14解直角三角形（分層練習）

第一章直角三角形的邊角關(guān)系1.4解直角三角形精選練習基礎(chǔ)篇基礎(chǔ)篇一、單選題1．（2022·吉林長春·一模）如圖，菱形中，對角線，，．下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由菱形的性質(zhì)得出，，，由勾股定理求出，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義可得出答案．【詳解】解：如圖，與交于點，四邊形是菱形，，，，，，，，，，故選：D．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理等知識，掌握菱形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．2．（2022·遼寧鞍山·九年級期中）在中，，，，下列四個選項，正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用勾股定理求出的長，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義判斷即可．【詳解】解：如圖，根據(jù)勾股定理得：，∴，，，，∴C正確，A、B、D錯誤，故選：C．【點睛】本題考查了勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義，掌握正弦、余弦、正切的定義是解題的關(guān)鍵．3．（2022·山東·淄博市張店區(qū)第九中學九年級期中）如圖，在中，，，，平分交于點，則線段的長為（

）A． B．12 C． D．6【答案】B【分析】過點作的垂線，垂足分別為，在，中，求得的長，進而證明是等腰三角形，即可求解．【詳解】解：如圖，過點作的垂線，垂足分別為，在中，，在中，，∵中，，，∴，∵是的角平分線，∴，∴，∴，∴．故選:B．【點睛】本題考查了解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)與判定，解決問題的關(guān)鍵是將作輔助線，將斜三角形劃分為直角三角形．4．（2022·江蘇蘇州·九年級期中）如圖，在中，于D，如果，E為的中點，那么的值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，求出長度，再由勾股定理求出，再由勾股定理求出，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半可得，即．【詳解】解：在中，，，∴，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，∵E為中點，∴，∴，∴．故選C．【點睛】本題考查解直角三角形，解題關(guān)鍵是熟練掌握解直角三角形的方法，掌握直角三角形斜邊上的中線長度等于斜邊的一半．5．（2022·山東煙臺·九年級期中）廠房屋頂人字形（等腰三角形）鋼架的中柱（為底邊中點）長10米，，則跨度的長是（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】B【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，再由銳角三角函數(shù)，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：米，∴，∵，∴米，∴米．故選：B【點睛】本題主要考查了解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握銳角三角函數(shù)，等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2022·山東·濟南市東方雙語實驗學校模擬預(yù)測）如圖，從地到地的飛機航線經(jīng)過某市的地標建筑物A的上空，一架飛機在從地飛往N地途中處測得建筑物A頂部的俯角為，繼續(xù)沿航線飛行千米，飛機恰好處于建筑物A的正處，則此時飛機距建筑物A的頂部的距離是（）A．2千米 B．2千米 C．2千米 D．千米【答案】C【分析】設(shè)飛機距建筑物A的頂部的距離是x千米，利用求解即可．【詳解】解：設(shè)飛機距建筑物A的頂部的距離是x千米，則由題意可知：，∴，即飛機距建筑物A的頂部的距離是千米．故選：C【點睛】本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是利用正切值求三角形邊長．二、填空題7．（2022·黑龍江大慶·九年級階段練習）已知為銳角，且，則的值為__________．【答案】【分析】根據(jù)，設(shè)出關(guān)于兩邊的代數(shù)表達式，再根據(jù)勾股定理求出第三邊長的表達式即可推出的值．【詳解】解：由知，如果設(shè)，則，結(jié)合得．∴．故答案為【點睛】求銳角的三角函數(shù)值的方法：利用銳角三角函數(shù)的定義，通過設(shè)參數(shù)的方法求三角函數(shù)值，或者利用同角（或余角）的三角函數(shù)關(guān)系式求三角函數(shù)值．8．（2022·上海市虹橋中學九年級期中）如果在平面直角坐標系中，點的坐標為，射線與軸的正半軸所夾的角為，那么的余弦值等于_____．【答案】【分析】如圖，過點作軸于點，證明，可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，過點作軸于點，∵，∴，∴，∴，∴，故答案為：【點睛】本題考查了解直角三角形，特殊角的三角函數(shù)值等知識，解題的關(guān)鍵是記住特殊角的三角函數(shù)值．9．（2022·山東菏澤·九年級期中）在中，，，則的度數(shù)為______．【答案】##60度【分析】根據(jù)題意可得出，從而即可得出．【詳解】如圖，∵，∴．∵，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查解直角三角形，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．10．（2022·吉林長春·一模）如圖，點，，點是一點，若，則的面積為______．【答案】3【分析】根據(jù)點和點的坐標，得到和的長度，根據(jù)角相等，得到正切值相等，再得到長度，最后求出的面積．【詳解】解：由題意可知，，，，，，，．故答案為：3．