2025《初中數(shù)學(xué)》專題突破專題70 方程與不等式中的新定義問題（含答案及解析）

例題精講例題精講考點(diǎn)1方程新定義問題【例1】．設(shè)m，n為實(shí)數(shù)，定義如下一種新運(yùn)算：m★n＝，若關(guān)于x的方程a（x★x）＝（x★12）+1無解，則a的值是．變式訓(xùn)練【變1-1】．對于兩個不相等的實(shí)數(shù)a，b，我們規(guī)定符號min{a，b}表示a，b中較小的值，如min{2，4}＝2．按照這個規(guī)定，方程（x≠0）的解為（）A．4 B．2 C．4或2 D．無解【變1-2】．新定義，若關(guān)于x的一元二次方程：m（x﹣a）2+b＝0與n（x﹣a）2+b＝0，稱為“同類方程”．如2（x﹣1）2+3＝0與6（x﹣1）2+3＝0是“同類方程”．現(xiàn)有關(guān)于x的一元二次方程：2（x﹣1）2+1＝0與（a+6）x2﹣（b+8）x+6＝0是“同類方程”．那么代數(shù)式ax2+bx+2022能取得最大值是．考點(diǎn)2不等式新定義問題【例2】．規(guī)定[x]為不大于x的最大整數(shù)，如[0.7]＝0，[﹣2.3]＝﹣3．若[x]＝2，則x的取值范圍為．變式訓(xùn)練【變2-1】．已知對于任意兩組正實(shí)數(shù)：a1，a2，…，an；b1，b2，…，bn總有（a12+a22+…+an2）（b12+b22+…+bn2）≥（a1b1+a2b2+…+anbn）2．當(dāng)且僅當(dāng)＝＝…＝時取等號，據(jù)此我們可以得到，正數(shù)a，b，c滿足a+b+c＝1，則++的最小值為（）A．3 B．6 C．9 D．12【變2-2】．新定義：對非負(fù)實(shí)數(shù)x“四舍五入”到個位的值記為＜x＞，即：當(dāng)n為非負(fù)整數(shù)時，如果n﹣≤x≤n+，則＜x＞＝n；反之，當(dāng)n為非負(fù)整數(shù)時，如果＜x＞＝n，則n﹣≤x≤n+．例如，＜0＞＝＜0.48＞＝0，＜0.64＞＝＜1.49＞＝1，＜2＞＝2，＜3.5＞＝＜4.12＞＝4，…試解決下列問題：如果＜x﹣2＞＝3，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是．②若關(guān)于x的不等式組的整數(shù)解恰有3個，則a的取值范圍是．1．定義[x]表示不大于x的最大整數(shù)，如：[3.2]＝3，[﹣3.2]＝﹣4，[3]＝3，則方程[x]+2＝2x所有解的和為（）A． B． C． D．2．定義新運(yùn)算：對于任意實(shí)數(shù)a、b都有：a⊕b＝（a+b）÷b，其中等式右邊是通常的加法、減法及乘法運(yùn)算，如：3⊕6＝（3+6）÷6＝，那么方程（x+2）⊕（2x﹣1）＝4的解為（）A．x＝3 B．x＝2 C．x＝1 D．x＝03．定義新運(yùn)算“a*b”：對于任意實(shí)數(shù)a，b，都有a*b＝ab+3，其中等式右邊是通常的加法和乘法運(yùn)算．例如：3*4＝3×4+3＝15．若關(guān)于x的方程x*（kx+2）＝0有兩個實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A．k B．k C．k，且k≠0 D．k，且k≠04．對于兩個不相等的有理數(shù)a、b，我們規(guī)定符號min{a，b}表示a、b兩數(shù)中較小的數(shù)，例如min{﹣2，3}＝﹣2．按照這個規(guī)定，方程min{x，﹣x}＝﹣2x﹣1的解為（）A．x＝﹣ B．x＝﹣1 C．x＝1 D．x＝﹣1或x＝﹣5．對非負(fù)實(shí)數(shù)x“四舍五入”到個位的值記為[x]．即當(dāng)n為非負(fù)整數(shù)時，若，則[x]＝n，如：[3.4]＝3，[3.5]＝4，若[x]＝3，則x應(yīng)滿足的條件是（）A．x＝3 B．3≤x＜3.5 C．2.5＜x＜3.5 D．2.5≤x＜3.56．對于任意實(shí)數(shù)a、b，定義一種運(yùn)算：a*b＝ab﹣a+b﹣2．例如，2*5＝2×5﹣2+5﹣2＝11，請根據(jù)上述的定義解決問題，若不等式2*x＜6，則該不等式的正整數(shù)解有幾個（）A．1 B．2 C．3 D．