大學(xué)高數(shù)第一節(jié)-無(wú)窮小

北京工業(yè)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第一章無(wú)窮小與極限1.1無(wú)窮小

1.1.1數(shù)列無(wú)窮小1.數(shù)列的定義數(shù)列是指定義在正整數(shù)集上的函數(shù)依按自變量增大的次序,數(shù)列的對(duì)應(yīng)值可以排成稱為數(shù)列的通項(xiàng)(或一般項(xiàng)),數(shù)列簡(jiǎn)記為例如,數(shù)列簡(jiǎn)記為簡(jiǎn)記為簡(jiǎn)記為簡(jiǎn)記為數(shù)列中的每個(gè)數(shù)稱為數(shù)列的一項(xiàng),2.數(shù)列的幾何表示法數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都可用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示,這些點(diǎn)的全體就是數(shù)列.稱為n趨于無(wú)窮大，3.數(shù)列的變化過程包含兩個(gè)相關(guān)的無(wú)限過程：n的主動(dòng)變化:不斷增大(每次加1).即n從1開始，一定可以大于每個(gè)固定的正數(shù).記為何為無(wú)限增大？即與0的距離可以如果可以小于任意給定的正數(shù).那么就無(wú)限接近于0.

任意小,概述為：

無(wú)論給定一個(gè)多么小的正數(shù)

都可以有

只要即可.數(shù)列是無(wú)窮小.

此時(shí)我們稱當(dāng)n無(wú)限增大時(shí),何為無(wú)限接近于0？定義1.1(數(shù)列無(wú)窮小)

如果對(duì)于任意給定的正數(shù)都存在正整數(shù)N,使得當(dāng)時(shí)，不等式成立，記為或則稱數(shù)列是無(wú)窮小.

設(shè)為數(shù)列，幾何解釋:只有有限個(gè)

(至多有N個(gè))落在其外.定義:定理1.1(無(wú)窮小比較定理1)

設(shè)為無(wú)窮小,則也是無(wú)窮小.使得對(duì)于所有正整數(shù)

n,

如果存在正數(shù)

C,例1證明:如果則為無(wú)窮小.例2證明下列數(shù)列都是無(wú)窮?。?/p>

且例3設(shè)則數(shù)列不是無(wú)窮小.注:1.1.2時(shí)函數(shù)無(wú)窮小

我們用表示x無(wú)限增大的過程，只要.x可以大于任意給定的正數(shù).不妨設(shè)任意給定的正數(shù)

我們稱時(shí)，是無(wú)窮小.可以小于什么叫無(wú)限增大？則定義1.2(時(shí)函數(shù)無(wú)窮小)

如果對(duì)于任意給定的正數(shù)總存在正數(shù)X,當(dāng)時(shí),有記為或設(shè)在有定義,c為常數(shù)

.則稱當(dāng)時(shí)，為無(wú)窮小.

如果則稱當(dāng)時(shí),

為無(wú)窮小,

記為記為如果當(dāng)都是無(wú)窮小,則稱當(dāng)時(shí),

是無(wú)窮小,

的幾何意義:完全落在帶形區(qū)域內(nèi).函數(shù)的圖形有例4用定義證明:當(dāng)時(shí),

為無(wú)窮小.證取所以,當(dāng)時(shí),

為無(wú)窮小.同理,當(dāng)或時(shí),

也是無(wú)窮小.定理1.2(無(wú)窮小比較定理2)

如果存在常數(shù)類似于定理1.1,有是無(wú)窮小.設(shè)當(dāng)(或)時(shí),

也是無(wú)窮小.則當(dāng)(或)時(shí),

例5設(shè)則當(dāng)時(shí),

為無(wú)窮小.例6證明當(dāng)時(shí),

為無(wú)窮小.例7證明當(dāng)時(shí)，不是無(wú)窮小.1.1.3時(shí)函數(shù)無(wú)窮小表示且可以任意小.特別地,當(dāng)時(shí),

是無(wú)窮小.定義1.3(時(shí)函數(shù)無(wú)窮小)

設(shè)函數(shù)在點(diǎn)x0某去心鄰域內(nèi)有定義.有則稱當(dāng)時(shí)，是無(wú)窮小.