【點睛】本題考查坐標與圖形性質(zhì)和三角函數(shù)的定義，掌握銳角正切三家函數(shù)的定義是關(guān)鍵．三、解答題11．（2022·山東菏澤·九年級期中）中，．(1)如果，，求的長；(2)如果，，求的長．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦函數(shù)的定義和60度角的正弦值求解即可；（2）根據(jù)余弦函數(shù)的定義和勾股定理求解即可．【詳解】（1）解：在中，，∴，∵，，∴，∴；（2）解：中，，∴，則可設(shè)，，∵，∴，解得：，（負值舍去），∴．【點睛】本題考查解直角三角形，理解銳角三角函數(shù)定義，分清對應(yīng)銳角三角函數(shù)是哪兩條對應(yīng)邊的比值是解答的關(guān)鍵．12．（2022·山東聊城·九年級期中）如圖，在中，，，，求長．【答案】【分析】過點A作，構(gòu)造兩個直角三角形，再利用三角函數(shù)解直角三角形即可求得BC的長度．【詳解】解：過點A作，垂足為在中，，，在中，長為【點睛】本題考查了用三角函數(shù)解直角三角形，掌握利用三角函數(shù)求線段長度的方法是解決本題的關(guān)鍵．提升篇提升篇一、填空題1．（2022·山東濟南·九年級期中）如圖，點F，G分別在正方形ABCD的邊BC，CD上，E為AB中點，連結(jié)ED，正方形FGQP的邊PQ恰好在DE上，記正方形ABCD面積為，正方形FPQG面積為，則的值為______．【答案】【分析】根據(jù)，設(shè)，，根據(jù)正切，求得，根據(jù)，求得，之比，即可求得面積比．【詳解】四邊形，F(xiàn)GQP是正方形，，，，E為AB中點，，，設(shè)，，則，，，，，，，，．故答案為：．【點睛】本題考查了解直角三角形，正方形的性質(zhì)，求得，的比值是解題的關(guān)鍵．2．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·一模）如圖，在平行四邊形中，將沿著所在的直線折疊得到，交于點，連接，若，，，則的長是______．【答案】2【分析】利用折疊的性質(zhì)，以及平行四邊形的性質(zhì)，得到，分別解，，，即可得解．【詳解】解：∵四邊形為平行四邊形，，∴，，∵，∴，∵將沿著所在的直線折疊得到，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，即：，∴；故答案為：．【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)以及解直角三角形．熟練掌握平行四邊形和折疊的性質(zhì)，得到，是解決本題的關(guān)鍵．3．（2022·黑龍江大慶·九年級階段練習）如圖，把一個長方形卡片放在每格寬度為的橫格紙中，恰好四個頂點都在橫格線上，已知，則長方形卡片的周長為___________．（參考數(shù)據(jù)）【答案】##200毫米【分析】求的周長就是求和的長，可分別過作垂線垂直于l，通過構(gòu)造直角三角形根據(jù)和的四個頂點恰好在橫格線且每個橫格寬等條件來求出的長．【詳解】解：作于點于點F．∵，，∴．根據(jù)題意，得．在中，，∴．在中，，∴．∴矩形的周長．故答案為200．【點睛】本題考查了矩形對邊相等的性質(zhì)，直角三角形中三角函數(shù)的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)值的計算．通過作輔助線構(gòu)造直角三角形，再把條件和問題轉(zhuǎn)化到這個直角三角形中解決．4．（2022·寧夏·銀川市第九中學二模）如圖，的頂點都在格點上，______．【答案】【分析】作于點，，求得、即可．【詳解】解：如圖所示，作于，，，∴為等腰三角形，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了等腰三角形三線合一，解直角三角形，正確構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵．5．（2022·江蘇·揚州中學教育集團樹人學校二模）如圖，四邊形是矩形的內(nèi)接矩形，且，，，則的值為______．【答案】【分析】先求出與相似，再根據(jù)其相似比，設(shè)出的長，求出的值即可．【詳解】解：四邊形是矩形的內(nèi)接矩形，，，，，，，，，，，，，，，設(shè)，則，，即，解得：，，故答案為：．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)和定理，再根據(jù)各邊之間的關(guān)系列出方程．二、解答題6．（2022·上?！y試·編輯教研五九年級期中）如圖，已知在中，，垂足為點D，，,，點E是邊的中點．(1)求邊的長；(2)求的正切值．【答案】(1)(2)【分析】（1）解直角三角形求出，再利用勾股定理求出即可；（2）過點E作于點H．求出，，可得結(jié)論．【詳解】（1）解：∵，∴，∴，∵，∴，∴；（2）解：過點E作于點H．∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查解直角三角形、平行線的判定、平行線分線段成比例、三角形的中位線性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．7．（2022·湖南·永興縣永一中學九年級期中）如圖，在平面直角坐標系中，O為原點，點A的坐標為，點B在第一象限，，．

(1)求點B的坐標；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）過點B作軸，垂足為C，在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，從而利用勾股定理求出的長，即可解答；（2）根據(jù)已知可得，從而可得，然后在中，利用勾股定理求出的長，從而利用銳角三角函數(shù)的定義進行計算即可解答．【詳解】（1）解：過點B作軸，垂足為C，在中，，，∴∴，∴點B的坐標為；（2）解：∵點A的坐標為，∴，∵，∴，在中，，∴，∴的值為．【點睛】本題考查了解直角三角形，坐標與圖形的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．8．（2022·河北·石家莊二十三中九年級階段練習）如圖1是一臺支架，圖2是其側(cè)面示意圖，其中，可分別繞點，轉(zhuǎn)動，測量