47．將關(guān)于x的一元二次方程x2﹣px+q＝0變形為x2＝px﹣q，就可以將x2表示為關(guān)于x的一次多項式，從而達(dá)到“降次”的目的，又如x3＝x?x2＝x（px﹣q）＝…，我們將這種方法稱為“降次法”，通過這種方法可以化簡次數(shù)較高的代數(shù)式．根據(jù)“降次法”，已知：x2﹣x﹣1＝0，且x＞0，則x3﹣2x2+2x+1的值為（）A． B． C． D．8．閱讀理解：a、b、c、d是實(shí)數(shù)，我們把符號稱為2×2階行列式，并且規(guī)定：，例如，．二元一次方程組的解可以利用2×2階行列式表示為，其中，，．用上面的方法解二元一次方程組時，下面的說法錯誤的是（）A．D＝8 B．Dx＝10 C．方程組的解為 D．Dy＝209．給出一種運(yùn)算：對于函數(shù)y＝xn，規(guī)定y′＝nxn﹣1．例如：若函數(shù)y＝x5，則有y′＝5x4．已知函數(shù)y＝x3，y′＝12，則x的值是．10．定義一種新運(yùn)算：a*b＝a﹣b．若（x+3）*（2x﹣1）＝1，則根據(jù)定義的運(yùn)算求出x的值為．11．對于實(shí)數(shù)a，b，定義一種新運(yùn)算“?”為a?b＝，這等式右邊是實(shí)數(shù)運(yùn)算．例如：1?2＝＝1．則方程2?（﹣x）＝的解是．12．m、n為正整數(shù)，1＝++++++++++++，1≤x≤m，1≤y≤n，m≤n，則代數(shù)式的最小值為．13．新定義，若關(guān)于x，y的二元一次方程組①的解是，關(guān)于x，y的二元一次方程組②的解是，且滿足||≤0.1，||≤0.1，則稱方程組②的解是方程組①的模糊解，關(guān)于x，y的二元一次方程組的解是方程組的模糊解，則m的取值范圍是．14．新定義：對非負(fù)數(shù)x“四舍五入”到個位的值記為（x）．即當(dāng)n為非負(fù)整數(shù)時，若，則（x）＝n．如（0.46）＝0，（3.67）＝4．下列結(jié)論：①（2.493）＝2；②（3x）＝3（x）；③若，則x的取值范圍是6≤x＜10；當(dāng)x≥0，m為非負(fù)整數(shù)時，有（m+2022x）＝m+（2022x）；其中正確的是（填寫所有正確的序號）．15．自然數(shù)1到n的連乘積，用n！表示，這是我們還沒有學(xué)過的新運(yùn)算（高中稱為階乘），這種運(yùn)算規(guī)定：1?。?，2?。?×1＝2，3?。?×2×1＝6，4?。?×3×2×1＝24，…在這種規(guī)定下，請你解決下列問題：（1）計算5！＝；（2）已知x為自然數(shù)，求出滿足該等式的x：；（3）分解因式．16．（1）解方程組：．（2）對于實(shí)數(shù)a，b規(guī)定一種新的運(yùn)算“☆”：a☆b＝．例如：4☆3＝＝5，2☆3＝2×3＝6．若x，y滿足方程組，求y☆（x☆y）的值．17．如果關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有兩個實(shí)數(shù)根，且其中一個根為另外一個根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”，以下關(guān)于倍根方程的說法，正確的有（填序號）．①方程x2﹣4x+4＝0是倍根方程；②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，則4m+n＝0；③若p、q滿足pq＝8，則關(guān)于x的方程px2﹣6x+q＝0（p≠0）是倍根方程；若2b2﹣9ac＝0時，則方程ax2+bx+c＝0是倍根方程．18．若關(guān)于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解與關(guān)于y的方程cy+d＝0（c≠0）的解滿足|x﹣y|＝m（m為正數(shù)），則稱方程αx+b＝0（a≠0）與方程cy+d＝0（c≠0）是“差m方程”．例如：方程2x﹣3＝1的解是x＝2，方程y﹣4＝0的解是y＝4，∵|x﹣y|＝|2﹣4|＝2，∴方程2x﹣3＝1與方程y﹣4＝0是“差2方程”．