15公因數(shù)與最大公因數(shù)（分層練習(xí)）

1.5公因數(shù)與最大公因數(shù)分層練習(xí)1.用一個(gè)數(shù)去除28和56都能整除，這個(gè)數(shù)最大是（

）A．2 B．4 C．14 D．28【答案】D【分析】求出這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)即可．【詳解】解：因?yàn)?，，所以最大公因?shù)為：28．故選：D．2.下列語句錯(cuò)誤的是（

）①能被5整除；②因?yàn)?÷2=2，所以4是倍數(shù)，2是因數(shù)；A=2×3×5×B，B>1，則B一定是A的因素；④兩個(gè)整數(shù)的公因數(shù)一定能整除這兩個(gè)數(shù)；A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)題意，對(duì)各選項(xiàng)依次分析，得出結(jié)論．【詳解】解：不是整數(shù)，故①錯(cuò)誤；因?yàn)?，所?是2的倍數(shù)，2是4的因數(shù)，故②錯(cuò)誤；，則B一定是A的因數(shù)，但不一定是A的素因數(shù)，故③正確；兩個(gè)整數(shù)的公因數(shù)一定能整除這兩個(gè)數(shù)，故④正確；因此錯(cuò)誤語句有2個(gè)，故選：B．3.36和54的公因數(shù)有_____________．【答案】1、2、3、6、9、18【分析】分別求出36和54的因數(shù)，然后找到公共的因數(shù)即可得到答案．【詳解】解：36的因數(shù)有1、2、3、4、6、9、12、18、36；54的因數(shù)有1、2、3、6、9、18、27、54．所以36和54的公因數(shù)1、2、3、6、9、18，故答案為：1、2、3、6、9、18．4.(1)和的最大公因數(shù)是______.【答案】【分析】最大公因數(shù)是指最大公約數(shù)，是指兩個(gè)或者多個(gè)整數(shù)共有的約數(shù)中最大的一個(gè)，因此即可求得．【詳解】解：∵的因數(shù)：，，，，，；的因數(shù)：，，，，，，，；∴和的公因數(shù)：，，，∴和的最大公因數(shù)：．(2)6和18的最大公因數(shù)是________．【答案】6【分析】分別因數(shù)分解兩個(gè)數(shù)即可求解．【詳解】解：∵，，∴6和18的最大公因數(shù)是6，故答案為：．5.45和60公有的素因數(shù)是______．【答案】3，5【分析】根據(jù)題意可以將45與60進(jìn)行分解質(zhì)因數(shù)，然后就可以確定45與60的公有的質(zhì)因數(shù)（素因數(shù)）．【詳解】解：，，所以45與60公有的素因數(shù)是：3，5．故答案為：3，5．6.如果數(shù)，那么和的最大公因數(shù)是_____________．【答案】2【分析】根據(jù)最大公因數(shù)的定義（最大公因數(shù)是指兩個(gè)或多個(gè)整數(shù)中能夠同時(shí)整除的最大正整數(shù)）即可得．【詳解】解：因?yàn)閿?shù)，所以和的最大公因數(shù)是2，故答案為：2．7.已知正整數(shù)a、b滿足，則a與2的最大公因數(shù)是______．【答案】2【分析】根據(jù)最大公因數(shù)的概念求解即可．【詳解】∵，與2的最大公因數(shù)是2∴a與2的最大公因數(shù)是2．故答案為：2．8.已知，，、兩數(shù)的最大公因數(shù)是，那么的值___________．【答案】【分析】根據(jù)最大公因數(shù)的計(jì)算方法，結(jié)合題意，列方程并求解，即可得到答案．【詳解】解：∵，，、兩數(shù)的最大公因數(shù)是，∴，解得：．故答案為：9.用短除法求下列各組數(shù)的最大公因數(shù)．（1）48和72

（2）14、42和56【答案】（1）24；（2）14【分析】根據(jù)短除法分別求出各組數(shù)的公因數(shù)，再把公有的因數(shù)相乘即可求得最大公因數(shù)．【詳解】解：（1）48與72的最大公因數(shù)：；（2）14、42與56的最大公因數(shù)：．10.找出下面每組數(shù)的最大公因數(shù)．（1）3和6；

