第二章-控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型主要內(nèi)容1.系統(tǒng)微分方程的建立及非線性方程的線性化2.傳遞函數(shù)的定義、性質(zhì)及典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)3.系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖及簡(jiǎn)化4.相似原理控制理論的研究對(duì)象：

系統(tǒng)、輸入、輸出三者之間的動(dòng)態(tài)關(guān)系。

描述系統(tǒng)這種動(dòng)態(tài)關(guān)系的是系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，經(jīng)典控制理論內(nèi)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型有兩種：1、微分方程：時(shí)域——求解困難2、傳遞函數(shù)：復(fù)頻域——求解方便，便于直接在復(fù)頻域中研究系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性主要內(nèi)容小節(jié)

補(bǔ)充—數(shù)學(xué)基礎(chǔ)§2-1系統(tǒng)的微分方程

§2-2傳遞函數(shù)§2-3典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)§2-4系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖及其簡(jiǎn)化§2-5傳遞函數(shù)方框圖變換§2-1系統(tǒng)的微分方程模型靜態(tài)模型實(shí)物模型物理模型數(shù)學(xué)模型動(dòng)態(tài)模型代數(shù)方程微分方程或差分方程分析法實(shí)驗(yàn)法§2-1系統(tǒng)的微分方程分析法：

對(duì)系統(tǒng)各部分的運(yùn)動(dòng)機(jī)理進(jìn)行分析，根據(jù)它們所依據(jù)的物理規(guī)律、化學(xué)規(guī)律分別列寫運(yùn)動(dòng)方程。實(shí)驗(yàn)法：

人為施加某種測(cè)試信號(hào)，記錄輸入輸出數(shù)據(jù)，并用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型去逼近—系統(tǒng)辯識(shí)。黑匣子輸入（已知）輸出（已知）§2-1系統(tǒng)的微分方程

深入了解元件及系統(tǒng)的靜態(tài)和動(dòng)態(tài)特性，準(zhǔn)確建立它們的數(shù)學(xué)模型。建立數(shù)學(xué)模型（建模）：數(shù)學(xué)模型的幾種表示方式時(shí)域模型：微分方程、差分方程、狀態(tài)空間表達(dá)式頻域模型：復(fù)域模型:傳遞函數(shù)、動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖、信號(hào)流圖頻率特性§2-1系統(tǒng)的微分方程數(shù)學(xué)分析法：用微分方程的求解、分析系統(tǒng)的方法。工程分析法：把用傳遞函數(shù)、頻率特性求解、分析系統(tǒng)的方法?！?-1系統(tǒng)的微分方程由數(shù)學(xué)模型確定系統(tǒng)性能的主要途徑求解觀察線性微分方程性能指標(biāo)傳遞函數(shù)時(shí)間響應(yīng)頻率響應(yīng)拉氏變換拉氏反變換估算估算計(jì)算傅氏變換s=jω頻率特性§2-1系統(tǒng)的微分方程一、線性定常系統(tǒng)及疊加原理1．系統(tǒng)、輸入、輸出三者關(guān)于的微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式：式中：xo(t)——系統(tǒng)輸出；xi(t)——系統(tǒng)輸入§2-1系統(tǒng)的微分方程2．根據(jù)系統(tǒng)微分方程對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分類1）線性系統(tǒng)：方程只包含變量xo(t)、xi(t)的各階導(dǎo)數(shù)

a．線性定常系統(tǒng)：an…a0

；bm…b0為常數(shù)b．線性時(shí)變系統(tǒng)：an…a0

；bm…b0為時(shí)間的函數(shù)2）非線性系統(tǒng)：方程中含有非xo(t)、xi(t)各階導(dǎo)數(shù)的其它函數(shù)形式§2-1系統(tǒng)的微分方程例：Xi1(t)Axo1(t)Xi1(t)→xo1(t)Xi2(t)Axo2(t)Xi2(t)→xo2(t)Xi1(t)AXi2(t)xo1(t)xo2(t)aXi1(t)+bXi2(t)→axo1(t)+bxo2(t)3．線性系統(tǒng)滿足疊加原理...)()()()(20ootXtXtXtXi=++