（1）請判斷方程x﹣2＝3﹣x與方程y+2＝3（y+1）是不是“差3方程”，并說明理由；（2）若無論k取任何有理數(shù)，關(guān)于x的方程﹣b＝2k﹣1，（a，b為常數(shù)）與關(guān)于y的方程3y+5＝y(tǒng)﹣1都是“差1方程”，求a+b的值．19．航天創(chuàng)造美好生活，每年4月24日為中國航天日．學(xué)習(xí)了一元一次方程以后，小悅結(jié)合中國航天日給出一個新定義：若x0是關(guān)于x的一元一次方程的解，y0是關(guān)于y的方程的一個解，且x0，y0滿足x0+y0＝424，則關(guān)于y的方程是關(guān)于x的一元一次方程的“航天方程”．例如：一元一次方程4x＝5x﹣400的解是x＝400，方程|y|＝24的解是y＝24或y＝﹣24，當(dāng)y＝24時，滿足x0+y0＝400+24＝424，所以關(guān)于y的方程|y|＝24是關(guān)于x的一元一次方程4x＝5x﹣400的“航天方程”．（1）試判斷關(guān)于y的方程|y﹣1|＝20是否是關(guān)于x的一元一次方程x+403＝2x的“航天方程”？并說明理由；（2）若關(guān)于y的方程|y﹣1|﹣3＝13是關(guān)于x的一元一次方程x﹣＝2a+1的“航天方程”，求a的值．20．對x定義一種新運(yùn)算E，規(guī)定E（x）＝（ax+2）（2bx﹣3），其中a，b是非零常數(shù)．如：當(dāng)a＝1，b＝1時，E（x）＝（x+2）（2x﹣3）＝2x2+x﹣6．（1）當(dāng)a，b滿足時，計算E（x）；（2）已知，請求出的值；（3）若當(dāng)a＝3，b＝2時，關(guān)于x的不等式組恰好有5個整數(shù)解，求k的取值范圍．21．規(guī)定，若兩個不相等的數(shù)，其中一個數(shù)比另一個數(shù)大1，則稱這兩個數(shù)關(guān)于1的“剎那又一年”，例如：6﹣5＝1或|5﹣6|＝1，則稱6與5是關(guān)于1的“剎那又一年”，請你嘗試運(yùn)用上述規(guī)定，解答下列問題：（1）填空：（在橫線上填“是”或“不是”）①已知：P（2x+12，2y+10）在坐標(biāo)系的原點(diǎn)上，那么x與y是否關(guān)于1的“剎那又一年”；②已知不等式組的整數(shù)解為a，b，那么a與b是否關(guān)于1的“剎那又一年”；（2）已知方程組：的解x和y是關(guān)于1的“剎那又一年”，求t的值；（3）已知：x＞y且中的x和y是關(guān)于1的“剎那又一年”，當(dāng)m為正整數(shù)時，S1＝m2+8m+7，S2＝m2+6m+8滿足條件0＜n＜|S1﹣S2|的整數(shù)n有且只有8個，令t＝m+b2，化簡．22．我們把關(guān)于x，y的兩個二元一次方程x+ky＝b與kx+y＝b（k≠1）叫做互為共軛二元一次方程，二元一次方程組叫做共軛二元一次方程組．（1）若關(guān)于x，y的二元一次方程組為共軛二元一次方程組，則a＝，b＝．（2）若二元一次方程x+ky＝b中x，y的值滿足下列表格：x20y01則這個方程的共軛二元一次方程是．（3）直接寫出方程組的解：的解為；的解為；的解為．（4）發(fā)現(xiàn)：若共軛二元一次方程組的解是，則m，n之間的數(shù)量關(guān)系是．（5）應(yīng)用：請你構(gòu)造一個共軛二元一次方程組，并直接寫出它的解．23．閱讀理解：定義：若一元一次方程的解在一元一次不等式組解集范圍內(nèi)，則稱該一元一次方程為該不等式組的“子方程”，例如：2x﹣1＝3的解為x＝2，的解集為﹣3≤x＜4，不難發(fā)現(xiàn)x＝2在﹣3≤x＜4的范圍內(nèi)，所以2x﹣1＝3是的“子方程”．問題解決：（1）在方程①3x﹣1＝0，②，③2x+3（x+2）＝21中，不等式組的“子方程”是．（填序號）（2）若關(guān)于x的方程2x﹣k＝2是不等式組的“子方程”，求k的取值范圍；（3）若方程2x+4＝0，＝﹣1都是關(guān)于x的不等式組的“子方程”，試求m的取值范圍．24．定義一種新運(yùn)算：對于實(shí)數(shù)x、y，有L（x，y）＝ax+by（其中a，b均為非零常數(shù)），由這種運(yùn)算得到的數(shù)稱之為線性數(shù)，記為L（x，y），其中x，y叫做線性數(shù)的一個數(shù)對，若實(shí)數(shù)x，y都取正整數(shù)，稱這樣的線性數(shù)為正格線性數(shù)，這時的x，y叫做正格線性數(shù)的正格數(shù)對．