴．（2）圖②：．證明：過點作交于點．∴．∵，∴，．∵，∴．∴．在和中，∴．∴，．∵，，∴．∴，∵∴．∴．∵，，∴．在和中，∴．∴．∵，∴．圖③：．證明：如圖，過點作交的延長線于點．∴．∵，∴，．∵，∴．∴．在和中，∴．∴，．∵，，∴．∴．∴．∵，，∴．在和中，∴．∴．∵，∴．27．（1）如圖1，圖2，圖3，在△ABC中，分別以AB，AC為邊，向△ABC外作正三角形，正四邊形，正五邊形，BE，CD相交于點O．①如圖1，求證：△ABE≌△ADC；②探究：如圖1，∠BOC＝________；如圖2，∠BOC＝________；如圖3，∠BOC＝________；（2）如圖4，已知：AB，AD是以AB為邊向△ABC外所作正n邊形的一組鄰邊；AC，AE是以AC為邊向△ABC外所