高中數(shù)學人教A版（2019）必修第一冊課件：2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)

2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式學習目標：1.通過具體情境，感受在現(xiàn)實世界和日常生活中存在大量的數(shù)量關系.2.了解不等式（組）的實際背景.3.了解不等式一些基本的性質(zhì).教學重點：1.用不等式（組）表示實際問題中的不等關系，并用不等式（組）研究含有不等關系的問題.2.理解不等式（組）對于刻畫不等關系的意義和價值.教學難點：用不等式（組）正確表示出不等關系.探究一：不等關系及其表示事實上，在客觀世界中，量與量之間的不等關系是普遍存在的，我們用數(shù)學符號“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”連接兩個數(shù)或代數(shù)式，以表示它們之間的不等關系.含有這些不等號的式子，叫做不等式.在上述所有的不等號中，要特別注意“≤”“≥”兩個符號的含義.如果a,b是兩個實數(shù)，那么a≥b即為a＞b或a＝b；a≤b即為a＜b或a＝b.問題1

你能用不等式或不等式組表示下列問題中的不等關系嗎？(1)某路段限速40km/h；解：對于(1)，設在該路段行駛的汽車的速度為vkm/h，“限速40km/h”就是v的大小不能超過40，于是0＜v≤40.(2)某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定，酸奶中脂肪的含量f應該不少于2.5%，蛋白質(zhì)的含量p應不少于2.3%；對于(2)，由題意，得

（半個大括號表示同時.）(3)三角形兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊；對于(3)，設?ABC的三條邊為a，b，c，則a＋b＞c，a﹣b＜c.(4)連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短.對于(4)，如圖2.1-1，設C是線段AB外的任意一點，CD垂直于AB，垂足為D，E是線段AB上不同于D的任意一點，則CD＜CE.問題2某種雜志原以每本2.5元的價格銷售，可以售出8萬本.據(jù)市場調(diào)查，雜志的單價每提高0.1元，銷售量就可能減少2000本.如何定價才能使提價后的銷售總收入不低于20萬元？分析：首先要統(tǒng)一單位，第一句是從“元”到“萬”，所以第二句中的2000應該改為0.2萬.解：設提價后每本雜志的定價為x元，則銷售總收入為

萬元.于是，不等關系“銷售總收入不低于20萬元”可以用不等式表示為

①求出不等式①的解集，就能知道滿足條件的雜志的定價范圍.探究二：實數(shù)的大小比較初中學過的不等式性質(zhì)性質(zhì)1：不等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變性質(zhì)2：不等式兩邊乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變性質(zhì)3：不等式兩邊乘（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變由于數(shù)軸上的點與實數(shù)一一對應，所以可以利用數(shù)軸上點的位置關系來規(guī)定實數(shù)的大小關系：如圖2.1-2，設a，b是兩個實數(shù)，它們在數(shù)軸上所對應的點分別是A，B.那么，當點A在點B的左邊時，a＜b；當點A在點B的右邊時，a＞b.（說明：當點A與點B重合時，a＝b）關于實數(shù)a，b大小的比較，有以下基本事實：如果a-b是正數(shù)，那么a＞b；如果a-b等于0，那么a＝b；如果a-b是負數(shù)，那么a＜b，反過來也對.這個基本事實可以表示為

；

；.從上述基本事實可知，要比較兩個實數(shù)的大小，可以轉(zhuǎn)化為比較它們的差與0的大小.總結(jié)：1.要比較兩個實數(shù)的大小，可以考察這兩個實數(shù)的差，這是我們研究不等關系的一個出發(fā)點.2.差大于0時，被減數(shù)不大于減數(shù)；差等于0時，被減數(shù)等于減數(shù)；差小于0時，被減數(shù)小于減數(shù).例1

比較(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小.分析：通過考察這兩個多項式的差與0的大小關系，可以得出它們的大小關系.解：因為(x+2)(x+3)－(x+1)(x+4)=(x2+5x+6)－(x2+5x+4)=2＞0，

所以(x+2)(x+3)>(x+1)(x+4).這里，我們借助多項式減法運算，得出了一個明顯大于0的數(shù)(式).這是解決不等式問題的常用方法（也叫作差法）.探究三：一個重要不等式圖2.1-3是在北京召開的第24屆國際數(shù)學家大會的會標，會標是根據(jù)中國古代數(shù)學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去像一個風車，代表中國人民熱情好客.你能在這個圖中找出一些相等關系和不等關系嗎？答：相等關系為直角三角形為等腰直角三角形時，4個三角

形的面積和等于正方形的面積.

