高考數(shù)學(xué)解答題常考公式及答題模板

高考數(shù)學(xué)解答題?？脊郊按痤}模板

題型一：解三角形

1、正弦定理：—=—=—=2/?(火是AABC外接圓的半徑)

sinAsinBsinC

..a

sinA=——

a=21?sinA2R

.b

變式①:b=27?sinB變式②:sinBD=——變式③：a:b:c=sinA:sinB:sinC

2R

c=2RsinC

.?c

sinC=——

a2=b2+c2=2bccosA

2、余弦定理:b2=a2+c2-2accosB變式:

c2=a2+b2-2abeosC

3、面積公式:

射影定理:

5、三角形的內(nèi)角和等于180°,BPA+B+C=TI6、誘導(dǎo)公式：奇變偶不變，符號(hào)看象限

奇：一的奇數(shù)倍

sin(A+B)=sinCcos(A+3)=-cosC2

利用以上關(guān)系和誘導(dǎo)公式可得公式：<sin(A+C)=sin6和cos(A+C)=-cosB

sin(B+C)=sinAcos(B+C)=-cosA偶：巴的偶數(shù)倍

②we*

7、平方關(guān)系和商的關(guān)系：①疝12。+8$2。=1

COS。

8、二倍角公式：①sin2e=2sin，cos，

2?l+cos26.2八l-cos26

②8s26=cos26—sin20=2cos2^-1=l-2sin20n降幕公式:cos0=-,---s-i-n---=---------

22

2tan?

③tan2。

1-tan20

8、和、差角公式:

[sin(?+4)=sinacos°+cosasin(3cos(a+￡)=cosacos夕一sinasin夕

[sin(a-p)=sinacos'-cosasin§cos(tz-/7)=cosrzcos尸+sinasin尸

tana+tan，

tan(?+0=

1-tanatan/?

③

tana-tan，

tan(a-,)=

1+tanatanP

自a2+b2

+

9、基本不等式：?<~~~(",bwR+)(a,bGR)@ab<-------(a,bGR)

第1頁共24頁

注意：基本不等式一般在求取值范圍或最值問題中用到，比如求AABC面積的最大值時(shí)。

的答題步驟：

①抄條件：先寫出題目所給的條件；(但不要抄題目)

②寫公式：寫出要用的公式，如正弦定理或余弦定理；

③有過程：寫出運(yùn)算過程；

④得結(jié)論：寫出結(jié)論；(不會(huì)就猜一個(gè)結(jié)果)

⑤猜公式：第二問一定不能放棄，先寫出題目所給的條件，然后再寫一些你認(rèn)為可能考到的公式，如均值不等式或面積公式等。

例1；(2016天津文)在415。中，內(nèi)角4、B、C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a、b、c,已知asin23=&sinA.

(1)求B；

(2)若cosA=；,求s加C的值.

解；已知asin25=sinA…山噌幽圜鮑酬渺T

由正弦定理&=3=一，=2R

一寫出襄用的譽(yù)式

sinAsinBsinC

sin26=2sin￡cos，—WOAttO

nsinA-2sinBcosB=6sinBsinA

?「sinAw0,sinBw0

=>2COSB=A/3=>cosB=

2

又，；0<B<冗故3=工、—寫出一

6?

(2)已知cosA=；,A+B+C=/r

……嵋跚趣目的暇脾|饕圈的疊式

例2：(2013江西理)在口48。中，角4、B、。所對(duì)的邊分別為a、6、c,已知cosC+(cos/-75sin/)cosB=0.

(1)求角B的大小;

(2)若a+c=l，求6的取值范圍.

解：(1)已知cosC+(cos/一后sinZ)cos5=0一”喇趣El的暇米眇T

=>-cos(A+B)+cosAcosB-V3sinAcosB=0

=-cosAcosB+sinAsinB+cosAosB-^3sinAcosB=0……寫冊(cè)緡騫的建舞班

nsinAsinB-V3sinAcosB=0

,/sinA0=>sinB=V3cosB=>tanB=電且=也

cosB

O<B<TT=>B=^.***"*1fml飴jft

(2)由余弦定理，得

b1=a2+c2-2accosB……鷺幽嬰JU的譽(yù)式

=『+J_2"0……耳幽善罷的遑?M

=(a+c)2—3ac

10、不常用的三角函數(shù)公式（很少用，可以不記哦人0人）

（1）萬能公式:

e1-tan2^c9

2tan—2tan—

①sin<9=-----與②cose=------4③tanO=_____2_

1+tan2^l+tan2^l-tan2^

222

（2）三倍角公式:

①sin3。=3sin6>-4sin36>②cos36>=4cos36>-3cos6>③tan38="Jtan。

3tan26>-l

題型二：數(shù)列

1、等差數(shù)列2、等比數(shù)列

①定義：皿=夕

①定義：an+i-an=d

an

nm

②通項(xiàng)公式：4="I+（n—X）d=>a=a+（n—m）d=>d=—②通項(xiàng)公式：an=。1夕"一1=?！?amq~

nmn

③前〃項(xiàng)和：S“=〃"i+若[d（大題小題都?？迹矍?項(xiàng)和：s"=皿二幺）（?？迹?/p>

1-鄉(xiāng)

S,=〃（■廣）（小題常考）S,=%二也（可以不記哦人0人）

i-q

④等差中項(xiàng)：若A5,C成等差數(shù)列，則25=A+C④等比中項(xiàng)：若成等比數(shù)列，則爐=AC

⑤性質(zhì)：若加+"=p+q,則。機(jī)+⑤性質(zhì)：^m+n=p+q,貝!J4,

S［,n=l

3、a,與S”的關(guān)系:注意：該公式適用于任何數(shù)列,常利用它來求數(shù)列的通項(xiàng)公式

5n-5?_1,n>2

4、求數(shù)列通項(xiàng)公式的方法

（1）公式法：

①若已知冊(cè)+i-a〃=d和％=。，則用等差數(shù)列通項(xiàng)公式=G]+5-1）4

②若已知2±l_=g和%=。，則用等比數(shù)列通項(xiàng)公式/=“應(yīng)"-1

(2)?！芭cS”的關(guān)系：

國-s1,n>2

例3:數(shù)列｛%｝滿足%+3a2+32%+…+3"T%=/,求冊(cè).

解：設(shè)S”=。［+3。2+3,3+…+3"一匕”='，貝！I

(1)當(dāng)九=1時(shí)，。［=5］=；

1n2w_1

(2)當(dāng)〃22時(shí)，Sn=ax+2,a2+3a3+---+?>-an_x+3an①

S“_i=。［+3a2+3?。3■1--^3"2al=---②

①-②，得

3"-匕=T.擊("-2)--WIT4與S,的網(wǎng)

(3)構(gòu)造法：形如%+1=04+q(p,q為非零常數(shù))構(gòu)造等比數(shù)歹U%M+；1=M4+；1)

例4s已知數(shù)列｛冊(cè)｝滿足an+l=2an+l,且％=1?求冊(cè)，

解；已知an+l—2an+1>且a1=1

構(gòu)造%+2=2a+2)??“?嘴4地?cái)?shù)列

a

=n+\+2=2Q〃+22=>an+i=2an+2

??/=i……糊舞曲來的式子切8式眈皺，求跑未如敷見

冊(cè)+1+1=2(an+1)=>""I?=2

%+1

令bn=%+1=>仿="1+1=2

=導(dǎo)=2=-｛"｝

(4)累加法；形如冊(cè)=G.T+/(〃)，且了5)可用求和，可用累加法

例5；已知數(shù)列｛冊(cè)｝中，%=1,為=為_1+2〃，求冊(cè).

解：已知冊(cè)=冊(cè)_1+2〃

=4~an-\=21rl

a2-?i=2x2

。3—。2=2x3

。4一。3=2x4

%-。4=2*5"…"蠲蒯右SMS?

斯-1-許-2=2(〃-1)

an-an-\=2n

累加后，得

cin—=2x(2+3+4+5+。一+n)

=2X(1+2+3H---Fn)-2

_n(n+1)?…喇阿了?式1+2+3+…+"=^^

=2x----------22

2

=n2+n-2

(5)累乘法：形如馬-=/(〃)，且/5)可用求積，可用累乘法

4T

例6：已知數(shù)列｛%｝中，a,=1,馬-='求明?

an-ln+1

解：已知'=n

an-\n+\

“2_2CI3_2包，冊(cè)_]_n-1an_n

n'a_n+1

ax3124'%5an_2nx

累乘后，得

第4頁共24頁

(6)取倒數(shù)法：形如a“=%T5,g為非零常數(shù))則兩邊同時(shí)取倒數(shù)

p%+q

例入已知數(shù)列g(shù)｝滿足4=%且丁=1,求即

2味+1

%1:1=2-+1=211

解：已知an=

2%……等閾嬲周晡取倒數(shù)

