2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解答題提優(yōu)思路(新高考專用)專題03三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)(零點(diǎn)或根的問(wèn)題)練習(xí)(學(xué)生版+解析)

專題03三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（零點(diǎn)或根的問(wèn)題）(典型題型歸類訓(xùn)練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 1題型一：已知根（零點(diǎn)）的個(gè)數(shù)求參數(shù) 1題型二：零點(diǎn)（根）的代數(shù)和問(wèn)題 4三、專項(xiàng)訓(xùn)練 7一、必備秘籍實(shí)根問(wèn)題，換元法令將函數(shù)化簡(jiǎn)為，在利用正弦函數(shù)的圖象來(lái)解決交點(diǎn)（根，零點(diǎn)）的問(wèn)題.二、典型題型題型一：已知根（零點(diǎn)）的個(gè)數(shù)求參數(shù)1．（23-24高一下·遼寧沈陽(yáng)·階段練習(xí)）已知函數(shù)，將函數(shù)向右平移個(gè)單位得到的圖像關(guān)于軸對(duì)稱且當(dāng)時(shí)，取得最大值.(1)求函數(shù)的解析式：(2)將函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，若，且，求的值.(3)方程在上有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.2．（23-24高一下·湖南邵陽(yáng)·階段練習(xí)）已知函數(shù)，其中，，.(1)求函數(shù)的最小正周期和對(duì)稱軸；(2)求函數(shù)在上的單調(diào)遞減區(qū)間；(3)已知函數(shù)在上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.3．（23-24高一下·廣東中山·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的對(duì)稱中心與對(duì)稱軸；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(3)將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為.若關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個(gè)不相等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.4．（23-24高一下·河北張家口·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的最大值及取最大值時(shí)x的取值集合；(2)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(3)已知函數(shù)在上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．5．（23-24高一下·云南昆明·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)若，求的最值及取最值時(shí)的值；(3)若函數(shù)在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．6．（2024·上海金山·二模）已知函數(shù)，記，，，.(1)若函數(shù)的最小正周期為，當(dāng)時(shí)，求和的值；(2)若，，函數(shù)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.題型二：零點(diǎn)（根）的代數(shù)和問(wèn)題1．（23-24高一下·湖北·階段練習(xí)）函數(shù)（，，）的部分圖像如圖所示.(1)求函數(shù)的解析式；(2)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(3)將函數(shù)的圖像上的各點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，得到函數(shù)的圖像，若時(shí)，的圖像與直線恰有三個(gè)公共點(diǎn)，記三個(gè)公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，，且，求的值.2．（23-24高一下·湖北咸寧·階段練習(xí)）已知函數(shù)為奇函數(shù)，且圖象的相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為．(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的（縱坐標(biāo)變），得到函數(shù)的圖象，當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域．(3)對(duì)于第（2）問(wèn)中的函數(shù)，記方程在上的根從小到依次為，，……，，試確定的值，并求的值．3．（23-24高一下·江西撫州·階段練習(xí)）函數(shù)的部分圖象如圖所示，

(1)求函數(shù)的解析式和單調(diào)遞增區(qū)間；(2)將函數(shù)的圖象上的各點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，得到函數(shù)的圖象，若時(shí)，的圖象與直線恰有三個(gè)公共點(diǎn)，記三個(gè)公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為且，求的值4．（23-24高一下·陜西西安·階段練習(xí)）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.(1)求函數(shù)的解析式及其單調(diào)遞增區(qū)間；(2)將函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位，再將所得圖象上每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象.若方程在上有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求的值.5．