2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解答題提優(yōu)思路(新高考專用)專題12數(shù)列不等式練習(xí)(學(xué)生版+解析)

專題11數(shù)列不等式（典型題型歸類訓(xùn)練）目錄TOC\o"1-2"\h\u一、典型題型 1題型一：數(shù)列不等式恒成立 1題型二：數(shù)列不等式能成立（有解）問題 4二、專題11數(shù)列不等式專項訓(xùn)練 6一、典型題型題型一：數(shù)列不等式恒成立1．（23-24高二下·河南南陽·期中）記數(shù)列的前項和為，已知，且．(1)令，求數(shù)列的通項公式；(2)若對于任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍．2．（2024·廣東韶關(guān)·二模）記上的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足的數(shù)列稱為函數(shù)的“牛頓數(shù)列”.已知數(shù)列為函數(shù)的牛頓數(shù)列，且數(shù)列滿足.(1)求；(2)證明數(shù)列是等比數(shù)列并求；(3)設(shè)數(shù)列的前項和為，若不等式對任意的恒成立，求t的取值范圍.3．（23-24高二下·貴州貴陽·期中）已知數(shù)列滿足：，且.設(shè)的前項和為，.(1)證明：是等差數(shù)列；(2)求；(3)若不等式對恒成立，求實數(shù)的取值范圍.4．（23-24高二下·吉林長春·階段練習(xí)）設(shè)正項數(shù)列的前項之和，數(shù)列的前項之積，且.(1)求證：為等差數(shù)列，并分別求的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列的前項和為，不等式對任意正整數(shù)恒成立，求正實數(shù)的取值范圍.5．（2024·湖南·二模）已知是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，數(shù)列滿足：，且，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若對任意的都有，求實數(shù)的取值范圍.6．（23-24高二上·山東煙臺·期末）設(shè)數(shù)列，的前n項和分別為，，，，且，（）.(1)求的通項公式，并證明：是等差數(shù)列；(2)若不等式對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍.題型二：數(shù)列不等式能成立（有解）問題1．（2024·云南·一模）已知為等比數(shù)列，記分別為數(shù)列的前項和，，.(1)求的通項公式；(2)是否存在整數(shù)，使對任意正整數(shù)都成立？若存在，求的最小值；若不存在，請說明理由.2．（23-24高二上·江蘇鹽城·期末）已知正項數(shù)列的前n項和為，且；數(shù)列是單調(diào)遞增的等比數(shù)列，公比為q，且，的等差中項為10；，的等比中項為8．(1)求，的通項公式；(2)設(shè)，為數(shù)列的前n項和，若存在使得成立，求實數(shù)的最大值．3．（2024·云南曲靖·一模）已知數(shù)列的前項和為，且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列滿足，其前項和為，求使得成立的的最小值．4．（23-24高三上·山東·階段練習(xí)）已知正項數(shù)列的前n項和為，；數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，公比為q，且，的等差中項為10，，的等比中項為8．(1)求，的通項公式；(2)設(shè)，為的前n項和，若能成立，求實數(shù)的最大值．5．（23-24高三上·河北張家口·階段練習(xí)）已知正項數(shù)列的前項和為，且．?dāng)?shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為，數(shù)列，．(1)求數(shù)列的通項公式及；(2)若對任意，存在使得成立，求實數(shù)的取值范圍．二、專題11數(shù)列不等式專項訓(xùn)練1．（23-24高二下·遼寧大連·階段練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前n項和為，已知，，，是數(shù)列的前n項和．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求滿足的最大正整數(shù)n的值．2．（2024·四川南充·二模）在數(shù)列中，是其前項和，且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，恒成立，求的取值范圍．6．（2024·天津紅橋·一模）已知為數(shù)列的前n項和，且滿足，其中，且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，若對任意的，都有，求實數(shù)m的取值范圍．7．（23-24高二下·湖南長沙·開學(xué)考試）已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，，，.(1)求和的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和；(3)記，對任意的，恒有，求的取值范圍.8．（23-24高三下·湖南湘潭·階段練習(xí)）設(shè)各項都不為0的數(shù)列的前項積為，，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)保持數(shù)列中的各項順序不變，在每兩項與之間插入一項（其中），組成新的數(shù)列，記數(shù)列的前項和為，若，求的最小值.9．（2014高一·全國·競賽）對于給定的，若，定義.已知數(shù)列滿足，當(dāng)時，，其中為數(shù)列的前項和.(1)求的通項公式；(2)計算數(shù)列的前項和，是否存在，使得任意，都有？若存在，求出的最小值；若不存在，請說明理由.10．（23-24高三下·重慶·階段練習(xí)）已知正項數(shù)列的前項和為，且滿足，，數(shù)列為正項等比數(shù)列，且依次成等差數(shù)列.