2025《初中數(shù)學(xué)》專題突破專題53 一次函數(shù)背景下的搭橋模型（含答案及解析）

模型介紹模型介紹方法點(diǎn)撥二、求線段之和的最小值已知A、B是兩個(gè)定點(diǎn)，P、Q是直線m上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P在Q的左側(cè),且PQ間長(zhǎng)度恒定,在直線m上要求P、Q兩點(diǎn)，使得PA+PQ+QB的值最小.(原理用平移知識(shí)解)（1）點(diǎn)A、B在直線m兩側(cè)：過(guò)A點(diǎn)作AC∥m,且AC長(zhǎng)等于PQ長(zhǎng)，連接BC,交直線m于Q,Q向左平移PQ長(zhǎng)，即為P點(diǎn)，此時(shí)P、Q即為所求的點(diǎn).（2）點(diǎn)A、B在直線m同側(cè)：過(guò)A點(diǎn)作AE∥m,且AE長(zhǎng)等于PQ長(zhǎng)，作B關(guān)于m的對(duì)稱點(diǎn)B’,連接B’E,交直線m于Q,Q向左平移PQ長(zhǎng)，即為P點(diǎn)，此時(shí)P、Q即為所求的點(diǎn).例題精講例題精講【例1】．如圖，已知A（3，1），B（1，0），PQ是直線y＝x上的一條動(dòng)線段且PQ＝（Q在P的下方），當(dāng)AP+PQ+QB取最小值時(shí)，點(diǎn)Q坐標(biāo)為．變式訓(xùn)練【變1-1】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A，C，E的坐標(biāo)分別為（0，4），（8，0），（8，2），點(diǎn)P，Q是OC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且PQ＝2，要使四邊形APQE的周長(zhǎng)最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）A．（2，0） B．（3，0） C．（4，0） D．（5，0）【變1-2】．A、B兩村之間隔一條河，現(xiàn)在要在河上架一座橋．（1）要使這兩村A、B之間的行程最短，橋應(yīng)修在何處？請(qǐng)幫他們?cè)O(shè)計(jì)出來(lái)．（2）若兩村A、B到河邊的距離分別為50米和20米，河寬為30米，AC＝40米，你能求出兩村的最短路程嗎？若能，請(qǐng)求出來(lái)．【例2】．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝x+8分別交x軸，y軸于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C為OB的中點(diǎn)，點(diǎn)D在第二象限，且四邊形AOCD為矩形．動(dòng)點(diǎn)P為CD上一點(diǎn)，PH⊥OA，垂足為H，點(diǎn)Q是點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)，當(dāng)BP+PH+HQ值最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為．變式訓(xùn)練【變2-1】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝﹣x+與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，B，Q為△AOB內(nèi)部一點(diǎn)，則AQ+OQ+BQ的最小值等于（）A．2 B． C． D．【變2-2】．如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A，C分別在x軸，y軸上，B，D兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為B（﹣4，6），D（0，4），線段EF在邊OA上移動(dòng)，保持EF＝3，當(dāng)四邊形BDEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為．1．如圖，CD是直線y＝x上的一條動(dòng)線段，且CD＝2，點(diǎn)A（2+，1），連接AC、AD，則△ACD周長(zhǎng)的最小值是．2．如圖，在直角坐標(biāo)系中，直線y＝x+4分別交x軸，y軸于A，B兩點(diǎn)，C為OB的中點(diǎn)，點(diǎn)D在第二象限，且四邊形AOCD為矩形，P是CD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥OA于H，Q是點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)，則BP+PH+HQ的最小值為．3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有二次函數(shù)，頂點(diǎn)為H，與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B左側(cè)），易證點(diǎn)H、B關(guān)于直線l：對(duì)稱，且A在直線l上．過(guò)點(diǎn)B作直線BK∥AH交直線l于K點(diǎn)，M、N分別為直線AH和直線l上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接HN、NM、MK，則HN+NM+MK的最小值為4．如圖，已知點(diǎn)A（4，0）、B（0，2），線段OA＝OC且點(diǎn)C在y軸負(fù)半軸上，連接AC．（1）如圖1，求直線AB的解析式；（2）如圖1，點(diǎn)P是直線CA上一點(diǎn)，若S△ABC＝3S△ABP，求滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)；（3）如圖2，點(diǎn)M為直線l：x＝上一點(diǎn)，將點(diǎn)M水平向右平移6個(gè)單位至點(diǎn)N，連接BM、MN、NC．求BM+MN+NC的最小值及此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)．5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l的解析式為y＝﹣x+4，與x軸交于點(diǎn)C，直線l上有一點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)A是OC的中點(diǎn)．（1）求直線AB的函數(shù)表達(dá)式；（2）在直線BC上有兩點(diǎn)P、Q，且PQ＝4，使四邊形OAPQ的周長(zhǎng)最小，求周長(zhǎng)的最小值；（3）直線AB與y軸交于點(diǎn)H，將△OBH沿AB翻折得到△HBG，M為直線AB上一動(dòng)點(diǎn)，N為平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)M、N，使得以H、M、N、G為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由．6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l1：y＝與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，D，直線l2與直線y＝﹣x平行，交x軸于點(diǎn)B（7，0），交l1于點(diǎn)C．（1）直線l2的解析式為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為；（2）若點(diǎn)P是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)S△PAB＝時(shí)，在x軸上有兩動(dòng)點(diǎn)M、N（M在N的左側(cè)），且MN＝2，連接DM，PN，當(dāng)四邊形DMNP周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，將OD繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到OG，點(diǎn)E是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是直線l1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)F，使以G，M，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．7．如圖1，直線l：交x軸于點(diǎn)A，交軸y于點(diǎn)B，交直線m：y＝x+3于點(diǎn)C，直線m交x軸于點(diǎn)D．（1）求點(diǎn)A、點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）如圖1，點(diǎn)E為第一象限內(nèi)直線l上一點(diǎn)，滿足△ACE的面積為6．①求點(diǎn)E的坐標(biāo)；②線段PQ＝1（點(diǎn)P在點(diǎn)Q的上方）為直線x＝﹣1上的一條動(dòng)線段，當(dāng)EP+PQ+AQ的值最小時(shí)，求這個(gè)最小值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．