（23-24高一下·重慶·階段練習(xí)）已知函數(shù)，把函數(shù)的圖像先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖像.(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間及對(duì)稱軸方程；(2)當(dāng)時(shí)，若方程恰好有兩個(gè)不同的根，求的取值范圍及的值.6．（23-24高一下·江西·階段練習(xí)）函數(shù)（，，）的部分圖象如圖.(1)求函數(shù)的解析式；(2)將函數(shù)上的每個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，再將所得圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象.已知函數(shù)若函數(shù)的零點(diǎn)從左到右依次為，，…，，求的值，并求的值.三、專項(xiàng)訓(xùn)練1．（23-24高一下·河南·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若，的最小值為，求的對(duì)稱中心；(2)已知，函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，是的一個(gè)零點(diǎn)，若函數(shù)在（且）上恰好有12個(gè)零點(diǎn)，求的最小值．2．（23-24高一下·四川內(nèi)江·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求的周期和對(duì)稱中心；(2)將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，再將所得圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍后所得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)是，求在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．3．（23-24高一下·遼寧沈陽(yáng)·階段練習(xí)）函數(shù)，若的圖象向左平移個(gè)單位得到.(1)求不等式的解集；(2)若函數(shù)的最大值為9，求的值；(3)若，方程在內(nèi)有一個(gè)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.4．（23-24高一下·廣東江門·階段練習(xí)）已知函數(shù)的圖象相鄰對(duì)稱軸之間的距離是，若將的圖象向右移個(gè)單位，所得函數(shù)為奇函數(shù)．(1)求的解析式；(2)若函數(shù)的零點(diǎn)為，求；(3)若對(duì)任意，有解，求a的取值范圍．5．（23-24高一下·黑龍江齊齊哈爾·階段練習(xí)）某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)（，，）在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí)，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如下表：00200(1)根據(jù)以上表格中的數(shù)據(jù)求函數(shù)的解析式；(2)將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象．當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．8．（23-24高一上·山西·期末）如圖，已知函數(shù)的圖象與軸相交于點(diǎn)，圖象的一個(gè)最高點(diǎn)為．(1)求的解析式；(2)將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)的所有零點(diǎn)之和．9．（23-24高一上·云南德宏·期末）函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示．(1)求函數(shù)的解析式；(2)將函數(shù)的圖象先向右平移個(gè)單位，再將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，若關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不等實(shí)根，，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并求的值．10．（23-24高一上·安徽·期末）已知函數(shù)為奇函數(shù)，且圖象的相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為.(1)求的最小值.(2)將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，記方程在上的根從小到依次為試確定的值，并求的值.專題03三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（零點(diǎn)或根的問(wèn)題）(典型題型歸類訓(xùn)練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 1題型一：已知根（零點(diǎn)）的個(gè)數(shù)求參數(shù) 1題型二：零點(diǎn)（根）的代數(shù)和問(wèn)題 10三、專項(xiàng)訓(xùn)練 20一、必備秘籍實(shí)根問(wèn)題，換元法令將函數(shù)化簡(jiǎn)為，在利用正弦函數(shù)的圖象來(lái)解決交點(diǎn)（根，零點(diǎn)）的問(wèn)題.二、典型題型題型一：已知根（零點(diǎn)）的個(gè)數(shù)求參數(shù)1．（23-24高一下·遼寧沈陽(yáng)·階段練習(xí)）已知函數(shù)，將函數(shù)向右平移個(gè)單位得到的圖像關(guān)于軸對(duì)稱且當(dāng)時(shí)，取得最大值.(1)求函數(shù)的解析式：(2)將函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，若，且，求的值.