高等數(shù)學(xué)一期末復(fù)習(xí)題及答案

《高等數(shù)學(xué)（一）》期末復(fù)習(xí)題

一、選擇題

1、極限lim（Jpn-x）的結(jié)果是（）

XT笫

（A）0（B）oo（C）-（D）不存在

2

2、方程％3—31+1=0在區(qū)間（0,1）內(nèi)（）

（A）無(wú)實(shí)根（B）有唯一實(shí)根（C）有兩個(gè)實(shí)根（D）有三個(gè)實(shí)根

3、/（x）是連續(xù)函數(shù)，則］7（%）公是/"）的（）

（A）一個(gè)原函數(shù)：（B）一個(gè)導(dǎo)函數(shù)：（C）全體原函數(shù)；（D）全體導(dǎo)函數(shù)：

4、由曲線(xiàn)y=sinx（0和宜線(xiàn)y=0所圍的面積走（）

(A)1/2(B)1(02(D)汽

5、微分方程V=12滿(mǎn)意初始條件yL=o=2的特解是()

(A)x3(B)-+x3(C)X34-2(D)-X3+2

33

6、下列變晝中，是無(wú)窮小量的為()

1x-2

(A)Inx(x1)(B)In—(x—>()+)(C)cosx(xfO)(D)-----(xf2)

xx-4

7、極限lim(xsin』-Lsinx)的結(jié)果是()

XT。xx

(A)0(E)1(C)-1(D)不存在

8、函數(shù)y=1+/1*&211%在區(qū)間［-1,1］上()

（A）單調(diào)增加（B）單調(diào)減?。–）無(wú)最大值（D）無(wú)最小值

rx

9、不定積分二一dx=（）

J+1

(A)arctanx2+C(B)ln(x2+1)+C(C)-arctanX+C(D)-ln(x2+1)+C

22

10、由曲線(xiàn)y=e*(0<xvl)和直線(xiàn)y=0所圍為面積是()

(A)e-\(B)1(C)2(D)e

dy

11、微分方程=xy的通解為)

dx

(A)y=Ce2x(B)y=Ce^(oy=€Cxx

(D>y=Ce

12、下列函數(shù)中哪一個(gè)是微分方程曠一3工2=。的解（）

(A)y=x"2(B)y=-x3(Oy=-3rx2(D)y=x3

13、函數(shù)y=sinx+cosx+l是()

(A)奇函數(shù)：(B)偶函數(shù)：(C)非奇非偶函數(shù)：(D)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).

14、當(dāng)Xf0時(shí)，下列是無(wú)窮小量的是()

(A)ex+l(B)ln(x+l)(0sin(x+l)(D)Yx+1

15、當(dāng)XT8時(shí)，下列函數(shù)中有極限的是()

X+1]

(A)—：——(B)cosx(0—(D)arctanx

x2-!ex

16、方程％3+川+1=0(〃>0)的實(shí)根個(gè)數(shù)走()

(A)零個(gè)(B)一個(gè)(C)二個(gè)(D)三個(gè)

17、f(-^-),dx=()

J1+X2

11「

(A)-----(B)------+C(C)arctan(D)arctanx+c

\+x2\+x2

18、定積分]/*(冗)辦是o

(A)一個(gè)函數(shù)族(B)f(X)的的一個(gè)原函數(shù)(C)一個(gè)常數(shù)(D)一個(gè)非負(fù)常數(shù)

19、函數(shù)y=ln(x+\/x+1J是()

(A)奇函數(shù)(B)偶函數(shù)(C)非奇非偶函數(shù)(D)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)

20、設(shè)函數(shù)/(x)在區(qū)間［0,1］上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且/'(x)>0,貝M

(A)/(0)<0(B)/(l)>/(0)(0/(1)>0(D)/(1)</(0)

21、設(shè)曲線(xiàn)yr】2*2,則下列選項(xiàng)成立的是()

(A)沒(méi)有漸近線(xiàn)(B)僅有鉛直漸近線(xiàn)

(0既有程度漸近線(xiàn)又有鉗直漸近線(xiàn)(D)僅有程度漸近線(xiàn)