（3）如圖2，將直線l繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，直線l交x軸于點(diǎn)M，是否存在某個(gè)時(shí)刻，使得△CDM為等腰三角形？若存在，求出線段OM的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．8．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線與x軸交于點(diǎn)A，與直線l2交于點(diǎn)C，C點(diǎn)到x軸的距離CD為，直線l2交x軸于點(diǎn)B，且∠ABC＝30°．（1）求直線l2的函數(shù)表達(dá)式；（2）如圖2，y軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E、F（E點(diǎn)在F點(diǎn)上方）滿足線段EF的長(zhǎng)為，連接CE、AF，當(dāng)線段CE+EF+AF有最小值時(shí)，求出此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)，以及CE+EF+AF的最小值；（3）如圖3，將△ACB繞點(diǎn)B逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°，得到△BGH，使點(diǎn)A與點(diǎn)H重合，點(diǎn)C與點(diǎn)G重合，將△BGH沿直線BC平移，記平移中的△BGH為△B'G'H'，在平移過(guò)程中，設(shè)直線B'H'與x軸交于點(diǎn)M，是否存在這樣的點(diǎn)M，使得△B'MG'為等腰三角形？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．9．如圖1，直線AB分別與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，OA＝6，∠BAO＝30°，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥AB交x軸于點(diǎn)C．（1）請(qǐng)求出直線BC的函數(shù)解析式．（2）如圖1，取AC中點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作垂直于x軸的直線DE，分別交直線AB和直線BC于點(diǎn)F，E，過(guò)點(diǎn)F作關(guān)于x軸的平行線交直線BC于點(diǎn)G，點(diǎn)M為直線DE上一動(dòng)點(diǎn)，作MN⊥y軸于點(diǎn)N，連接AM，NG，當(dāng)AM+MN+NG最小時(shí)，求M點(diǎn)的坐標(biāo)及AM+MN+GN的最小值．（3）在圖2中，點(diǎn)P為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接PD，將△PAD沿PD翻折至△PA'D，連接A'B，A'C，是否存在點(diǎn)P，使得△A'BC為等腰三角形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．10．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l2：y＝﹣x+與x軸交于點(diǎn)B，與直線l1：y＝x+b交于點(diǎn)C，C點(diǎn)到x軸的距離CD為2，直線l1交x軸于點(diǎn)A．（1）求直線l1的函數(shù)表達(dá)式；（2）如圖2，y軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E、F（E點(diǎn)在F點(diǎn)上方）滿足線段EF的長(zhǎng)為，連接CE、AF，當(dāng)線段CE+EF+AF有最小值時(shí)，求出此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)以及CE+EF+AF的最小值；（3）如圖3，將△ACB繞點(diǎn)B逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°，得到△BGH，使點(diǎn)A與點(diǎn)H對(duì)應(yīng)，點(diǎn)C與點(diǎn)G對(duì)應(yīng)，將△BGH沿著直線BC平移，平移后的三角形為△B′G′H′，點(diǎn)M為直線AC上的動(dòng)點(diǎn)，是否存在分別以C、O、M、G′為頂點(diǎn)的平行四邊形，若存在，請(qǐng)求出M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別交x軸，y軸于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C為OB的中點(diǎn)，點(diǎn)D在第二象限，且四邊形AOCD為矩形．（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，并求直線AB與CD交點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CD以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AB以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥OA，垂足為H，連接MP，MH．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．①若△MPH與矩形AOCD重合部分的面積為1，求t的值；②點(diǎn)Q是點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)，問(wèn)BP+PH+HQ是否有最小值？如果有，求出相應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．12．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l1：y＝x+4分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)B作直線l2⊥l1交x軸于點(diǎn)C，將直線l2沿y軸正方向平移2個(gè)單位得到直線l3，直線l1與直線l3交于點(diǎn)D．（1）求△ABC的面積；（2）如圖2，點(diǎn)F在直線l1上，點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為7，點(diǎn)M、點(diǎn)N分別為直線l3、l2上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)M的橫坐標(biāo)小于點(diǎn)N的橫坐標(biāo)），且∠MNB＝30°，連接FM、NO，求FM+MN+NO的最小值；（3）如圖3，將△BOC繞著點(diǎn)（2，0）逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△B'O′C'，作點(diǎn)B'關(guān)于直線C'O'的對(duì)稱點(diǎn)B″，設(shè)動(dòng)點(diǎn)K在直線l4：y＝x﹣2上，點(diǎn)T在直線C′O′上，是否存在點(diǎn)K，使得△B″KT為等邊三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)K的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．13．閱讀并解答下列問(wèn)題；在學(xué)習(xí)完《中心對(duì)稱圖形》一章后，老師給出了以下一個(gè)思考題：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（0，3），B（5，1），C（a，0），D（a+2，0），連接AC，CD，DB，求AC+CD+DB最小值．【思考交流】小明：如圖2，先將點(diǎn)A向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度到點(diǎn)A1，作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B1，連接A1B1交x軸于點(diǎn)D，將點(diǎn)D向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)C，連接AC．BD．此時(shí)AC+CD+DB的最小值等于A1B1+CD．小穎：如圖3，先將點(diǎn)A向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度到點(diǎn)A1，作點(diǎn)A1關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A2，連接A2B可以求解．小亮：對(duì)稱和平移還可以有不同的組合…．【嘗試解決】在圖2中，AC+CD+DB的最小值是．