(3)方程在上有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）求出平移后的函數(shù)解析式，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象得到，求出的值并檢驗(yàn)即得；（2）依題求出解析式，將看成整體角，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象發(fā)現(xiàn)在區(qū)間上的單調(diào)性和對(duì)稱性，利用其得出，代入求解即得；（3）設(shè)，依題求得，結(jié)合在上的圖象，將“方程在上有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”轉(zhuǎn)化成“關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不等的實(shí)根”，最后利用二次函數(shù)的圖象列出關(guān)于參數(shù)的不等式組，求解即得.【詳解】（1）因，依題意的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，則有，即，而，即有或.當(dāng)時(shí)，，符合要求；當(dāng)時(shí)，，不符合要求，故函數(shù)的解析式是.（2）由圖象平移可得，若，則，而在區(qū)間上遞減，在區(qū)間上遞增，顯然兩側(cè)關(guān)于直線對(duì)稱，若且，則，可得，故.（3）由（1），令，由可得則，由題意，關(guān)于的方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，且與在上均有兩個(gè)不等的實(shí)根，當(dāng)時(shí)，的圖象如圖所示，故，此時(shí)關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不等的實(shí)根，令，則即解得故實(shí)數(shù)的取值范圍.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查正弦型函數(shù)的圖象性質(zhì)在零點(diǎn)上的應(yīng)用,屬于難題.解題的關(guān)鍵在于要有整體角換元思想，運(yùn)用好數(shù)形結(jié)合的方法，有效將方程的根的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，充分發(fā)揮三角函數(shù)圖象在對(duì)稱性，單調(diào)性等方面的作用.2．（23-24高一下·湖南邵陽(yáng)·階段練習(xí)）已知函數(shù)，其中，，.(1)求函數(shù)的最小正周期和對(duì)稱軸；(2)求函數(shù)在上的單調(diào)遞減區(qū)間；(3)已知函數(shù)在上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)最小正周期為：；對(duì)稱軸為：，(2)(3)【分析】（1）先根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)公式及三角恒等變換化一，再根據(jù)正弦函數(shù)的周期性和對(duì)稱性即可得解；（2）根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求解即可；（3）函數(shù)在上存在零點(diǎn)，分離參數(shù)可得在上有解，令，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】（1），由，則的最小正周期為，令，，解得，，即對(duì)稱軸為，；（2）由（1）知，設(shè)，，所以，又在的單調(diào)遞減區(qū)間是，由，得，所以在上的單調(diào)遞減區(qū)間是；（3）由（2）知，所以，函數(shù)在上存在零點(diǎn)，即在上有解，因?yàn)?，所以，所以，令，，則，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求函數(shù)在區(qū)間上值域的一般步驟：第一步：三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)，一般化成形如的形式或的形式；第二步：由的取值范圍確定的取值范圍，再確定（或)的取值范圍；第三步：求出所求函數(shù)的值域（或最值）.3．（23-24高一下·廣東中山·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的對(duì)稱中心與對(duì)稱軸；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(3)將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為.若關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個(gè)不相等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)對(duì)稱中心為；對(duì)稱軸為；(2)和；(3)或.【分析】（1）將原函數(shù)恒等變換化簡(jiǎn)后再利用正弦函數(shù)的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心解出即可；（2）利用正弦函數(shù)的對(duì)稱區(qū)間解出即可；（3）先將函數(shù)平移變換后再結(jié)合正弦函數(shù)的對(duì)稱性把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程在上僅有一個(gè)實(shí)根，然后令結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)解出即可.【詳解】（1）∵，令，解得，所以對(duì)稱軸為；令，解得，所以對(duì)稱中心為.（2）由（1）得，令，得，又因?yàn)?，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和.（3）將的圖象向左平移個(gè)單位后，得，又因?yàn)?，則，的函數(shù)值從0遞增到1，又從1遞減回0.令，則，依題意得在上僅有一個(gè)實(shí)根.令，因?yàn)?，則需或，解得或.4．（23-24高一下·河北張家口·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的最大值及取最大值時(shí)x的取值集合；(2)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(3)已知函數(shù)在上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)最大值，(2)(3)【分析】（1）（2）先利用三角公式化簡(jiǎn)，然后利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解；（3）構(gòu)造方程，求出的范圍，即為的范圍，進(jìn)而可得實(shí)數(shù)a的取值范圍．