非線性系統(tǒng))()(sin)()(oootXtXtXtXi=++

非線性)()(4)(2)(oootXtXtXtXi=++

線性

時(shí)不變（LTI）......§2-1系統(tǒng)的微分方程疊加原理的意義：

對(duì)于線性系統(tǒng)，各個(gè)輸入產(chǎn)生的輸出是互不影響的。因此，在分析多個(gè)輸入加在線性系統(tǒng)上而引起的總輸出時(shí)，可以先分析由單個(gè)輸入產(chǎn)生的輸出，然后，把這些輸出疊加起來(lái)，則可能求得總的輸出?！?-1系統(tǒng)的微分方程分析系統(tǒng)的工作原理，確定每一環(huán)節(jié)的輸入量和輸出量。第1步按照信號(hào)的傳遞順序，從系統(tǒng)輸入端開始，根據(jù)各變量遵循的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，列出運(yùn)動(dòng)過(guò)程中各個(gè)環(huán)節(jié)的動(dòng)態(tài)微分方程。第2步對(duì)非線性項(xiàng)應(yīng)進(jìn)行線性化處理。第5步消除所建立各微分方程的中間變量，得到描述系統(tǒng)輸入量和輸出量之間關(guān)系的微分方程第3步一般將與輸出量有關(guān)的各項(xiàng)放在方程左側(cè)，與輸入量有關(guān)的各項(xiàng)放在方程右側(cè)，各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)按降冪排列，整理系統(tǒng)或元件的微分方程第4步二、列寫系統(tǒng)微分方程的基本步驟力學(xué)—牛頓定律電學(xué)—基爾霍夫定律負(fù)載效應(yīng)§2-1系統(tǒng)的微分方程*非線性微分方程的線性化為什么要研究非線性方程的線性化問(wèn)題？系統(tǒng)、元件非線性特性的普遍存在性；精確描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程通常為非線性微分方程；高階非線性微分方程除計(jì)算機(jī)求解外，無(wú)一般形式的解，這給研究系統(tǒng)帶來(lái)理論上的困難；線性微分方程理論比較成熟。三、非線性微分方程線性化（略）§2-1系統(tǒng)的微分方程小偏差線性化：用泰勒級(jí)數(shù)展開，略去二階以上導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。一、假設(shè)：x,y在平衡點(diǎn)（xo,y0)附近變化，即(輸出量單變量)

x=xo+△x,y=y0+△y二、近似處理略去高階無(wú)窮小項(xiàng)三、數(shù)學(xué)方法§2-1系統(tǒng)的微分方程

非線性系統(tǒng)輸出z(t)是兩個(gè)變量x(t)和y(t)的函數(shù)，即z=f(x,y)

1）確定工作點(diǎn) P(x0,y0,z0)2）在工作點(diǎn)附近展開成泰勒級(jí)數(shù)并忽略高階項(xiàng)L+D??+D??+==yyfxxfyxfyxfZyxoo,00),(),(yx

oo,D??+D??yyfxxfyxfyxoo,oo),(yxoo,==),(),(ooyxfyxfZ-=DD??+D??yyfxxfyxoo,yxoo,=yKxKzyxD+D=DyKxKzyx+=，

傳遞函數(shù)是描述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)關(guān)系的另一種數(shù)學(xué)模型，是經(jīng)典控制理論對(duì)線性系統(tǒng)進(jìn)行研究、分析與綜合的基本數(shù)學(xué)工具，是時(shí)域分析、頻域分析及穩(wěn)定性分析的基礎(chǔ)，也是經(jīng)典控制理論進(jìn)行系統(tǒng)綜合設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。因此，十分重要！§2-2傳遞函數(shù)一、定義對(duì)于單輸入、單輸出線性定常系統(tǒng)，當(dāng)輸入輸出的初始條件為零時(shí)，其輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。設(shè)線性定常系統(tǒng)的微分方程為：)()()(0)1(1)(txbtxbtxbimmmimi+++=--???)()()(00)1(01)(0txatxatxannnn+++--???式中：an…a0,bm…b0

均為常系數(shù)x0(t)為系統(tǒng)輸出量，xi(t)為系統(tǒng)輸入量§2-2傳遞函數(shù)若輸入、輸出的初始條件為零，即0)0()(o=KxK