【靈活應(yīng)用】如圖4，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（0，3），B（5，1），C（a，1），D（a+2，0），連接AC，CD，DB，則AC+CD+DB的最小值是，此時(shí)a＝，并請(qǐng)?jiān)趫D5中用直尺和圓規(guī)作出AC+CD+DB最小時(shí)CD的位置（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）．【拓展提升】如圖6，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（0，3），C是一次函數(shù)y＝x圖象上一點(diǎn)，CD與y軸垂直且CD＝2（點(diǎn)D在點(diǎn)C右側(cè)），連接AC，CD，AD，直接寫(xiě)出AC+CD+DA的最小值是，此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)是．14．已知拋物線C1：y＝（x﹣m）2的頂點(diǎn)A在x軸正半軸上，與y軸交于B（0，1）．（1）求拋物線C1的解析式；（2）如圖1，平移直線AB交x軸于F，交y軸于E，交拋物線C1于點(diǎn)M、N，若ME＝NF，求直線EF的解析式；（3）如圖2，把拋物線C1向下平移4個(gè)單位的拋物線C2交x軸于C、D兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)G，在拋物線C2的對(duì)稱軸上一條動(dòng)線段PQ＝1（P點(diǎn)在Q點(diǎn)上方），當(dāng)四邊形GCPQ的周長(zhǎng)最小時(shí)，求P點(diǎn)坐標(biāo)．15．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（0，3），B（5，0），連接AB．（1）將繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到△OCD，（點(diǎn)A落到點(diǎn)C處），求經(jīng)過(guò)B、C、D三點(diǎn)的拋物線的解析式．（2）現(xiàn)將（1）中拋物線向右平移兩個(gè)單位，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為N，平移后的拋物線與原拋物線相交于點(diǎn)F；P、Q為平移后拋物線對(duì)稱軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，（點(diǎn)Q在點(diǎn)P的上方），且PQ＝1，要使四邊形PQFE的周長(zhǎng)最小，求出P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)．16．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸分別相交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C（0，3）．（1）求出這條拋物線的解析式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）PQ是拋物線對(duì)稱軸上長(zhǎng)為1的一條動(dòng)線段（點(diǎn)P在點(diǎn)Q上方），求AQ+QP+PC的最小值；（3）如圖2，點(diǎn)D是第四象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥x軸，垂足為F，△ABD的外接圓與DF相交于點(diǎn)E．試問(wèn)：線段EF的長(zhǎng)是否為定值？如果是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

模型介紹模型介紹方法點(diǎn)撥二、求線段之和的最小值已知A、B是兩個(gè)定點(diǎn)，P、Q是直線m上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P在Q的左側(cè),且PQ間長(zhǎng)度恒定,在直線m上要求P、Q兩點(diǎn)，使得PA+PQ+QB的值最小.(原理用平移知識(shí)解)（1）點(diǎn)A、B在直線m兩側(cè)：過(guò)A點(diǎn)作AC∥m,且AC長(zhǎng)等于PQ長(zhǎng)，連接BC,交直線m于Q,Q向左平移PQ長(zhǎng)，即為P點(diǎn)，此時(shí)P、Q即為所求的點(diǎn).（2）點(diǎn)A、B在直線m同側(cè)：過(guò)A點(diǎn)作AE∥m,且AE長(zhǎng)等于PQ長(zhǎng)，作B關(guān)于m的對(duì)稱點(diǎn)B’,連接B’E,交直線m于Q,Q向左平移PQ長(zhǎng)，即為P點(diǎn)，此時(shí)P、Q即為所求的點(diǎn).例題精講例題精講【例1】．如圖，已知A（3，1），B（1，0），PQ是直線y＝x上的一條動(dòng)線段且PQ＝（Q在P的下方），當(dāng)AP+PQ+QB取最小值時(shí)，點(diǎn)Q坐標(biāo)為（，）．解：作點(diǎn)B關(guān)于直線y＝x的對(duì)稱點(diǎn)B'（0，1），過(guò)點(diǎn)A作直線MN，并沿MN向下平移單位后得A'（2，0）連接A'B'交直線y＝x于點(diǎn)Q如圖理由如下：∵AA'＝PQ＝，AA'∥PQ，∴四邊形APQA'是平行四邊形．∴AP＝A'Q．∵AP+PQ+QB＝B'Q+A'Q+PQ且PQ＝．∴當(dāng)A'Q+B'Q值最小時(shí)，AP+PQ+QB值最小．根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，即A'，Q，B'三點(diǎn)共線時(shí)A'Q+B'Q值最?。連'（0，1），A'（2，0），∴直線A'B'的解析式y(tǒng)＝﹣x+1．∴x＝﹣x+1．即x＝，∴Q點(diǎn)坐標(biāo)（，）．故答案是：（，）．變式訓(xùn)練【變1-1】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A，C，E的坐標(biāo)分別為（0，4），（8，0），（8，2），點(diǎn)P，Q是OC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且PQ＝2，要使四邊形APQE的周長(zhǎng)最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）A．（2，0） B．（3，0） C．（4，0） D．（5，0）解：如圖，將點(diǎn)E（8，2）往左平移2個(gè)單位得到F（6，2），則EF＝2＝PQ，EF∥PQ，∴四邊形EFPQ是平行四邊形，∴FP＝QE，作點(diǎn)F關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)F'，連接PF'，則PF'＝PF，F(xiàn)'（6，﹣2），∴當(dāng)點(diǎn)A、P、F在同一直線上上時(shí)，AP+PF'最小，即AP+EQ最小，∵A（0，4），F(xiàn)'（6，﹣2），∴直線AF'解析式：y＝﹣x+4，∴P（4，0），故選：C．【變1-2】．A、B兩村之間隔一條河，現(xiàn)在要在河上架一座橋．（1）要使這兩村A、B之間的行程最短，橋應(yīng)修在何處？請(qǐng)幫他們?cè)O(shè)計(jì)出來(lái)．（2）若兩村A、B到河邊的距離分別為50米和20米，河寬為30米，AC＝40米，你能求出兩村的最短路程嗎？若能，請(qǐng)求出來(lái)．解：（1）橋應(yīng)該建在如圖所示MN處，四邊形AMKN是平行四邊形．（2）作MH⊥BC垂足為H．兩村A、B之間的最短路程＝AN+KN+BK，∵四邊形AMKN是平行四邊形，∴AN＝MK，在RT△BMH中，∵BH＝70，MH＝40，∴BM＝＝10，∴AN+KN+BK＝BM+KN＝10+30，∴兩村的最短路程為（10+30）米．【例2】．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝x+8分別交x軸，y軸于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C為OB的中點(diǎn)，點(diǎn)D在第二象限，且四邊形AOCD為矩形．動(dòng)點(diǎn)P為CD上一點(diǎn)，PH⊥OA，垂足為H，點(diǎn)Q是點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)，當(dāng)BP+PH+HQ值最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣4，4）．解：BP+PH+HQ有最小值，理由是：∵直線y＝x+8分別交x軸，y軸于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C為OB的中點(diǎn)，∴OB＝8，OA＝6，OC＝4，連接PB，CH，HQ，則四邊形PHCB是平行四邊形，如圖，∵四邊形PHCB是平行四邊形，∴PB＝CH，∴BP+PH+HQ＝CH+HQ+4，∵BP+PH+HQ有最小值，即CH+HQ+4有最小值，∴只需CH+HQ最小即可，∵兩點(diǎn)之間線段最短，∴當(dāng)點(diǎn)C，H，Q在同一直線上時(shí)，CH+HQ的值最小，過(guò)點(diǎn)Q作QM⊥y軸，垂足為M，∵點(diǎn)Q是點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)，∴OA是△BQM的中位線，∴QM＝2OA＝12，OM＝OB＝8，∴Q（﹣12，﹣8），設(shè)直線CQ的關(guān)系式為：y＝kx+b，將C（0，4）和Q（﹣12，﹣8）分別代入上式得：，解得：，∴直線CQ的關(guān)系式為：y＝x+4，令y＝0得：x＝﹣4，∴H（﹣4，0），∵PH∥y軸，∴P（﹣4，4），故答案為：（﹣4，4）．