22、

<A)-sinx+cosx+C(B)sinR一COSX+C

(c>-sinx-cosx+C(D)sinx+cosx+C

f幾+(—1)”［

23、數(shù)列｛-----------｝的極限為()

n

(A)1(B)-l(00(D)不存在

24、下列命題中正確的是()

(A)有界晝和無(wú)窮大量的乘積仍為無(wú)窮大量(B)有界量和無(wú)窮小量的乘積仍為無(wú)窮小量

(C)兩無(wú)窮大量的和仍為無(wú)窮大量(D)兩無(wú)窮大量的差為零

25、若ff(X)=g'(X),則下列式子肯定成立的有1)

(A)f(X)=g(X)(B)J叭x)=Jdg(x)

(c)([4(x)y=(Jdg*)y(D)/(x)=g(x)+l

26、下列曲線(xiàn)有斜漸沂線(xiàn)的是()

(A)y=x+s\nx(B)y=x2+sinx

(0y=x+sin—(D)y=x2+sin—

XX

二、填空題

..1-cosx

1、hm-----——=

XT?！?/p>

2、若/(幻=/、2,則/'(0)=

3、Jj(x3cosx-5x+l)dr=

4、jeldx=

5、微分方程y'—y=0滿(mǎn)意初始條件yL=o=2的特解為

lim=

6、

12X+3

7、極限lim—z------=

—x2-4

8、設(shè)丁=4皿x+1,則/r(^)=

9、J(xcosx+l)dr=

11、微分方程ydy=xdx的通解為

12、J5x4dx=

..x+sin2x

13、lim---------------

Z8X

14、設(shè)丁=(：0$]2,則今=

15、15j=xcosx-3,WiJf'(九)=

16、不定積分Je'de'=

17、微分方程y'=e-2x的通解為

Ixx<0

11、（本題滿(mǎn)分10分）探討函數(shù)/（工）=〈在x=O處的連續(xù)性。

[ex-lxNO

12、（本題滿(mǎn)分10分）求方程（l+72）dx—（1+大2）力=0的通解。

13、（本題滿(mǎn)分10分）證明方程-7x=4在區(qū)間（1,2）內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根。

14、（本題滿(mǎn)分10分）設(shè)/（x）=x（x+l）（x+2）…（x+2015）,求/'（0）。

15、（本題滿(mǎn)分10分）求曲線(xiàn)e'+盯=e在點(diǎn)（0,1）處的法線(xiàn)方程。

16、（本題滿(mǎn)分10分）求曲線(xiàn)y=cosx及直線(xiàn)y=2,x=/及y軸所圍成平面圖形的面積。

fcosxx>0八

17、（本題滿(mǎn)分10分）探討函數(shù)f（x）=《在X=0處的連續(xù)性。

[x+1x<0

—=l-x+j2-xy2

18、（本題滿(mǎn)分10分）求微分方程彳dx的特解。

yko=i

19、（本題滿(mǎn)分20分）

20、（本題滿(mǎn)分20分）假定足球門(mén)的寬度為4米，在間隔右門(mén)柱6米處一球員沿垂直于底線(xiàn)的方向帶球前進(jìn)，問(wèn)：該球員應(yīng)在離底

線(xiàn)多少米處射門(mén)才能獲得最大的射門(mén)張角6?若球員以5.2米每秒的速度沿垂直于底線(xiàn)的方向向球門(mén)前進(jìn)，求在間隔底線(xiàn)2米處，射

門(mén)張角的改變率。

21、（本題滿(mǎn)分io分）設(shè)/（x）=J：11:t出（x>0）,求/（x）+/（；?）.

22、證明題（本題滿(mǎn)分10分）

設(shè)函數(shù)/⑴在3]上連續(xù)，在（0,3）內(nèi)可導(dǎo)，/（0）+/（1）+/（2）=3,"3）=1。試證

必存在一點(diǎn)Jw（0,3）,使得（4）=0.

23、（本題滿(mǎn)分20分）一火箭放射升空后沿豎直方向運(yùn)動(dòng)，在間隔放射臺(tái)4000m處裝有攝像機(jī)，攝像機(jī)對(duì)準(zhǔn)火箭。用〃表示高度，假

設(shè)在時(shí)刻2，火箭高度〃=3000m,運(yùn)動(dòng)速度等于300n/s,（1）用L表示火箭及攝像機(jī)的間隔，求在％時(shí)刻L的增加速度.

