河北省保定市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期10月期中考試數(shù)學(xué)試題 含解析_第1頁
河北省保定市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期10月期中考試數(shù)學(xué)試題 含解析_第2頁
河北省保定市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期10月期中考試數(shù)學(xué)試題 含解析_第3頁
河北省保定市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期10月期中考試數(shù)學(xué)試題 含解析_第4頁
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文檔簡介

2024年高三摸底考數(shù)學(xué)試題本試卷共4頁,19小題,滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng):1.答題前,請務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別填寫在試題卷和答題卡上.將條形碼橫貼在答題卡“條形碼粘貼處”.2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案,答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新的答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后,將試卷和容題卡一并交回.一?選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.1.已知,則()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解不等式求得集合,進(jìn)而求得.【詳解】由解得,所以,而,所以.故選:A2.已知是的共軛復(fù)數(shù),則()A.0 B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算法則求得,再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義求解即可.【詳解】,則.故選:B.3.已知向量,且,則()A.1 B.2 C. D.0【答案】C【解析】【分析】先利用向量模的坐標(biāo)運(yùn)算求得,進(jìn)而利用數(shù)量積的坐標(biāo)形式求得.【詳解】,則,由于,所以,所以,所以.故選:C4.若一個(gè)球的體積和表面積數(shù)值相等,則該球的半徑的數(shù)值為()A.2 B.3 C.4 D.【答案】B【解析】【分析】利用球的體積公式和表面積公式列方程求解即可.【詳解】由題意,所以.故選:B5.設(shè)函數(shù)為偶函數(shù).當(dāng)滿足時(shí),有最小值2,則和的值分別是()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性、周期性求得正確答案.【詳解】依題意,,所以,當(dāng)滿足時(shí),有最小值2,所以,所以,由于是偶函數(shù),所以,而,所以.故選:D6.若中,角所對的邊分別為平分交于,且,則()A. B.3 C. D.【答案】C【解析】【分析】由,CD平分交于可得,后由余弦定理可得答案.【詳解】因CD平分,則,由正弦定理:,又,則.設(shè),則.又,由余弦定理:.故選:C7.已知且,則的最小值是()A.12 B.16 C.15 D.14【答案】D【解析】【分析】先結(jié)合已知將變?yōu)?,然后利用基本不等式求解即?【詳解】因?yàn)?,所以,又,所以,所以,?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立,即的最小值是14.故選:D8.已知函數(shù)若關(guān)于的方程至少有5個(gè)不等的實(shí)數(shù)解,則的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求的解析式,然后畫出的圖象,根據(jù)圖象確定正確答案.【詳解】當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以,當(dāng)時(shí),,所以,當(dāng)時(shí),,所以,畫出、的圖象如圖所示,問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與直線的至少有5個(gè)公共點(diǎn),由圖可知,故的范圍是B正確.故選:B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛:圖象的精確繪制:繪制函數(shù)的圖象是解題的關(guān)鍵,通過準(zhǔn)確的圖象確定直線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù),進(jìn)而得到解的數(shù)量.交點(diǎn)數(shù)量與參數(shù)關(guān)系:通過分析圖象,確定直線與函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù),進(jìn)而得到參數(shù)的范圍,這是解題的突破口.二?多選題:本題共3小題,每小題6分,共18分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分,選對但不全的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.9.函數(shù)的圖象經(jīng)過()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),不等式的性質(zhì)確定正確答案.