變式訓(xùn)練【變2-1】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝﹣x+與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，B，Q為△AOB內(nèi)部一點(diǎn)，則AQ+OQ+BQ的最小值等于（）A．2 B． C． D．解：∵直線y＝﹣x+與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，B，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝；當(dāng)y＝0時(shí)，x＝1；∴OB＝，OA＝1，∴AB＝＝＝2，∴∠OBA＝30°，∠OAB＝60°，任取△AOB內(nèi)一點(diǎn)Q，連接AQ、BQ、OQ，將△ABQ繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AB′Q′，過(guò)B′作B′C⊥x軸于C，如圖所示：∴AB′＝AB＝2，AQ＝AQ′，BQ＝B′Q′，∠BAB′＝∠QAQ′＝60°，∴△QAQ′是等邊三角形，∴AQ＝QQ′，∴OQ+AQ+BQ＝OQ+QQ′+Q′B′，∴當(dāng)OQ、QQ′、Q′B′這三條線段在同一直線時(shí)最短，即AQ+OQ+BQ的最小值＝OB′，∵∠BAO＝∠BAB′＝60°，∴∠B′AC＝60°，∴AC＝AB′＝1，B′C＝，∴OC＝OA+AC＝2，∴OB′＝＝＝，∴AQ、OQ、BQ之和的最小值是；故選：D．【變2-2】．如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A，C分別在x軸，y軸上，B，D兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為B（﹣4，6），D（0，4），線段EF在邊OA上移動(dòng)，保持EF＝3，當(dāng)四邊形BDEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣，0）．解：在BC上截取BH＝3，作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D'，連接D'H交AO于點(diǎn)E，∴BH＝EF＝3，BC∥AO，∴四邊形BHEF是平行四邊形，∴BF＝EH，∵點(diǎn)D與點(diǎn)D'關(guān)于x軸對(duì)稱，∴DE＝D'E，點(diǎn)D'坐標(biāo)為（0，﹣4），∵四邊形BDEF的周長(zhǎng)＝EF+BF+BD+DE，∴四邊形BDEF的周長(zhǎng)＝EH+ED'+BD+EF，∵EF和BD是定值，∴當(dāng)EH+D'E有最小值時(shí)，四邊形BDEF的周長(zhǎng)有最小值，∴當(dāng)點(diǎn)E，點(diǎn)H，點(diǎn)D'共線時(shí)，EH+D'E有最小值，∵點(diǎn)B（﹣4，6），∴點(diǎn)H（﹣1，6），設(shè)直線D'H的解析式為y＝kx+b，則，解得：，∴直線D'H的解析式為y＝﹣10x﹣4，∴當(dāng)y＝0時(shí)，x＝﹣，∴點(diǎn)E（﹣，0），故答案為：（﹣，0）．1．如圖，CD是直線y＝x上的一條動(dòng)線段，且CD＝2，點(diǎn)A（2+，1），連接AC、AD，則△ACD周長(zhǎng)的最小值是2+2．解：在x軸上取點(diǎn)B（2，0），連接BC，AB，作AF⊥x軸于點(diǎn)F，∵點(diǎn)A（2+，1），∴Rt△ABF中，AF＝1，BF＝，∴AB＝2，∠ABF＝30°，∵CD是直線y＝x上的一條動(dòng)線段，∴∠COB＝30°，∴AB∥CD，且AB＝CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，要使得△ACD周長(zhǎng)最小，只要AC+AD最小，也就是AC+BC最小，作點(diǎn)B關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)E，根據(jù)對(duì)稱得OE＝OB，且∠EOB＝60°，∴△EOB是等邊三角形，∴點(diǎn)E坐標(biāo)為（1，），當(dāng)E，C，A三點(diǎn)共線時(shí)，EC+AC最小，此時(shí)AC+BC最小，∴EC+AC的最小值＝＝＝2，∴AC+AD最小值＝2，∴△ACD的周長(zhǎng)＝2+2．2．如圖，在直角坐標(biāo)系中，直線y＝x+4分別交x軸，y軸于A，B兩點(diǎn)，C為OB的中點(diǎn)，點(diǎn)D在第二象限，且四邊形AOCD為矩形，P是CD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥OA于H，Q是點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)，則BP+PH+HQ的最小值為6+2．解：如圖，連接CH，∵直線y＝x+4分別交x軸，y軸于A，B兩點(diǎn)，∴OB＝4，OA＝3，∵C是OB的中點(diǎn)，∴BC＝OC＝2，∵∠PHO＝∠COH＝∠DCO＝90°，∴四邊形PHOC是矩形，∴PH＝OC＝BC＝2，∵PH∥BC，∴四邊形PBCH是平行四邊形，∴BP＝CH，∴BP+PH+HQ＝CH+HQ+2，要使CH+HQ的值最小，只需C、H、Q三點(diǎn)共線即可，∵點(diǎn)Q是點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)，∴Q（﹣6，﹣4），又∵點(diǎn)C（0，2），根據(jù)勾股定理可得CQ＝＝6，此時(shí)，BP+PH+HQ＝CH+HQ+PH＝CQ+2＝6+2，即BP+PH+HQ的最小值為6+2；故答案為：6+2．3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有二次函數(shù)，頂點(diǎn)為H，與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B左側(cè)），易證點(diǎn)H、B關(guān)于直線l：對(duì)稱，且A在直線l上．過(guò)點(diǎn)B作直線BK∥AH交直線l于K點(diǎn)，M、N分別為直線AH和直線l上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接HN、NM、MK，則HN+NM+MK的最小值為8解：設(shè)＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1，∵B點(diǎn)在A點(diǎn)右側(cè)，∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），∵＝﹣（x+1）2+2，∴頂點(diǎn)H的坐標(biāo)是（﹣1，2），設(shè)直線AH的解析式為y＝kx+b，把A和H點(diǎn)的坐標(biāo)代入求出k＝，b＝3，∵過(guò)點(diǎn)B作直線BK∥AH，∴直線BK的解析式為y＝mx+n中的m＝，又因?yàn)锽在直線BK上，代入求出n＝﹣，∴直線BK的解析式為：y＝x﹣，聯(lián)立解得：，∴交點(diǎn)K的坐標(biāo)是（3，2），則BK＝4，∵點(diǎn)H、B關(guān)于直線AK對(duì)稱，K（3，2），∴HN+MN的最小值是MMB，KD＝KE＝2，過(guò)K作KD⊥x軸于D，作點(diǎn)K關(guān)于直線AH的對(duì)稱點(diǎn)Q，連接QK，交直線AH于E，KD＝KE＝2，則QM＝MK，QE＝EK＝2，AE⊥QK，∴根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得出BM+MK的最小值是BQ，即BQ的長(zhǎng)是HN+NM+MK的最小值，∵BK∥AH，∴∠BKQ＝∠HEQ＝90°，由勾股定理得QB＝＝8，∴HN+NM+MK的最小值為8．答：HN+NM+MK和的最小值是8．故答案為：8．4．如圖，已知點(diǎn)A（4，0）、B（0，2），線段OA＝OC且點(diǎn)C在y軸負(fù)半軸上，連接AC．（1）如圖1，求直線AB的解析式；（2）如圖1，點(diǎn)P是直線CA上一點(diǎn)，若S△ABC＝3S△ABP，求滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)；（3）如圖2，點(diǎn)M為直線l：x＝上一點(diǎn)，將點(diǎn)M水平向右平移6個(gè)單位至點(diǎn)N，連接BM、MN、NC．求BM+MN+NC的最小值及此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)．