（2）用a表示攝像機(jī)跟蹤火箭的仰角（弧度），求在時(shí)刻a的增加速度.

《高等數(shù)學(xué)（一）》期末復(fù)習(xí)題答案

一、選擇題

1、C解答：第一步，先分子有理化；第二步，分子利用平方差公式，第三步，分子分母同時(shí)除以X；第四步化簡(jiǎn)即可。

2、B解答:設(shè)/（外=爐一3X+1,則/（O）=1J⑴=-1,有零點(diǎn)定理得/⑶在區(qū)間（0,1）內(nèi)存在實(shí)數(shù)根，又因尸（X）=3/—3VO,

可知函數(shù)具有單調(diào)性，所以有唯一的實(shí)根。

3、C本題考察不定積分的概念，不定積分是全部原函數(shù)的全體。

4、C解答：利用定積分的幾何意義，所求面積為J：sinxdx=2

5、D解答：干脆積分法y=1x3+C代入已知點(diǎn)坐標(biāo)可得C=2

3，

6、A解答：因?yàn)閘im加x=lnl=O所以此時(shí)是無(wú)窮小量。

X->1'

7、C解答：lim(xsin-----sinx)=0-1=-1

zxx

8、A解答：因?yàn)樗詥握{(diào)增加。

1+X2

9^D解答：f——dx=-l—^—dx2=—[—d(x2+1)=—ln(x2+1)4-C

J/+i2Jx2+l2JX2+12

fi1

10、A解答：利用定積分的幾何意義，所求面積為［exdx=ex=e-l

J。0

11、B解答：先分別變量，兩端再積分

所求通解為y=C/

12、D解答：干脆積分法y=x3+c當(dāng)C=0時(shí)有^=^3

13、C解答：y=sinx+cosx+l是奇函數(shù)加上偶函數(shù)，所以是非奇非偶函數(shù)。

14、B解答：limln(x+l)=lnl=0所以此時(shí)是無(wú)窮小量。

?TfO，

X+\r4-11

15、A解答：lim——=lim-----------=lim------=0其它三項(xiàng)極限都不存在。

-1xf°Cr+l)(x-l)-xQ-i)

16、B解答：設(shè)f(x)=/+px+l,則/(0)=1,/(—1)=一〃<0,有零點(diǎn)定理得/(幻在區(qū)間(一1,0)內(nèi)存在實(shí)數(shù)根，又因

ff(x)=3x1+p>0可知函數(shù)具有單調(diào)性，所以有唯一的實(shí)根。

17、B解答：求導(dǎo)及求積分是互逆的運(yùn)算，先求導(dǎo)再求積分，是全部原函數(shù)所以選B

18、C解答：考察定枳分的概念，定積分計(jì)算完以后是一個(gè)準(zhǔn)確的常數(shù)，可能是正數(shù)，也可能是0,還可能是負(fù)數(shù)。

19、A解答：由函數(shù)的奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義去推斷即可，設(shè)

2

y=f(x)=ln(x+Jx+1)則

20、B解答：由于/'(X)>O所以f(l)>/(O)

2_2

21、C解答：lim-----r=2=y=2是程度漸近線(xiàn)；lim-------=oo=>x=0

XT81—e-XXT。l-e-*r

是鉛直漸近線(xiàn)。

22、D考察定積分的性質(zhì)及根本的積分表J(cosx-sinx)辦=sinx+cosx+C

..4-(—1)"

