2024-2025學年高考數學一輪復習專題3.3函數的奇偶性與周期性知識點講解含解析

專題3.3函數的奇偶性與周期性【考綱解讀與核心素養(yǎng)】1．理解函數的奇偶性，會推斷函數的奇偶性，了解函數的周期性.2．培育學生的數學抽象、數學運算、數學建模、邏輯推理、直觀想象等核心數學素養(yǎng).3.高考預料：（1）推斷函數的奇偶性與周期性；（2）函數的奇偶性、周期性，通常與抽象函數、函數的圖象以及函數的單調性結合考查，常結合三角函數加以考查．4.備考重點：（1）抽象函數的奇偶性與周期性；（2）利用奇偶性與周期性求參數取值范圍；（3）函數性質的綜合應用問題.【學問清單】1．函數的奇偶性奇偶性定義圖象特點偶函數假如對于函數f(x)的定義域內隨意一個x，都有f(－x)＝f(x)，那么函數f(x)是偶函數關于y軸對稱奇函數假如對于函數f(x)的定義域內隨意一個x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函數f(x)是奇函數關于原點對稱2．函數的周期性(1)周期函數：對于函數y＝f(x)，假如存在一個非零常數T，使得當x取定義域內的任何值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數y＝f(x)為周期函數，稱T為這個函數的周期.(2)最小正周期：假如在周期函數f(x)的全部周期中存在一個最小的正數，那么這個最小正數就叫做f(x)的最小正周期.【典例剖析】高頻考點一：函數奇偶性的推斷【典例1】（廣東省高考真題（理））設函數和g(x)分別是R上的偶函數和奇函數，則下列結論恒成立的是A．+|g(x)|是偶函數 B．-|g(x)|是奇函數C．||+g(x)是偶函數 D．||-g(x)是奇函數【答案】A【解析】由題設知:于是有，，，.【典例2】（2024·北京高考模擬（理））下列函數中為偶函數的是()A． B．C． D．【答案】B【解析】對于A，f（－x）＝－x3－x＝－（x3＋x）＝－f（x），是奇函數.對于B，f（－x）＝（－x）2－4＝x2－4＝f（x），是偶函數.C、D是非奇非偶函數，所以，選B.【學問拓展】(1)奇、偶函數定義域的特點．由于f(x)和f(－x)須同時有意義，所以奇、偶函數的定義域關于原點對稱．這是函數具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域；(2)奇、偶函數的對應關系的特點．①奇函數有f(－x)＝－f(x)?f(－x)＋f(x)＝0?eq\f(f－x,fx)＝－1(f(x)≠0)；②偶函數有f(－x)＝f(x)?f(－x)－f(x)＝0?eq\f(f－x,fx)＝1(f(x)≠0)．(3)函數奇偶性的三個關注點．①若奇函數在原點處有定義，則必有f(0)＝0.有時可以用這個結論來否定一個函數為奇函數；②既是奇函數又是偶函數的函數只有一種類型，即f(x)＝0，x∈D，其中定義域D是關于原點對稱的非空集合；③函數依據奇偶性可分為奇函數、偶函數、既奇又偶函數、非奇非偶函數．(4)奇、偶函數圖象對稱性的應用．①若一個函數的圖象關于原點對稱，則這個函數是奇函數；②若一個函數的圖象關于y軸對稱，則這個函數是偶函數．【變式探究】1.（2024·天津耀華中學高三月考）下列函數中，既不是奇函數，也不是偶函數的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】易知和為奇函數，為偶函數.令，則，即且.所以為非奇非偶函數.故選D.2.已知函數f(x)＝x－eq\f(a,x)的圖象經過點(2,1).(1)求a的值；(2)推斷f(x)的奇偶性．【答案】(1)a＝2；(2)f(x)為奇函數．【解析】(1)∵點(2,1)在函數f(x)的圖象上，∴1＝2－eq\f(a,2)，∴a＝2.(2)由(1)知f(x)＝x－eq\f(2,x)，定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)關于原點對稱．f(－x)＝－x－eq\f(2,－x)＝－x＋eq\f(2,x)＝－(x－eq\f(2,x))＝－f(x)，∴函數f(x)為奇函數．高頻考點二：函數奇偶性的應用【典例3】（2024·全國高考真題（文））設f(x)為奇函數，且當x≥0時，f(x)=，則當x<0時，f(x)=（）A． B．C． D．【答案】D【解析】是奇函數，x≥0時，．當時，，，得．故選D．