解：（1）直線AB的解析式為y＝kx+2，得4k+2＝0，解得k＝﹣，∴直線AB的解析式為y＝﹣x+2；（2）由OA＝OC＝4，得點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣4），設(shè)直線AC的解析式為y＝k'x﹣4，得4k'﹣4＝0，解得k'＝1，∴直線AC的解析式為y＝x﹣4，由題意得，∠OAC＝∠ACO＝45°，AC＝OC＝4，∵S△ABC＝3S△ABP，∴AP＝AC＝，則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)應(yīng)為或﹣，當(dāng)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)應(yīng)為時(shí)，得x﹣4＝，解得x＝；當(dāng)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)應(yīng)為﹣時(shí)，得x﹣4＝﹣，解得x＝．∴滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為（，）或（，﹣）．（3）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，y），則N的坐標(biāo)為（，y），由點(diǎn)B離直線x＝的距離是，故在N處向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度出作直線x＝11，在該直線上取B′（11，2），連接CB'，則BM＝B′N，MN＝6，設(shè)直線CB'的解析式為y＝k″x﹣4，得11k″﹣4＝2，解得k″＝，∴直線CB'的解析式為y＝x﹣4，將x＝代入得y＝＝×﹣4＝，即此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，），BM+MN+NC的最小值為MN+B'C＝6+＝6+．5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l的解析式為y＝﹣x+4，與x軸交于點(diǎn)C，直線l上有一點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)A是OC的中點(diǎn)．（1）求直線AB的函數(shù)表達(dá)式；（2）在直線BC上有兩點(diǎn)P、Q，且PQ＝4，使四邊形OAPQ的周長(zhǎng)最小，求周長(zhǎng)的最小值；（3）直線AB與y軸交于點(diǎn)H，將△OBH沿AB翻折得到△HBG，M為直線AB上一動(dòng)點(diǎn)，N為平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)M、N，使得以H、M、N、G為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由．解：（1）對(duì)于y＝﹣x+4，令y＝0，則y＝﹣x+4＝0，解得x＝4，故點(diǎn)C（4，0），∵點(diǎn)A是OC的中點(diǎn)，則點(diǎn)A（2，0），當(dāng)x＝時(shí)，y＝﹣x+4＝3，故點(diǎn)B（，3），設(shè)直線AB的表達(dá)式為y＝sx+t，則，解得，故直線AB的表達(dá)式為y＝﹣x+6；（2）過(guò)點(diǎn)A作點(diǎn)A關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)A′，將點(diǎn)A′沿CB方向平移4個(gè)單位得到點(diǎn)A″，連接OA″交BC于點(diǎn)P，將點(diǎn)P沿BC方向平移4個(gè)單位得到Q，此時(shí)四邊形OAPQ的周長(zhǎng)最?。牲c(diǎn)A、B、O的坐標(biāo)知，OA＝AB＝OB＝2，故△OAB為等邊三角形，由直線BC的表達(dá)式知∠BCO＝30°，則∠A′AC＝60°，故∠BAA′＝60°＝∠ABC+∠ABC＝30°+∠ABC，故∠ABA′＝60°，故△ABA′為等邊三角形，則A′B＝AB＝2且A′B∥x軸，故點(diǎn)A′（3，3）；將點(diǎn)A′沿CB方向平移4個(gè)單位，相等于沿x軸負(fù)半軸方向平移2個(gè)單位向上平移3個(gè)單位，故點(diǎn)A″（，5）；由點(diǎn)A的平移知，A″A′＝PQ且A′A″∥PQ，故四邊形OAQP為平行四邊形，故A′Q＝A″P，此時(shí)，四邊形OAQP的周長(zhǎng)＝OA+PQ+AQ+OP＝OA+4+A′Q+OP＝2+4+OA″為最小，而OA″＝2，故以四邊形OAQP的最小周長(zhǎng)為2+4+2；（3）存在，理由：對(duì)于y＝﹣x+6，令x＝0，則y＝6，故點(diǎn)H（0，6），如圖2，按照（2）方法同理可得點(diǎn)G（3，3），則HG＝＝6，設(shè)點(diǎn)N（a，b），點(diǎn)M（m，6﹣m），①當(dāng)GH是邊時(shí)，點(diǎn)H向右平移3個(gè)單位向下平移3個(gè)單位得到點(diǎn)G，同樣點(diǎn)M（N）向右平移3個(gè)單位向下平移3個(gè)單位得到點(diǎn)N（M），當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)M的下方時(shí)，由題意得：m+3＝a，6﹣m﹣3＝b①且HG＝HM，而HG＝HM，即36＝m2+（6﹣m﹣6）2②，聯(lián)立①②并解得m＝±3，故點(diǎn)M（3，6﹣3）或（﹣3，6+3）；當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)M的下方時(shí)，同理可得點(diǎn)M（3，﹣3）；②當(dāng)GH是對(duì)角線時(shí)，由中點(diǎn)公式得：（0+3）＝（a+m），（6+3）＝（b+6﹣m）③，由HM＝HN得：m2+（6﹣m﹣6）2＝a2+（b﹣6）2④，聯(lián)立③④并解得：m＝，故點(diǎn)M（，3）；綜上，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，6﹣3）或（﹣3，6+3）或（3，﹣3）或（，3）．6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l1：y＝與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，D，直線l2與直線y＝﹣x平行，交x軸于點(diǎn)B（7，0），交l1于點(diǎn)C．（1）直線l2的解析式為y＝﹣x+，，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，3）；（2）若點(diǎn)P是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)S△PAB＝時(shí)，在x軸上有兩動(dòng)點(diǎn)M、N（M在N的左側(cè)），且MN＝2，連接DM，PN，當(dāng)四邊形DMNP周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，將OD繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到OG，點(diǎn)E是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是直線l1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)F，使以G，M，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）∵直線l2與直線y＝﹣x平行，∴設(shè)直線l2的解析式為y＝﹣x+b，∵直線l2交x軸于點(diǎn)B（7，0），∴﹣×7+b＝0，解得b＝，∴直線l2的解析式為y＝﹣x+，∵直線l2交l1于點(diǎn)C，∴，解得，∴C（1，3），故答案為：y＝﹣x+，C（1，3）；（2）∵S△PAB＝S△ABC，∴AB?yP＝×AB?yC，即yP＝，∴P（5，），∵l1：y＝與y軸交于點(diǎn)D，∴D（0，2），∴PD＝＝2，∴C四邊形DMNP＝2+2+DM+PN，當(dāng)DM+PN最小時(shí)，四邊形DMNP的周長(zhǎng)最小，將DM向右平移兩個(gè)單位至D'N，則D'（2，2），過(guò)x軸作點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)P'（5，﹣），連接D'P'交x軸于點(diǎn)N，此時(shí)D'N+P'N最小，即DM+PN最小，設(shè)直線D'P'的解析式為y＝mx+n，代入D'、P'坐標(biāo)，得，解得，∴直線D'P'的解析式為y＝﹣x+4，∴N（4，0），∴M（2，0）；（3）存在，過(guò)G作GH⊥x軸，由題知，OG＝OD＝2，∵∠DOG＝60°，∴∠GOH＝30°，∴GH＝，OH＝3，∴G（3，），設(shè)E（0，a），F(xiàn)（b，），當(dāng)GM為對(duì)角線時(shí)，，，解得，∴F（5，7），當(dāng)GE為對(duì)角線時(shí)，，∴，解得，∴F（1，3），當(dāng)GF為對(duì)角線時(shí)，，∴，解得，∴F（﹣1，3），綜上，F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)為（5，7）或（1，3）或（﹣1，）．7．如圖1，直線l：交x軸于點(diǎn)A，交軸y于點(diǎn)B，交直線m：y＝x+3于點(diǎn)C，直線m交x軸于點(diǎn)D．