不等關系為直角邊不相等時，4個三角形的面積和小于

正方形的面積.將圖中2.1-3中的“風車”抽象成圖2.1-4在正方形ABCD中有4個全等的直角三角形.設直角三角形的兩條直角邊的長為a，b（a≠b），那么正方形的邊長為.這樣，4個直角三角形的面積和為2ab，正方形的面積為a2+b2.由于正方形ABCD的面積大于4個直角三角形的面積和，我們就得到了一個不等式a2+b2＞2ab.當直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?，即a＝b時，正方形EFGH縮為一個點，這時有a2+b2=2ab.于是就有a2+b2≥2ab.一般地，

，有a2+b2≥2ab當且僅當a＝b時，等號成立.事實上，利用完全平方差公式，得a2+b2-2ab=(a-b)2.因為

，(a-b)2≥0，當且僅當a＝b時，等號成立，所以a2+b2-2ab≥0.因此，由兩個實數(shù)大小關系的基本事實，得a2+b2≥2ab，當且僅當a=b時，等號成立.探究四：等式的性質(zhì)性質(zhì)1如果a＝b，那么b＝a；（對稱性）性質(zhì)2如果a＝b，b＝c，那么a＝c；（傳遞性）性質(zhì)3如果a＝b，那么a±c＝b±c；（同加性，同減性）性質(zhì)4如果a＝b，那么ac＝bc；（同乘性）性質(zhì)5如果a＝b，c≠0，那么.（同除性）可以發(fā)現(xiàn)，性質(zhì)1，2反映了相等關系自身的特性，性質(zhì)3，4，5是從運算的角度提出的，反映了等式在運算中保持的不變形.由性質(zhì)3可進一步得到，如果a＝b，c＝d，那么a＋c＝b＋d；由性質(zhì)4可進一步得到，如果a＝b，c＝d，那么ac＝bd；以及a＝b可得到an＝bn（n≥2，n∈N）探究五：不等式的性質(zhì)類比等式的性質(zhì)1,2，可以猜想不等式有如下性質(zhì)：性質(zhì)1

如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b.即性質(zhì)2

如果a＞b，b＞c，那么a＞c.即.性質(zhì)2

如果a＞b，b＞c，那么a＞c.即

.證明：由兩個實數(shù)大小關系的基本事實知說明：如果性質(zhì)2中的兩個不等式只有一個帶等號，那么等號是傳遞不過去的.例如：如果a≥b且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，且b≥c，那么a＞c.如果兩個不等式都帶有等號，即若a≥b且b≥c，則a≥c，其中a＝c時必須有a＝b且b＝c，否則a＝c不成立.性質(zhì)3

如果a＞b，那么a+c＞b+c.性質(zhì)4如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc；如果a＞b，c＜0，

那么ac＜bc.性質(zhì)5

如果a＞b，c＞d，那么a+c＞b+d.類比等式的性質(zhì)3~5，可以猜想不等式還有如下性質(zhì)：性質(zhì)3

如果a＞b，那么a+c＞b+c.文字語言：不等式的兩邊都加上同一個實數(shù)，所得不等式與

原不等式同向.如圖2.1-5，把數(shù)軸上的兩個點A與B同時沿相同方向移動相等的距離，得到另兩個點A1與B1，A與B和A1與B1的左右位置關系不會改變.用不等式的語言表示，就是上述性質(zhì)3.由性質(zhì)3可得，這表明，不等式中任何一項可以改變符號后移到不等號的另一邊.性質(zhì)4如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc；如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc.文字語言：不等式兩邊同乘一個正數(shù)，所得不等式與原不等式