【典例4】（2024·天津南開中學高考模擬（文））已知是定義域為[a，a+1]的偶函數，則＝（）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵f（x）在[a，a+1]上是偶函數，∴﹣a＝a+1?a，所以f（x）的定義域為[，]，故：f（x）x2﹣bx+1，∵f（x）在區(qū)間[，]上是偶函數，有f（）＝f（），代入解析式可解得：b＝0；∴．故選B．【典例5】（2024·四川省瀘縣五中高三月考（文））已知是奇函數，且當時，.若，則__________.【答案】-3【解析】因為是奇函數，且當時，．又因為，，所以，兩邊取以為底的對數得，所以，即．【總結提升】函數奇偶性的應用(1)求函數解析式①將所求解析式自變量的范圍轉化為已知解析式中自變量的范圍；②將轉化后的自變量代入已知解析式；③利用函數的奇偶性求出解析式．(2)求參數值在定義域關于原點對稱的前提下，依據奇函數滿意f(－x)＝－f(x)或偶函數滿意f(－x)＝f(x)列等式，依據等式兩側對應相等確定參數的值．特殊要留意的是：若能夠確定奇函數的定義域中包含0，可以依據f(0)＝0列式求解，若不能確定則不行用此法．【變式探究】1.（2024·江西江西師大附中高三高考模擬（文））若函數為奇函數，則實數的值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】為奇函數當時，又時，本題正確選項：2.已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，則f(2)等于()A．－26 B．－18C．－10 D．10【答案】A【解析】解法一：令g(x)＝x5＋ax3＋bx，易知g(x)是R上的奇函數，從而g(－2)＝－g(2)，又f(x)＝g(x)－8，∴f(－2)＝g(－2)－8＝10，∴g(－2)＝18，∴g(2)＝－g(－2)＝－18.∴f(2)＝g(2)－8＝－18－8＝－26.解法二：由已知條件，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f－2＝－25＋a－23＋b－2－8①,f2＝25＋a·23＋b·2－8②))，①＋②得f(2)＋f(－2)＝－16.又f(－2)＝10，∴f(2)＝－26.3.（2025屆河南省南陽市第一中學高三）若函數為偶函數，則__________．【答案】或【解析】令，依據函數為偶函數，可知為奇函數，利用，可得，所以或.高頻考點三：函數周期性及其應用【典例6】（2024·四川省石室中學高三一模（文））已知是定義域為的奇函數，滿意,若，則()A． B． C． D．【答案】C【解析】由函數是定義域為的奇函數，所以，且，又由，即，進而可得，所以函數是以4為周期的周期函數，又由，可得，，則，所以．故選C．【典例7】（2024·六盤山高級中學高三三模（文））奇函數的定義域為R，若為偶函數，且，則＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【答案】B【解析】由題意，奇函數的定義域為R，若為偶函數，則，即，則，即是周期為4的周期函數，，，則，故選：B．【規(guī)律方法】1．求函數周期的方法求一般函數周期常用遞推法和換元法，形如y＝Asin(ωx＋φ)，用公式T＝計算．遞推法：若f(x＋a)＝－f(x)，則f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，所以周期T＝2a.換元法：若f(x＋a)＝f(x－a)，令x－a＝t，x＝t＋a，則f(t)＝f(t＋2a)，所以周期T＝2a．2．推斷函數的周期只需證明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可證明函數是周期函數，且周期為T，函數的周期性常與函數的其他性質綜合命題．3．依據函數的周期性，可以由函數局部的性質得到函數的整體性質，在解決詳細問題時，要留意結論：若T是函數的周期，則kT(k∈Z且k≠0)也是函數的周期．【變式探究】1.（2024·廣東高考模擬（文））已知是定義在上的奇函數，滿意，且，則（）A．0 B． C． D．【答案】B【解析】因為函數滿意，所以關于直線對稱，所以，又是定義在上的奇函數，所以，又由可得，所以，故，因此，函數是以4為周期的周期函數，所以，又因此.故選B2.（2024·山東高考模擬（文））已知定義在上的奇函數滿意，當時，，則（）A．2024 B．0 C．1 D．