+1%?n-i?！?1

口，=2

,溺足萼差財(cái)?shù)亩ㄎ?/p>

4磯

令〃=，-,貝!］仿=。_=1

a,ai

bn-bnx=2=d=>｛么｝為等差數(shù)列

5、求數(shù)列前〃項(xiàng)和S”的方法

(1)公式法：除了用等差數(shù)列和等比數(shù)列前〃項(xiàng)和的公式外，還應(yīng)當(dāng)記住以下求和公式

①…+???+〃-@21+22+23+---+2n=2n+1-2

②1+3+5+…+(2〃—1)=M@12+22+32+--+H2=-n(n+l)(2n+l)

6

3333

③2+4+6H----i-2n=n2+n@1+2+3H---bn=—n(n+l)

2

③/1——-j==-J-3n+k-4n')

yjn+k—yink

④

(2n-l)(2n+l)4-

例8；設(shè)等差數(shù)列｛“”｝的前"項(xiàng)和為S”，且§4=432，%=2為+1,

(1)求數(shù)列｛a〃｝的通項(xiàng)公式:

(2)設(shè)，=」一，求數(shù)列｛耳｝的前初項(xiàng)和

M%+1

解：(D已知S4=4S2，a2n=2an+l

工i+的曰，…+(fd

……一意嬰先寫齦晏州)的公式，再地

4x3

S4—4t/jH——-d-4tZj+6d

=4〃]+6d=4(2。]+d)①

2x1

S2=20[H———d—2。]+4

a2n=%+(2〃—l)d=2(?1+(〃-l)d]+1②皿…先寫冊(cè)秀式。期地

由①②式，解得囚=1,"=2

=>〃“=%+(ji—V)d=l+(n—1)-2=2n—1.皿“?先寫冊(cè)會(huì)貳，

1/1

(2)由(1)知；bn=——…?揶演廚I心松就遮命回去眥E

anan+\(2n-l)(2n+l)22n-X2n+l

=>〃=4+b2+b3+---+bn_i+br

(3)錯(cuò)位相減法：形如“冊(cè)=等差x等比”的形式可用錯(cuò)位相減法

19：設(shè)數(shù)列滿足。i=2,"I-%=32,

(D求數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式：

(2)令bn=n%、求數(shù)列｛2｝的前"項(xiàng)和G，

解；⑴已知.=24+1-冊(cè)=33,則……一窟嬰強(qiáng)寫幽題同履的箱僻

。2一%=3?2

o3—。2=3?2?

。4—。3=3-23

斯—“I=3-2〃T

%=3。2”

累加后，得

23

an+l-ax=3(2+2+2+…+2〃)

。2(1-2")…?遢用蟒蛾數(shù)列求歌哈或=仁心

=3-----------S”

1-21-9

=-6(l-2n)=6-2n-6

=>4+1=6.2"-4=>%=6-2”-1-4.H肺雷的智歌丁的翻8?！?/p>

(2)由(1)知：乩=〃〃一=6〃?2"-1-4〃=3"?2"-4”

T=b

nl+b2+b3+…+一

=(3-l-21-4-l)+(3-2-22-4-2)+(3-3-23-4-3)+--+(3n-2n-4n)

=3Q-21+2-22+3-23+??■+?-2M)-4(l+2+3+---+n)

t己=1-21+2-22+3-23+---+(K-1)2M-1+M-2H①

2%=l.22+2.23+3.24+...+(〃-1).2〃+小2川②……等式網(wǎng)迪網(wǎng)畸索嫉等比端分的疊墩

(4)分組求和法：

例10：已知等差數(shù)列｛4｝滿足=2,。2+。4=8.

(1)若ai，%，即成等比數(shù)列，求m的值；

⑵設(shè)"=4+2冊(cè)》求數(shù)列回｝的前"項(xiàng)和S”.