（1）求點(diǎn)A、點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）如圖1，點(diǎn)E為第一象限內(nèi)直線l上一點(diǎn)，滿足△ACE的面積為6．①求點(diǎn)E的坐標(biāo)；②線段PQ＝1（點(diǎn)P在點(diǎn)Q的上方）為直線x＝﹣1上的一條動(dòng)線段，當(dāng)EP+PQ+AQ的值最小時(shí)，求這個(gè)最小值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．（3）如圖2，將直線l繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，直線l交x軸于點(diǎn)M，是否存在某個(gè)時(shí)刻，使得△CDM為等腰三角形？若存在，求出線段OM的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）由﹣x+＝0得，x＝3，∴A（3，0），由得，，∴C（﹣1，2）；（2）①如圖1，過(guò)點(diǎn)C作OB的平行線交OD于G，作EF⊥CG于F，設(shè)點(diǎn)E（x，x+3）∵C（﹣1，2），A（3，0），∴PE＝x+1，PC＝x+1，CG＝2，AG＝4，∵S△ACE＝S梯形AEPG﹣S△PCE﹣S△ACG，∴（AG+PE）?PG﹣﹣＝6，∴x＝1，∴E（1，4）；②如圖2，作E點(diǎn)關(guān)于x＝﹣1的對(duì)稱點(diǎn)I，將I向下平移1個(gè)單位至J，連接AJ，交x＝﹣1于Q，Q點(diǎn)向上平移1個(gè)單位是點(diǎn)P，∴EP＝IP，∵IJ＝PQ，IJ∥PQ，∴四邊形PQJI是平行四邊形，∴IP＝JQ，EP＝JQ，此時(shí)EP+PQ+AQ最小，∵E（1，4），∴I（﹣3，4），J（﹣3，3），∴AK＝6，JK＝3，∴AJ＝＝3，∴EP+PQ+AQ＝JQ+AQ+1＝AJ+1＝3+1，∴EP+PQ+AQ最?。?+1，∵AJ的解析式是：y＝﹣x，∴P（﹣1，）；（3）∵D（﹣3，0），C（﹣1，2），∴CD＝2，當(dāng)CD＝CM時(shí)，作CT⊥DM于T，如圖3，∴TM＝DT＝2，∴M（1，0），∴OM＝1，當(dāng)DM＝CD＝2時(shí)，如圖4，M（2﹣3），∴OM＝3﹣2，當(dāng)CM＝DM時(shí)，如圖5，∵OD＝ON＝3，∴∠ODN＝45°，作CM⊥OD于M，∴∠DCM＝∠ODN＝45°，∴CM＝DM，∴M（﹣1，0），∴OM＝1，綜上所述：當(dāng)OM＝1或3﹣2時(shí)，△CDM為等腰三角形．8．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線與x軸交于點(diǎn)A，與直線l2交于點(diǎn)C，C點(diǎn)到x軸的距離CD為，直線l2交x軸于點(diǎn)B，且∠ABC＝30°．（1）求直線l2的函數(shù)表達(dá)式；（2）如圖2，y軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E、F（E點(diǎn)在F點(diǎn)上方）滿足線段EF的長(zhǎng)為，連接CE、AF，當(dāng)線段CE+EF+AF有最小值時(shí)，求出此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)，以及CE+EF+AF的最小值；（3）如圖3，將△ACB繞點(diǎn)B逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°，得到△BGH，使點(diǎn)A與點(diǎn)H重合，點(diǎn)C與點(diǎn)G重合，將△BGH沿直線BC平移，記平移中的△BGH為△B'G'H'，在平移過(guò)程中，設(shè)直線B'H'與x軸交于點(diǎn)M，是否存在這樣的點(diǎn)M，使得△B'MG'為等腰三角形？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．解：（1）點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為2，點(diǎn)C在直線l1上，則點(diǎn)C（﹣1，2），∴CD＝2，OD＝1，∵∠ABC＝30°，∴CD＝BD，BD＝CD＝6，∴OB＝BD﹣OD＝5，則l2的表達(dá)式為：y＝﹣x+b，將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入l2表達(dá)式并解得：b＝，故直線l2的表達(dá)式為：y＝﹣x+；（2）直線l2的表達(dá)式為：y＝﹣x+，則點(diǎn)B（5，0），直線與x軸交于點(diǎn)A，則點(diǎn)A（﹣3，0），作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A′（3，0），過(guò)點(diǎn)A′作x軸的垂線并取A′E′＝，連接E′C交y軸于點(diǎn)E，在E下方取EF＝，則點(diǎn)F是所求點(diǎn)，將點(diǎn)C、E′的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式，同理可得：CE′的函數(shù)表達(dá)式為：y＝﹣x+，故點(diǎn)E（0，），點(diǎn)F（0，）；CE+EF+AF的最小值＝FE+CE′＝+；（3）AB＝8，BC＝4，AC＝4，如圖3，過(guò)點(diǎn)H作HR⊥x軸于點(diǎn)R，過(guò)點(diǎn)H作HK⊥y軸于點(diǎn)K，△ACB繞點(diǎn)B逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°，得到△BGH，則∠ABH＝60°，則RH＝HBsin60°＝ABsin60°＝8×＝4，同理HK＝1，故點(diǎn)H（1，﹣4），同理點(diǎn)G（﹣1，﹣2）；設(shè)△BHG向右平移m個(gè)單位，則向下平移m個(gè)單位，則點(diǎn)B′（5+m，﹣m）、點(diǎn)H′（1+m，﹣4﹣m）、點(diǎn)G′（﹣1+m，﹣2﹣m），將點(diǎn)H′、B′的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式，同理可得直線H′B′的表達(dá)式為：y＝x﹣（5+4m），則點(diǎn)M（5+m，0），則B′M2＝（）2+m2＝，同理G′M2＝m2+48+8m，B′G′2＝BC2＝48，①當(dāng)B′M＝G′M時(shí)，＝m2+48+8m，解得m＝﹣2；②當(dāng)B′M＝B′G′時(shí)，＝48，解得：m＝±6；③當(dāng)G′M＝B′G′，m2+48+8m＝48，解得：m＝0（舍去）或﹣6；故存在，點(diǎn)M（5+8，0）或（5﹣8，0）或（﹣3，0）或（﹣19，0）．故點(diǎn)M（5+8，0）或（5﹣8，0）或（﹣3，0）或（﹣19，0）．9．如圖1，直線AB分別與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，OA＝6，∠BAO＝30°，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥AB交x軸于點(diǎn)C．（1）請(qǐng)求出直線BC的函數(shù)解析式．（2）如圖1，取AC中點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作垂直于x軸的直線DE，分別交直線AB和直線BC于點(diǎn)F，E，過(guò)點(diǎn)F作關(guān)于x軸的平行線交直線BC于點(diǎn)G，點(diǎn)M為直線DE上一動(dòng)點(diǎn)，作MN⊥y軸于點(diǎn)N，連接AM，NG，當(dāng)AM+MN+NG最小時(shí)，求M點(diǎn)的坐標(biāo)及AM+MN+GN的最小值．（3）在圖2中，點(diǎn)P為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接PD，將△PAD沿PD翻折至△PA'D，連接A'B，A'C，是否存在點(diǎn)P，使得△A'BC為等腰三角形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）∵x軸⊥y軸，OA＝6，∠BAO＝30°，∴∠BOA＝90°，∠ABO＝60°，則BO＝tan30°?OA＝?6＝，∴B（0，）；∵過(guò)點(diǎn)B作BC⊥AB交x軸于點(diǎn)C，∴∠CBA＝90°，∠CBO＝∠CBA﹣∠ABO＝90°﹣60°＝30°，∴CO＝tan30°?OB＝?＝2，∴C（﹣2，0）；設(shè)直線BC的函數(shù)解析式為：y1＝kx+b，將點(diǎn)B（0，），C（﹣2，0）代入得，，解得，，∴直線BC的函數(shù)解析式為：y1＝x+．