記為或有則稱當(dāng)時(shí)，是無(wú)窮小.

記為或則稱當(dāng)時(shí)，是無(wú)窮小.

記為如果當(dāng)時(shí),

都是無(wú)窮小,注意：是否有定義無(wú)關(guān).點(diǎn)有的定義可簡(jiǎn)寫為當(dāng)或時(shí),都是無(wú)窮小.類似于定理1.1和定理1.2,有定理1.3(無(wú)窮小比較定理3)

設(shè)當(dāng)時(shí)，是無(wú)窮小.也是無(wú)窮小.則當(dāng)時(shí)，如果存在常數(shù)例8證明:如果則當(dāng)時(shí),是無(wú)窮小.例9證明例10證明例11設(shè)證明1.1.4

無(wú)窮小的統(tǒng)一定義如果對(duì)于任意給定的正數(shù)自變量變化趨勢(shì)的不同,不等式成立的范圍不同.把不同情形下的無(wú)窮小統(tǒng)一表述為:或則

a共有七種不同情況：

當(dāng)函數(shù)定義域?yàn)檎麛?shù)時(shí)，

當(dāng)函數(shù)定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集時(shí)，a可以取

為簡(jiǎn)單起見,一般可以用等表示無(wú)窮小.定義1.4設(shè)在點(diǎn)a的某個(gè)空心鄰域內(nèi)有定義，都存在點(diǎn)a的空心鄰域若記作或注意：1.無(wú)窮小函數(shù)隨自變量變化的一種特殊變化趨勢(shì).例如,2.零是無(wú)窮小,但無(wú)窮小不一定等于零.3.不能把無(wú)窮小與很小的正數(shù)相混淆.就不是無(wú)窮小.3.無(wú)窮小的分類.

正無(wú)窮小負(fù)無(wú)窮小且在點(diǎn)a的某個(gè)空心鄰域內(nèi)

如果成立，定理1.4(無(wú)窮小的比較定理)

其中

為常數(shù).1.1.5

無(wú)窮小的性質(zhì)定理1.5(局部有界性)

）

鄰域內(nèi)有界.

若則在a的某個(gè)空心定理1.6有限多個(gè)無(wú)窮小之和為無(wú)窮小.例13設(shè)為n次多項(xiàng)式,且則

注意:無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小之和不一定是無(wú)窮小.

定理1.7

無(wú)窮小與有界函數(shù)的乘積為無(wú)窮小.都是無(wú)窮小.例如,當(dāng)例14證明推論1.1

有限個(gè)無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.1.1.6無(wú)窮大絕對(duì)值無(wú)限增大的變量稱為無(wú)窮大.定義1.5設(shè)在點(diǎn)a的某個(gè)空心鄰域內(nèi)有定義，都存在點(diǎn)a的空心鄰域若記作或則稱時(shí)為無(wú)窮大,分別稱為正無(wú)窮大和負(fù)無(wú)窮大；說(shuō)明:1.如果把上面定義中的分別改為

就得到的定義,(1)兩個(gè)正(負(fù))無(wú)窮大之和仍為正(負(fù))無(wú)窮大;(2)有界變量與無(wú)窮大的和、差仍為無(wú)窮大;(3)恒不為零的非無(wú)窮小(或無(wú)窮大)與無(wú)窮大2.由無(wú)窮大的定義容易證明：之積仍為無(wú)窮大.無(wú)窮大與無(wú)窮小的關(guān)系則當(dāng)時(shí),有設(shè)在a的某空心鄰域內(nèi)有定義,意義:有關(guān)無(wú)窮大的討論,都可歸結(jié)為無(wú)窮小的討論.使得定理1.8設(shè)在點(diǎn)a的某個(gè)空心鄰域內(nèi)有常數(shù)定義.如果當(dāng)時(shí),且存在例15證明證2不妨設(shè)

因于是先證明所以故例16證明在內(nèi)無(wú)界,但當(dāng)不是無(wú)窮大.證顯然

所以在內(nèi)無(wú)界;所以不是無(wú)