【詳解】（1）由已知，令，得，即，所以函數(shù)的最大值為，且取最大值時(shí)x的集合為（2）令，解得，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；（3）當(dāng)，，此時(shí)，即，令，得在上存在零點(diǎn)，令，即在上存在零點(diǎn)，又當(dāng)時(shí)，所以，解得.5．（23-24高一下·云南昆明·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)若，求的最值及取最值時(shí)的值；(3)若函數(shù)在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)；(2)最小值為0，此時(shí)；最大值為3，此時(shí)；(3)．【分析】（1）由三角恒等變換化簡(jiǎn)后，由正弦型函數(shù)的周期公式求解；（2）根據(jù)自變量取值范圍，整體換元后利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求最值；（3）轉(zhuǎn)化為函數(shù)交點(diǎn)只有一個(gè)，根據(jù)正弦函數(shù)圖象與性質(zhì)確定范圍.【詳解】（1），故函數(shù)的最小正周期為．（2）由（1）知，因?yàn)?，所以，令，則，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，即時(shí)，函數(shù)有最小值，最小值為．當(dāng)，即，函數(shù)有最大值，最大值為．綜上的最小值為0，此時(shí)；最大值為3，此時(shí)．（3）因?yàn)楹瘮?shù)在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，所以在只有一個(gè)實(shí)根，即，即，即函數(shù)在的圖象在與直線只有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，令，則在區(qū)間的圖象與直線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，即，解得．6．（2024·上海金山·二模）已知函數(shù)，記，，，.(1)若函數(shù)的最小正周期為，當(dāng)時(shí)，求和的值；(2)若，，函數(shù)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用三角函數(shù)的周期公式求得，再利用三角函數(shù)的值域與周期性求得，從而得解；（2）根據(jù)題意，利用換元法將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在有解，從而利用參變分離法或二次函數(shù)根的布分即可得解.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期，所以，則當(dāng)時(shí)，，所以，得，因?yàn)?，所以取得，?）解法一：當(dāng)，時(shí)，，，設(shè)，由題意得，在有解，化簡(jiǎn)得，又在上單調(diào)遞減，所以，則.解法二：當(dāng)，時(shí)，，，設(shè)，由題意得，在有解，記，對(duì)稱軸為，則由根的分布可得，即，解得，所以.題型二：零點(diǎn)（根）的代數(shù)和問(wèn)題1．（23-24高一下·湖北·階段練習(xí)）函數(shù)（，，）的部分圖像如圖所示.(1)求函數(shù)的解析式；(2)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(3)將函數(shù)的圖像上的各點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，得到函數(shù)的圖像，若時(shí)，的圖像與直線恰有三個(gè)公共點(diǎn)，記三個(gè)公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，，且，求的值.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的最低點(diǎn)求得的值，根據(jù)圖象得到函數(shù)的周期，并求得的值，代入點(diǎn)求得的值.由此求得函數(shù)的解析式；（2）利用余弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（3）令，則，利用的圖象可得，，又，從而得到，再利用，即可求得結(jié)果.【詳解】（1）由圖象可得，，，，則，，又圖象過(guò)點(diǎn)，所以，解得，又，，所以函數(shù)的解析式為.（2）由余弦函數(shù)可知，，，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.（3）由題可得，，又因?yàn)?，所以，令，則，設(shè)直線與的圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)自左向右依次為，由的圖象可知，，，且，，又由圖象知，所以，又，，所以，又，.2．（23-24高一下·湖北咸寧·階段練習(xí)）已知函數(shù)為奇函數(shù)，且圖象的相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為．(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的（縱坐標(biāo)變），得到函數(shù)的圖象，當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域．(3)對(duì)于第（2）問(wèn)中的函數(shù)，記方程在上的根從小到依次為，，……，，試確定的值，并求的值．【答案】(1)(2)(3)6；【分析】（1）結(jié)合二倍角公式和輔助角公式將函數(shù)化簡(jiǎn)為，再根據(jù)正弦函數(shù)的周期性和奇偶性，分別求出和，然后利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，得解；（2）易得，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可得解；（3）令，原問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為方程在區(qū)間上解的個(gè)數(shù)，由解的個(gè)數(shù)確定，由，確定的值.【詳解】（1）由題意，函數(shù)因?yàn)楹瘮?shù)圖象的相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為，所以，可得，又由函數(shù)為奇函數(shù)，可得，所以，因?yàn)?