（2）∵M(jìn)N⊥y軸，GF∥x軸，∴GF⊥y軸，直線GF上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)都相等；將點(diǎn)G在直線GF上平移至點(diǎn)G'，使得GG'＝MN，連接AG'，交DE于點(diǎn)M'，過(guò)M'作M'N'∥MN交y軸于點(diǎn)N'，連接GN'，則MN＝M'N'，GN'＝G'M'，當(dāng)M位于點(diǎn)M'時(shí)，AM+MN+NG有最小值；∵點(diǎn)D為線段AC的中點(diǎn)，C（﹣2，0），A（6，0），∴D（2，0），AD＝4，∵DE⊥x軸，∴GG'＝MN＝M'N'＝2，∠FDA＝90°，直線DE上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)都為2；∵AD＝2，∠BAO＝30°，∴DF＝tan30°?AD＝?4＝，則F（2，），∴設(shè)點(diǎn)G（x，），代入y＝x+得，x+＝，解得，x＝，則G（，），∴G'（，），則AG'＝＝，∴AM+MN+NG的最小值為：AM+MN+NG＝AM'+M'N'+N'G＝AG'+MN＝+2，設(shè)直線G'A的函數(shù)解析式為：y2＝kx+b，將點(diǎn)G（，），A（6，0），代入得，，解得，∴直線AG'的函數(shù)解析式為：y2＝﹣x+，設(shè)點(diǎn)M'（2，m），將點(diǎn)M'代入y2＝﹣x+得，m＝，當(dāng)AM+MN+NG最小時(shí)，M點(diǎn)的坐標(biāo)為：（2，）．（3）存在點(diǎn)P，使得△A'BC為等腰三角形．點(diǎn)A，D是定點(diǎn)，則AD是定長(zhǎng)，△PAD沿PD翻折至△PA'D，則點(diǎn)A'是⊙D上的動(dòng)點(diǎn)，（1）當(dāng)A'C＝A'B時(shí)，如圖，點(diǎn)P在x軸上方，點(diǎn)P（8﹣，2﹣）；（2）當(dāng)BC＝BA'時(shí)，A'也在⊙B上，點(diǎn)P（4，）；（3）當(dāng)CB＝CA'時(shí)，點(diǎn)A'也在⊙C上，點(diǎn)P（0，）．10．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l2：y＝﹣x+與x軸交于點(diǎn)B，與直線l1：y＝x+b交于點(diǎn)C，C點(diǎn)到x軸的距離CD為2，直線l1交x軸于點(diǎn)A．（1）求直線l1的函數(shù)表達(dá)式；（2）如圖2，y軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E、F（E點(diǎn)在F點(diǎn)上方）滿足線段EF的長(zhǎng)為，連接CE、AF，當(dāng)線段CE+EF+AF有最小值時(shí)，求出此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)以及CE+EF+AF的最小值；（3）如圖3，將△ACB繞點(diǎn)B逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°，得到△BGH，使點(diǎn)A與點(diǎn)H對(duì)應(yīng)，點(diǎn)C與點(diǎn)G對(duì)應(yīng)，將△BGH沿著直線BC平移，平移后的三角形為△B′G′H′，點(diǎn)M為直線AC上的動(dòng)點(diǎn)，是否存在分別以C、O、M、G′為頂點(diǎn)的平行四邊形，若存在，請(qǐng)求出M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．解：（1）∵CD＝2，將y＝2代入y＝﹣得x＝﹣1，∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（﹣1，2），將（﹣1，2）代入y＝x+b，解得b＝3，∴直線l1的函數(shù)表達(dá)式為y＝x+3．（2）由y＝x+3得點(diǎn)A坐標(biāo)為（﹣3，0），關(guān)于y軸作點(diǎn)A對(duì)稱點(diǎn)再向上移動(dòng)個(gè)單位得到A'（3，），連接CA'與y軸交點(diǎn)即為點(diǎn)E．設(shè)CA'所在直線解析式為y＝kx+b，將點(diǎn)（﹣1，2），（3，）代入可得，，解得，∴y＝﹣x+，∵x＝0時(shí)y＝，∴點(diǎn)E坐標(biāo)為（0，），點(diǎn)F坐標(biāo)為（0，）．作CG垂直于y軸于點(diǎn)G，在Rt△CGE和Rt△AFO中，由勾股定理得，CE＝＝＝，AF＝＝＝，∴CE+EF+AF＝+．（3）如圖，直線BC交y軸于點(diǎn)K，點(diǎn)K坐標(biāo)為（0，），∵點(diǎn)B坐標(biāo)為（5，0），∴＝，∴∠KBO＝30°，∵將△ACB繞點(diǎn)B逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°，∴∠GOB＝30°，BK，BG關(guān)于x軸對(duì)稱，∴點(diǎn)G坐標(biāo)為（﹣1，﹣2），∴點(diǎn)G軌跡為過(guò)點(diǎn)G（﹣1，﹣2）且與BC平行的一條直線，設(shè)y＝﹣x+b，將（﹣1，﹣2）代入得b＝﹣，∴y＝﹣x﹣．設(shè)點(diǎn)M橫坐標(biāo)為m，則縱坐標(biāo)為（m，m+3），點(diǎn)G'坐標(biāo)為（a，b），∵點(diǎn)C坐標(biāo)為（﹣1，2），點(diǎn)O坐標(biāo)為（0，0），當(dāng)CMG'O是平行四邊形時(shí)，，解得，∴點(diǎn)G坐標(biāo)為（m+1，）．將（m+1，）代入y＝﹣x﹣，解得m＝﹣，∴m+3＝，∴M坐標(biāo)為（﹣，）．當(dāng)G'MOC為平行四邊形時(shí)，同理可得，解得，將（m﹣1，m+5）代入y＝﹣x﹣，解得m＝﹣，∴m+3＝﹣，∴M坐標(biāo)為（﹣，﹣）．當(dāng)CG'OM為平行四邊形時(shí)，可得，解得，將（﹣m﹣1，﹣m﹣）代入y＝﹣x﹣，解得m＝，∴m+3＝，∴M坐標(biāo)為（，）．綜上所述，M點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣，）或（﹣，﹣）或（，）．11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別交x軸，y軸于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C為OB的中點(diǎn)，點(diǎn)D在第二象限，且四邊形AOCD為矩形．（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，并求直線AB與CD交點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CD以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AB以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥OA，垂足為H，連接MP，MH．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．①若△MPH與矩形AOCD重合部分的面積為1，求t的值；②點(diǎn)Q是點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)，問(wèn)BP+PH+HQ是否有最小值？如果有，求出相應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）A（﹣3，0），B（0，4）．當(dāng)y＝2時(shí)，，．所以直線AB與CD交點(diǎn)的坐標(biāo)為．（2）①當(dāng)0＜t＜時(shí)，△MPH與矩形AOCD重合部分的面積即△MPH的面積．過(guò)點(diǎn)M作MN⊥OA，垂足為N．由△AMN∽△ABO，得．∵AO＝3，BO＝4，∴AB＝＝5，∴．∴AN＝t．∴△MPH的面積為．當(dāng)3﹣2t＝1時(shí)，t＝1．當(dāng)＜t≤3時(shí)，設(shè)MH與CD相交于點(diǎn)E，△MPH與矩形AOCD重合部分的面積即△PEH的面積．過(guò)點(diǎn)M作MG⊥AO于G，MF⊥HP交HP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．FM＝AG﹣AH＝AM×cos∠BAO﹣（AO﹣HO）＝．．由△HPE∽△HFM，得．∴．∴．∴△PEH的面積為．當(dāng)時(shí)，．經(jīng)檢驗(yàn)，t＝是原方程的解，綜上所述，若△MPH與矩形AOCD重合部分的面積為1，t為1或．②BP+PH+HQ有最小值．連接PB，CH，則四邊形PHCB是平行四邊形．∴BP＝CH．∴BP+PH+HQ＝CH+HQ+2．當(dāng)點(diǎn)C，H，Q在同一直線上時(shí)，CH+HQ的值最?。唿c(diǎn)C，Q的坐標(biāo)分別為（0，2），（﹣6，﹣4），∴直線CQ的解析式為y＝x+2，∴點(diǎn)H的坐標(biāo)為（﹣2，0）．因此點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，2）．12．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l1：y＝x+4分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)B作直線l2⊥l1交x軸于點(diǎn)C，將直線l2沿y軸正方向平移2個(gè)單位得到直線l3，直線l1與直線l3交于點(diǎn)D．