湖南省益陽市沅江市共華鎮(zhèn)初級中學(xué)2024-2025學(xué)年八年級上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷

2024-2025學(xué)年湖南省益陽市沅江市共華中學(xué)八年級（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.若分式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是（）A. B. C. D.2.下列各式正確的是（）A. B. C. D.3.已知點與點關(guān)于軸對稱，則的值為（）A. B. C. D.14.化簡的結(jié)果是（）A. B. C. D.5.小明和同學(xué)去距學(xué)校15千米的某景點參觀，小明騎自行車先走，過了10分鐘，其余同學(xué)乘汽車出發(fā)，結(jié)果他們同時到達(dá)，已知汽車的速度比小明騎車速度快50千米/時，設(shè)小明騎車速度為千米/時，則所列方程正確的是（）A. B.C. D.6.如圖，在和中，，，，，連接，交于點，連接.下列結(jié)論：①；②；③平分；④平分.其中正確的個數(shù)為（）A.① B.①② C.①②③ D.①②④7.下列命題中，屬于假命題的是（）A.等底等高的兩個三角形的面積相等 B.三角形的外角和等于內(nèi)角和的2倍C.三角形的一個外角等于兩個內(nèi)角的和 D.全等三角形的面積相等8.已知在中，，于點，，，點為邊上的動點.點為邊上的動點，則的最小值是（）A.5 B.6 C. D.9.如圖，在中，，的中垂線交于點，交于點，連接，若，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.10.如圖，已知，，要使，則不符合條件的是（）A. B. C. D.二、填空題：本題共8小題，每小題3分，共24分。11.如圖，已知，以點為圓心，以任意長為半徑畫弧，分別交，于點，，再以點為圓心，以長為半徑畫弧，交弧于點，畫射線.若，則的度數(shù)為______度.12.計算______.13.計算：______.14.若，那么______.15.已知關(guān)于的分式方程有整數(shù)解，且一次函數(shù)圖象經(jīng)過第一、二、三象限，則整數(shù)的值為______.16.如圖，中，，，為線段上一動點（不與點，重合），連接，作，交線段于.以下四個結(jié)論：①；②當(dāng)為中點時，；③當(dāng)時，；④當(dāng)為等腰三角形時，.其中正確的結(jié)論是______（把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號都填上）.17.如圖，在中，的垂直平分線分別交、于點，，連接.若，的周長為，則的周長為______.18.如圖，點、、在直線上，，，于點，于點，且.若，，則______.三、解答題：本題共8小題，共66分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。19.（本小題7分）先化簡再求值：，其中，.20.（本小題7分）為加快公共領(lǐng)域充電基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)，某停車場計劃購買A，B兩種型號的充電樁.已知A型充電樁比B型充電樁的單價少0.3萬元，且用15萬元購買A型充電樁與用20萬元購買B型充電樁的數(shù)量相等.請問：A，B兩種型號充電樁的單價各是多少？21.（本小題8分）“冰墩墩”和“雪容融”作為第24屆北京冬奧會和冬殘奧會的吉祥物深受大家喜愛.某文旅店訂購“冰墩墩”和“雪容融”兩種毛絨玩具，花費分別是24000元和10000元，已知“冰墩墩”毛絨玩具的訂購單價是“雪容融”毛絨玩具的訂購單價的1.2倍，并且訂購的“冰墩墩”毛絨玩具的數(shù)量比“雪容融”毛絨玩具的數(shù)量多100件.求文旅店訂購的兩種毛絨玩具的單價分別是多少元；22.（本小題8分）先化簡，再求值：，其中.23.（本小題9分）如圖，四邊形中，，，，，與相交于點.（1）求證：；（2）判斷線段與的位置關(guān)系，并說明理由.24.（本小題9分）如圖，與中，與交于點，且，.（1）求證：；（2）當(dāng)，求的度數(shù).25.（本小題9分）生活中的數(shù)學(xué)：（1）啟迪中學(xué)計劃為現(xiàn)初一學(xué)生暑期軍訓(xùn)配備如圖1所示的折疊凳，這樣設(shè)計的折疊発坐著舒適、穩(wěn)定，這種設(shè)計所運用的數(shù)學(xué)原理是______.（2）圖2是折疊凳撐開后的側(cè)面示意圖（木條等材料寬度忽略不計），其中凳腿AB和CD的長相等，O是它們的中點.為了使折疊凳坐著舒適，廠家將撐開后的折疊凳寬度設(shè)計為，則由以上信息可推得的長度也為，請說明的理由.圖1 圖226.（本小題9分）如圖，某段河流的兩岸是平行的，某校八年級數(shù)學(xué)興趣小組在林老師帶領(lǐng)下不用涉水過河就測得河的寬度，他們是這樣做的：①在樹的對岸正對位置選一點，使得；②從點沿河岸直走25米有一樹，繼續(xù)前行25米到達(dá)處；③從處沿河岸垂直的方向行走到達(dá)處，使得樹、樹、點三點共線；④測得DE的長為20米.（1）根據(jù)他們的做法補全圖形并標(biāo)出點、、的位置；（2）求該段河流的寬度是多少米？