（2）7和8．【答案】（1）3；（2）1【分析】（1）本組給出的兩個(gè)數(shù)，其中的一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的倍數(shù)；根據(jù)當(dāng)兩個(gè)數(shù)成倍數(shù)關(guān)系時(shí)，較小的那個(gè)數(shù)，是這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)；（2）本組給出的兩個(gè)數(shù)都是互質(zhì)數(shù)；根據(jù)是互質(zhì)數(shù)的兩個(gè)數(shù)，它們的最大公因數(shù)是1．【詳解】解：（1）3和6的最大公因數(shù)是3；（2）7和8的最大公因數(shù)是1．11.如果（a、b均為非零自然數(shù)），那么a和b的最大公約數(shù)是______．【答案】1【分析】根據(jù)題目給的條件a+1=b判斷出a、b是兩個(gè)相鄰的自然數(shù)，從而得知a、b是互質(zhì)數(shù)，通過互質(zhì)數(shù)的概念得出互質(zhì)數(shù)的公約數(shù)為1，最后得出a、b的最大公約數(shù)是1.【詳解】由a+1=b(a、b均為非零自然數(shù))可知，a、b是相鄰的兩個(gè)自然數(shù)，而相鄰的兩個(gè)自然數(shù)是互質(zhì)數(shù)，由此可知互質(zhì)數(shù)的公約數(shù)是1，所以它們的最大公約數(shù)是1．故答案為：1．12.一塊矩形地面，長90米，寬15米，要在它的四周和四角種樹，每?jī)煽脴渲g的距離相等，則最少要種______棵樹．【答案】14【分析】要使植樹最少，應(yīng)使每相鄰兩棵樹之間的距離最大，即相鄰兩棵樹之間的距離是90和15的最大公因數(shù)，求出90和15的最大公因數(shù)，即相鄰兩棵樹之間的距離，即可求出最少應(yīng)植樹的棵數(shù)．【詳解】解：每?jī)煽脴渲g的距離要整除90和15，則為90和15的公因數(shù)，題目中問最少種多少棵樹，則是求90和15的最大公因數(shù)，最大公因數(shù)為15．則每?jī)煽脴渲g距離15米種一棵樹，一排種7棵樹，兩排共種14棵樹，故答案為：14．13.一塊長2米，寬12分米的長方形木板，要把它鋸成盡可能大、面積相等的正方形，而且鋸后沒有剩余．這塊木板一共可以被鋸成幾塊，鋸成的正方形邊長多少？【答案】鋸成15個(gè)邊長為4分米的正方形．【分析】根據(jù)題意可知，求鋸成的小正方形盡可能大的面積，也就是求20和12的最大公因數(shù)，用長方形的面積除以正方形的面積，即為能鋸成多少個(gè)，據(jù)此解答即可．【詳解】解：木板長2米，即20分米，寬12分米，由于20和12的最大公因數(shù)為4，所以可以將長方形木板的長平均分為5段，每段4分米，寬平均分為3段，每段4分米，此時(shí)木板正好被平均鋸成15個(gè)邊長為4分米的正方形正好滿足條件．答：木板正好被平均鋸成15個(gè)邊長為4分米的正方形．14.用96朵紅花和72朵白花做花束，如果每個(gè)花束里的紅花朵數(shù)都相等，每個(gè)花束里的白花朵數(shù)也都相等．每個(gè)花束里最少有幾朵花？【答案】每個(gè)花束里最少有7朵花．【分析】要求每個(gè)花束最少有幾朵花，即要求最多有多少束花，即要求96和72的最大公因數(shù)，用紅花朵數(shù)和白花朵數(shù)分別除以96和72的最大公因數(shù)得到每個(gè)花束里面，紅花和白花的朵數(shù)，最后求和即可．【詳解】解：96和72的最大公因數(shù)為24．（朵）．答：每個(gè)花束里最少有7朵花．15.一張長方形的紙片，長為，寬為，要把這張紙片裁成同樣大小的正方形小紙片而且沒有任何剩余，則裁成的正方形紙片的邊長最大可以是多少厘米？至少有多少個(gè)小正方形？【答案】；84個(gè)【分析】沒有任何紙片剩余，所以小正方形的邊長一定要整除36和21，同時(shí)還要求小正方形的邊長盡可能的長，因此正方形的邊長就是36和21的最大公因數(shù)．36和21的最大公因數(shù)是3，可求正方形的邊長最大值．根據(jù)可求至少有正方形的個(gè)數(shù)．【詳解】解：∵36和21的最大公因數(shù)是3，∴正方形紙片的邊長最大是．（個(gè)），答：裁成的正方形紙片的邊長最大可以是3厘米，至少有84個(gè)小正方形．1.在中填入適當(dāng)?shù)臄?shù)，并填空：A=，B=，A和B的最大公因數(shù)是；【答案】15；5；2；30；60；30【分析】根據(jù)公因數(shù)的概念求解即可．【詳解】根據(jù)題意可得，依次填入的數(shù)為：15；5；2；∴，A和B的最大公因數(shù)是30．故答案為：15；5；2；30；60；30．2.兩個(gè)數(shù)之和為90，且它們的最大公因數(shù)為15，則這兩個(gè)數(shù)為________________，________________．