23、A解答：分子分母同時(shí)除以〃可以得到〃hmT8------〃-------=1

24、B解答：考察無(wú)窮小量的重要性質(zhì)之一，有界量和無(wú)窮小量的乘積仍為無(wú)窮小量，其它選項(xiàng)都不肯定正確。

25、C解答：f(x)=g<x)=>df(x)=dg(x)=>(J#*))'=(jdg(x))',其它選項(xiàng)都有反例可以解除。

26、C解答：有求解斜漸近線(xiàn)的方法可得

.1

]x+sin—11

y=x+sin—=>k=lim—=lim--------=lim1+0=1b=lim(y-A^)=lim(x+sin——x)=limsin—=0>所

XXXT8XXT8If81XfOOJQ

求斜漸近線(xiàn)為y=其它選項(xiàng)都沒(méi)有。

二、填空題

12

—X

1-cosX1

1、一解答:l-cosx-fnhm-----——=lim^-y

22iodx-2

x->0

或者用羅比達(dá)法則也可以求解。

2、2解答：f(x)=/X+2，則/'(x)=2elx=>/r(0)=2

3、2解答：應(yīng)用奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的積分為0

4、e'x+C分析:被積函數(shù)e’相對(duì)于積分變量來(lái)說(shuō)是常數(shù)，所以J"dr="x+C

5、y=2/解答：y'-y=()=>)，=Cel代入初始條件)，ko=2得到2=Ce°=>C=2所求特解為y=2/

2x+3Xf22+3125

3鋅x2—x—2(x-2)(x+l)(x+1)2+13

7、一解：lim---；-----=lim------------=hm------=hm-----=—

412X-4E(X+2)(X-2)i(x+2)^22+24

8、1解:y=xsinx+l=>y'=sinx+xcosx則/r(—)=sin—+—cos—=1

2222

9、_2_解:應(yīng)用性質(zhì)，奇函數(shù)在對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的積分為0

J132dx=3arctanx+C

10、3arctanx+C解：由根本的積分公式

2222

11、y=x+C對(duì)方程丁力=xdr兩端積分Jydy=Jxdx=>y=x+C

J：5x%=2j：

12、2解：利用偶函數(shù)的積分性質(zhì)5x4dx=2x=2

o0

sin2x

x+sin2x1+01

13、1解：lim=rhm-----------=lvim-----=1

XT8X-?CO1X-H?1

14、-2xsinx2dx^由微分的定義dy=y'dr,先求出導(dǎo)數(shù)，再求微分

—1解：y=xcosx-3=y'=cosx-xsinx==cos〃一；rsin;r=-l

16、,。2*十。解：將e*看成一個(gè)整體，利用湊微元法得feXde*='e2x十。

2J2

17、y=21+。解：先分別變量，再積分得通解

18、y=e*+C解：先整理，再分別變量求通解

—62,2/

19、e解：利用重要極限進(jìn)展恒等變形，再求解lim（l——產(chǎn)=lim（l——）2=e<

------------X-KOXX

20、r（hu+l）解：本題是塞指函數(shù)，利用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法來(lái)求導(dǎo)數(shù)

1

21、彳解：分母一樣，分子先通分，分子分母最高次第都是2次篝，自變量趨于無(wú)窮大，極限等于最高次第的系數(shù)之比

-解:分子分母最高次嘉都是3次嘉，自變量趨于無(wú)窮大，極限等于最高次嘉的系數(shù)之比lim"（X：1）（"+2）=」

22、

2…2X5+X-32

23、］叱+1）4￥解：由微分的定義dX=y'dr,先求出導(dǎo)數(shù)，再求微分，本題是森指函數(shù)可以利用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法來(lái)求導(dǎo)數(shù)

24、L解:2丁—3x+1=Hm型1

lim

4XTOx+4XTO0+44

25、2_解：先求導(dǎo)數(shù)，再代入詳細(xì)數(shù)值f（x）=2e2x=7'（0）=2e0=2

C0+2”-廣a+2/r

26、2加解：利用奇函數(shù)及偶函數(shù)的積分性質(zhì)f（1+sin5x）dx=［ldx=2幾

____JaJa

x

e

27、——dx解：由微分的定義d>，=ydr,先求出導(dǎo)數(shù)，再求微分

e

28、一解：利用奇函數(shù)及偶函數(shù)的積分性質(zhì)

三、解答題

1、（本題滿(mǎn)分9分）

x-1^0

解：由題意可得,

2-xN0

”1

解得

[x^2

所以函數(shù)的定義域?yàn)椋?,2］

2、（本題滿(mǎn)分10分）

解：/'（O）=lim/（外一八。）

5X-0

3、（本題滿(mǎn)分10分）

解：方程兩端對(duì)X求導(dǎo)，得y'=x2+x+6

將工=0代入上式，得y［（o.］）=6

從而可得：切線(xiàn)方程為j-l=6（x-0）即y=6x+l

4、（本題滿(mǎn)分10分）

解：作平面區(qū)域，如圖示

y=x

解方程組,得交點(diǎn)坐標(biāo)：（0,0）,（1,1）

y=x

r]xx'j

所求陰影局部的面積為：S=[(X-x")dx-----------=—

L23Jo6

5、(本題滿(mǎn)分10分)