，所以，所以函?shù)，令，解得，可得函數(shù)的遞減區(qū)間為，再結(jié)合，可得函數(shù)的減區(qū)間為（2）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得的圖象，再把橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的，得到函數(shù)的圖象，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，最小值為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值為，故函數(shù)的值域（3）由方程，即，即，因?yàn)?，可得，設(shè)，其中，即，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象，可得方程在區(qū)間有6個(gè)解，即其中，即，解得所以．3．（23-24高一下·江西撫州·階段練習(xí)）函數(shù)的部分圖象如圖所示，

(1)求函數(shù)的解析式和單調(diào)遞增區(qū)間；(2)將函數(shù)的圖象上的各點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，得到函數(shù)的圖象，若時(shí)，的圖象與直線恰有三個(gè)公共點(diǎn)，記三個(gè)公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為且，求的值【答案】(1)，單調(diào)遞增區(qū)間為；(2).【分析】（1）根據(jù)給定的圖象，利用五點(diǎn)法作圖思想求出的解析式，再求出遞增區(qū)間.（2）由（1）求出的解析式，利用換元法結(jié)合余弦函數(shù)圖象的對(duì)稱性求解即得.【詳解】（1）觀察圖象知，，函數(shù)的周期，則，由，得，而，則，因此函數(shù)的解析式為，令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）由（1）及已知得，依題意，，令，由，得，令，則，其中，由對(duì)稱性知，兩式相加得，顯然，因此，所以.4．（23-24高一下·陜西西安·階段練習(xí)）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.(1)求函數(shù)的解析式及其單調(diào)遞增區(qū)間；(2)將函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位，再將所得圖象上每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象.若方程在上有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求的值.【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)圖示，即可確定和的值，再由周期確定，最后將點(diǎn)代入求出，即可求出答案；由正弦函數(shù)的單調(diào)性求出遞增區(qū)間；（2）先根據(jù)題意寫出，再由函數(shù)圖像的交點(diǎn)確定根的性質(zhì)，最后根據(jù)正弦函數(shù)的對(duì)稱性和正切函數(shù)值求出答案.【詳解】（1）由圖可得，，又，所以，所以，所以，又因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)，所以，又，所以，所以.因?yàn)?，所以遞增區(qū)間為.（2）將函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位得到，再將所得圖象上每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，則，當(dāng)時(shí)，，令，則，令，則函數(shù)的函數(shù)圖像如下，且，由圖像可知有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則，所以，即，所以，所以5．（23-24高一下·重慶·階段練習(xí)）已知函數(shù)，把函數(shù)的圖像先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖像.(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間及對(duì)稱軸方程；(2)當(dāng)時(shí)，若方程恰好有兩個(gè)不同的根，求的取值范圍及的值.【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，，對(duì)稱軸方程為，.(2)答案見(jiàn)解析【分析】（1）先利用兩角和的余弦公式和輔助角公式化簡(jiǎn)，再利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解即可；（2）根據(jù)平移得到的解析式，由的取值范圍求出的單調(diào)區(qū)間和值域，進(jìn)而得到函數(shù)圖象，根據(jù)圖象求解即可.【詳解】（1）由題意可得，令，，解得，，令，，解得，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，，對(duì)稱軸方程為，.（2）根據(jù)題意及（1）中結(jié)論可得，當(dāng)時(shí)，，令得，令得，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增，且，，，，大致圖像如圖所示，方程恰好有兩個(gè)不同的根，所以的取值范圍為，又因?yàn)榈膶?duì)稱軸為和，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí).6．（23-24高一下·江西·階段練習(xí)）函數(shù)（，，）的部分圖象如圖.(1)求函數(shù)的解析式；(2)將函數(shù)上的每個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，再將所得圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象.已知函數(shù)若函數(shù)的零點(diǎn)從左到右依次為，，…，，求的值，并求的值.【答案】(1)(2)，.【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象，由最值求，由和求與，可得函數(shù)的解析式；（2）由圖象變換得的解析式，可作出的圖象，由圖象與函數(shù)圖象的交點(diǎn)，確定的零點(diǎn)個(gè)數(shù)及位置關(guān)系.