=0,1,,n－1…0)0()(i=KxK

=0,1,,m－1…對(duì)微分方程兩邊取拉氏變換得：())(011sXbsbsbimmmm+++=--L())(o011sXasasannnn+++--L則該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)

為：0110110)()()(asasassbsbsXsXsGnnnnmmmmi++++++==----LL（n≥m）§2-2傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)方框圖：G(s)xi(s)xo(s)1）列出系統(tǒng)微分方程（非線性方程需線性化）2）假設(shè)全部初始條件均為零，對(duì)微分方程進(jìn)行拉氏變換3）求輸出量和輸入量的拉氏變換之比——傳遞函數(shù)求傳遞函數(shù)的步驟：§2-2傳遞函數(shù)令初始條件均為零，方程兩邊取拉氏變換())()(2sFsYkcsms=++kcsmssFsYsG++==21)()()(∴例:質(zhì)量——彈簧——阻尼系統(tǒng)

)()()()(tftkytyctym=++...§2-2傳遞函數(shù)y(t)f(t)mkcL—R—C電路系統(tǒng)RCu2(t)i(t)Lu1(t)())()(1122sUsURCsLCs=++11)()()(212++==RCsLCssUsUsG∴例：)()()()(1222tututuRCtuLC=++...§2-2傳遞函數(shù)§2-1系統(tǒng)的微分方程數(shù)學(xué)模型的概括性：許多表面上完全不同的系統(tǒng)（如機(jī)械系統(tǒng)、電氣系統(tǒng)、液壓系統(tǒng)和經(jīng)濟(jì)學(xué)系統(tǒng)）有時(shí)卻可能具有完全相同的數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)模型表達(dá)了這些系統(tǒng)的共性。數(shù)學(xué)模型建立以后，研究系統(tǒng)主要是以數(shù)學(xué)模型為基礎(chǔ)分析并綜合系統(tǒng)的各項(xiàng)性能，而不再涉及實(shí)際系統(tǒng)的物理性質(zhì)和具體特點(diǎn)。§2-1系統(tǒng)的微分方程數(shù)學(xué)模型相同的各種物理系統(tǒng)稱為相似系統(tǒng)；在相似系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型中，作用相同的變量稱為相似變量。根據(jù)相似系統(tǒng)的概念，一種物理系統(tǒng)研究的結(jié)論可以推廣到其相似系統(tǒng)中?？梢杂靡环N比較容易實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)模擬其他較難實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)。相似系統(tǒng)和相似變量1、傳遞函數(shù)和微分方程是一一對(duì)應(yīng)的微分方程：在時(shí)域內(nèi)描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)關(guān)系（特性）

傳遞函數(shù)：在復(fù)頻域內(nèi)描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)關(guān)系（特性）2、傳遞函數(shù)只取決于系統(tǒng)本身的固有特性，與外界無(wú)關(guān)。二、傳遞函數(shù)的性質(zhì)和特點(diǎn)§2-2傳遞函數(shù)3、若輸入給定，則輸出完全取決于傳遞函數(shù)

4、不同物理系統(tǒng)（機(jī)械、電氣、液壓）可能能用相同數(shù)學(xué)模型描述的系統(tǒng)——相似系統(tǒng)應(yīng)用意義：可用模擬機(jī)進(jìn)行系統(tǒng)研究用形式相同的傳遞函數(shù)來(lái)描述——相似原理5、分母階次常高于分子階次（n≥m）G(s)Xi(s)Xo(s)§2-2傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)為復(fù)變函數(shù)，故有零點(diǎn)和極點(diǎn)。)())(()())(()(2121nmpspspszszszsKsG------=......零點(diǎn)：使G(s)=0的s值（分子為0）

極點(diǎn)：使G(s)分母為零的s值

G(s)的零極點(diǎn)分布決定系統(tǒng)響應(yīng)過(guò)渡過(guò)程。三、傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)§2-2傳遞函數(shù)§2-3典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)1、比例環(huán)節(jié)（放大環(huán)節(jié)）凡輸出量與輸入量成正比，不失真也不延時(shí)的環(huán)節(jié)稱比例環(huán)節(jié)。)()(otKxtxi=微分方程：

