《等比數(shù)列前n項(xiàng)和（第1課時(shí)）》教學(xué)設(shè)計(jì)

19/192.5等比數(shù)列前n項(xiàng)和（馬浚）一、教學(xué)目標(biāo)1．核心素養(yǎng)通過對等比數(shù)列前項(xiàng)和的學(xué)習(xí)，提高從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力，并鍛煉數(shù)學(xué)抽象能力.2．學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）能證明等比數(shù)列前項(xiàng)和公式.（2）掌握并運(yùn)用等比數(shù)列前項(xiàng)和公式解決相應(yīng)問題.3．學(xué)習(xí)重點(diǎn)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式及其推導(dǎo)過程4．學(xué)習(xí)難點(diǎn)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程及公式的運(yùn)用二、教學(xué)設(shè)計(jì)（一）課前設(shè)計(jì)1．預(yù)習(xí)任務(wù)任務(wù)1閱讀教材，回憶等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，思考：等比數(shù)列前項(xiàng)和是否和等差數(shù)列前項(xiàng)和一樣，可用公式計(jì)算?公比為1時(shí)，怎樣計(jì)算?公比不為1時(shí)，該怎樣算?任務(wù)2能證明等比數(shù)列前項(xiàng)和公式嗎?2.預(yù)習(xí)自測一、選擇題1．設(shè)首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,則（）A.B.C.D.答案:D.解析:【知識點(diǎn):等比數(shù)列前n項(xiàng)和】由題意可得=1×()n?1=()n?1,∴=3-3×()n=,故選D2．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和是,則A.8B.12C.16D.24答案:C解析:【知識點(diǎn):等比數(shù)列前n項(xiàng)和,等比數(shù)列的性質(zhì)；數(shù)學(xué)思想:推理論證能力】∵故選C.（二）課堂設(shè)計(jì)1．知識回顧（1）等比數(shù)列概念.（2）等比數(shù)列通項(xiàng)公式及性質(zhì).2．問題探究問題探究一等比數(shù)列前項(xiàng)和與前項(xiàng)和的關(guān)系●活動一引經(jīng)據(jù)典,從生活出發(fā)相傳古印度國王為獎賞國際象棋的發(fā)明者,問他有什么要求,發(fā)明者說:“請?jiān)谄灞P的第1個(gè)格子里放上1顆麥粒,在第2個(gè)格子里放上2顆麥粒,在第3個(gè)格子里放上4顆麥粒,依次類推,每個(gè)格子放的麥粒數(shù)都是前一個(gè)格子里放的麥粒數(shù)的2倍,直到放完64個(gè)格子為止.請給我足夠的糧食來實(shí)現(xiàn)上述要求.”你認(rèn)為國王有能力滿足發(fā)明者上述要求嗎？●活動二迎難而上,列出算式第個(gè)格子中要放粒麥粒,.將64個(gè)格子中放的麥粒數(shù)記為,,利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式得●活動三化繁為簡,簡化計(jì)算觀察發(fā)現(xiàn),計(jì)算式右邊的每一項(xiàng)的2倍即是其后一項(xiàng),因此將與兩式相減后得到這個(gè)數(shù)超過了,假定千粒麥子的質(zhì)量為40克,那么麥粒的總質(zhì)量超過了7000億噸,國王根本無能力滿足發(fā)明者的要求.問題探究二由特殊到一般,推導(dǎo)等比數(shù)列前項(xiàng)和計(jì)算式重點(diǎn)、難點(diǎn)知識★▲●活動一引橋構(gòu)建,列出計(jì)算式等比數(shù)列中,前項(xiàng)和記為,●活動二觀察特點(diǎn),類比實(shí)例將與兩式相減后可得.問題探究三利用等比數(shù)列前項(xiàng)和計(jì)算式解決相應(yīng)問題重點(diǎn)、難點(diǎn)知識★▲●活動一初步運(yùn)用,夯實(shí)基礎(chǔ)例1求等比數(shù)列從第五項(xiàng)到第十項(xiàng)的和.詳解:.所以從第五項(xiàng)到第十項(xiàng)的和為1008.●活動二對比提升,能力提高例2一個(gè)等比數(shù)列前項(xiàng)的和為前項(xiàng)之和,求.解:,,故有,知成公比為的等比數(shù)列,故知=3,所以.例3.給出下面的數(shù)表序列:其中表（=1,2,3…）有行,表中每一個(gè)數(shù)“兩腳”的兩數(shù)都是此數(shù)的2倍,記表中所有的數(shù)之和為,例如,,.