高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)規(guī)范答題增分專項(xiàng)6高考中的概率與統(tǒng)計(jì)含解析新人教版

規(guī)范答題增分專項(xiàng)六高考中的概率與統(tǒng)計(jì)

1.某班從6名班干部(其中男生4人，女生2人)中選3人參加學(xué)校學(xué)生會的干部競選.

(1)設(shè)所選3人中女生人數(shù)為人求才的分布列及均值；

(2)在男生甲被選中的情況下,求女生乙也被選中的概率.

解：(1)%的所有可能取值為0,1,2.

依題意,得以不?弓=；,

p(x=v)w怨—-

9Dc「5，

P(X電譽(yù)=]

C65

故X的分布列為

z012

131

p

555

1Q1

MX)=Ox-+lx-+2x--l.

555

⑵設(shè)事件4=“男生甲被選中"，6="女生乙被選中”，

則「⑷=?尸(明.

故P(B1A)一)、)=|.

()5

故在男生甲被選中的情況下,女生乙也被選中的概率為之

2.(2021新高考/,18)某學(xué)校組織“一帶一路”知識競賽，有A,B兩類問題.每位參加比賽的同學(xué)先

在兩類問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束;若回答正確

則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答,無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問題中的每

個(gè)問題回答正確得20分,否則得0分;B類問題中的每個(gè)問題回答正確得80分,否則得0分.

已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8,能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6,且能正確回答問題

的概率與回答次序無關(guān).

(1)若小明先回答A類問題,記X為小明的累計(jì)得分,求X的分布列；

(2)為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題?并說明理由.

解：(1)2=0,20,100.

P(Z=O)=1-0.84).2^,

P(Z^0)=0.8X(l-0.6)^x^=A

P(Z=100)=0.8X0.6^x-=-.

5525

所以才的分布列為

020100

1812

P

52525

⑵若小明先回答A類問題,期望為￡(給.

則雙才=0xi+20x裊100xH=咎

525255

若小明先回答B(yǎng)類問題，Y為小明的累計(jì)得分，

y=o,so,wo,

戶(7=0)=1-0.64).4上，

5

P(y=80)=0.6X(l-0.8)Q^x-1=-Q,

5525

戶(-00)=0.6X0.84x7=巳

5525

廠/。23,［八八12288

￡(D=0x-+/O8n0x-+100x.

525255

因?yàn)椤?)②(力，所以小明應(yīng)選擇先回答B(yǎng)類問題.

3.某城市的公交公司為了方便市民出行,科學(xué)規(guī)劃車輛投放,在一個(gè)人員密集流動地段增設(shè)一個(gè)起

點(diǎn)站,為了研究車輛發(fā)車間隔時(shí)間x(單位:min)與乘客等候人數(shù)y之間的關(guān)系,經(jīng)過調(diào)查得到如下數(shù)

據(jù)：

間隔時(shí)間A/min101112131415

等候人數(shù)y232526292831

調(diào)查小組先從這6組數(shù)據(jù)中選取4組數(shù)據(jù)求經(jīng)驗(yàn)回歸方程,再用剩下的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn).檢驗(yàn)方

法如下:先用求得的經(jīng)驗(yàn)回歸方程計(jì)算間隔時(shí)間對應(yīng)的等候人數(shù).，再求y與實(shí)際等候人數(shù)y的差，

若差值的絕對值都不超過1,則稱所求方程為“恰當(dāng)回歸方程”.

(1)從這6組數(shù)據(jù)中隨機(jī)選取4組數(shù)據(jù)后,求剩下的2組數(shù)據(jù)不相鄰的概率；

(2)若選取的是后面4組數(shù)據(jù)，求y關(guān)于了的經(jīng)驗(yàn)回歸方程.='x+'并判斷此方程是否為“恰當(dāng)

回歸方程”；

(3)為使等候的乘客不超過35人,試用(2)中方程估計(jì)間隔時(shí)間最多可以設(shè)置為多少分鐘(精確到整

數(shù)).

X((-一)

附:經(jīng)驗(yàn)回歸直線.=-X廠的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為-=上----------=

邑(一一)2

L-——

=1_______________________

22-2‘—一"一’

解：(1)從這6組數(shù)據(jù)中隨機(jī)選取4組數(shù)據(jù)后,剩下的2組數(shù)據(jù)的情況有4二15(種)，其中相鄰的情況

有5種,故不相鄰的概率為=1.