KsXsxsGi==)()()(o傳遞函數(shù)：

，K：放大系數(shù)（增益）

方框圖：KXi(s)Xo(s)°R1R2°u0(t)+ui(t)+引入“虛地”概念+運(yùn)算放大器ui(t)——輸入電壓uo(t)——輸出電壓R1、R2——電阻)()(12otuRRtui-=)()(120sURRsUi-=拉氏變換：已知：-=-==1212o)()()(RRKRRsUsUsGi則例：§2-3典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)彈簧受力如圖：y(t)Kf(t)ky(t)=f(t)kY(s)=F(s)ksFsYsG1)()()(==例：§2-3典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)時(shí)域內(nèi)，用一階微分方程表示的環(huán)節(jié))()()(ootKxtxtxTi=+·微分方程：

傳遞函數(shù)：

1)()()(o+==TsKsXsXsGi方框圖：xi(s)xo(s)1+Tsk

當(dāng)輸入為單位階躍函數(shù)時(shí)，慣性環(huán)節(jié)的輸出將按指數(shù)曲線上升。（為什么？請(qǐng)同學(xué)們思考）K：增益；T：時(shí)間常數(shù)2．一階慣性環(huán)節(jié)§2-3典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)R—C電路如圖RCu0iui=+=òdtiCuuiRui1oo1)()()(o==RCs+1sUsUsGi例：)()()(ootututuRCi=+.§2-3典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)

時(shí)域內(nèi)，輸出量正比于輸入量的微分的環(huán)節(jié)。微分環(huán)節(jié)：

傳遞函數(shù)：G(s)=Ts

)()(otxTtxi·=T：時(shí)間常數(shù)方框圖：TsXi(s)Xo(s)3.微分環(huán)節(jié)§2-3典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)時(shí)域內(nèi)，輸出量正比于輸入量對(duì)時(shí)間的積分的環(huán)節(jié)。TssG1)(=傳遞函數(shù)：

ò=o)(1)(dttxTtxi微分方程：

T：積分時(shí)間常數(shù)方框圖：Xi(s)Xo(s)Ts14．積分環(huán)節(jié)§2-3典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)有源積分網(wǎng)絡(luò)ui(t)—輸入電壓uo(t)—輸出電壓R—電阻C—電容dttduCRtui)()(o-=已知：拉氏變換：

)()(1osusCsuRi-=sKsRCRCssG=-=-=\11)(例：Ruo(t)ui(t)C+§2-3典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)時(shí)域內(nèi)，以二階微分方程描述的環(huán)節(jié)。)()()(2)(0002txtxtxTtxTi=++‥‥x微分方程：

)()()12(022sXsXTssTi=++x傳遞函數(shù)：

121)(22++=TssTsGx2222nnnsswxww++=T：振蕩環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)ωn：無(wú)阻尼固有頻率ξ：阻尼比5．振蕩環(huán)節(jié)§2-3典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)m—k—c系統(tǒng)：R—L—C電路：kcsmssG++=21)(

11)(2++=RCsLcssG

方框圖：xi(s)xo(s)2222nnnsswxww++例：)()()()(tftkytyctym=++...)()()(000tututuRCuLCi=++...§2-3典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)時(shí)域內(nèi)，輸出滯后輸入時(shí)間τ，但不失真地反映輸入的環(huán)節(jié)。微分方程：

)()(0t-=txtxi傳遞函數(shù)：

)()(osXesXiSt-=siesXsXsGt-==\)()()(o方框圖：e-τsXi(s)Xo(s)6．延時(shí)環(huán)節(jié)§2-3典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)§2-4系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖及其簡(jiǎn)化一、系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖

用傳遞函數(shù)方框?qū)⒖刂葡到y(tǒng)全部變量聯(lián)系起來(lái),描述各環(huán)節(jié)之間的信號(hào)傳遞關(guān)系的圖形,稱為系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖（也叫結(jié)構(gòu)圖）。它是用圖形表示的系統(tǒng)模型。它不同于物理框圖，主要著眼于信號(hào)的傳遞。

x信號(hào)線：xx

分支點(diǎn)：(s)iXo(s)X(s)G方框：x1x1x比較點(diǎn)：方框圖的組成：信號(hào)從某點(diǎn)分開，相加減（相減標(biāo)注負(fù)號(hào)）兩個(gè)或兩個(gè)以上的信號(hào)