則答案:根據(jù)數(shù)表,易知,表中,有行數(shù)字第一行有1個(gè)數(shù)字1,和為；第二行有兩個(gè)數(shù)字2,該行的數(shù)字之和為；第三行有3個(gè)數(shù)字,該行的數(shù)字之和為;…第行中有個(gè)數(shù)字,該行數(shù)字之和為,所以表中所有的數(shù)之和為所以兩式相減可得所以.3．課堂總結(jié)【知識梳理】等比數(shù)列中共有五個(gè)量,知道其中3個(gè)量就可以求出其余兩個(gè)量.用公式表示.【重難點(diǎn)突破】等比數(shù)列前項(xiàng)和的證明過程是在等式兩端乘以公比后做差.求等比數(shù)列前項(xiàng)和時(shí)應(yīng)注意討論公比是否等于1.成公比為的等比數(shù)列.4．隨堂檢測一、選擇題1．設(shè)首項(xiàng)為l,公比為的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,則（）A.B.C.D.答案:D.解析:【知識點(diǎn):等比數(shù)列前n項(xiàng)和】根據(jù)前n項(xiàng)和公式可得2．設(shè)是由正數(shù)組成的等比數(shù)列,為其前n項(xiàng)和．已知,則＝（）A.B.C.D.答案:B解析:【知識點(diǎn):等比數(shù)列前n項(xiàng)和】由知q4=1,=>0,q>0,由此解得=4,q=12.=故選B.3．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若＝15,則項(xiàng)數(shù)n為（）A.12B.14C.15D.16答案:D.解析:【知識點(diǎn):等比數(shù)列前n項(xiàng)和,等比數(shù)列的性質(zhì)；數(shù)學(xué)思想:推理論證能力】∵等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為,∴也成等比數(shù)列,設(shè)公比為q,∵=則q=2.∴15=,則項(xiàng)數(shù)n=4×4=16,故選D．4.等比數(shù)列前項(xiàng)和,為等差數(shù)列,,則的值為（）A.7B.8C.15D.16答案:C.解析:【知識點(diǎn):等比數(shù)列前n項(xiàng)和】∵成等差數(shù)列∴,∴,即∴q=2∴==15,故選C5．設(shè)(n∈N*),則等于（）A.(8n－1)B.(－1)C.(－1)D.(－1)答案:D.解析:【知識點(diǎn):等比數(shù)列前n項(xiàng)和,等差數(shù)列前n項(xiàng)和】由題意知,是首項(xiàng)為2,公比為8的等比數(shù)列的前(n+4)項(xiàng)和,所以=．故選D．（三）課后作業(yè)基礎(chǔ)型自主突破一、選擇題1.等比數(shù)列中,則的前項(xiàng)和為（）A.B.C.D.答案:B.解析:【知識點(diǎn):等比數(shù)列前n項(xiàng)和】因?yàn)?所以,得S4=120,所以答案為B.2.等比數(shù)列中,,則數(shù)列的前8項(xiàng)和等于（）A.6B.5C.4D.3答案:C.解析:【知識點(diǎn):等比數(shù)列前n項(xiàng)和,對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)】∵等比數(shù)列{an}中,∴=2×5=10,∴數(shù)列的前8項(xiàng)和==lg（）=lg（）4=4lg（）=4lg10=4,故選C3.公比不為1的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且成等差數(shù)列,若＝1,則＝（）A.－5B.0C.5D.7答案:A.解析:【知識點(diǎn):等差數(shù)列性質(zhì),等比數(shù)列前n項(xiàng)和】等比數(shù)列的基本量的計(jì)算:記等比數(shù)列{an}的公比為q,其中q≠1,依題意有－,∴－q＝－2＋q2≠0,即q2＋q－2＝0,又q≠1,因此有q＝－2,＝－5,選A.4.設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,則（）A.2B.C.D.答案:B.解析:【知識點(diǎn):等比數(shù)列前n項(xiàng)和,等比數(shù)列的性質(zhì)；數(shù)學(xué)思想:推理論證能力】設(shè)=x,則=3x,根據(jù)條件可知等比數(shù)列的公比不是–1.故,–,–成等比數(shù)列,故–=4x,所以S6=7x,=3x,所以5.若是由正數(shù)組成的等比數(shù)列,其前項(xiàng)和為,已知且,則（）A.B.C.D.答案:C解析:【知識點(diǎn):等比數(shù)列通項(xiàng)公式,等比數(shù)列前n項(xiàng)和】正數(shù)組成的等比數(shù)列,則q＞0,且,∴=1＞0；又S3=7,解得q=,a1=4；∴S5=,故選C．6.