【詳解】（1）由函數(shù)圖象可知，，，得，由，得，結(jié)合圖象可得，，由五點(diǎn)法作圖可得，解得，所以.（2）函數(shù)上的每個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，得函數(shù)的圖象，再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，函數(shù)則的圖象如圖所示，函數(shù)的零點(diǎn)，即函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由圖象可知，函數(shù)的零點(diǎn)有6個(gè)，從左到右依次為，，…，，，由余弦函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合圖象可知，關(guān)于對(duì)稱，關(guān)于對(duì)稱，關(guān)于對(duì)稱，.三、專項(xiàng)訓(xùn)練1．（23-24高一下·河南·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若，的最小值為，求的對(duì)稱中心；(2)已知，函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，是的一個(gè)零點(diǎn)，若函數(shù)在（且）上恰好有12個(gè)零點(diǎn)，求的最小值．【答案】(1)或；(2).【分析】（1）由題意，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求出的最小正周期為，從而可求出，則可求得解析式，然后可求出其對(duì)稱中心；（2）先利用三角函數(shù)圖象變換規(guī)律求出，再根據(jù)是的一個(gè)零點(diǎn)和可求出，從而可求出的解析式，則可求出的最小正周期，再利用正弦函數(shù)的零點(diǎn)和周期性可求得結(jié)果.【詳解】（1）的最小正周期為，又，的最小值為，的最小正周期是，故，解得，當(dāng)時(shí)，，由，的對(duì)稱中心為；當(dāng)時(shí)，，由，的對(duì)稱中心為，綜上所述，的對(duì)稱中心為或.（2）函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，，又是的一個(gè)零點(diǎn)，，即，，，，，，最小正周期，令，則，即或，解得或．若函數(shù)在（且）上恰好有12個(gè)零點(diǎn)，則，要使最小，須m，n恰好為的零點(diǎn)，故．可得的最小值為．2．（23-24高一下·四川內(nèi)江·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求的周期和對(duì)稱中心；(2)將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，再將所得圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍后所得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)是，求在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【答案】(1)；(2)11個(gè)【分析】（1）根據(jù)公式即可求出周期，設(shè)即可求出對(duì)稱中心.（2）根據(jù)圖象變換求出，換元畫出圖象即可求解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以最小正周期，令，所以，的?duì)稱中心為.（2）由題意得，，所以，令，所以求出在的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.所以令，解得，所以求在與和的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，由下圖可知有11個(gè)交點(diǎn).所以在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為11個(gè).3．（23-24高一下·遼寧沈陽(yáng)·階段練習(xí)）函數(shù)，若的圖象向左平移個(gè)單位得到.(1)求不等式的解集；(2)若函數(shù)的最大值為9，求的值；(3)若，方程在內(nèi)有一個(gè)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)或(3)或或且【分析】（1）首先得到解析式，即可得到，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；（2）利用平方關(guān)系得到，令，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)分類討論，分別計(jì)算可得；（3）先求得，再令，分析在上的值域，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理與二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論的范圍判斷即可；【詳解】（1）將的圖象向左平移個(gè)單位得到：，則，不等式，即，即，所以，解得，所以不等式的解集為.（2）因?yàn)?，所以，則，令，則，令，，依題意，當(dāng)，即時(shí)在上單調(diào)遞增，則，解得，符合題意；當(dāng)，即時(shí)在上單調(diào)遞減，則，解得，符合題意；當(dāng)，即時(shí)，即，不符合題意；綜上可得或.（3）因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，值域?yàn)?；在上單調(diào)遞減，值域?yàn)?令，，則由的圖象知，考慮在上的解，若，則或，當(dāng)時(shí)，方程的解為，舍去；當(dāng)時(shí)，方程的解為，此時(shí)僅有一解，故在內(nèi)有一個(gè)解，符合題意；若，則或，此時(shí)在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，，令，則，由韋達(dá)定理，.當(dāng)時(shí)，則，，要使得方程在內(nèi)有一個(gè)解，則，.當(dāng)時(shí)，此時(shí)解得或，不符合題意，舍去．所以要使符合題意，只需，即，解得；當(dāng)時(shí)，則，，要使得方程在內(nèi)有一個(gè)解，當(dāng)時(shí)，此時(shí)解得或，不符合題意，舍去.則，且，所以要使符合題意，只需，即，解得且；綜上，的取值范圍是或或且.