（1）若L（x，y）＝2x+7y，則L（3，﹣2）＝，L（，﹣）＝；（2）已知L（5，）＝，L（2，）＝8．①若L（m﹣1，m+2）為正格線性數(shù)，求滿足66＜L（m﹣1，m+2）＜99的正格數(shù)對有哪些？②若正格線性數(shù)L（x，y）＝55，滿足這樣的正格數(shù)對中，有滿足問題①的數(shù)對嗎，若有，請找出；若沒有，請說明理由．25．閱讀下列材料解答問題：新定義：對非負(fù)數(shù)x“四舍五入”到個位的值記為＜x＞，即：當(dāng)n為非負(fù)整數(shù)時，如果n﹣≤x＜n+，則＜x＞＝n；反之，當(dāng)n為非負(fù)整數(shù)時，如果＜x＞＝n，則n﹣≤x＜n+．例如：＜0.1＞＝＜0.49＞＝0，＜1.51＞＝＜2.48＞＝2，＜3＞＝3，＜4.5＞＝＜5.25＞＝5，…試解決下列問題：（1）①＜π+2.4＞＝（π為圓周率）；②如果＜x﹣1＞＝2，則數(shù)x的取值范圍為；（2）求出滿足＜x＞＝x﹣1的x的取值范圍．26．【情境呈現(xiàn)】：在解方程組時，某同學(xué)發(fā)現(xiàn)：如果直接用代入消元法或加減消元法求解，運(yùn)算量比較大，也容易出錯，如果把方程組中的2x+3y、4x﹣3y分別看作一個整體，通過換元：令m＝2x+3y、n＝4x﹣3y，可以將原方程組化為，解得，把代入m＝2x+3y、n＝4x﹣3y，得，解得，所以原方程組解為．【靈活運(yùn)用】：（1）若方程組的解為，則方程組的解為；（2）若方程組的解為，其中k為常數(shù)．①求方程組的解：②是否存在負(fù)整數(shù)k，使得①中方程組的解滿足x＞y，若存在，請求出k的值；若不存在，請說明理由．27．小兵喜歡研究數(shù)學(xué)問題，在學(xué)習(xí)一元一次方程后，他給出一個新定義：若x0是關(guān)于x的一元一次方程ax+b＝0（a≠0）的解，y0是關(guān)于y的方程的所有解的其中一個解，且x0，y0滿足x0+y0＝100，則稱關(guān)于y的方程為關(guān)于x的一元一次方程的“友好方程”．例如：一元一次方程3x﹣2x﹣99＝0的解是x0＝99，方程y2+1＝2的所有解是y＝1或y＝﹣1，當(dāng)y0＝1時，x0+y0＝100，所以y2+1＝2為一元一次方程3x﹣2x﹣99＝0的“友好方程”．（1）已知關(guān)于y的方程：①2y﹣2＝4，②|y|＝2，以上哪個方程是一元一次方程3x﹣2x﹣102＝0的“友好方程”？請直接寫出正確的序號是．（2）若關(guān)于y的方程|2y﹣2|+3＝5是關(guān)于x的一元一次方程x﹣＝a+1的“友好方程”，請求出a的值．（3）如關(guān)于y的方程2m|y﹣49|+＝m+n是關(guān)于x的一元一次方程mx+45n＝54m的“友好方程”，請直接寫出的值．

例題精講例題精講考點(diǎn)1方程新定義問題【例1】．設(shè)m，n為實(shí)數(shù)，定義如下一種新運(yùn)算：m★n＝，若關(guān)于x的方程a（x★x）＝（x★12）+1無解，則a的值是3．解：根據(jù)新運(yùn)算，原方程可化為a×＝+1，ax＝12+3x﹣9，∴（a﹣3）x＝3．∵關(guān)于x的方程無解，∴a﹣3＝0．∴a＝3．故答案為：3．變式訓(xùn)練【變1-1】．對于兩個不相等的實(shí)數(shù)a，b，我們規(guī)定符號min{a，b}表示a，b中較小的值，如min{2，4}＝2．按照這個規(guī)定，方程（x≠0）的解為（）A．4 B．2 C．4或2 D．無解解：當(dāng)＜﹣時，∵（x≠0），∴＝﹣1．∴x＝2．經(jīng)檢驗，x＝2是方程的根．∵＞﹣，故x＝2不符合min的規(guī)定，所以x＝2不是方程的解．當(dāng)＞﹣時，∵（x≠0），∴﹣＝﹣1．∴x＝4．經(jīng)檢驗，x＝4是方程的根．∵＞﹣，故x＝4符合min的規(guī)定．所以x＝4是方程的解．故選：A．【變1-2】．新定義，若關(guān)于x的一元二次方程：m（x﹣a）2+b＝0與n（x﹣a）2+b＝0，稱為“同類方程”．如2（x﹣1）2+3＝0與6（x﹣1）2+3＝0是“同類方程”．