【詳解】由于,所以,函數(shù)在上單調(diào)遞增,的圖象向下平移個(gè)單位,得到的圖象,所以函數(shù)y=a經(jīng)過第一、二、三象限.故選:ABC10.若是平面的一條斜線,,直線平面且直線,記直線與平面所成的角為,則下列說法正確的是()A.與是一對異面直線B.若點(diǎn)和分別為直線上和平面內(nèi)異于點(diǎn)的點(diǎn),則C.若和分別是直線與上的動點(diǎn),則滿足且的直線不唯一D.過直線有且只有唯一平面與直線平行【答案】ABD【解析】【分析】對于A,根據(jù)異面直線的定義,結(jié)合題意,可得答案;對于B,利用向量的數(shù)量積,結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想,建立方程,根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性,可得答案;對于C,根據(jù)線面垂直判定定理,結(jié)合面面垂直判定定理,可得答案;對于D,根據(jù)平面公里,結(jié)合題意,可得答案.【詳解】對于A,由題意可知,,,則與無交點(diǎn)且不平行,故A正確;對于B,由題意,過作,垂足為,連接,作圖如下:易知,因?yàn)椋?,所以,同理,在中,,,則,即,化簡可得,由,且,則,由,則,故B正確;對于C,設(shè)與唯一確定的平面為,與唯一確定的平面為,因?yàn)榕c是一對異面直線,所以,過點(diǎn)作,顯然,因?yàn)椋?,設(shè)與唯一確定的平面,因?yàn)?,,,,所以,因?yàn)?,所以,,顯然是唯一的,故C錯(cuò)誤;對于D,任意取,過作,由與是一對異面直線,則,易知與確定唯一平面,故D正確.故選:ABD.11.若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn),下列說法正確的是()A.時(shí)滿足條件B.不存在實(shí)數(shù)使得均為正整數(shù)C.當(dāng)時(shí),的最大值為D.對任意正整數(shù),均存在對應(yīng)的,使得【答案】CD【解析】【分析】利用多次求導(dǎo)的方法,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等知識對選項(xiàng)進(jìn)行分析,從而確定正確答案.【詳解】f'x=當(dāng)時(shí),在0,+∞上單調(diào)遞增.此時(shí)至多有一個(gè)極值點(diǎn),不符合題意.當(dāng)時(shí),若x∈0,1m,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.又當(dāng)時(shí).當(dāng)時(shí),故只需f′1m>0?此時(shí)且f′e由于是f′x的兩個(gè)零點(diǎn)且.則1<x若為正整數(shù),則.此時(shí).所以存在使得均為正整數(shù),B錯(cuò)誤.由于和是函數(shù)與直線交點(diǎn)橫坐標(biāo).,當(dāng)時(shí),恰有.所以當(dāng)時(shí),必有,當(dāng)時(shí),必有,(注:對于,,所以函數(shù)在上,函數(shù)單調(diào)遞增,上,函數(shù)單調(diào)遞減,,由圖象與直線交點(diǎn)變化情況可知m越小,越小,越大;m越大,越大,越?。┧援?dāng)時(shí),m的最大值為.C正確..由于當(dāng)時(shí),,此時(shí),當(dāng)時(shí),,此時(shí),故的取值范圍是0,+∞,即對任意正整數(shù)均存在使得.D正確.綜上可知:CD正確.故選:CD【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛:極值點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷,容易在判斷極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)時(shí)遺漏某些情況,特別是在導(dǎo)數(shù)符號變化的邊界條件上,需要仔細(xì)分析導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)是否為極值點(diǎn)以及其對應(yīng)的單調(diào)性變化.解題過程中,關(guān)鍵在于通過多次求導(dǎo)確定函數(shù)單調(diào)性及極值點(diǎn).三?填空題:本題共3小題,每小題5分,共計(jì)15分.12.已知曲線在處的切線斜率為4,則實(shí)數(shù)的值為__________.【答案】1【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出方程,即可求解.【詳解】由題意,因?yàn)榍€在處的切線斜率為4,所以,解得:故答案為:1.13.函數(shù)的最小正周期是__________,在上的單調(diào)遞減區(qū)間是__________.【答案】①.②.(開閉區(qū)間均可)【解析】【分析】利用三角恒等變換化簡,結(jié)合正弦函數(shù)的周期性以及單調(diào)性,即可求得答案.【詳解】由題意得,故的最小正周期是;當(dāng)時(shí),,令,即得時(shí),故在上的單調(diào)遞減區(qū)間是,故答案為:;14.已知遞增數(shù)列共有項(xiàng)(為定值)且各項(xiàng)均不為零,末項(xiàng).若從數(shù)列中任取兩項(xiàng)和,當(dāng)時(shí),仍是數(shù)列中的項(xiàng),則數(shù)列的通項(xiàng)公式__________(用含和的式子表示.)【答案】【解析】【分析】結(jié)合條件證明,再證明數(shù)列是以為首項(xiàng),以為公差的等差數(shù)列,由此可得結(jié)論.【詳解】由題意:,若,則,而是遞增數(shù)列中的項(xiàng),這與是數(shù)列的最大項(xiàng)矛盾,故必有.因?yàn)閿?shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列,所以有.