153

12+13+14+15

⑵由題意可知一=13.5,

4

26+29+28+31

-28.5,

4

44

X石口=1546,￡2=734,

=1i=l

4

八E-4——

所以二年---------<.4,

￡2—4一2

=1

=—---28.5-1.4X13.5-9.6,

所以"=1.4向9.6.

當(dāng)T-10時(shí)，--1.4X10^9.6-23.6,/23.6-23/4).6<1,

當(dāng)戶11時(shí)，"=1.4X11現(xiàn)6-25,/25-25/4)<1,

所以求出的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為“恰當(dāng)回歸方程”.

⑶由1.4x為.6W35,得啟嗎，

故間隔時(shí)間最多可設(shè)置為18min.

4.為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程,檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個(gè)零件,并測

量其尺寸(單位:cm).根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn),可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正

態(tài)分布M〃，。2).

(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常,記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在［〃-3口+3門之外的零件

數(shù)，求尸(廬1)及才的均值；

⑵一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在［〃-3。，口+3月之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一

天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況,需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.

①試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性；

②下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸：

9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04

10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

,16,16h16

經(jīng)計(jì)算得—=《Z97,s=JX(-—)9=2—16—2)=0.212,其中必為抽取的

16=1J16i=iJ16=1

第，個(gè)零件的尺寸，2,…，16.

用樣本平均數(shù)一作為〃的估計(jì)值,用樣本標(biāo)準(zhǔn)差S作為。的估計(jì)值,,利用估計(jì)值判斷是否需

對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查?剔除「T'+3之外的數(shù)據(jù),用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)〃和。(精確到

0.01).

附:若隨機(jī)變量z服從正態(tài)分布

貝oW左〃用。)七0.9973.0.9973^^0.9577,VO08?0.09.

解：(1)抽取的一個(gè)零件的尺寸在-3。，P+3月之內(nèi)的概率為0.9973,從而零件的尺寸在［〃-

3o,"3之外的概率為0.0027,故XX16,0.0027).

因此尸(41)=1-戶(工=0)=1-0.997316^0,0423.

￡(給=16X0.0027=0.0432.

(2)①如果生產(chǎn)狀態(tài)正常，一個(gè)零件尺寸在［〃-3。，口+3月之外的概率只有0.0027,一天內(nèi)抽取的

16個(gè)零件中，出現(xiàn)尺寸在［〃-3o,月之外的零件的概率只有0.0423,發(fā)生的概率很小.因此一

旦發(fā)生這種情況,就有理由認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況,需對當(dāng)天的

生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查,可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理的.

②由一內(nèi).97,s七0.212,得口的估計(jì)值為--9.97,。的估計(jì)值為-=0.212,由樣本數(shù)據(jù)可以看出有

一個(gè)零件的尺寸在「-3一，'+3'］之外，因此需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.

剔除「-3］之外的數(shù)據(jù)9.22,剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為嘏x(16X9.974.22)=10.02,因此〃

15

的估計(jì)值為10.02.

16

￡2《16X0.212/16X9.97?七1591.134,剔除「-3'「十3.I之外的數(shù)據(jù)9.22,剩下數(shù)據(jù)的

=1

樣本方差為工x(l591.134-9.22?-15X10.022)^0.008,

15

因此O的估計(jì)值為=0.09.

5.某客戶準(zhǔn)備在家中安裝一套凈水系統(tǒng),該系統(tǒng)為二級過濾,使用壽命為十年.如圖①所示,兩個(gè)二

級過濾器采用并聯(lián)安裝,再與一級過濾器串聯(lián)安裝.

二級過濾器和

;一級過濾器尸7二級過濾配

圖①

其中每一級過濾都由核心部件濾芯來實(shí)現(xiàn).在使用過程中,一級濾芯和二級濾芯都需要不定期更換，

每個(gè)濾芯是否需要更換相互獨(dú)立.若客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時(shí)購買濾芯,則一級濾芯每個(gè)160元，

二級濾芯每個(gè)80元.若客戶在使用過程中單獨(dú)購買濾芯,則一級濾芯每個(gè)400元,二級濾芯每個(gè)200

元.現(xiàn)需決策安裝凈水系統(tǒng)的同時(shí)購買濾芯的數(shù)量,為此參考了根據(jù)100套該款凈水系統(tǒng)在十年使

用期內(nèi)更換濾芯的相關(guān)數(shù)據(jù)制成的圖表,其中根據(jù)100個(gè)一級過濾器更換的濾芯個(gè)數(shù)制成的頻數(shù)分

布表如表所示,根據(jù)200個(gè)二級過濾器更換的濾芯個(gè)數(shù)制成的條形圖如圖②所示.