現(xiàn)有關(guān)于x的一元二次方程：2（x﹣1）2+1＝0與（a+6）x2﹣（b+8）x+6＝0是“同類方程”．那么代數(shù)式ax2+bx+2022能取得最大值是2023．解：∵2（x﹣1）2+1＝0與（a+6）x2﹣（b+8）x+6＝0是“同類方程”，∴（a+6）x2﹣（b+8）x+6＝（a+6）（x﹣1）2+1，∴（a+6）x2﹣（b+8）x+6＝（a+6）x2﹣2（a+6）x+a+7，∴，解得：，∴ax2+bx+2022＝﹣x2+2x+2022＝﹣（x﹣1）2+2023，∴當(dāng)x＝1時，ax2+bx+2022取得最大值為2023．故答案為：2023．考點(diǎn)2不等式新定義問題【例2】．規(guī)定[x]為不大于x的最大整數(shù)，如[0.7]＝0，[﹣2.3]＝﹣3．若[x]＝2，則x的取值范圍為2≤x＜3．解：∵規(guī)定[x]為不大于x的最大整數(shù)，∴x的取值范圍為：2≤x＜3，故答案為：2≤x＜3．變式訓(xùn)練【變2-1】．已知對于任意兩組正實(shí)數(shù)：a1，a2，…，an；b1，b2，…，bn總有（a12+a22+…+an2）（b12+b22+…+bn2）≥（a1b1+a2b2+…+anbn）2．當(dāng)且僅當(dāng)＝＝…＝時取等號，據(jù)此我們可以得到，正數(shù)a，b，c滿足a+b+c＝1，則++的最小值為（）A．3 B．6 C．9 D．12解：根據(jù)題意所給的不等式可得：++＝（a+b+c）（++）＝[][]≥（1+1+1）2＝9，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝時，取得等號，∴++的最小值為9．故選：C．【變2-2】．新定義：對非負(fù)實(shí)數(shù)x“四舍五入”到個位的值記為＜x＞，即：當(dāng)n為非負(fù)整數(shù)時，如果n﹣≤x≤n+，則＜x＞＝n；反之，當(dāng)n為非負(fù)整數(shù)時，如果＜x＞＝n，則n﹣≤x≤n+．例如，＜0＞＝＜0.48＞＝0，＜0.64＞＝＜1.49＞＝1，＜2＞＝2，＜3.5＞＝＜4.12＞＝4，…試解決下列問題：①如果＜x﹣2＞＝3，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是4.5≤x＜5.5．②若關(guān)于x的不等式組的整數(shù)解恰有3個，則a的取值范圍是1.25≤a＜1.75．解：①∵＜x﹣2＞＝3，∴2.5≤x﹣2＜3.5，∴4.5≤x＜5.5，故答案為4.5≤x＜5.5；②解不等式組得：﹣1≤x＜＜2a﹣1＞，∵不等式組有3個整數(shù)解∴1＜＜2a﹣1＞≤2，∴1.5≤2a﹣1＜2.5，解得1.25≤a＜1.75，故答案為1.25≤a＜1.75．1．定義[x]表示不大于x的最大整數(shù)，如：[3.2]＝3，[﹣3.2]＝﹣4，[3]＝3，則方程[x]+2＝2x所有解的和為（）A． B． C． D．解：令[x]＝n，代入原方程得n+2﹣2x＝0，即x＝，又∵[x]≤x＜[x]+1，∴n≤＜n+1，整理得2n≤n+2＜2n+2，即0＜n≤2，∴n＝1或n＝2，將n＝1代入原方程得：1+2﹣2x＝0，解得x＝，將n＝2代入原方程得：2+2﹣2x＝0，解得x＝2，故2+＝．故選：C．2．定義新運(yùn)算：對于任意實(shí)數(shù)a、b都有：a⊕b＝（a+b）÷b，其中等式右邊是通常的加法、減法及乘法運(yùn)算，如：3⊕6＝（3+6）÷6＝，那么方程（x+2）⊕（2x﹣1）＝4的解為（）A．x＝3 B．x＝2 C．x＝1 D．x＝0解：（x+2）⊕（2x﹣1）＝4，則（x+2+2x﹣1）÷（2x﹣1）＝4，＝4，解得：x＝1，檢驗：當(dāng)x＝1時，2x﹣1≠0，故x＝1是原方程的根．故選：C．3．定義新運(yùn)算“a*b”：對于任意實(shí)數(shù)a，b，都有a*b＝ab+3，其中等式右邊是通常的加法和乘法運(yùn)算．例如：3*4＝3×4+3＝15．若關(guān)于x的方程x*（kx+2）＝0有兩個實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A．k B．k C．k，且k≠0 D．