(大小和性質(zhì)不變)表示系統(tǒng)中信號(hào)流動(dòng)方向（單向）表示輸入和輸出信號(hào)的傳遞關(guān)系1．環(huán)節(jié)的串聯(lián)xi(s)G1(s)X1(s)G2(s)xo(s)xi(s)G(s)xo(s))()(1sXsX1)()(0sXsXi=)()()(0sXsXsGi=)()(2sGsG1=?==niisGsG1)()(二、環(huán)節(jié)的串聯(lián)、并聯(lián)的等效規(guī)則§2-4系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖及其簡(jiǎn)化)()()()()()(02010sXsXsXsXsXsGii+==)()(21sGsG+=?==niisGsG1)()(xi(s)G1(s)G2(s)xo(s)xo2(s)xo1(s)++2．環(huán)節(jié)的并聯(lián)（輸入相同，輸出相同）若這里的+改為-的話？§2-4系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖及其簡(jiǎn)化gxi(t)ε(t)xo(t)-xb(t)hG(s)xi(s)E(s)xo(s)-XB(s)H(s)1、偏差信號(hào)：)()()(txtxtbi-=e)()()(sXsXsEBi-=2、前向通道傳遞函數(shù)G(s))()()(0sEsXsG=3、反饋通道傳遞函數(shù)H(s))()()(0sXsXsHB=三、開環(huán)與閉環(huán)傳遞函數(shù)§2-4系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖及其簡(jiǎn)化)()()()()()()()()(00sHsGsEsXsXsXsEsXsGBBK===

可理解為：

相加點(diǎn)斷開后，以E(s)為輸入，XB

(s)為輸出的傳遞函數(shù)。5、閉環(huán)傳遞函數(shù)GB(s)：)()(1)()()()(0sHsGsGsXsXsGiB+==4、開環(huán)傳遞函數(shù)GK(s)：§2-4系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖及其簡(jiǎn)化)(0)(sEsX)(sG=)]()([(sXsXsGBi-=)]()()()[(0sHsXsXsGi-=)()()()()(0sHsGsXsGsXi-=)()()()]()(1[0sXsGsXsHsGi=+)()(1)()()()(0sHsGsGsXsXsGiB+==開環(huán)傳遞函數(shù)前向通道傳遞函數(shù)+=1推導(dǎo)：)§2-4系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖及其簡(jiǎn)化對(duì)于正反饋：)()(1)()(sHsGsGsGB-=對(duì)于單位反饋：H(s)=1G(s)xi(s)xo(s)-+1)(1)()(sGsGsGB+=§2-4系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖及其簡(jiǎn)化各種電器設(shè)備對(duì)電視機(jī)的干擾擾動(dòng)四、具有干擾信號(hào)的系統(tǒng)傳遞函數(shù)§2-4系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖及其簡(jiǎn)化

