華東師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)壓軸題攻略專題01二次根式與二次根式的乘法壓軸題九種模型全攻略(原卷版+解析)

專題01二次根式與二次根式的乘除法壓軸題九種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一二次根式的識(shí)別】 1【考點(diǎn)二二次根式有意義的條件】 2【考點(diǎn)三求二次根式的值】 3【考點(diǎn)四利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)】 4【考點(diǎn)五復(fù)合二次根式的化簡(jiǎn)】 6【考點(diǎn)六二次根式的乘除混合運(yùn)算】 10【考點(diǎn)七最簡(jiǎn)二次根式的判斷】 11【考點(diǎn)八化為最簡(jiǎn)二次根式】 12【考點(diǎn)九已知最簡(jiǎn)二次根式求參數(shù)】 14【過關(guān)檢測(cè)】 15【典型例題】【考點(diǎn)一二次根式的識(shí)別】例題：（2023春·福建莆田·八年級(jí)統(tǒng)考期中）下列式子中，是二次根式的是（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）下列式子一定是二次根式是（）A． B．π C． D．2．（2023春·浙江金華·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）下列式子一定是二次根式的是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)二二次根式有意義的條件】例題：（2023·廣西河池·校聯(lián)考一模）如果二次根式有意義，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·天津?yàn)I海新·八年級(jí)校考期中）式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是______．2．（2023·河南新鄉(xiāng)·統(tǒng)考三模）代數(shù)式有意義的條件為______．【考點(diǎn)三求二次根式的值】例題：（2023春·浙江麗水·八年級(jí)校聯(lián)考期中）當(dāng)時(shí)，的值為______．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·浙江溫州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）當(dāng)時(shí)，二次根式的值為______．2．（2023春·浙江溫州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）當(dāng)時(shí)，二次根式的值是________．【考點(diǎn)四利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)】例題：（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）若實(shí)數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示，試化簡(jiǎn)：．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·福建廈門·八年級(jí)廈門雙十中學(xué)?？计谥校┯^察下列式子，尋找規(guī)律：①

②

③，(1)根據(jù)以上規(guī)律寫出第④個(gè)等式：_______________________；(2)寫出第個(gè)等式，并證明該結(jié)論的正確性．2．（2023春·廣東廣州·七年級(jí)廣州大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校?）已知：實(shí)數(shù)，在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)：．【考點(diǎn)五復(fù)合二次根式的化簡(jiǎn)】例題：（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）閱讀材料：把根式進(jìn)行化簡(jiǎn)，若能找到兩個(gè)數(shù)，是且，則把變成開方，從而使得化簡(jiǎn)．例如：化簡(jiǎn)解：∵∴；請(qǐng)你仿照上面的方法，化簡(jiǎn)下列各式：(1)；(2)【變式訓(xùn)練】1．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)期中）像，……這樣的根式叫做復(fù)合二次根式．有一些復(fù)合二次根式可以借助構(gòu)造完全平方式進(jìn)行化簡(jiǎn)，如：；再如：．請(qǐng)用上述方法探索并解決下列問題：(1)請(qǐng)你嘗試化簡(jiǎn)：①______；②______．(2)若，且，，為正整數(shù)，求的值．2．（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）像這樣的根式叫做復(fù)合二次根式有一些復(fù)合二次根式可以借助構(gòu)造完全平方式進(jìn)行化簡(jiǎn)．例1：；例2：請(qǐng)用上述方法探索并解決下列問題：(1)化簡(jiǎn)：；(2)化簡(jiǎn)：；(3)若，且為正整數(shù)，求a的值．【考點(diǎn)六二次根式的乘除混合運(yùn)算】例題：（2023·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算∶．【變式訓(xùn)練】1．（2023·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算∶．2．（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算：(1)(2)(3)(4)．【考點(diǎn)七最簡(jiǎn)二次根式的判斷】例題：（2023春·湖北武漢·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）下列二次根式是最簡(jiǎn)二次根式的是（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·廣東云浮·八年級(jí)?？计谥校┫铝卸胃街械淖詈?jiǎn)二次根式是（