k，且k≠0解：∵x*（kx+2）＝0，∴x（kx+2）+3＝0，整理可得kx2+2x+3＝0，又∵關(guān)于x的方程x*（kx+2）＝0有兩個實(shí)數(shù)根，∴，解得：k≤且k≠0，故選：D．4．對于兩個不相等的有理數(shù)a、b，我們規(guī)定符號min{a，b}表示a、b兩數(shù)中較小的數(shù)，例如min{﹣2，3}＝﹣2．按照這個規(guī)定，方程min{x，﹣x}＝﹣2x﹣1的解為（）A．x＝﹣ B．x＝﹣1 C．x＝1 D．x＝﹣1或x＝﹣解：∵min{a，b}表示a、b兩數(shù)中較小的數(shù)，∴min{x，﹣x}＝x或﹣x．∴﹣2x﹣1＝x或﹣x，（1）﹣2x﹣1＝x時，解得x＝﹣，此時﹣x＝，∵x＜﹣x，∴x＝﹣符合題意．（2）﹣2x﹣1＝﹣x時，解得x＝﹣1，此時﹣x＝1，∵﹣x＞x，∴x＝﹣1不符合題意．綜上，可得：按照這個規(guī)定，方程方程min{x，﹣x}＝﹣2x﹣1的解為：x＝﹣．故選：A．5．對非負(fù)實(shí)數(shù)x“四舍五入”到個位的值記為[x]．即當(dāng)n為非負(fù)整數(shù)時，若，則[x]＝n，如：[3.4]＝3，[3.5]＝4，若[x]＝3，則x應(yīng)滿足的條件是（）A．x＝3 B．3≤x＜3.5 C．2.5＜x＜3.5 D．2.5≤x＜3.5解：∵[x]＝3，∴n＝3，∴3﹣≤x＜3+，∴2.5≤x＜3.5，故選：D．6．對于任意實(shí)數(shù)a、b，定義一種運(yùn)算：a*b＝ab﹣a+b﹣2．例如，2*5＝2×5﹣2+5﹣2＝11，請根據(jù)上述的定義解決問題，若不等式2*x＜6，則該不等式的正整數(shù)解有幾個（）A．1 B．2 C．3 D．4解：由題意得，2x﹣2+x﹣2＜6，解得x＜3，∴該不等式的正整數(shù)解有1，2，3共3個，故選：C．7．將關(guān)于x的一元二次方程x2﹣px+q＝0變形為x2＝px﹣q，就可以將x2表示為關(guān)于x的一次多項式，從而達(dá)到“降次”的目的，又如x3＝x?x2＝x（px﹣q）＝…，我們將這種方法稱為“降次法”，通過這種方法可以化簡次數(shù)較高的代數(shù)式．根據(jù)“降次法”，已知：x2﹣x﹣1＝0，且x＞0，則x3﹣2x2+2x+1的值為（）A． B． C． D．解：∵x2﹣x﹣1＝0，∴x2＝x+1，∴x3﹣2x2+2x+1＝x（x+1）﹣2（x+1）+2x+1＝x2+x﹣2x﹣2+2x+1＝x2+x﹣1＝（x+1）+x﹣1＝2x，∵x2﹣x﹣1＝0的根為x＝或x＝，∵x＞0，∴x＝，∴x3﹣2x2+2x+1＝1+，故選：B．8．閱讀理解：a、b、c、d是實(shí)數(shù)，我們把符號稱為2×2階行列式，并且規(guī)定：，例如，．二元一次方程組的解可以利用2×2階行列式表示為，其中，，．用上面的方法解二元一次方程組時，下面的說法錯誤的是（）A．D＝8 B．Dx＝10 C．方程組的解為 D．Dy＝20解：由題意可知，＝＝3×3﹣1×（﹣1）＝10，＝＝1×3﹣7×（﹣1）＝10，＝＝3×7﹣1×1＝20，∵方程組的解為，即，故選：A．9．給出一種運(yùn)算：對于函數(shù)y＝xn，規(guī)定y′＝nxn﹣1．例如：若函數(shù)y＝x5，則有y′＝5x4．已知函數(shù)y＝x3，y′＝12，則x的值是±2．解：∵y＝x3，y′＝12，∴3x2＝12，x2＝4，x＝±2，故答案為：±2．10．定義一種新運(yùn)算：a*b＝a﹣b．若（x+3）*（2x﹣1）＝1，則根據(jù)定義的運(yùn)算求出x的值為5．解：根據(jù)題意，得，去分母，得3（x+3）﹣2（2x﹣1）＝6，去括號，得3x+9﹣4x+2＝6，移項，得3x﹣4x＝6﹣2﹣9，合并同類項，得﹣x＝﹣5，系數(shù)化為1，得x＝5．故答案為：5．11．對于實(shí)數(shù)a，b，定義一種新運(yùn)算“?”為a?b＝，這等式右邊是實(shí)數(shù)運(yùn)算．例如：1?2＝＝1．則方程2?（﹣x）＝的解是﹣．解：根據(jù)題意可知：2?（﹣x）＝，∴＝，﹣3x＝x+5，﹣4x＝5，x＝﹣．經(jīng)檢驗x＝﹣是原方程的解．故答案為：﹣．12．m、n為正整數(shù)，1＝++++++++++++，1≤x≤m，1≤y≤n，m≤n，則代數(shù)式的最小值為．