解：(1)已知/=2,做+。4=8皿??詞踞趣|0腑fr翻噬解

由冊(cè)=9+(n—X)d,得a2+〃4=3]+d)+(〃i+3d)=2。]+4d=8

n〃i+2J=4=d=l

=>??=?1+(n-l)d=n+l,…T瞞胡儂蚣式KM?式？再蒯t(yī)t

9、基本不等式:

(l)\[ab<a+^(a,beR+)②ab/"”](a,beR+)③abW。十匕(a,bGR)

2I<2J2

注意：基本不等式一般在求取值范圍或最值問題的時(shí)候用到，有時(shí)還用于證明數(shù)列不等式。

，由答題步驟：

ti

①抄條件：先抄題目所給的條件；（但不要抄題目）

\②寫公式：寫出要用的公式，如等差數(shù)列的通項(xiàng)公式或前〃項(xiàng)和；

i

，③有過程：寫出運(yùn)算過程；

④得結(jié)論：寫出結(jié)論；（不會(huì)就一個(gè)結(jié)果）

\⑤猜公式：第二問一定不能放棄，先寫出題目所給的條件，然后再寫一些你認(rèn)為可能考到的公式。

I

AoA數(shù)列題型比較難的是放縮法

題型三：空間立體幾何

1、線線關(guān)系

①線線平行：（很簡單，基本上不考）

②線線垂直：先證明線面垂直，從而得到線線垂直。（?？迹?/p>

方法：（力利用面與面垂直的性質(zhì)，即一個(gè)平面內(nèi)的一條直線垂直于兩面交線必與另一平面垂直;

（而）利用線與面垂直的性質(zhì)，即直線同時(shí)垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線。

例11：如圖，在四棱錐P-ABC。中，底面ABCD是ND4B=60°且邊長為a的菱形，側(cè)面尸AZ）是等邊三角形,

且平面尸AZ）垂直于底面ABCD,求證:AD±PB.

證明：取AD的中點(diǎn)為G,連接PG,BG,如圖所示:“…噂蒯峨一定嬰有魄明

APAD是等邊三角形=>PG_LAT>□哪條件國班來

2、線面關(guān)系

①線面平行：只需證明直線與平面內(nèi)的一條直線平行即可。方法：將直線平移到平面中，得到平面內(nèi)的一條直線，只需證明它

們互相平行即可。一般要用平行四邊形或三角形中位線的性質(zhì)證明。（最常考，一定要掌握鴨）

②線面垂直：只需證明直線與平面內(nèi)的兩條相交直線都互相垂直即可。（最?？?，一定要掌握鴨）

方法：（力利用面與面垂直的性質(zhì)；

（而）直線同時(shí)垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線。

例12：如圖所示，在長方體ABCD-AiBiGDi中，AA產(chǎn)AD=Q,AB=2a,E、F分別為C1D1、A1D1的中點(diǎn),

(1)求證：DE□平面BCE；

(2)求證：AF□平面BDE.

證明；(1)已知AAi=AD=。，AB=2a,E為CiDi的中點(diǎn)

:.DE=EC=42a^DE2+EC2=CD2

DELEC①

又,/BC_L面=BC_LDE②

BC,石Cu面5CE,且5Cc￡C=C

而DE(Z面3CE=>DE_L面BCE.

(2)連接EF,連接AC交BD于點(diǎn)M如圖所示：

E哩A?

<AM=-AC=>EF//AMn四邊形AMEF為平行四邊形

2=

A,A?

3、面面關(guān)系

①面面平行：只需證明第一個(gè)平面的兩條相交直線與第二個(gè)平面的兩條相交直線互相平行即可（很少考哦）。

②面面垂直：只需證明有一條直線垂直于一個(gè)平面，而這條直線又恰好在另外一個(gè)平面內(nèi)即可。（?？迹?/p>

例13：如圖，在三棱錐V-ABC中，平面VABL平面ABC,△VAB為等邊三角形，AC_LBC且AC二BC,O,

M分別為AB,VA的中點(diǎn).求證：平面MQC_L平面VAB.

由答題模板：

①作輔助：需要作輔助線的一定要在圖中作出輔助線，如取的中點(diǎn)為民

②有說明：需要在圖上連線時(shí)一定要有說明，如連接43兩點(diǎn)如圖所示；

③抄條件：寫出證明過程，并將條件圈出；

④再說明：說明線與面的關(guān)系，如A5u面A5C,而瓦1U面A5C；

⑤得結(jié)論：得出結(jié)論，證畢；

⑥寫多分：第二問不要不寫，能寫多少寫多少，哪怕是抄題目的條件。

文科?？煎F體體積公式：曝體=gs/z

理科?？级娼堑挠嘞抑担篊OSa=-^-其中為和沅為兩個(gè)平面的法向量

\n\\m\

點(diǎn)到平面的距離公式(理科)：設(shè)平面的法向量為而，A為該平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到平面的距離為：d=L上

1?1

"人總之第二問一定要多寫，多寫多得分

例14：(2018全國□卷文)如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，AB//CD,且NBAP=NCDP=90。.