【答案】1575【分析】首先用這兩個(gè)數(shù)的和除以它們的最大公因數(shù)，求出這兩個(gè)數(shù)獨(dú)有的因數(shù)的和是多少；然后根據(jù)這兩個(gè)數(shù)獨(dú)有的因數(shù)的和的大小，分類討論，求出這兩個(gè)數(shù)各是多少即可．【詳解】因?yàn)?0÷15=6，所以這兩個(gè)數(shù)獨(dú)有的因數(shù)的和是6．（1）因?yàn)?+5=6，所以這兩個(gè)數(shù)獨(dú)有的因數(shù)可以是1和5，因?yàn)?5×1=15，15×5=75，所以這兩個(gè)數(shù)是15和75；（2）因?yàn)?+4=6，所以這兩個(gè)數(shù)獨(dú)有的因數(shù)可以是2和4，由于2和4還有公因數(shù)2，這樣這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)就是15×2=30，不符合題意，所以此種情況不成立；（3）因?yàn)?+3=6，所以這兩個(gè)數(shù)獨(dú)有的因數(shù)是3和3，則這兩個(gè)數(shù)相同了，也不合題意，所以此種情況不成立．綜上，可得這兩個(gè)數(shù)是15和75．故答案為：15，75．3.一次活動(dòng)中，我方偵查員截獲了敵方的密碼，從左邊開始，第一個(gè)數(shù)字是10以內(nèi)的最大素?cái)?shù)；第二個(gè)數(shù)字既有因數(shù)2，又是6的倍數(shù)；第三個(gè)數(shù)字既不是素?cái)?shù)也不是合數(shù)；第四個(gè)數(shù)字既是素?cái)?shù)又是偶數(shù)；第五個(gè)數(shù)字是最小的奇數(shù)與最小的合數(shù)的積；第六個(gè)數(shù)字是所有能被3整除的數(shù)的最大公因數(shù)．誰能破譯密碼，并說明你是怎么破譯的？【答案】761243【分析】根據(jù)素?cái)?shù)：除1和本身外，沒有別的因數(shù)，合數(shù)：除了1和本身外，還有別的因數(shù)；奇數(shù)：不能被2整除的數(shù)；偶數(shù)：能被2整除的數(shù)；以及能被3整除的數(shù)的特點(diǎn)進(jìn)行分析破解即可．【詳解】解：從左邊開始，第一個(gè)數(shù)字為10以內(nèi)最大的素?cái)?shù)，故第一個(gè)數(shù)字為7；第二個(gè)數(shù)字既有因數(shù)2，又是6的倍數(shù)，故第二個(gè)數(shù)字為6；既不是素?cái)?shù)也不是合數(shù)的數(shù)為1，故第三個(gè)數(shù)字為1；既是素?cái)?shù)又是偶數(shù)的數(shù)為2，故第四個(gè)數(shù)字為2；最小的奇數(shù)為1，最小的合數(shù)為4，最小的奇數(shù)與最小的合數(shù)的積為4，故第五個(gè)數(shù)字為4；所有能被3整除的數(shù)的最大公因數(shù)為3；所以這個(gè)數(shù)是761243．因此這個(gè)密碼為：761243．4.A班同學(xué)們用花球來布置教室，一共準(zhǔn)備了72束紅花和54束黃花來扎花球．如果要使每個(gè)花球里紅花束的數(shù)量相同，黃花束的數(shù)量也相同，那么最多可以扎成多少個(gè)花球？每個(gè)花球至少有多少束紅花和多少束黃花？【答案】最多可以扎成18個(gè)花球，每個(gè)花球至少有4束紅花和3束黃花．【分析】根據(jù)72和54的最大公因數(shù)求解；根據(jù)72÷18＝4，54÷18＝3即可得出答案．【詳解】解：∵72＝2×2×2×3×3，54＝2×3×3×3，∴72和54的最大公因數(shù)是2×3×3＝18，∴最多可以扎成18個(gè)花球；72÷18＝4，54÷18＝3，答：最多可以扎成18個(gè)花球，每個(gè)花球至少有4束紅花和3束黃花．1.計(jì)算(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）將因數(shù)分解，然后觀察這幾個(gè)數(shù)的乘積即可求解；（2）將因數(shù)分解，然后觀察這幾個(gè)數(shù)的乘積即可求解．【詳解】（1）（2）2.一條街道如圖所示，長米，長米，長米，要在這條街道的右側(cè)等距離地安裝路燈，且要求兩端和轉(zhuǎn)彎處都必須裝燈，那么這條街道最少要裝多少盞燈？【答案】20盞【分析】根據(jù)要求兩端和轉(zhuǎn)彎處都必須裝燈，求得與的最大公因數(shù)為，根據(jù)，，即可求得AB，BC，CD三條街道裝的燈的數(shù)量，即可求解．【詳解】解：因?yàn)椋?，與的最大公因數(shù)為，，，故這條街道最少要裝：盞燈．3.甲、乙兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是31，且它們的乘積為5766，求甲、乙兩數(shù)分別為多少．【答案】31，186或62，93【分析】設(shè)這兩個(gè)數(shù)分別為