解：∵＝＝1﹣，∴1＝（）+，又m≤n，∴m＝13，n＝20，∴1≤x≤13，1≤y≤20，∴2≤x+1≤14，2≤y+1≤21，∴，∴，∴即，∴代數(shù)式的最小值為．故答案為：．13．新定義，若關(guān)于x，y的二元一次方程組①的解是，關(guān)于x，y的二元一次方程組②的解是，且滿足||≤0.1，||≤0.1，則稱方程組②的解是方程組①的模糊解，關(guān)于x，y的二元一次方程組的解是方程組的模糊解，則m的取值范圍是4.5≤m≤5．解：解方程組得，，解方程組得，，∵二元一次方程組的解是方程組的模糊解，∴||≤0.1，||≤0.1，解得4≤m≤5，4.5≤m≤5.5，所以4.5≤m≤5．故答案為4.5≤m≤5．14．新定義：對非負(fù)數(shù)x“四舍五入”到個位的值記為（x）．即當(dāng)n為非負(fù)整數(shù)時，若，則（x）＝n．如（0.46）＝0，（3.67）＝4．下列結(jié)論：①（2.493）＝2；②（3x）＝3（x）；③若，則x的取值范圍是6≤x＜10；④當(dāng)x≥0，m為非負(fù)整數(shù)時，有（m+2022x）＝m+（2022x）；其中正確的是①③④（填寫所有正確的序號）．解：①（2.493）＝2，故①符合題意；②（3x）≠3（x），例如當(dāng)x＝0.3時，（3x）＝1，3（x）＝0，故②不符合題意；③若（x﹣1）＝1，則，解得：6≤x＜10，故③符合題意；④m為非負(fù)整數(shù)，故（m+2020x）＝m+（2020x），故④符合題意；綜上可得①③④正確．故答案為：①③④．15．自然數(shù)1到n的連乘積，用n！表示，這是我們還沒有學(xué)過的新運(yùn)算（高中稱為階乘），這種運(yùn)算規(guī)定：1?。?，2?。?×1＝2，3?。?×2×1＝6，4?。?×3×2×1＝24，…在這種規(guī)定下，請你解決下列問題：（1）計算5?。?20；（2）已知x為自然數(shù)，求出滿足該等式的x：；（3）分解因式．解：（1）5！＝5×4×3×2×1＝120（2分）（只寫出5×4×3×2×1得1分）（2）＝1，解得x＝6（2分）；（3）原式＝x2﹣x﹣＝x2﹣x﹣9900＝（x﹣100）（x+99）．（如結(jié)論不對，過程有＝100×99可得2分）16．（1）解方程組：．（2）對于實(shí)數(shù)a，b規(guī)定一種新的運(yùn)算“☆”：a☆b＝．例如：4☆3＝＝5，2☆3＝2×3＝6．若x，y滿足方程組，求y☆（x☆y）的值．解：（1），①×4得，8x﹣4y＝20③，②+③得，11x＝22，解得x＝2，將x＝2代入①得，y＝﹣1，∴方程組的解為；（2），①×2得，2x﹣8y＝﹣16③，②﹣③得，9y＝45，解得y＝5，將y＝5代入①得，x＝12，∴方程組的解為，∴y☆（x☆y）＝5☆（12☆5）＝5☆（）＝5☆13＝5×13＝65．17．如果關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有兩個實(shí)數(shù)根，且其中一個根為另外一個根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”，以下關(guān)于倍根方程的說法，正確的有②③④（填序號）．①方程x2﹣4x+4＝0是倍根方程；②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，則4m+n＝0；③若p、q滿足pq＝8，則關(guān)于x的方程px2﹣6x+q＝0（p≠0）是倍根方程；④若2b2﹣9ac＝0時，則方程ax2+bx+c＝0是倍根方程．解：①解方程x2﹣4x+4＝0得：x1＝2，x2＝2，∵x1≠2x2，∴方程x2﹣4x+4＝0不是倍根方程；故①不正確；②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，x1＝2，因此x2＝1或x2＝4，當(dāng)x2＝1時，m+n＝0，當(dāng)x2＝4時，4m+n＝0，故②正確；③∵pq＝8，∴q＝．∴方程px2﹣6x+q＝0（p≠0）變?yōu)椋簆x2﹣6x+＝0，即p2x2﹣6px+8＝0，∴（px﹣2）（px﹣4）＝0，∴px＝2或px＝4．