等比數(shù)列的前4項(xiàng)和為4,前12項(xiàng)和為28,則它的前8項(xiàng)和是（）A.﹣8B.12C.﹣8或12D.8答案:B.解析:【知識點(diǎn):等比數(shù)列前n項(xiàng)和,等比數(shù)列的性質(zhì)；數(shù)學(xué)思想:推理論證能力】設(shè)等比數(shù)列的公比為q,則q≠1．∵前4項(xiàng)和為4,前12項(xiàng)和為28,∴．則,解得=2．則它的前8項(xiàng)和=4×3=12．故選:B．能力型師生共研一、選擇題1．等比數(shù)列中,已知,則數(shù)列的前16項(xiàng)和為（）A.20B.C.D.答案:B.解析:【知識點(diǎn):等比數(shù)列前n項(xiàng)和,等比數(shù)列的性質(zhì)；數(shù)學(xué)思想:推理論證能力】設(shè)等比數(shù)列的公比為q．由,得（）=10q4=5?q4=12．∴=q8（）+q12（）=（q8+q12）（）=．∴S16=10+5+=．故選:C．2.在等比數(shù)列中,已知其前項(xiàng)和,則b的值為（）A.B.1C.D.2答案:C.解析:【知識點(diǎn):等比數(shù)列前n項(xiàng)和】n=1時(shí),,n≥2時(shí),,n=1時(shí),2=b+4,故b=-23.已知數(shù)列滿足a1＝2,且對任意的正整數(shù)m、n,都有,若數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,則Sn等于（）A.B.C.D.答案:D.解析:【知識點(diǎn):等比關(guān)系的確定,等比數(shù)列前n項(xiàng)和；數(shù)學(xué)思想:推理論證能力】令m=1則有,則為首項(xiàng)是2、公比是2的等比數(shù)列,由等比數(shù)列求和公式得Sn=.4.已知是首項(xiàng)為32的正項(xiàng)等比數(shù)列,是其前n項(xiàng)和,且,則數(shù)列的前項(xiàng)和為（）A．25B．26C．27D．28答案：A.解析:【知識點(diǎn):等比數(shù)列前n項(xiàng)和,等比數(shù)列的性質(zhì)；數(shù)學(xué)思想:推理論證能力】設(shè)等比數(shù)列的公比為,則,根據(jù)題意得,因?yàn)閿?shù)列為正項(xiàng)數(shù)列,所以q=,從而有,所以,所以有,所以數(shù)列的前10項(xiàng)和等于,故選A．探究型多維突破一、選擇題1．設(shè)是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列,q是其公比,是其前項(xiàng)的積,且,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.B.C.D.與均為的最大值答案:C解析:【知識點(diǎn):等比數(shù)列的性質(zhì)；數(shù)學(xué)思想:推理論證能力】由于,,,因此,從第8項(xiàng)開始小于1,均為的最大值,,因此.二、填空題1．已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正,為其前項(xiàng)和,滿足,數(shù)列為等差數(shù)列,且,則數(shù)列的前項(xiàng)和________.答案:見解析解析:【知識點(diǎn):等比數(shù)列與等差數(shù)列的綜合；數(shù)學(xué)思想:推理論證能力,運(yùn)算求解能力,應(yīng)用意識】∵,∴,n≥2,兩式相減,得,∴,n≥2,∴是公比為2的等比數(shù)列,∵,∴,∴．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列,,所以公差d=1,所以,∴,∴.自助餐一、選擇題1．一個(gè)由正數(shù)組成的等比數(shù)列,它的前項(xiàng)和是前項(xiàng)和的倍,則此數(shù)列的公比為（）A.B.C.D.答案:B.解析:【知識點(diǎn):等比數(shù)列前n項(xiàng)和】根據(jù)題意可知,設(shè)公比為q,則q≠1,,,所以解得=4或=1（舍去）,因?yàn)閝＞0,所以q=2.故選B.2．設(shè)等比數(shù)列的公比,前n項(xiàng)和為,則（）A.2B.4C.D.答案:C.解析:【知識點(diǎn):等比數(shù)列通項(xiàng)公式,等比數(shù)列前n項(xiàng)和】由等比數(shù)列的求和公式和通項(xiàng)公式可得:.3．等差數(shù)列的公差不為零,首項(xiàng)=1,是和的等比中項(xiàng),則數(shù)列的前10項(xiàng)之和是（）A.90B.100C.145D.190答案:B.解析:【知識點(diǎn):等比數(shù)列前n項(xiàng)和,等比數(shù)列的性質(zhì)；數(shù)學(xué)思想:推理論證能力】設(shè)等差數(shù)列的公差d≠0,∵是和的等比中項(xiàng),∴=?,∴（+d）2=（+4d）即（1+d）2=1×（1+4d）,解得d=2．