）A． B． C． D．2．（2023春·廣東廣州·八年級(jí)校考期中）下列二次根式中，是最簡(jiǎn)二次根式的是（

）A． B． C． D．【考點(diǎn)八化為最簡(jiǎn)二次根式】例題：（2023春·江西上饒·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）化簡(jiǎn)的結(jié)果為______．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）把下列二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式：(1)(2)(3)2．（2023·上海·八年級(jí)假期作業(yè)）將下列二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式：(1)；(2)；(3)（）(4)（，，）．【考點(diǎn)九已知最簡(jiǎn)二次根式求參數(shù)】例題：（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）若二次根式與可以合并，則的值可以是（

）A．6 B．5 C．4 D．2【變式訓(xùn)練】1．（2023·上?！ぐ四昙?jí)假期作業(yè)）兩個(gè)最簡(jiǎn)二次根式與可以合并，則_____．2．（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如果兩個(gè)最簡(jiǎn)二次根式與能合并，那么________．【過關(guān)檢測(cè)】一、選擇題1．（2023春·廣東云浮·八年級(jí)?？计谥校┫铝惺阶記]有意義的是（

）A． B． C． D．2．（2023春·北京海淀·八年級(jí)?？计谥校┫铝卸胃街惺亲詈?jiǎn)二次根式的是（）A． B． C． D．3．（2023·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）計(jì)算的結(jié)果是（）A．1 B． C． D．4．（2023春·湖北襄陽(yáng)·八年級(jí)校考階段練習(xí)）在函數(shù)中，自變量x的取值范圍是(

)A． B． C．且 D．且5．（2023春·天津?qū)氎妗て吣昙?jí)?？茧A段練習(xí)）下列各式錯(cuò)誤的是（

）A．B．C．D．二、填空題6．（2023·山西晉中·統(tǒng)考一模）計(jì)算：的結(jié)果為______．7．（2023春·廣東湛江·八年級(jí)校考期中）若代數(shù)式有意義，則的取值范圍是___________．8．（2023春·福建廈門·八年級(jí)廈門市湖濱中學(xué)?？计谥校┯?jì)算：（1）＝_____；（2）＝_____；（3）＝______；（4）＝______．9．（2023·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）二次根式中：、、、是最簡(jiǎn)二次根式的是______．10．（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如果，那么下列各式，①；②；③，④，正確的有______．三、解答題11．（2023春·安徽六安·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）當(dāng)分別取下列值時(shí)，求二次根式的值．(1)；(2)；(3)．12．（2023·上?！ぐ四昙?jí)假期作業(yè)）化簡(jiǎn)以下二次根式：(1)；(2)；(3)（）．13．（2023·上?！ぐ四昙?jí)假期作業(yè)）求下列各式有意義的所有x的取值范圍：(1)(2)(3)(4)(5)14．（2023春·廣東珠?！ぐ四昙?jí)珠海市前山中學(xué)校考階段練習(xí)）計(jì)算下列各式的值：(1)(2)15．（2023·上?！ぐ四昙?jí)假期作業(yè)）計(jì)算：(1)；(2)．16．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)；(3)（，）．17．（2023·上?！ぐ四昙?jí)假期作業(yè)）計(jì)算．(1)；(2)．18．（2023春·上?！て吣昙?jí)統(tǒng)考期中）先閱讀下列的解答過程，然后再解答：形如的化簡(jiǎn)，只要我們找到兩個(gè)正數(shù)a、b，使，，使得，，那么便有：（）例如：化簡(jiǎn)解：首先把化為，這里，，由于，即，所以(1)填空：，(2)化簡(jiǎn)：；