(1)證明：平面PAB□平面PAD；

Q

(2)若PA=PD=AB=DC,ZAPD=90°?且四棱錐P-ABCD的體積為屋求該四棱錐的側(cè)面積,

證明：(1)ZBAP=ZCDP=9(T局榭避園峋已知的

ARVAP□

CDVPD

又???ABHOnAB±PD□……施tag的條俳圜跑來

AP,PDu面PAD,HADcPD=D

而AB(Z面PAO……奧明浦幽與畫的關(guān)索

nA3_L面B4￡)

又???ABu面=>面_L面.

(2)過P點(diǎn)作PM_LA。，垂足為點(diǎn)M,如圖所示:

45_1面24￡)=＞鉆，尸加□

PM1AD□

=>PM±^ABCD

設(shè)AB=a?貝?。軦D=-/2a,PM=----a

2

yp-ABCD=^-Sh=^-ABADPM=^a3

題型四：概率與統(tǒng)計(jì)

1、莖葉圖

①平均數(shù)：元=!（%]+為+%+—+工〃）

n

②極差=最大值-最小值注：極差越小，數(shù)據(jù)越集中

③方差：S2」扃_幻2+（巧_幻2+...+（/_幻2]注：方差越小，數(shù)據(jù)波動(dòng)越小，越穩(wěn)定

④標(biāo)準(zhǔn)差：S=J—[(Xj—%)?+(0一九產(chǎn)+???+(%”—%)?]

Vn

例16：（2018全國III卷理）某工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng)，提出了完成某項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的

生產(chǎn)方式，為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機(jī)分成兩組，每組20人。第一組工人用

第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式.根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間（單位：min）繪制了如

下莖葉圖：

第一種生產(chǎn)方式第二種生產(chǎn)方式

8655689

976270122345668

987765433281445

2110090

（1）根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說明理由；

（2）求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)處并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間超過m和不超過m的工人

癡埴入下面的刷胖美.

超過m不超過m

第一章生產(chǎn)方式

第二章生產(chǎn)方式

（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，能否有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

0.0500,0100.001

P(K2>k)

k3.8416.63510.828

解；（1）工作效率的高低看兩種生產(chǎn)方式的平均工作時(shí)間，分別為,

第一種生產(chǎn)方式;Xx=ix（68+72+76+---+92）=84（min）

第二種生產(chǎn)方式；X2=—x（65+65+66+???+90）=74.7（min）

2、頻率分布直萬圖

①眾數(shù)：最高小長方形的中間值

②中位數(shù)：小長方形面積之和為0.5的值

③頻率=概率=組距、喘二小長方形的面積

④所有小長方形的面積之和等于1

⑤平均數(shù)：每個(gè)小長方形的中間值x相應(yīng)小長方形的面積，然后將所得的數(shù)相加

例17；（2019全國III卷文）為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下實(shí)驗(yàn),將200只小鼠隨機(jī)

分成A,B兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液,每只小鼠給服的

溶液體積相同、摩爾濃度相同.經(jīng)過一段時(shí)間后用某種科學(xué)方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比.根據(jù)試

驗(yàn)數(shù)據(jù)分析得到如下直方圖：

皴率/組距

頻率/組距

0.30................

S20

0.20

15

0.165

0.1

0.0

0.0505

o1.52.53.54.55.56.57.5百分比02.53.54.55.56.57.58.5百分比

甲離子殘町百分比直方圖乙離子殘留百分比直方圖

記C為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到P（C）的估計(jì)值為0.70.

（1）求乙離子殘留百分比直方圖中a,b的值;

（2）分別估計(jì)甲、乙離子殘留百分比的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值為代表）.

解：（1）頻率分布直方圖的小矩形面積表示概率.