（1）求△ABC的面積；（2）如圖2，點(diǎn)F在直線l1上，點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為7，點(diǎn)M、點(diǎn)N分別為直線l3、l2上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)M的橫坐標(biāo)小于點(diǎn)N的橫坐標(biāo)），且∠MNB＝30°，連接FM、NO，求FM+MN+NO的最小值；（3）如圖3，將△BOC繞著點(diǎn)（2，0）逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△B'O′C'，作點(diǎn)B'關(guān)于直線C'O'的對(duì)稱點(diǎn)B″，設(shè)動(dòng)點(diǎn)K在直線l4：y＝x﹣2上，點(diǎn)T在直線C′O′上，是否存在點(diǎn)K，使得△B″KT為等邊三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)K的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）y＝x+4分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝4，當(dāng)y＝0時(shí)，x＝﹣，則A（﹣，0），B（0，4），OA＝，OB＝4，∴tan∠ABO＝＝，∠ABO＝30°，∵l2⊥l1，∴∠CBO＝60°，∴OC＝OB?tan60°＝4，∴△ABC的面積＝×（+4）×4＝；（2）由（1）可知C（4，0），B（0，4），∴l(xiāng)2解析式為：y＝﹣x+4，∵將直線l2沿y軸正方向平移2個(gè)單位得到直線l3，設(shè)直線l3與y軸交點(diǎn)為W，∴l(xiāng)3解析式為：y＝﹣x+6，l1和l3聯(lián)立方程組得，，解得：，∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（，），點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為7，代入y＝x+4得，x＝，∴F點(diǎn)坐標(biāo)為（，7），∵B（0，4），∴D為BF中點(diǎn)，∵BW＝2，BD＝BW?cos30°＝，過(guò)點(diǎn)M作MP⊥BC于P，作FQ∥MN交直線l3于點(diǎn)Q，連接OQ，∵∠MNB＝30°，∴MP＝BD＝，MN＝2，∵FD＝BD＝MP，∠FDQ＝∠MPN＝90°，∠MNB＝∠FQD＝30°，∴MN＝FQ，∴四邊形FMNQ是平行四邊形，∴FM＝NQ，∴FM+MN+NO＝FQ+ON+NQ，當(dāng)O、N、Q共線時(shí)，值最小，如圖所示，最小值為OQ+FQ，∵QD⊥BF，BD＝FD，∠FQD＝30°，∴QF＝QB＝2，∠FQB＝60°，∴∠FBQ＝60°，∴∠QBO＝90°，∴OQ＝＝2，∴FM+MN+NO的最小值為：2+2；（3）連接B″C′、B″O'，由對(duì)稱性可知△B″C'B'是等邊三角形，如圖所示，當(dāng)△B″KT是等邊三角形時(shí)，如圖3，圖4；B″T＝B″K，B″C'＝B″B'，∠B'B″C'＝∠KB'T＝60°，∴∠B'B″K＝∠C'B″T，∴△B'B″K≌△C'B″T（SAS），∴∠B″B'K＝∠B″C'T＝30°，∴∠C′B'K＝90°，由旋轉(zhuǎn)可知，B'的坐標(biāo)為（﹣2，﹣2），C′的坐標(biāo)為（2，4﹣2），如圖3，圖4，過(guò)點(diǎn)K作KS⊥B′B″于S，設(shè)K（x，x﹣2），則S（x，﹣2），∵∠B″B'K＝30°，∴tan∠B″B'K＝＝，即＝或＝，解得，x＝1﹣或x＝，∴x﹣2＝﹣1﹣或x﹣2＝﹣1，∴點(diǎn)K的坐標(biāo)為（1﹣，﹣1﹣）或（+1，﹣1）．13．閱讀并解答下列問(wèn)題；在學(xué)習(xí)完《中心對(duì)稱圖形》一章后，老師給出了以下一個(gè)思考題：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（0，3），B（5，1），C（a，0），D（a+2，0），連接AC，CD，DB，求AC+CD+DB最小值．【思考交流】小明：如圖2，先將點(diǎn)A向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度到點(diǎn)A1，作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B1，連接A1B1交x軸于點(diǎn)D，將點(diǎn)D向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)C，連接AC．BD．此時(shí)AC+CD+DB的最小值等于A1B1+CD．小穎：如圖3，先將點(diǎn)A向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度到點(diǎn)A1，作點(diǎn)A1關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A2，連接A2B可以求解．小亮：對(duì)稱和平移還可以有不同的組合…．【嘗試解決】在圖2中，AC+CD+DB的最小值是7．【靈活應(yīng)用】如圖4，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（0，3），B（5，1），C（a，1），D（a+2，0），連接AC，CD，DB，則AC+CD+DB的最小值是，此時(shí)a＝2，并請(qǐng)?jiān)趫D5中用直尺和圓規(guī)作出AC+CD+DB最小時(shí)CD的位置（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）．【拓展提升】如圖6，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（0，3），C是一次函數(shù)y＝x圖象上一點(diǎn)，CD與y軸垂直且CD＝2（點(diǎn)D在點(diǎn)C右側(cè)），連接AC，CD，AD，直接寫(xiě)出AC+CD+DA的最小值是，此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)是（）．解：【嘗試解決】由題意得A1（2，3），B1（5，﹣1），則A1B1＝＝5，故A1B1+CD＝5+2＝7，故答案為：7．【靈活應(yīng)用】先將A點(diǎn)向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到A1，作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B1，連接A1B1，與x軸的交點(diǎn)就是D點(diǎn)，以D點(diǎn)為圓心，AA1的長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，與直線y＝1的交點(diǎn)就是C點(diǎn)，連接AC，CD，DB，此時(shí)AC+CD+DB最小，最小值即為A1B1+CD，作圖如下：由作圖得，AA1＝DC，且AA1∥DC，∴四邊形AA1DC是平行四邊形，且A1（2，2），B1（5，﹣1），C（2，1），D（4，0），∴最小值為A1B1+CD＝+＝3+，此時(shí)a為C點(diǎn)的橫坐標(biāo)2，故答案為：；2；【拓展提升】先將點(diǎn)A向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)A1，得到平行四邊形AA1DC，AC＝A1D，而AC+CD+DA中，CD為定值2，即求AC+DA＝A1D+AD的最小值，由題意得：D點(diǎn)在直線y＝x﹣2上，作點(diǎn)A關(guān)于直線y＝x﹣2的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接AA'交直線y＝x﹣2于B，連接A1A'，交直線y＝x﹣2的交點(diǎn)為D點(diǎn)，D點(diǎn)往左平移2個(gè)單位為C點(diǎn)．如圖：∵AA'與直線y＝x﹣2垂直，∴設(shè)直線AA'解析式為y＝﹣x+m，將A（0，3）代入得：3＝m，∴直線AA'解析式為y＝﹣x+3，解得，∴B（2.5，0.5），∵B（2.5，0.5）是AA'中點(diǎn)，設(shè)A′（x，y），∴，解得，∴A′（5，﹣2）設(shè)A1A'所在直線的解析式為y＝kx+b，將A1（2，3）、A'（5，﹣2）代入得：得，解得，∴，∵D點(diǎn)是直線與直線y＝x﹣2的交點(diǎn)，解得，∴D（，），∵C點(diǎn)是將D點(diǎn)向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，∴C（，），∴此時(shí)AC+CD+AD＝＝，故答案為；（）．14．已知拋物線C1：y＝（x﹣m）2的頂點(diǎn)A在x軸正半軸上，與y軸交于B（0，1）．（1）求拋物線C1的解析式；（2）如圖1，平移直線AB交x軸于F，交y軸于E，交拋物線C1于點(diǎn)M、N，若ME＝NF，求直線EF的解析式；（3）如圖2，把拋物線C1向下平移4個(gè)單位的拋物線C2交x軸于C、D兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)G，在拋物線C2的對(duì)稱軸上一條動(dòng)線段PQ＝1（P點(diǎn)在Q點(diǎn)上方），當(dāng)四邊形GCPQ的周長(zhǎng)最小時(shí)，求P點(diǎn)坐標(biāo)．解：（1）將點(diǎn)B