專題01二次根式與二次根式的乘除法壓軸題九種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一二次根式的識(shí)別】 1【考點(diǎn)二二次根式有意義的條件】 2【考點(diǎn)三求二次根式的值】 3【考點(diǎn)四利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)】 4【考點(diǎn)五復(fù)合二次根式的化簡(jiǎn)】 6【考點(diǎn)六二次根式的乘除混合運(yùn)算】 10【考點(diǎn)七最簡(jiǎn)二次根式的判斷】 11【考點(diǎn)八化為最簡(jiǎn)二次根式】 12【考點(diǎn)九已知最簡(jiǎn)二次根式求參數(shù)】 14【過關(guān)檢測(cè)】 15【典型例題】【考點(diǎn)一二次根式的識(shí)別】例題：（2023春·福建莆田·八年級(jí)統(tǒng)考期中）下列式子中，是二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二次根式的定義判斷即可；【詳解】解：A、，無(wú)意義，故本選項(xiàng)不符合題意；B、是二次根式，故本選項(xiàng)符合題意；C、是三次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；D、是分式，不是二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的定義，掌握一般地，我們把形如的式子叫做二次根式是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）下列式子一定是二次根式是（）A． B．π C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二次根式的概念進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、該代數(shù)式無(wú)意義，不符合題意；B、π是無(wú)理數(shù)，不是二次根式，故此選項(xiàng)不合題意；C、該代數(shù)式是三次根式，故此選項(xiàng)不合題意；D、是二次根式，故此選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的概念，確定被開方數(shù)恒為非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·浙江金華·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）下列式子一定是二次根式的是（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】根據(jù)二次根式有意義的條件進(jìn)行判斷即可解答．【分析】解：∵，∴只有有意義．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的非負(fù)性，理解二次根式的有意義的條件是正確判斷的關(guān)鍵．【考點(diǎn)二二次根式有意義的條件】例題：（2023·廣西河池·校聯(lián)考一模）如果二次根式有意義，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【答案】【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件，得出，進(jìn)而即可求解．【詳解】根據(jù)題意知，解得，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式有意義的條件，熟練掌握二次根式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·天津?yàn)I海新·八年級(jí)校考期中）式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是______．【答案】【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件可得，再解即可．【詳解】由題意得：，解得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式有意義的條件，關(guān)鍵是掌握二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)．2．（2023·河南新鄉(xiāng)·統(tǒng)考三模）代數(shù)式有意義的條件為______．【答案】且【分析】由()，分式()進(jìn)行求解即可．【詳解】解：由題意得，解得：且．故答案：且．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式與分式有意義的條件，理解條件是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)三求二次根式的值】例題：（2023春·浙江麗水·八年級(jí)校聯(lián)考期中）當(dāng)時(shí)，的值為______．【答案】4【分析】直接把x的值代入化簡(jiǎn)即可．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的求值，熟記二次根式的性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·浙江溫州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）當(dāng)時(shí)，二次根式的值為______．【答案】【分析】把代入原式化簡(jiǎn)即可．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，原式，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的化簡(jiǎn)，掌握代入求值法是解題關(guān)鍵．2．（2023春·浙江溫州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）當(dāng)時(shí)，二次根式的值是________．【答案】1【分析】把代入，再計(jì)算即可．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，二次根式的值是，故答案為：1【點(diǎn)睛】本題考查的是求解二次根式的值，正確的運(yùn)算是解本題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)四利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)】例題：（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）若實(shí)數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示，試化簡(jiǎn)：．【答案】【分析】根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的位置判斷絕對(duì)值里式子的正負(fù)，利用絕對(duì)值的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)即可．【詳解】解：由圖可知：，，，∴，，．∴．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式和絕對(duì)值的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·福建廈門·八年級(jí)廈門雙十中學(xué)?？计谥校┯^察下列式子，尋找規(guī)律：①