-1【答案】B【解析】由得：的周期為又為奇函數，，，即：本題正確選項：高頻考點四：函數性質的綜合應用【典例8】（2024·山西省高三其他（文））已知函數是定義在R上的偶函數，且在區(qū)間單調遞增，若實數a滿意，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為函數f（x）是定義在R上的偶函數，所以，則為，因為函數在區(qū)間上單調遞增，所以，解得，則a的取值范圍是，故選：C.【典例9】（2024·梅州市梅縣區(qū)松口中學高三月考（理））設是定義域為的偶函數，且在單調遞減，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】是R的偶函數，．，又在(0，+∞)單調遞減，∴，，故選C．【典例10】【多選題】（2024·山東省高三其他）已知偶函數滿意，則下列說法正確的是（）．A．函數是以2為周期的周期函數 B．函數是以4為周期的周期函數C．函數為奇函數 D．函數為偶函數【答案】BC【解析】對于選項,∵函數為偶函數，∴．∵，∴，則，即，∴，故函數是周期為4的周期函數，由此可知選項A錯誤，選項B正確；對于選項,令，則．在中，將換為，得，∴，∴，則函數為奇函數，所以選項C正確．對于選項,由題意不妨取滿意條件的函數，則為奇函數，所以選項D錯誤．故選：BC.【典例11】（2024·重慶高三其他（文））定義在R上的奇函數滿意：，且當時，，若，則實數m的值為（）A．2 B．1 C．0 D．-1【答案】B【解析】由為奇函數知，∴，即，∴，∴是周期為3的周期函數，故，即，∴.故選：B.【典例12】已知函數y＝f(x)是定義在R上的偶函數，且當x≤0時，f(x)＝x2＋2x.現(xiàn)已畫出函數f(x)在y軸左側的圖象，如圖所示.(1)請補出完整函數y＝f(x)的圖象；(2)依據圖象寫出函數y＝f(x)的增區(qū)間．【答案】【解析】∵函數f(x)為偶函數，∴f(x)的圖象關于y軸對稱，依據對稱性作出函數y＝f(x)在x>0時的圖象．(1)由題意作出函數圖象如圖：(2)據圖可知，單調增區(qū)間為(－1,0)，(1，＋∞)．【規(guī)律方法】函數性質綜合應用問題的常見類型及解題策略(1)函數單調性與奇偶性的綜合．留意函數單調性及奇偶性的定義，以及奇、偶函數圖象的對稱性．(2)周期性與奇偶性的綜合．此類問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行變換，將所求函數值的自變量轉化到已知解析式的函數定義域內求解．(3)單調性、奇偶性與周期性的綜合．解決此類問題通常先利用周期性轉化自變量所在的區(qū)間，然后利用奇偶性和單調性求解．（4）應用奇函數圖象關于原點對稱，偶函數圖象關于y軸對稱．【變式探究】1.（2024·山西省高三其他（文））已知函數，，若，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，由的解析式可知，在上是奇函數且單調遞增，為偶函數，當時，有，任取，則，由不等式的性質可得，即，所以，函數在上遞增再由，得，得即，解得．故選：B．2.(2024·哈爾濱六中二模)定義在R上的奇函數f(x)滿意feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))＝f(x)，當x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))時，f(x)＝logeq\s\do8(\f(1,2))(1－x)，則f(x)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))上是()A．減函數且f(x)＞0 B．減函數且f(x)＜0C．增函數且f(x)＞0 D．增函數且f(x)＜0【答案】D【解析】當x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))時，由f(x)＝logeq\s\do8(\f(1,2))(1－x)可知f(x)單調遞增且f(x)＞0，又函數為奇函數，所以在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))上函數也單調遞增，且f(x)＜0.由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))＝f(x)知，函數的周期為eq\f(3,2)，所以在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))上，函數單調遞增且f(x)＜0，故選D.3.（2024·山東高考模擬（理））已知函數的定義域為,為偶函數，且對，滿意.若，則不等式的解集為（）A． B