(1)求的通項公式；(2)設(shè)，的前項和為，問是否存在正整數(shù)使得成立，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.專題11數(shù)列不等式（典型題型歸類訓(xùn)練）目錄TOC\o"1-2"\h\u一、典型題型 1題型一：數(shù)列不等式恒成立 1題型二：數(shù)列不等式能成立（有解）問題 8二、專題11數(shù)列不等式專項訓(xùn)練 14一、典型題型題型一：數(shù)列不等式恒成立1．（23-24高二下·河南南陽·期中）記數(shù)列的前項和為，已知，且．(1)令，求數(shù)列的通項公式；(2)若對于任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)．【分析】（1）分類討論是奇數(shù)和偶數(shù)，利用遞推公式計算即可；（2）先利用等差數(shù)列求和公式分組求和，再分離參數(shù)，令，判定其單調(diào)性，計算即可.【詳解】（1）令，則①，令，則②，②－①，得，又因為，所以可得，代入①式，得，所以．（2），其中，，所以．由，可得恒成立．設(shè)，則，當(dāng)，即時，，當(dāng)，即時，，所以，故，所以，即實數(shù)的取值范圍為．2．（2024·廣東韶關(guān)·二模）記上的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足的數(shù)列稱為函數(shù)的“牛頓數(shù)列”.已知數(shù)列為函數(shù)的牛頓數(shù)列，且數(shù)列滿足.(1)求；(2)證明數(shù)列是等比數(shù)列并求；(3)設(shè)數(shù)列的前項和為，若不等式對任意的恒成立，求t的取值范圍.【答案】(1)(2)證明見解析，(3)【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，化簡數(shù)列遞推式，根據(jù)對數(shù)運算及遞推式求解即可；（2）對遞推式變形結(jié)合對數(shù)運算求得，利用等比數(shù)列定義即可證明，代入等比數(shù)列通項公式求解通項公式；（3）先利用等比數(shù)列求和公式求和，再把恒成立問題轉(zhuǎn)化為對任意的恒成立，令，，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)單調(diào)性求解函數(shù)最值，根據(jù)n的奇偶性分別求解范圍即可.【詳解】（1）因為，則，從而有，由，則，則，解得則有，所以；（2）由，則，所以，故（非零常數(shù)），且，所以數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以；（3）由等比數(shù)列的前n項和公式得：，因為不等式對任意的恒成立，又且單調(diào)遞增，所以對任意的恒成立，令，，則，當(dāng)時，，是減函數(shù)，當(dāng)時，，是增函數(shù)，又，且，，，則，當(dāng)n為偶數(shù)時，原式化簡為，所以當(dāng)時，；當(dāng)n為奇數(shù)時，原式化簡為，所以當(dāng)時，，所以；綜上可知，.3．（23-24高二下·貴州貴陽·期中）已知數(shù)列滿足：，且.設(shè)的前項和為，.(1)證明：是等差數(shù)列；(2)求；(3)若不等式對恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義證明（2）由已知得，再通過錯位相減法求解出；（3）不等式化簡為，把問題轉(zhuǎn)化為對恒成立，然后分別求出當(dāng)、和時，t滿足的條件即可【詳解】（1）因為，所以，，且，所以是以-2為首項，且公差為1的等差數(shù)列，即.（2）由（1）知，，所以.則，于是，兩式相減得，因此.（3）由，得，依題意，對恒成立，當(dāng)時，，則；當(dāng)時，不等式恒成立；當(dāng)時，，則，于是，綜上,實數(shù)的取值范圍是.4．（23-24高二下·吉林長春·階段練習(xí)）設(shè)正項數(shù)列的前項之和，數(shù)列的前項之積，且.(1)求證：為等差數(shù)列，并分別求的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列的前項和為，不等式對任意正整數(shù)恒成立，求正實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)證明見解析，，(2)【分析】（1）利用已知關(guān)系可得，代入，化簡可證為等差數(shù)列，從而求得，的通項公式；（2）由（1）得，利用裂項相消可得，利用數(shù)列的單調(diào)性求出，解不等式即可求出正實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）由題意知：當(dāng)時，，代入得，所以.由，得，所以是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以，，，當(dāng)時，，當(dāng)時，也符合上式，所以.（2）由（1）得，所以.顯然單調(diào)遞增，所以.由題意得，即，又，所以的取值范圍為.5．（2024·湖南·二模）已知是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，數(shù)列滿足：，且，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若對任意的都有，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用題設(shè)條件求得，再利用等比數(shù)列的通項公式求得，進而求得；（2）將問題轉(zhuǎn)化為恒成立，再利用作差法求得的最大值，從而得解.【詳解】（1）因為，，，所以，則，，則，因為是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，所以，即，所以，則.（2）因為恒成立，所以恒成立，設(shè)，則，當(dāng)時，，則；當(dāng)時，，則；所以，則.6．（23-24高二上·山東煙臺·期末）設(shè)數(shù)列，的前n項和分別為，，，，且，（）.