②

③，(1)根據(jù)以上規(guī)律寫出第④個(gè)等式：_______________________；(2)寫出第個(gè)等式，并證明該結(jié)論的正確性．【答案】(1)(2)，證明見解析【分析】（1）根據(jù)已知等式的各部分和序號(hào)的關(guān)系可得結(jié)果；（2）根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，歸納出第n個(gè)等式，再利用二次根式的性質(zhì)和分式的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)即可證明．【詳解】（1）解：第④個(gè)等式為：,故答案為：；（2）第個(gè)等式為：，證明：∵n為正整數(shù)，∴【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字型規(guī)律，二次根式的性質(zhì)，分式的加法運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)已知等式的性質(zhì)，神域歸納總結(jié)．2．（2023春·廣東廣州·七年級(jí)廣州大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校?）已知：實(shí)數(shù)，在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)：．【答案】；【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)，絕對(duì)值的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵，∴，，，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的性質(zhì)，掌握二次根式的性質(zhì)，絕對(duì)值的性質(zhì)，乘法公式，分式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)五復(fù)合二次根式的化簡(jiǎn)】例題：（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）閱讀材料：把根式進(jìn)行化簡(jiǎn)，若能找到兩個(gè)數(shù)，是且，則把變成開方，從而使得化簡(jiǎn)．例如：化簡(jiǎn)解：∵∴；請(qǐng)你仿照上面的方法，化簡(jiǎn)下列各式：(1)；(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）仿照例題，根據(jù)，即可求解；（2）直接利用完全平方公式將原式變形進(jìn)而得出答案．【詳解】（1）解：∵，；（2）解：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)，將被開方數(shù)化為平方的形式是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)期中）像，……這樣的根式叫做復(fù)合二次根式．有一些復(fù)合二次根式可以借助構(gòu)造完全平方式進(jìn)行化簡(jiǎn)，如：；再如：．請(qǐng)用上述方法探索并解決下列問題：(1)請(qǐng)你嘗試化簡(jiǎn)：①______；②______．(2)若，且，，為正整數(shù)，求的值．【答案】(1)①；②(2)46或14【分析】（1）將被開方數(shù)寫成完全平方式，再化簡(jiǎn)．（2）變形已知等式，建立，，的方程組求解．【詳解】（1）解：①；；②；故答案為：①；②；（2）解：，，，，均為正整數(shù)．或，或．或14．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的化簡(jiǎn)，將二次根式的被開方數(shù)變?yōu)橥耆椒绞绞乔蠼獗绢}的關(guān)鍵．2．（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）像這樣的根式叫做復(fù)合二次根式有一些復(fù)合二次根式可以借助構(gòu)造完全平方式進(jìn)行化簡(jiǎn)．例1：；例2：請(qǐng)用上述方法探索并解決下列問題：(1)化簡(jiǎn)：；(2)化簡(jiǎn)：；(3)若，且為正整數(shù)，求a的值．【答案】(1)(2)(3)a的值為或【分析】（1）根據(jù)題目提供的方法將，化簡(jiǎn)為，進(jìn)而得到答案；（2）根據(jù)題目提供的方法將，化簡(jiǎn)為，進(jìn)而得到答案；（3）將化簡(jiǎn)為，繼而得到，，再根據(jù)為正整數(shù)，即可求出其值，代入即可．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：，，又為正整數(shù)，，或者，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，，綜上所述，a的值為或．【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式，二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是正確解答的前提．【考點(diǎn)六二次根式的乘除混合運(yùn)算】例題：（2023·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算∶．【答案】【分析】根據(jù)二次根式的乘除混合運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的乘除混合運(yùn)算，掌握二次根式的混合運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算∶．【答案】【分析】根據(jù)二次根式的運(yùn)算順序和運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：原式．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的乘除混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式的運(yùn)算法則和運(yùn)算順序．2．（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算：(1)(2)(3)(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）根據(jù)二次根式的乘法運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算即可求解；（2）根據(jù)二次根式的除法運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算即可求解；（3）根據(jù)二次根式的乘除混合運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算即可求解；（4）根據(jù)二次根式的乘除混合運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】（1）；（2）（3）；（4）．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，掌握二次根式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)七最簡(jiǎn)二次根式的判斷】例題：（2023春·湖北武漢·八年級(jí)校考階段練習(xí)）下列二次根式是最簡(jiǎn)二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A中，不是最簡(jiǎn)二次根式，故不符合要求；B中，是最簡(jiǎn)二次根式，故符合要求；C中，不是最簡(jiǎn)二次根式，故不符合要求；D中，不是最簡(jiǎn)二次根式，故不符合要求；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)，最簡(jiǎn)二次根式．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·廣東云浮·八年級(jí)?？计谥校┫铝卸胃街械淖詈?jiǎn)二次根式是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義逐個(gè)判斷即可．【詳解】解：．的被開方數(shù)中的因數(shù)不是整數(shù)，不是最簡(jiǎn)二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；.是最簡(jiǎn)二次根式，故本選項(xiàng)符合題意；.的被開方數(shù)中的因數(shù)不是整數(shù)，不是最簡(jiǎn)二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；.的被開方數(shù)中含有能開得盡方的因數(shù)，不是最簡(jiǎn)二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了最簡(jiǎn)二次根式，能熟記最簡(jiǎn)二次根式的定義是解此題的關(guān)鍵，具備以下兩個(gè)條件的二次根式叫最簡(jiǎn)二次根式：被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，被開方數(shù)中不含有能開得盡方的因數(shù)和因式．2．（2023春·廣東廣州·八年級(jí)?？计谥校┫铝卸胃街?，是最簡(jiǎn)二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的概念：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式，逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、是二次根式，故符合題意；B、，不是二次根式，故不符合題意；C、，不是二次根式，故不符合題意；D、，不是二次根式，故不符合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查最簡(jiǎn)二次根式，理解最簡(jiǎn)二次根式的定義是正確解答的關(guān)鍵．【考點(diǎn)八化為最簡(jiǎn)二次根式】例題：（2023春·江西上饒·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）化簡(jiǎn)的結(jié)果為______．【答案】/【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可．【詳解】解：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，掌握二次根式的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）把下列二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式：(1)(2)(3)【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）把32寫成16×2，然后化簡(jiǎn)；（2）先把小數(shù)寫成分?jǐn)?shù)，然后分子分母都乘以2，然后化簡(jiǎn)；（3）分子分母都乘以3，然后化簡(jiǎn)．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式的化簡(jiǎn)，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023·上?！ぐ四昙?jí)假期作業(yè)）將下列二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式：(1)；(2)；(3)（）(4)（，，）．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）根據(jù)二次根式的性質(zhì)，分母有理化的計(jì)算方法即可求解；（2）將小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，根據(jù)二次根式的性質(zhì)，分母有理化的計(jì)算方法即可求解；（3）根據(jù)二次根式的性質(zhì)，分母有理化的計(jì)算方法即可求解；（4）根據(jù)二次根式的性質(zhì)，分母有理化的計(jì)算方法即可求解．【詳解】（1）解：．（2）解：（3）解：．（4）解：．【點(diǎn)睛】本題主要考查利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，掌握二次根式的性質(zhì)，二次根式分母有理化的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)九已知最簡(jiǎn)二次根式求參數(shù)】例題：（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）若二次根式與可以合并，則的值可以是（