則數(shù)列的前10項(xiàng)之和為10+100．4．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為,,則＝（）．A.2n－1B.C.D.答案:B.解析:【知識點(diǎn):等比關(guān)系的確定,等比數(shù)列前n項(xiàng)和；數(shù)學(xué)思想:推理論證能力】由,,即,又,所以,則,所以為以1為首項(xiàng)、公比為的等比數(shù)列,所以=5．已知等比數(shù)列,,則使不等式成立的最大自然數(shù)為()A.3B.4C.5D.6答案:C.解析:【知識點(diǎn):等比數(shù)列前n項(xiàng)和,等比關(guān)系的確定；數(shù)學(xué)思想:推理論證能力】由,,則公比可知n＞3時(shí),有得,則有,同理有,得所以不等式成立的最大自然數(shù)為56．如下圖一單位正方體形積木平放于桌面上并且在其上方放置若干個(gè)小正方體形積木擺成塔形其中上面正方體中下底面的四個(gè)頂點(diǎn)是下面相鄰正方體中上底面各邊的中點(diǎn)如果所有正方體暴露在外面部分的面積之和超過8.8,則正方體的個(gè)數(shù)至少是（）A.6B.7C.8D.10答案:A解析:【知識點(diǎn):等比數(shù)列前n項(xiàng)和,等比關(guān)系的確定；數(shù)學(xué)思想:推理論證能力】依題意,由下往上數(shù),正方體的棱長依次為:1、、、…成等比數(shù)列,公比是.每一層正方體暴露在外的部分都是由四個(gè)側(cè)面及上面的四個(gè)全等的等腰直角三角形構(gòu)成.設(shè)正方體棱長為,則上面暴露的等腰直角三角形邊長為.該層正方體暴露的面積與棱長的關(guān)系是:.若正方體個(gè)數(shù)為,則暴露的總面積為:>8.所以.二、填空題1．等比數(shù)列的首項(xiàng)=1,前n項(xiàng)的和為,若,則=_______．答案:32.解析:【知識點(diǎn):等比數(shù)列通項(xiàng)公式,等比數(shù)列前n項(xiàng)和；數(shù)學(xué)思想:推理論證能力】∵是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列,為的前n項(xiàng)和,,∴,解得q=2,∴=25=32．故答案為:32．2．如圖所示:一個(gè)邊長為的正方形上連接著等腰直角三角形,等腰直角三角形的邊上再連接正方形,…,如此繼續(xù),若共得到255個(gè)正方形,則最小正方形的邊長為_________．答案:見解析解析:【知識點(diǎn):等比數(shù)列前n項(xiàng)和,等比關(guān)系的確定,等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；數(shù)學(xué)思想:推理論證能力】第一次得到的正方形的邊長為,共有1個(gè),第二次得到的正方形邊長為,共有2個(gè),第三次得到的正方形邊長為,共有4個(gè),第四次得到的正方形邊長為,共有8個(gè),…由此可歸納得:依次得到正方形的邊長成對比數(shù)列,公比為,依次得到正方形的個(gè)數(shù)成對比數(shù)列,公比為2．設(shè)第n次得到的正方形邊長為,第n次得到的正方形個(gè)數(shù)為,則．令前n次得到正方形的個(gè)數(shù)為,則．令,則n=8．∴.3.將25個(gè)數(shù)排成五行五列:已知每一行成等差數(shù)列,而每一列都成等比數(shù)列,且五個(gè)公比全相等.若,,,則的值為__________答案:見解析解析:【知識點(diǎn):等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合；數(shù)學(xué)思想:推理論證能力,運(yùn)算能力,應(yīng)用意識】可知每一行上的數(shù)都成等差數(shù)列,但這五個(gè)等差數(shù)列的公差不一定相等.由,知且公差為6,故,.由,知公比.若,則,,故；若,則,,故.三、解答題1．設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,已知,求和.答案:見解析解析:【知識點(diǎn):等比數(shù)列通項(xiàng)公式,等比數(shù)列前n項(xiàng)和】設(shè)的公比為q,由題意得:q=6,6+q2=30,解得:=3,q=2或=2,q=3.當(dāng)=3,q=2時(shí):=3×2n-1,=3×（2n-1）；當(dāng)=2,q=3時(shí):=2×3n-1,=3n-1．2．已知公比的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,數(shù)列中,．（1）若數(shù)列是等差數(shù)列,求；（2）在（1）的條件下,求數(shù)列的前項(xiàng)和．答案:見解析解析:【知識點(diǎn):等