(1)求的通項公式，并證明：是等差數(shù)列；(2)若不等式對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)，證明見解析；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，結(jié)合求出的通項，再利用等差數(shù)列的定義推理即得.（2）利用錯位相減法求和得，，由給定不等式得，，再求出的最小值即可.【詳解】（1）數(shù)列中，，當(dāng)時，，兩式相減得，，又，即，而，解得，則，所以數(shù)列為等比數(shù)列，；由，，得，因此數(shù)列是以為首項、1為公差的等差數(shù)列.（2）由（1）得，，即，則，于是，兩式相減得，，因此，又，即，于是，而，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，則，所以實數(shù)的取值范圍為.【點睛】思路點睛：涉及數(shù)列不等式恒成立問題，可以變形不等式，分離參數(shù)，借助函數(shù)思想求解即可.題型二：數(shù)列不等式能成立（有解）問題1．（2024·云南·一模）已知為等比數(shù)列，記分別為數(shù)列的前項和，，.(1)求的通項公式；(2)是否存在整數(shù)，使對任意正整數(shù)都成立？若存在，求的最小值；若不存在，請說明理由.【答案】(1)，；(2)存在，的最小值為3.【分析】（1）利用等比數(shù)列求和公式得首項和公比的方程組，得，利用數(shù)列的和與通項的關(guān)系得，結(jié)合得是等差數(shù)列即可求解；（2）錯位相減法求和得，再利用數(shù)列性質(zhì)求最值即可求解.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)已知得，且解方程組得的通項公式為.，，解得，且.，即.且，則，整理得，故是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，故.的通項公式為.（2）設(shè)，則.，.恒成立，且,存在整數(shù)，使對任意正整數(shù)都成立，且的最小值為3.2．（23-24高二上·江蘇鹽城·期末）已知正項數(shù)列的前n項和為，且；數(shù)列是單調(diào)遞增的等比數(shù)列，公比為q，且，的等差中項為10；，的等比中項為8．(1)求，的通項公式；(2)設(shè)，為數(shù)列的前n項和，若存在使得成立，求實數(shù)的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用與的關(guān)系可得，利用等比數(shù)列性質(zhì)及等差中項、等比中項性質(zhì)可得；（2）分組求和可得，可將原不等式轉(zhuǎn)化為，計算即可得.【詳解】（1）由可得，當(dāng)時，，兩式相減得，，即，，即可得是等差數(shù)列．由，得，即．由題意得，即，解得或，是遞增的等比數(shù)列，，所以，得，，即；（2）由（1）得：若存在使得成立，等價于存在使得能成立，設(shè)，則，是遞減數(shù)列，故的最大值為，因此的最大值為.3．（2024·云南曲靖·一模）已知數(shù)列的前項和為，且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列滿足，其前項和為，求使得成立的的最小值．【答案】(1)；(2)10.【分析】（1）根據(jù)關(guān)系及遞推式可得，結(jié)合等比數(shù)列定義寫出通項公式，即可得結(jié)果；（2）應(yīng)用裂項相消法求，由不等式能成立及指數(shù)函數(shù)性質(zhì)求得，即可得結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時，，所以，則，而，所以，故是首項、公比都為2的等比數(shù)列，所以.（2）由，所以，要使，即，由且，則.所以使得成立的的最小值為10.4．（23-24高三上·山東·階段練習(xí)）已知正項數(shù)列的前n項和為，；數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，公比為q，且，的等差中項為10，，的等比中項為8．(1)求，的通項公式；(2)設(shè)，為的前n項和，若能成立，求實數(shù)的最大值．【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用的關(guān)系式即可求得是等差數(shù)列，可得；再利用等比數(shù)列定義即可求得，可得；（2）采用分組求和并利用等差、等比數(shù)列前項和公式即可求得，不等式能成立等價于，利用單調(diào)性可求得.【詳解】（1）由可得，當(dāng)時，，兩式相減得，∴，即．∵，∴（），即可得是等差數(shù)列．由，得，∴，即．由題意得，即，解得或．∵是遞增的等比數(shù)列，∴，所以，得，∴．所以和的通項公式為，．（2）由（1）得：．能成立，等價于能成立，化簡得能成立，即．設(shè)，則，∴是遞減數(shù)列，故的最大值為．∴，因此的最大值為．5．（23-24高三上·河北張家口·階段練習(xí)）已知正項數(shù)列的前項和為，且．?dāng)?shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為，數(shù)列，．(1)求數(shù)列的通項公式及；(2)若對任意，存在使得成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)；；(2)．【分析】（1）利用的關(guān)系式可求得數(shù)列的通項公式為，由錯位相減法求和即可得；（2）易知，由數(shù)列的函數(shù)特性可知，根據(jù)題意只需滿足即可求得.【詳解】（1）由，可得當(dāng)時，，得；當(dāng)時，，即，可得是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以；當(dāng)時，符合，所以數(shù)列的通項公式為；，則數(shù)列的前項和為，，相減可得：所以；（2）由得，可得，由，當(dāng)時，，即有，可得，又時，的最大值為，對任意，存在，使得成立，即即可，解得；所以實數(shù)的取值范圍為二、專題11數(shù)列不等式專項訓(xùn)練1．（23-24高二下·遼寧大連·階段練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前n項和為，已知，，，是數(shù)列的前n項和．