）A．6 B．5 C．4 D．2【答案】B【分析】把a(bǔ)的值依次代入即可判斷求解．【詳解】當(dāng)a=6時(shí)，=，不能與可以合并，當(dāng)a=5時(shí)，=，能與可以合并，當(dāng)a=4時(shí)，=，不能與可以合并，當(dāng)a=2時(shí)，=，不能與可以合并，故選B．【點(diǎn)睛】此題主要考查二次根式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知二次根式的化簡(jiǎn)方法．【變式訓(xùn)練】1．（2023·上?！ぐ四昙?jí)假期作業(yè)）兩個(gè)最簡(jiǎn)二次根式與可以合并，則_____．【答案】5【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義即可解答．【詳解】解：由題意得：，∴，∴，但當(dāng)時(shí)，，不是最簡(jiǎn)二次根式，應(yīng)舍去，∴；故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查了最簡(jiǎn)二次根式的定義，理解二次根式的定義是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如果兩個(gè)最簡(jiǎn)二次根式與能合并，那么________．【答案】4【分析】根據(jù)題意得到，求出a即可求解．【詳解】解：∵最簡(jiǎn)二次根式與能合并，∴，解得．故答案為：4【點(diǎn)睛】本題考查了最簡(jiǎn)二次根式，同類二次根式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意判斷最簡(jiǎn)二次根式與是同類二次根式．【過關(guān)檢測(cè)】一、選擇題1．（2023春·廣東云浮·八年級(jí)?？计谥校┫铝惺阶記]有意義的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，可得答案．【詳解】解：A、被開方數(shù)是負(fù)數(shù)，該式子無(wú)意義，故本選項(xiàng)正確；B、被開方數(shù)是，該式子有意義，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、，被開方數(shù)是正數(shù)，該式子有意義，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、，被開方數(shù)是正數(shù)，該式子有意義，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式有意義的條件，二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解題關(guān)鍵．2．（2023春·北京海淀·八年級(jí)?？计谥校┫铝卸胃街惺亲詈?jiǎn)二次根式的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的條件：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式逐項(xiàng)進(jìn)行判定即可得出答案．【詳解】解：A：，被開方數(shù)含有分母，所以A選項(xiàng)不是最簡(jiǎn)二次根式；B：，所以B選項(xiàng)不是最簡(jiǎn)二次根式；C：，所以C選項(xiàng)是最簡(jiǎn)二次根式；D：，所以D選項(xiàng)不是最簡(jiǎn)二次根式；故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查最簡(jiǎn)二次根式，熟知最簡(jiǎn)二次根式的定義是解題的關(guān)鍵．3．（2023·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）計(jì)算的結(jié)果是（）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二次根式的乘除混合運(yùn)算的運(yùn)算順序和運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：原式．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的乘除混合與運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的乘除混合運(yùn)算法則和運(yùn)算順序．4．（2023春·湖北襄陽(yáng)·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在函數(shù)中，自變量x的取值范圍是(