一級濾芯更換頻數(shù)分布表

一級濾芯更換的個(gè)數(shù)89

頻數(shù)6040

二級濾芯更換頻數(shù)條形圖

用頻率代替概率.

(1)求一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級濾芯總個(gè)數(shù)恰好為16的概率；

(2)記才表示該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的二級濾芯總個(gè)數(shù),求才的分布列及均值；

(3)記得〃分別表示該客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時(shí)購買的一級濾芯和二級濾芯的個(gè)數(shù).若m+n=19,且

g{8,9},以該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)購買各級濾芯所需總費(fèi)用的均值為決策依據(jù),試確定m,n

的值.

解：(1)由題意知,使用期內(nèi)一個(gè)一級過濾器需要更換8個(gè)濾芯的概率為喘6,更換9個(gè)濾芯的概

率為9=0.4.

100

一個(gè)二級過濾器需要換4個(gè)濾芯的概率為總2,更換5個(gè)濾芯的概率為喘4,更換6個(gè)濾芯的

概率為心

若一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級濾芯總個(gè)數(shù)為16,則一級過濾器需要更換8個(gè)濾芯,兩

個(gè)二級過濾器都需要更換4個(gè)濾芯,故所求概率為0.6X0.2X0.24).024.

(2)由⑴可知,一個(gè)二級過濾器需要更換濾芯的個(gè)數(shù)為4,5,6的概率分別為0.2,0.4,0.4,

才的可能取值為8,9,10,11,12,

從而―(2=8)=0.2X0.2=0.04,

產(chǎn)(才=9)=2X0.2X0.44).16,

戶(戶10)-2XQ.2X0.44).4X0.4=0.32,

戶(戶H)=2X0.4X0.4=0.32,

^(7-12)4).4X0.4=0.16.

故才的分布列為

89101112

P0.040.160.320.320.16

MX)-8X0.04^9X0.16+10X0.32+11X0.32+12X0.16=10.4.

(3)記K,冉分別表示當(dāng)或mW時(shí),該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)購買各級濾芯所需費(fèi)用.

因?yàn)榍写?19,且0G{8,9},

所以當(dāng)爐8時(shí)，77-11；當(dāng)m馮時(shí)，77-10.

①當(dāng)片8,77=11時(shí)，

￡(X)=160X8必00X0.4^80XII+200X0.16-2352.

②當(dāng)m=Q,72-10時(shí)，

￡(K)=160X9v80X10+200X0.32+400X0.16=2368.

因?yàn)镸K)0為)，所以01=8,77=11.

6.某網(wǎng)上購物平臺為了給顧客提供更好的購物體驗(yàn),為入駐商家設(shè)置了積分制度,每筆購物完成后,

買家可以根據(jù)物流情況、商品質(zhì)量等因素對商家做出評價(jià)，評價(jià)分為好評、中評和差評.平臺規(guī)定

商家有50天的試營業(yè)時(shí)間,其間只評價(jià)不積分,正式營業(yè)后,每個(gè)好評給商家計(jì)1分,中評計(jì)0分，

差評計(jì)T分.某商家在試營業(yè)期間隨機(jī)抽取100單交易,調(diào)查了其商品的物流情況以及買家的評價(jià)

情況,分別制成了頻率分布直方圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖,如圖①②所示.

(1)通常收件時(shí)間不超過4天認(rèn)為是物流迅速,否則認(rèn)為是物流遲緩,請根據(jù)題目所給信息完成下面

2X2列聯(lián)表,并依據(jù)小概率值a005的獨(dú)立性檢驗(yàn),分析獲得好評與物流速度是否有關(guān).

評價(jià)

物流速度合計(jì)

好評中評或差評

物流迅速

物流遲緩30

合計(jì)

(2)從正式營業(yè)開始,記該商家在每筆交易中得到的評價(jià)得分為Z用頻率代替概率,求X的分布列和

均值.

(3)該商家將試營業(yè)50天期間的成交情況制成了如下的頻數(shù)分布表.假設(shè)正式營業(yè)開始，每日成交

單數(shù)的分布規(guī)律不變,用頻率代替概率.

成交單數(shù)363027

天數(shù)102020

平臺規(guī)定,當(dāng)積分超過10000分時(shí),商家會獲得“誠信商家”稱號,請估計(jì)該商家從正式營業(yè)開

始，1年內(nèi)(365天)能否獲得“誠信商家”稱號.

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

解：(1)由題意可得2X2列聯(lián)表如下.

評價(jià)

物流速度合計(jì)

好評中評或差評