在控制系統(tǒng)中，除控制信號(hào)（輸入給定值）外，其它對(duì)輸出能產(chǎn)生影響的信號(hào)。擾動(dòng)（干擾信號(hào)）：環(huán)境造成的干擾因素。如：影響自行車行駛速度的變化的自然風(fēng)。人為導(dǎo)致的干擾因素。如：影響飛機(jī)導(dǎo)航信號(hào)的手機(jī)信號(hào)。§2-4系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖及其簡(jiǎn)化G1(s)xi(s)N(s)-+++G2(s)H(s)xo(s)考慮擾動(dòng)的反饋控制系統(tǒng)的典型方框圖如下：線性系統(tǒng)遵循疊加原理§2-4系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖及其簡(jiǎn)化G1(s)xi(s)N(s)-+++G2(s)H(s)xo(s)令N(s)=0xoi(s)1）N(s)=0,xi(s)引起的輸出xoi(s)sGxi)(=sXi)(sX0i)(=1+GG21s)(s)(HGG21s)(s)(s)(sX0i)(sGxi)(=sXi)(=sXi)(1+GG21s)(s)(HGG21s)(s)(s)(§2-4系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖及其簡(jiǎn)化-1G1(s)xi(s)N(s)-+++G2(s)H(s)xo(s)令xi(s)=0xoN(s)G2(s)N(s)+G1(s)H(s)+xoN(s)-12）xi(s)=0，N(s)單獨(dú)作用引起的輸出xoN(s)sGN)(=sN)(sX0N)(=1-2Gs)(()HGG21s)(s)(s)(-sX0N)(sGN)(=sN)(=1+G2s)(HGG21s)(s)(s)(sN)(=12Gs)(HGG21s)(s)(s)(+-§2-4系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖及其簡(jiǎn)化3）系統(tǒng)總的輸出=1+G2s)(HGG21s)(s)(s)(sX0N)(sGN)(=sN)(=sN)(+sX0N)(sX0i)(sGxi)(=sXi)(=sXi)(1+GG21s)(s)(HGG21s)(s)(s)(sX0i)(sX0)(sXi)(1+GG21s)(s)(HGG21s)(s)(s)(=1+G2s)(HGG21s)(s)(s)(sN)(+HGG21s)(s)(s)(>>1若s)(sN)(1+G2HGG21s)(s)(s)(≈s)(sN)(G2HGG21s)(s)(s)(HG1s)(s)(>>1且≈sN)(1HG1s)(s)(δsN)(系統(tǒng)抗干擾性較強(qiáng)

§2-4系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖及其簡(jiǎn)化小結(jié)：3）干擾時(shí)刻存在，采用反饋控制的系統(tǒng)，適當(dāng)合理的選擇元部件的結(jié)構(gòu)參數(shù)，可以增強(qiáng)系統(tǒng)抗干擾的能力。1）擾動(dòng)會(huì)對(duì)系統(tǒng)的輸出產(chǎn)生影響2）利用系統(tǒng)方框圖的轉(zhuǎn)換和等效化簡(jiǎn)原則，對(duì)帶擾動(dòng)的反饋控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)的分析可以求解其輸出組成§2-4系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖及其簡(jiǎn)化§2-5傳遞函數(shù)方框圖變換通過(guò)方框圖的變換，可使系統(tǒng)方框圖簡(jiǎn)化，求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。一、等效變換規(guī)則：輸入輸出不變，總傳遞函數(shù)不變。1）串聯(lián)規(guī)則：xi(s)G1G2xo(s)xi(s)G1G2xo(s)2）并聯(lián)規(guī)則：xi(s)G1G2xo(s)xi(s)G1±G2xo(s)+±三個(gè)基本等效原則3）反饋規(guī)則：xi(s)+Gxo(s)xi(s)Gxo(s)H+1±GH§2-5傳遞函數(shù)方框圖變換二個(gè)變換等效原則1）分支點(diǎn)移動(dòng)規(guī)則分支點(diǎn)前移規(guī)則：分支路上串入相同的傳遞函數(shù)方框XGXGXGXGGXGXG分支點(diǎn)后移規(guī)則：分支路上串入相同傳遞函數(shù)的倒數(shù)的方框XGXGX§2-5傳遞函數(shù)方框圖變換2）相加點(diǎn)移動(dòng)規(guī)則相加點(diǎn)前移規(guī)則：GX2X1G—X2+-X1+GX1G—X21GX2-XGXGX1GX1相加點(diǎn)后移規(guī)則GX1X2（X1—X2）G+-X1GX2G（X1—X2）G+-§2-5傳遞函數(shù)方框圖變換A++A+B-CB+C-A++A-C+BC+B-4）相加點(diǎn)分離規(guī)則B+C-A+B-CA+B+A+A+B-C-C3）相加點(diǎn)交換規(guī)則A+BA-CA+B-C=A-C+B5）反饋方框化為單位反饋xi+-HGxoxi1H+GHxo-GHGGB+=1GHGGHGHHG+=+=111總1）解除方框圖中的交叉聯(lián)系（結(jié)構(gòu)）2）按等效規(guī)則，先環(huán)內(nèi)后環(huán)外逐步使方框得到簡(jiǎn)化3）求傳遞函數(shù)二、方框圖的簡(jiǎn)化及系統(tǒng)傳遞函數(shù)的求取§2-5傳遞函數(shù)方框圖變換xoＸi+A+BG1+H2H1G2G3D-ＥＦ-+C解：