從而有,且它們均為數(shù)列中的項(xiàng).因此由上可知,所以數(shù)列是以為首項(xiàng),以為公差的等差數(shù)列.所以.故答案為:.四?解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知向量.(1)若,且x∈0,π,求的值;(2)設(shè)函數(shù),求函數(shù)的值域.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)由向量平行的坐標(biāo)關(guān)系可得的值,再由x∈0,π可得和的值,從而得到結(jié)果;(2)利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式,化簡得到,結(jié)合,利用三角函數(shù)的圖象性質(zhì)可分析得到值域.【小問1詳解】,,又,,.【小問2詳解】由題意:,,,,,∴fx的值域是.16.已知直三棱柱中,,且,點(diǎn)分別為線段和的中點(diǎn).(1)證明:平面;(2)求平面與平面的夾角.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】(1)通過證明、來證得平面.(2)建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法求得平面與平面的夾角.【小問1詳解】平面平面,又,又,平面,平面又平面.又,即.又平面,平面.【小問2詳解】如圖所示,以點(diǎn)為原點(diǎn),為軸,為軸建立空間直角坐標(biāo)系,易得,設(shè)平面的法向量,則,取,則法向量.由(1)可知平面的法向量.平面與平面的夾角為.17.在中,角對邊分別為.(1)求角;(2)若,求的值;(3)在(2)的條件下,若邊,點(diǎn)為線段上的動點(diǎn),點(diǎn)為線段上的動點(diǎn),且線段平分的面積,求線段長度的最小值.【答案】(1)(2)(3)【解析】【分析】(1)利用正弦定理以及三角恒等變換的知識求得.(2)根據(jù)已知條件以及余弦定理求得.(3)根據(jù)三角形的面積公式列方程,結(jié)合余弦定理以及基本不等式求得的最小值.【小問1詳解】由正弦定理可知:,,,,.【小問2詳解】,又,,.【小問3詳解】若邊由(1)(2)可知,,令,則,又由余弦定理得:(當(dāng)時(shí)等號成立),的最小值為.18.已知函數(shù).(1)已知直線是曲線的切線,求實(shí)數(shù)a的值;(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(3)求證:恒成立.【答案】(1)(2)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增(3)證明見解析【解析】【分析】(1)由求得切點(diǎn)的坐標(biāo),代入切線方程求得.(2)利用多次求導(dǎo)的方法求得的單調(diào)區(qū)間.(3)將恒成立的不等式轉(zhuǎn)化為,利用構(gòu)造函數(shù)法,結(jié)合多次求導(dǎo)的方法來求得正確答案.【小問1詳解】,,解得切點(diǎn)為,.【小問2詳解】,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,單調(diào)遞遞增.綜上所述,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.【小問3詳解】恒成立,恒成立恒成立.令,則,令,則單調(diào)遞增,又,當(dāng)時(shí),,即單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,即單調(diào)遞增;恒成立.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:切點(diǎn)與切線的關(guān)系:在小問1中,利用導(dǎo)數(shù)求出曲線在給定直線為切線時(shí)的斜率,再通過求解切點(diǎn)的方法確定參數(shù)的值,這是典型的求切線與曲線關(guān)系的方法.多次求導(dǎo)法:在小問2中,通過對函數(shù)進(jìn)行多次求導(dǎo),判斷導(dǎo)數(shù)的符號變化來確定單調(diào)區(qū)間,是分析函數(shù)單調(diào)性的常用手段.構(gòu)造函數(shù)法求證不等式:在小問3中,通過將不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于某變量的函數(shù)問題,利用構(gòu)造函數(shù)并結(jié)合單調(diào)性分析來證明恒成立,是一種常用的不等式證明方法.19.已知數(shù)列,其前項(xiàng)和為,對任意正整數(shù)恒成立,且.(1)證明:數(shù)列為等比數(shù)列,并求實(shí)數(shù)的值;(2)若,數(shù)列前項(xiàng)和為,求證:;(3)當(dāng)時(shí),設(shè)集合,.集合中元素的個(gè)數(shù)記為,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】(1)證明見解析,(2)證明見解析(3)【解析】【分析】(1)根據(jù)的關(guān)系,結(jié)合等比數(shù)列定義,即可證明結(jié)論;進(jìn)而結(jié)合已知求出實(shí)數(shù)的值;(2)結(jié)合(1)可求出的表達(dá)式,進(jìn)而可得表達(dá)式,繼而推出只需證明,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性,即可證明結(jié)論;(3)由題意可知中元素個(gè)數(shù)等價(jià)于滿足的不同解的個(gè)數(shù),利用反正思想推出,從而推出不等式共個(gè)不同解,

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