答案和解析1.【答案】A【解析】解：分式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，，解得：.故選：A.直接利用分式有意義則分母不為零進(jìn)而得出答案.此題主要考查了分式有意義的條件，分式有意義的條件是分母不等于零.2.【答案】D【解析】解：A、當(dāng)時，原式不成立，故本選項錯誤；B、當(dāng)，原式不成立，故本選項錯誤；C、，故本選項錯誤；D、原式成立，故本選項正確.故選：D.根據(jù)分式的基本性質(zhì)對各選項進(jìn)行逐一分析即可.此題主要考查了分式的基本性質(zhì)，關(guān)鍵是熟練掌握分式的基本性質(zhì).3.【答案】B【解析】解：點與點關(guān)于軸對稱，，，解得：，，則的值為：.故選：B.直接利用關(guān)于軸對稱點的性質(zhì)得出，的值，進(jìn)而得出答案.此題主要考查了關(guān)于軸對稱點的性質(zhì)，正確得出，的值是解題關(guān)鍵.4.【答案】C【解析】解：原式.故選：C.先將分式化成同分母，再計算分式的減法，最后化簡分式即可.本題考查了分式的加減法運算，掌握分式的加減法運算法則是關(guān)鍵.5.【答案】D【解析】解：由題意可得：.故選：D.根據(jù)“小明和同學(xué)去距學(xué)校15千米的某景點參觀，小明騎自行車先走，過了10分鐘，其余同學(xué)乘汽車出發(fā)，結(jié)果他們同時到達(dá)”可以列出相應(yīng)的方程，從而可以得到哪個選項是正確的.本題考查由實際問題抽象出分式方程，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出題目中的等量關(guān)系，列出相應(yīng)的方程.6.【答案】D【解析】解：，，即，在和中，，，，，，①正確；由三角形的外角性質(zhì)得：，，②正確；作于，于，如圖2所示：圖2則，在和中，，，，平分，④正確；，當(dāng)時，才平分，假設(shè)，，，平分，，在和中，，，，，，與矛盾，③錯誤；正確的有①②④；故選：D.由SAS證明得出，，①正確；由全等三角形的性質(zhì)得出，由三角形的外角性質(zhì)得：，得出，②正確；作于，于，如圖所示：則，由AAS證明，得出，由角平分線的判定方法得出平分，④正確；由，得出當(dāng)時，才平分，假設(shè)，由得出，由平分得出，推出，得，而，所以，而，故③錯誤；即可得出結(jié)論.本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、角平分線的判定等知識；證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.7.【答案】C【解析】解：A、等底等高的兩個三角形的面積相等，該命題是真命題，不合題意；B、三角形的外角和等于內(nèi)角和的2倍，該命題是真命題，不合題意；C、三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，原命題是假命題，符合題意；D、全等三角形的面積相等，該命題是真命題，不合題意；故選：C.根據(jù)三角形的面積、三角形的內(nèi)角和與外角和定理、三角形的外角的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)逐一判斷即可求解.本題考查了真假命題，掌握三角形的面積、三角形的內(nèi)角和與外角和定理、三角形的外角性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.8.【答案】C【解析】解：，，，，，，，為的中點，，垂直平分，點，點關(guān)于直線對稱，過作交于，則此時的值最小，，，，的最小值為，故選：C.根據(jù)勾股定理的逆定理得到，得到點，點關(guān)于直線對稱，過作交于，則此時的值最小，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論.本題考查了軸對稱-最短路線問題，勾股定理的逆定理，兩點這間線段最短，線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形的面積公式，利用兩點之間線段最短來解答本題.9.【答案】C【解析】解：的中垂線交于點，交于點，，，，，，，，，故選C.根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)和等腰三角形性質(zhì)求出，求出，即可求出和，即可求出答案.本題考查了線段垂直平分線性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出和的度數(shù)，注意：線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等.10.【答案】C【解析】解：A、，，即，又由，，根據(jù)AAS可判定，故此選項不符合題意；B、由，，，根據(jù)AAS可判定，故此選項不符合題意；C、由，，，這是兩邊及一邊的對角，不能判定，故此選項符合題意；D、由，，，根據(jù)AAS可判定，故此選項不符合題意；故選：C.根據(jù)全等三角形的判定解決此題.本題主要考查全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAA、AAS、HL是解決本題的關(guān)鍵.11.【答案】63.74【解析】解：由題意得：，，，，，，，故答案為：.根據(jù)題意可得：，從而可得，然后利用度分秒的進(jìn)制進(jìn)行計算，即可解答.本題考查了度分秒的換算，角平分線的性質(zhì)，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計算是解題的關(guān)鍵.12.【答案】【解析】解：原式.求出小括號里面的值，進(jìn)行約分即可得出答案.本題考查有理數(shù)的乘法，求出小括號里面的值，進(jìn)行約分是解題的關(guān)鍵.13.【答案】6【解析】解：原式.故答案為：6.利用絕對值的意義和零指數(shù)冪的意義化簡運算即可.本題主要考查了實數(shù)的運算，熟練掌握絕對值的意義和零指數(shù)冪的意義是解題的關(guān)鍵.14.