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)關(guān)鍵是換元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值求出參數(shù)的值，第三問(wèn)關(guān)鍵是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上的解.4．（23-24高一下·廣東江門·階段練習(xí)）已知函數(shù)的圖象相鄰對(duì)稱軸之間的距離是，若將的圖象向右移個(gè)單位，所得函數(shù)為奇函數(shù)．(1)求的解析式；(2)若函數(shù)的零點(diǎn)為，求；(3)若對(duì)任意，有解，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）本題首先可通過(guò)相鄰對(duì)稱軸之間的距離是得出，然后通過(guò)圖象的平移即可得出，最后根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)即可求出的值；（2）首先可通過(guò)題意得出，然后通過(guò)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式即可得出結(jié)果；（3）本題可令，然后根據(jù)得出，最后通過(guò)求出的取值范圍即可得出的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)橄噜弻?duì)稱軸之間的距離是，所以，，所以，解得，，將的圖像向右移個(gè)單位，可得函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以，，因?yàn)?，所以，所以，?）因?yàn)楹瘮?shù)的零點(diǎn)為，所以，，因?yàn)?，所?（3）令，因?yàn)?，所以，，則有解，即有解，當(dāng)時(shí)，無(wú)解，當(dāng)時(shí)，即有解，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，因?yàn)橛薪?，所以的取值范圍?5．（23-24高一下·黑龍江齊齊哈爾·階段練習(xí)）某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)（，，）在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí)，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如下表：00200(1)根據(jù)以上表格中的數(shù)據(jù)求函數(shù)的解析式；(2)將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象．當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)得到，由周期求出，再求出，即可得解；（2）根據(jù)三角函數(shù)的變換規(guī)則得到的解析式，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，等價(jià)于函數(shù)，的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合即可得解.【詳解】（1）表中數(shù)據(jù)可得，，因?yàn)椋?，又，則，當(dāng)時(shí)，，即，解得，所以．（2）將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變）得到，再將圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象，則，又在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，，，如圖，當(dāng)時(shí)，方程恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，等價(jià)于函數(shù)，的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，即．6．（23-24高一下·四川綿陽(yáng)·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，若關(guān)于的方程在上恰有一解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)二倍角的正弦公式及誘導(dǎo)公式，利用輔助角公式及三角函數(shù)的周期公式即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及三角函數(shù)的平移邊換，將關(guān)于的方程在上恰有一解轉(zhuǎn)化為在上恰有一解，利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】（1）依題可知，，所以函數(shù)的最小正周期為.（2）由（1）知，，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，因?yàn)殛P(guān)于的方程在上恰有一解，所以在上恰有一解，即在上恰有一解，因?yàn)?，所以，令，，則，由三角函數(shù)的性質(zhì)知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；而，所以或解得或，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用三角恒等變換及三角函數(shù)的周期公式，將關(guān)于的方程在上恰有一解轉(zhuǎn)化為在上恰有一解，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可.7．（23-24高一下·安徽·階段練習(xí)）給出以下三個(gè)條件：①直線，是函數(shù)圖象的任意兩條對(duì)稱軸，且的最小值為，②，③對(duì)任意的，．請(qǐng)從這三個(gè)條件中任選一個(gè)將下面的題目補(bǔ)充完整，并求解．已知函數(shù)，，______．(1)求的表達(dá)式；(2)將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后，再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，若關(guān)于的方程在區(qū)間上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)或【分析】（1）先進(jìn)行三角恒等變換求出，再分別選