1）相加點(diǎn)C前移（再相加點(diǎn)交換）Ｘi+A+BG1H1G2G3D-ＥＦxo+1G1H2-+例1：§2-5傳遞函數(shù)方框圖變換2）內(nèi)環(huán)簡(jiǎn)化3）內(nèi)環(huán)簡(jiǎn)化Ｘi+A-ＥＦxo1G1H2-C+G1G2·G31-G1G2H1Ｘi+Ｆ(E)xo-G1G2G31—G1G2H1+G2G3H2§2-5傳遞函數(shù)方框圖變換1—G1G2H1+G2G3H2+G1G2G34）總傳遞函數(shù)ＸixoG1G2G31）分支點(diǎn)E前移Ｘi+A+G1+H2G3H1G2G3D-Ｆxo-+C（E）解2：§2-5傳遞函數(shù)方框圖變換2）內(nèi)環(huán)簡(jiǎn)化3）內(nèi)環(huán)簡(jiǎn)化Ｘi++G1H1G3Ｆxo-+1+G2G3H2G2Ｘi+G3Ｆxo-G1G21+G2G3H2—G1G2H1§2-5傳遞函數(shù)方框圖變換4）總傳遞函數(shù)ＸixoG1G2G31+G2G3H2—G1G2H1+G1G2G3

含有多個(gè)局部反饋的閉環(huán)系統(tǒng)中，當(dāng)滿足下面條件時(shí)1）只有一條前向通道2）各局部反饋回路間存在公共的傳遞函數(shù)方框?+=][1)(

每一反饋回路的開環(huán)傳遞函數(shù)前面通道的傳遞函數(shù)的乘積SGB則：各局部反饋：正反饋——取-;負(fù)反饋——取+結(jié)論：§2-5傳遞函數(shù)方框圖變換由系統(tǒng)傳遞函數(shù)的方框圖可知1．只有一條前面通道：G1G2G32．存在三個(gè)局部反饋回路，且兩兩都具有公共傳遞函數(shù)方框（或公共節(jié)點(diǎn)）3212321213211)(GGGHGGHGGGGGSGB++-=\解3：§2-5傳遞函數(shù)方框圖變換?+=][1)(

每一反饋回路的開環(huán)傳遞函數(shù)前面通道的傳函之積SGB求下圖所示系統(tǒng)總傳遞函數(shù)xi(S)+G1+H1-G2xo(S)H2GIGI-解：此例不能運(yùn)用上述結(jié)論∵兩個(gè)局部反饋回路沒(méi)有公共傳遞函數(shù)方框例2：§2-5傳遞函數(shù)方框圖變換xi(s)GIGIIxo(s)

∴22211111HGGHGGGGGIII++==

22112211211HGHGHGHGGG+++=1111HGGGI+=2221HGGGII+=又：§2-5傳遞函數(shù)方框圖變換——信號(hào)流圖的符號(hào)及術(shù)語(yǔ)１.信號(hào)流圖的符號(hào)

節(jié)點(diǎn)：系統(tǒng)中的一個(gè)變量（信號(hào)）稱為節(jié)點(diǎn)，用小圓圈“”表示。支路：連接兩節(jié)點(diǎn)的線段稱為支路，用“→”表示，其中的箭頭方向表示信號(hào)的傳遞方向。

增益：標(biāo)注在支路旁的兩個(gè)變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，稱為支路的增益，也稱為傳輸。增益可以是常數(shù)，也可以是復(fù)函數(shù)。當(dāng)增益為１時(shí)，可以省略。節(jié)點(diǎn)支路增益§2-6信號(hào)流圖２.信號(hào)流圖的術(shù)語(yǔ)

輸入節(jié)點(diǎn)：只有輸出支路的節(jié)點(diǎn)叫做輸入節(jié)點(diǎn)。它對(duì)應(yīng)于自變量。

輸出節(jié)點(diǎn)：只有輸入