【答案】3【解析】解：，，解得，，故答案為：3.根據(jù)異分母分式加法得到，由此得到方程組，求解即可.此題考查了分式的加減法，解二元一次方程組，熟練掌握異分母分式加法計算法則是解題的關(guān)鍵.15.【答案】3【解析】解：去分母得：，解得：且，關(guān)于的分式方程有整數(shù)解，為整數(shù)且，解得：或3或或或，一次函數(shù)圖象經(jīng)過第一、二、三象限，，符合條件的的值為3，故答案為：3.解分式方程得且，則整數(shù)為0，3，，，時分式方程的解為整數(shù)解，再解不等式，從而得到滿足條件的整數(shù)的值.本題考查了分式方程的解：求出使分式方程中令等號左右兩邊相等且分母不等于0的未知數(shù)的值，這個值叫方程的解.也考查了一元一次不等式組的整數(shù)解，求出值是本題的關(guān)鍵.16.【答案】①②③【解析】解：①，，，，；故①正確；②為中點，，，，，，，，故②正確；③，，，，，，，，，；故③正確；④，，，為等腰三角形，，，，，故④錯誤，故答案為：①②③.①根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的內(nèi)角和和平角的定義即可得到；故①正確；②根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到，故②正確；③根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到；故③正確；④根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到，求得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和得到，故④錯誤.本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵.17.【答案】10【解析】解：垂直平分，，，，的周長為，，的周長.故答案為：10.由已知條件，利用垂直平分線的性質(zhì)可得其兩條邊，然后等效替換即可求出周長.本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及判定及垂直平分線的性質(zhì)；進(jìn)行線段的等量代換是正確解答本題的關(guān)鍵.18.【答案】8【解析】解：直線，直線，，，，，，在和中，，，，，，故答案為：8.根據(jù)直線，直線得，而，根據(jù)等角的余角相等得，然后根據(jù)“AAS”可判斷，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得解.此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)“AAS”判斷是解題的關(guān)鍵.19.【答案】解：，當(dāng)，時，原式.【解析】利用整式的相應(yīng)的法則對式子進(jìn)行化簡，再代入相應(yīng)的值運算即可.本題主要考查整式的混合運算，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的運算法則的掌握.20.【答案】解：設(shè)型充電樁的單價為萬元，則型充電樁的單價少萬元，根據(jù)題意得，解得，經(jīng)檢驗是原方程的解，.答：型充電樁的單價為0.9萬元，則型充電樁的單價為1.2萬元.【解析】設(shè)型充電樁的單價為萬元，則型充電樁的單價少萬元，根據(jù)“用15萬元購買型充電樁與用20萬元購買型充電樁的數(shù)量相等”列出分式方程，求解即可.本題考查了分式的應(yīng)用解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程.21.【答案】解：設(shè)文旅店訂購的“雪容融”毛絨玩具的單價為元，則“冰墩墩”毛絨玩具的單價為元，由題意得：，解得：，經(jīng)檢驗，是原分式方程的解，且符合題意，，答：文旅店訂購的“雪容融”毛絨玩具的單價為100元，“冰墩墩”毛絨玩具的單價為120元【解析】設(shè)文旅店訂購的“雪容融”毛絨玩具的單價為元，則“冰墩墩”毛絨玩具的單價為元，根據(jù)訂購的“冰墩墩”毛絨玩具的數(shù)量比“雪容融”毛絨玩具的數(shù)量多100件.列出分式方程，解方程即可.本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵.22.【答案】解：原式，當(dāng)時，原式.【解析】根據(jù)分式的運算法則進(jìn)行化簡，然后將的值代入原式即可求出答案.本題考查分式的運算，解題的關(guān)鍵是熟練運用分式的運算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型.23.【答案】（1）證明：在和中，，，（2）解：.理由如下：，，，，，，.【解析】（1）根據(jù)即可證明.（2）根據(jù)得到，結(jié)合得到，即可得結(jié)論.本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，常用的判定方法有：SSS、SAS、ASA、AAA、AAS、HL等，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵.24.【答案】（1）證明：在和中，，；（2）解：，，，，.【解析】（1）根據(jù)AAS即可推出和全等；（2）根據(jù)三角形全等得出，推出，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得出，代入求出即可.本題考查了三角形外角性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力.25.【答案】（1）三角形具有穩(wěn)定性；（2）證