由題意，得

a+0.2(JH-0.15=0.70na=0.35

根據(jù)“各小矩形的面積之和等于1”，得

0.05+6+0.15+0.35+0.20+0.15=1n20.10

3、線性回歸方程

口答題模板：

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（1）設(shè)方程：先假設(shè)回歸方程為a=嬴+2;

（2）抄公式：寫出公式5=烏---------，a=y-bx（不管題目有沒有給，都要寫出來哦人o人）

以5

Z=1

（3）求各值：求出①元=’（西+尤2+%3+…,②y=,（%+為+'3+…+%）...沒時(shí)間計(jì)算就把式子列出來

③2%由=西力+%2y2+%3y3+…+/力，④2%；=靖+巖+君+…+片沒時(shí)間計(jì)算就把式子列出來

i=li=l

（4）得施：代入公式求出A和4;

（5）寫方程：寫出回歸方程；

（6）寫多分；第二問也不難，一般給你％讓你估計(jì)y的值，直接帶公式OK!A0A

例18：（2014全國H卷理）某地區(qū)2007年至2013年農(nóng)村居民家庭純收入y（單位：千元）的數(shù)據(jù)如下表:

年份2007200820092010201120122013

年份代號(hào)t1234567

人均純收入y2.93.33.64.44.85,25.9

（1）求y關(guān)于f的線性回歸方程；

（2）利用（1）中的回歸方程，分析2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況，并預(yù)測該

地區(qū)2015年農(nóng)民居民家庭人均純收入.

附；回歸直線方程的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為；

一切

3=衛(wèi)-------------,a=y-bi

i=i

解,（1）設(shè)線性回歸方程為￡=&+&.則……匏魄爨跟闞歸；ar疆

,1

，=亍X(1+2+3+4+5+6+7)=3.86

y=1x(2.9+33+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.30

力=1x2.9+2x3.3+3x3.6+4x4.4+5x4.8+6x5.2+7x5.9=134.4

Z=1

=12+22+32+42+52+62+72=140

i=l

1344—7x3.86x4.3018?140八_

=5=—----=0.51,a=y-Z?f=4.30-0.51x3.86=2.33

140-7x3.86235.7028

故線性回歸方程為：y=0.51（+2.33.,

FT?4-+FSd1JJt冊(cè)bJA1S卬--frB士AA

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題型五：圓錐曲線

1、橢圓(以焦點(diǎn)在％軸上的為例)

①定義：PF+PF=2a⑥準(zhǔn)線：x=+—

l2c

⑦通徑：|AB|=當(dāng)

⑧長軸長：=

⑨短軸長：忸］聞=2。

⑤焦距：出局=2c

例20：(2018北京卷文)已知橢圓M:《+《=l(a>匕>0)的離心率為逅，焦距為2后，斜率為左的直線/

與橢圓M有不同的交點(diǎn)A,B.

(1)求橢圓M的方程；

⑵若求|AB|的最大值；

(3)設(shè)P(-2,0),直線PA與橢圓M的另一個(gè)交點(diǎn)為C,直線PB與橢圓M的另一個(gè)交點(diǎn)為D,若C,D和

0(-］,；)共線，求北

解：(1)已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為鳥+耳=1……醬如腱蹦圜的方做

ab

”『J，忻廠2〔=2c=2及?噓寫疊式祈幽他

=>c=A/2,a=V3

?/a2=b2+c2=b=yja2-c2=1……先蜀咨或明曜

故橢圓的方程為［+/=L

(2)由題意，設(shè)AB所在的直線方程為>=丘+)，A?,%),B(x2fy2),則“…一建鶴蹬

y=x+b

%2=>4%2+6b%+3戶一3=0

——+y2=1

3

b3bc3b2-3

Xi+x--,xx--……嘴溝g疆

2a2x2a4

A=b2-4ac=(6b)2-4-4(3b2-3)=-12Z?2+48>0=>0<Z?2<4“…嘴磔颼與纏眥柳帆如

卻=Jl+r.J(西+%2)2—4畫巧=V2J(-y)2-4-3Z?^-3=^~1^2

14+6…皿鬻魄癖式

因此當(dāng)且僅當(dāng)/=0即Z,=0時(shí)，|陰的值最大,且|蝴m,x=n.

⑶設(shè)CgM，則％否_(_2).+2

.PA所在的直線方程為：y-0=k(x+2)ny=」一(％+2)

iTus的*覦式知a

西+2

y=/^(x+2)

Xl+=>3(x+29才+區(qū)+2)2(X2-3)=0

讖與糖?KOB

x21

——+y2=l

3

7%1+12%

C(—,

4x1+7'4西+7

同理可得.0(—學(xué)士

4X2+74%2+7

又???Q、C、。在同一直線上，因此

2i__1力1

4%[+744%,+74,,)““r

7』+12