)A． B． C．且 D．且【答案】C【分析】根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)、分母不為0列出不等式組，解不等式組即可得到答案．【詳解】解：由題意得：，解得：且，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是函數(shù)自變量的取值范圍的確定，掌握二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)、分母不為0是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·天津?qū)氎妗て吣昙?jí)?？茧A段練習(xí)）下列各式錯(cuò)誤的是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)二次根式，三次根式的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：選項(xiàng)，，故選項(xiàng)正確，不符合題意；選項(xiàng)，，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；選項(xiàng)，，故選項(xiàng)正確，不符合題意；選項(xiàng)，，故選項(xiàng)正確，不符合題意；故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式，三次根式的性質(zhì)，掌握二次根式，三次根式的性質(zhì)及運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．二、填空題6．（2023·山西晉中·統(tǒng)考一模）計(jì)算：的結(jié)果為______．【答案】【分析】先根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)根號(hào)，再根據(jù)二次根式的乘除法法則計(jì)算即可．【詳解】解：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的乘除法運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握運(yùn)算法則進(jìn)行解題．7．（2023春·廣東湛江·八年級(jí)?？计谥校┤舸鷶?shù)式有意義，則的取值范圍是___________．【答案】【分析】根據(jù)二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，可得：，據(jù)此求出的取值范圍即可．【詳解】解：代數(shù)式有意義，，故答案為：【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式有意義的條件，解答此題的關(guān)鍵是要明確：二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)．8．（2023春·福建廈門·八年級(jí)廈門市湖濱中學(xué)?？计谥校┯?jì)算：（1）＝_____；（2）＝_____；（3）＝______；（4）＝______．【答案】325【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)和運(yùn)算法則分別計(jì)算．【詳解】解：，，，，故答案為：3，2，5，．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的運(yùn)算，涉及二次根式的性質(zhì)，二次根式的乘法和加法，解題的關(guān)鍵是掌握運(yùn)算法則．9．（2023·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）二次根式中：、、、是最簡(jiǎn)二次根式的是______．【答案】【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：是最簡(jiǎn)二次根式，∵，，，∴、、不是最簡(jiǎn)二次根式．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了最簡(jiǎn)二次根式的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握最簡(jiǎn)二次根式的條件，①被開方數(shù)不含分母；②被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式．10．（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如果，那么下列各式，①；②；③，④，正確的有______．【答案】②③/③②【分析】根據(jù)已知條件，二次根式的性質(zhì)，二次根式的乘除法進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：∵，則，∴①，故①錯(cuò)誤；②，故②正確；③，故③正確，④，故④錯(cuò)誤，故答案為：②③．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)，二次根式的乘除法，掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三、解答題11．（2023春·安徽六安·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）當(dāng)分別取下列值時(shí)，求二次根式的值．(1)；(2)；(3)．【答案】(1)3(2)(3)5【分析】（1）把代入二次根式，再開方即可得出答案；（2）把代入二次根式進(jìn)行計(jì)算，即可得出答案；（3）把代入二次根式，再開方即可得出答案．【詳解】（1）解：把代入二次根式，得；（2）解：把代入二次根式，得；（3）解：把代入二次根式，得．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的定義，直接將的值代入利用二次根式的性質(zhì)直接開平方是解決問題的關(guān)鍵．12．（2023·上?！ぐ四昙?jí)假期作業(yè)）化簡(jiǎn)以下二次根式：(1)；(2)；(3)（）．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)二次根式性質(zhì)進(jìn)行的化簡(jiǎn)即可得解；（2）根據(jù)二次根式性質(zhì)進(jìn)行的化簡(jiǎn)即可得解；（3）根據(jù)二次根式性質(zhì)進(jìn)行的化簡(jiǎn)即可得解．【詳解】（1）解：；（2）解：由二次根式非負(fù)性得，∴，∴；（3）解：由二次根式非負(fù)性得，又，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的性質(zhì)和化簡(jiǎn)，掌握被開方數(shù)化為因式積的形式，正確開方化簡(jiǎn)是解題關(guān)鍵．13．（2023·上海·八年級(jí)假期作業(yè)）求下列各式