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求滿足的最大正整數(shù)n的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用得到數(shù)列是等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求解；（2）先求出，進而可得，求出代入不等式左邊整理化簡，然后解不等式即可.【詳解】（1）因為，所以，即，又，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以；（2）由（1）得，所以，則，則，所以，又，解得，所以正整數(shù)n的最大值為.2．（2024·四川南充·二模）在數(shù)列中，是其前項和，且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，恒成立，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由，作差得到，從而得到是以為首項，為公比的等比數(shù)列，即可求出其通項公式；（2）由（1）求出，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出的最值，即可得解.【詳解】（1）因為，當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，，所以，所以；所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以.（2）由（1）可得，又在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)為偶數(shù)時，，當(dāng)為奇數(shù)時，，所以當(dāng)時取得最大值為，當(dāng)時取得最小值為，因為，恒成立，所以，解得，所以的取值范圍為.3．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項和為，且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）當(dāng)時，求得，當(dāng)時，得到，兩式相減化簡得到，結(jié)合疊加法，即可求得數(shù)列的通項公式；（2）由（1）得到，求得，解法1：根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為，結(jié)合，結(jié)合基本不等式，即可求解；解法2：根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】（1）解：當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，，兩式相減可得，，則，疊加可得，，則，而時也符合題意，所以數(shù)列的通項公式為．（2）解：由（1）知，可得，故；解法1：由，可得，即，即則，又由，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故實數(shù)的取值范圍為．解法2：由，可得，當(dāng)，即時，，則，故實數(shù)的取值范圍為．4．（23-24高二下·云南玉溪·階段練習(xí)）已知是等差數(shù)列的前項和，且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若對任意，求的最小整數(shù)值．【答案】(1)(2)1【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項公式及求和公式列出方程組求解即可；（2）根據(jù)錯位相減法求出和，即可得解.【詳解】（1）設(shè)的公差為，因為，所以，解得，所以；（2）因為，所以，令，所以，兩式相減得，所以．因為，所以，所以，故的最小整數(shù)值為1．5．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項和為，且關(guān)于x的方程，有兩個相等的實數(shù)根．(1)求的通項公式；(2)若，數(shù)列的前n項和為，且對任意的恒成立，求實數(shù)的最大值．【答案】(1)(2)3【分析】（1）利用方程有等根可知判別式為0，求出，根據(jù)關(guān)系即可得出通項公式；（2）利用錯位相減法求出，再分離參數(shù)后求解即可.【詳解】（1）由關(guān)于的方程，有兩個相等的實數(shù)根，可得，即，，當(dāng)時，．當(dāng)時，．當(dāng)時，上式也成立，所以．（2）由（1）可知，，，①，②得：，所以．又對任意的恒成立，即對任意的恒成立，故，因為數(shù)列在時單調(diào)遞增，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取得最小值．所以實數(shù)的最大值為3．6．（2024·天津紅橋·一模）已知為數(shù)列的前n項和，且滿足，其中，且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，若對任意的，都有，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用的關(guān)系式求解即可；（2）由題意有，利用分組求和法分別求出，再根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性分別求出，即可得解.【詳解】（1）由，當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，，所以，所以數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，所以；（2）由（1）得，則，故，，而隨的增大而減小，所以，隨的增大而增大，所以，因為對任意的，都有，所以.7．（23-24高二下·湖南長沙·開學(xué)考試）已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，，，.(1)求和的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和；(3)記，對任意的，恒有，求的取值范圍.【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項公式求出公比和公差，即可求解；（2）利用裂項相消即可求和；（3）由恒成立，得到恒成立，分離參數(shù)