解：??,limf(x)=limx+2=3=/(I)

x->i+x->r

???f(x)在X=1處是連續(xù)的。

6、（本題滿(mǎn)分10分）

解：將原方程化為dy=（2x+3）dx

兩邊求不定積分，得JdX=J（2x+30x,于是y=x2+3x+C

將yl“i=3代入上式，有3=l+3+C，所以C=—l,

故原方程的特解為J=X2+3X-U

7、（本題滿(mǎn)分9分）

x-4>0

解:由題意可得,

5-x>0

解得[x45

所以函數(shù)的定義域?yàn)椋?,5］

8、（本題滿(mǎn)分10分）

解：/'（0）=lim/a）一〃°）

3X-0

9、（本題滿(mǎn)分10分）

解：方程兩端對(duì)x求導(dǎo)，得2x-2（y+盯'）+6燈'=0

將點(diǎn)（2,1）代入上式，得y［（2,i）=-1

從而可得：切線(xiàn)方程為j-l=-（x-2）即x+y-3=0

10、（本題滿(mǎn)分10分）

解：所求陰影局部的面枳為5=J；（e、一l>/x

11、（本題滿(mǎn)分10分）

解：limf（x）=lim—1=0=f（0）

XT0+Xf0+

...f（x）在x=0處是連續(xù)的。

12、(本題本分10分)

解：由方程(l+y2)dx—(l+x?)心=o,得

兩邊積分：J—=

31+y2J1+x2

得arctany=arctanx+C

所以原方程的通解為：arctany=arctanx+C或丁=tan(arctanx+C)

13、(本題滿(mǎn)分10分)

解：令尸(M)=-7%—4,F(x)在［1,2］上連續(xù)

由零點(diǎn)定理可得，在區(qū)間(1,2)內(nèi)至少有一個(gè)使得函數(shù)尸(歲)=4、-7J—4=0,

即方程X5-7X-4=0在區(qū)間(1,2)內(nèi)至少有?個(gè)實(shí)根。

14、(本題滿(mǎn)分10分)

解：/'(0)=lim—"°)=lim(x+l)(x+2)???(x+2015)=2015!

x->0X—0IO

15、(本題滿(mǎn)分10分)

解：方程兩端對(duì)X求導(dǎo)，得e'V+y+盯'=0

將點(diǎn)(0,1)代入上式，得)[(0]=一二

從而可得：法線(xiàn)方程為y=ex+l

16、(本題滿(mǎn)分10分)

解：作平面圖形，如圖示

17、(本題清分10分)

解：limf(x)=limcosx=1=/(0)

*T0+XTO+

???/(x)在x=0處是連續(xù)的。

18、(本題滿(mǎn)分10分)

解：將原方程化為—=(1-x)(l+y2)或乜=(1-x)dx

dx1+y

兩邊求不定積分，得arctany=x——x2+C

2

7t

由得到，=彳

故原方程的特解為arctany=+?或y=tanCx-gx2+?).

19、(本題滿(mǎn)分20分)

解：A由以［0,0,為底、高為■的曲邊梯形和

由切片法可得：

尸3)駐點(diǎn)唯一，又依據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義F(a)的最小值存在,

4

.?.〃=—就是尸3)的最小值點(diǎn)

或

者，又FM)4=4>。，?.?3為極小值點(diǎn)，亦最小值點(diǎn)，

“W5

20、(本題滿(mǎn)分20分)

解：由題意可得張角8及球員距底線(xiàn)的間隔4滿(mǎn)意

令絲=0,得到駐點(diǎn)％=一標(biāo)(不合題意，舍去)及X=V60.由實(shí)際意義可知,所求最值存在，駐點(diǎn)只一個(gè)，故所求結(jié)果就是

dr

最好的選擇.即該球員應(yīng)在離底線(xiàn)標(biāo)米處射門(mén)才能獲得最大的射門(mén)張角。若球員以5.2米每杪的速度跑向球門(mén)，則