同向；不等式兩邊同乘一個負數(shù)，所得不等式與原

不等式反向.利用這些基本性質(zhì)，我們還可以推導出其他一些常用的不等式性質(zhì).例如，利用性質(zhì)2,3可以推出：性質(zhì)5

如果a＞b，c＞d，那么a+c＞b+d.事實上，由a＞b和性質(zhì)3，得a+c＞b+c；由c＞d和性質(zhì)3，得b+c＞b+d.在根據(jù)性質(zhì)2，即得a+c＞b+d.說明：(1)性質(zhì)5稱為不等式的同向可加性(2)性質(zhì)5說明，兩個同向不等式相加，所得不等式與原不

等式同向.(3)性質(zhì)5可簡記為：“大+大＞小+小”

(4)這一性質(zhì)可以推廣到任意有限個同向不等式兩邊分別相

加，即若a1＞b1，a2＞b2，…，an＞bn，n∈N*，則

a1+a2+…+an＞b1+b2+…bn.這就是說，兩個或者更多個同向

不等式兩邊分別相加，所得不等式與原不等式同向.

利用性質(zhì)4和性質(zhì)2可以推出：

性質(zhì)6

如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd.說明：(1)它可以推廣到任意有限個同向不等式兩邊分別

相乘，即若a1＞b1＞0，a2＞b2＞0，…，an＞bn＞0，

n∈N*，則a1a2…an＞b1b2…bn.(2)性質(zhì)6說明，兩邊都是正數(shù)的同向不等式兩邊分別相乘，所得的不等式和原不等式同向.性質(zhì)7如果a＞b＞0，那么an＞bn（n∈N，n≥2）.說明：當不等式的兩邊都是正數(shù)時，不等式兩邊同時乘方所得的不等式和原不等式同向.證明：因為

個，根據(jù)性質(zhì)6，得an＞bn.例2已知a＞b＞0，c＜0，求證分析：要證明，因為c＜0，所以可以先證明

利用已知a＞b＞0和性質(zhì)3，即可證明證明：因為a＞b＞0，所以ab＞0，

于是，

即由c＜0，得練一練1.用不等式或不等式組表示下面的不等關系：(1)某高速公路規(guī)定通過車輛的車貨總高度h從地面算起不能超過4m；注意：限高、限速、限重實質(zhì)上是“不超過”，但需要注意實際意義.解：（1）0＜h≤4；練一練1.用不等式或不等式組表示下面的不等關系：(2)a與b的和是非負實數(shù)；注意：“非負數(shù)”是“大于或等于0的數(shù)”，“非正數(shù)”是“小于或等于0的數(shù)”解：（2）a+b≥0；練一練1.用不等式或不等式組表示下面的不等關系：(3)如圖，在一個面積小于350m2的矩形地基的中心位置上建造一個倉庫，倉庫的四周建成綠地，倉庫的長L大于寬W的4倍.解：（3）練一練2.比較(x+3)(x+7)和(x+4)(x+6)的大小.解：因為(x+3)(x+7)－(x+4)(x+6)

＝(x2+10x+21)－(x2+10x+24)

＝－3＜0，所以(x+3)(x+7)＜(x+4)(x+6).練一練3.已知a＞b，證明證明：因為a＞b，所以a-b＞0，b-a＜0，所以

所以因為所以綜上知，a＞b時，練一練4.證明不等式性質(zhì)1，3，4，6.證明:(1)∵a＞b，∴a-b＞0，∴－(a－b)＜0，

∴b－a＜0，∴b＜a.(2)∵b＜a，∴b－a＜0，∴－(b－a)＞0，∴a－b＞0，

∴a＞b.由(1)(2)知不等式性質(zhì)1成立.性質(zhì)1

如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b.即練一練4.證明不等式性質(zhì)1，3，4，6.證明：因為a＞b，所以a－b＞0.

因此(a+c)－(b+c)=a+c-b-c=a-b＞0,

即(a+c)-(b+c)＞0.因此a+c＞b+c.性質(zhì)3

如果a＞b，那么a+c＞b+c.練一練4.證明不等式性質(zhì)1，3，4，6.證明:(1)(2)∵a＞b，∴a-b＞0.又c＜0，根據(jù)異號相乘得負，

∴性質(zhì)4如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc；如果a＞b，c＜0，那么

ac＜bc.練一練4.