∴，x2＝，∵x2＝2x1，∴關(guān)于x的方程px2﹣6x+q＝0（p≠0）是倍根方程，故③正確；④方程ax2+bx+c＝0的根為：x1＝，x2＝，∵2b2﹣9ac＝0，∴ac＝，∴＝＝﹣，＝＝﹣，∴x2＝2x1，∴若2b2﹣9ac＝0時，則方程ax2+bx+c＝0是倍根方程，故④正確，故答案為：②③④．18．若關(guān)于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解與關(guān)于y的方程cy+d＝0（c≠0）的解滿足|x﹣y|＝m（m為正數(shù)），則稱方程αx+b＝0（a≠0）與方程cy+d＝0（c≠0）是“差m方程”．例如：方程2x﹣3＝1的解是x＝2，方程y﹣4＝0的解是y＝4，∵|x﹣y|＝|2﹣4|＝2，∴方程2x﹣3＝1與方程y﹣4＝0是“差2方程”．（1）請判斷方程x﹣2＝3﹣x與方程y+2＝3（y+1）是不是“差3方程”，并說明理由；（2）若無論k取任何有理數(shù)，關(guān)于x的方程﹣b＝2k﹣1，（a，b為常數(shù)）與關(guān)于y的方程3y+5＝y(tǒng)﹣1都是“差1方程”，求a+b的值．解：（1）x﹣2＝3﹣x的解為x＝，y+2＝3（y+1）的解為y＝﹣，∵|﹣（﹣）|＝3，∴方程x﹣2＝3﹣x與方程y+2＝3（y+1）是“差3方程”；（2）3y+5＝y(tǒng)﹣1的解為y＝﹣3，∵關(guān)于x的方程﹣b＝2k﹣1，（a，b為常數(shù)）與關(guān)于y的方程3y+5＝y(tǒng)﹣1都是“差1方程”，∴|x+3|＝1，解得x＝﹣2或x＝﹣4，當(dāng)x＝﹣2時，﹣3+﹣b＝2k﹣1，∴（a﹣4）k＝4+2b，∵k取任何有理數(shù)，∴a＝4，b＝﹣2，∴a+b＝2；當(dāng)x＝﹣4時，﹣6+﹣b＝2k﹣1，∴（a﹣4）k＝10+2b，∵k取任何有理數(shù)，∴a＝4，b＝﹣5，∴a+b＝﹣1；綜上所述：a+b＝2或a+b＝﹣1．19．航天創(chuàng)造美好生活，每年4月24日為中國航天日．學(xué)習(xí)了一元一次方程以后，小悅結(jié)合中國航天日給出一個新定義：若x0是關(guān)于x的一元一次方程的解，y0是關(guān)于y的方程的一個解，且x0，y0滿足x0+y0＝424，則關(guān)于y的方程是關(guān)于x的一元一次方程的“航天方程”．例如：一元一次方程4x＝5x﹣400的解是x＝400，方程|y|＝24的解是y＝24或y＝﹣24，當(dāng)y＝24時，滿足x0+y0＝400+24＝424，所以關(guān)于y的方程|y|＝24是關(guān)于x的一元一次方程4x＝5x﹣400的“航天方程”．（1）試判斷關(guān)于y的方程|y﹣1|＝20是否是關(guān)于x的一元一次方程x+403＝2x的“航天方程”？并說明理由；（2）若關(guān)于y的方程|y﹣1|﹣3＝13是關(guān)于x的一元一次方程x﹣＝2a+1的“航天方程”，求a的值．解：（1）是，理由如下：x+403＝2x，解得：x＝403，|y﹣1|＝20，解得：y＝21或y＝﹣19，∵403+21＝424，∴關(guān)于y的方程|y﹣1|＝20是關(guān)于x的一元一次方程x+403＝2x的“航天方程”；（2）x﹣＝2a+1，解得：x＝4a+3，|y﹣1|﹣3＝13，解得：y＝17或y＝﹣15，∵關(guān)于y的方程|y﹣1|﹣3＝13是關(guān)于x的一元一次方程x﹣＝2a+1的“航天方程”，①當(dāng)4a+3+17＝424時，解得：a＝101；②當(dāng)4a+3﹣15＝424時，解得：a＝109，綜上，a的值為101或109．20．對x定義一種新運(yùn)算E，規(guī)定E（x）＝（ax+2）（2bx﹣3），其中a，b是非零常數(shù)．如：當(dāng)a＝1，b＝1時，E（x）＝（x+2）（2x﹣3）＝2x2+x﹣6．（1）當(dāng)a，b滿足時，計算E（x）；（2）已知，請求出的值；（3）若當(dāng)a＝3，b＝2時，關(guān)于x的不等式組恰好有5個整數(shù)解，求k的取值范圍．解：（1）∵，0，|b+6|≥0，∴a﹣＝0，b+6＝0，∴，∴＝﹣6x2﹣x﹣24x﹣6＝；（2）∵E（2﹣3x）＝[a（2﹣3x）+2][2b（2﹣3x）﹣3]＝18abx2﹣[3a（4b﹣3）+6b（2+2a）]x+（2+2a）（4b﹣3）＝18abx2﹣（24ab﹣9a+12b）x+（8ab﹣6a+8b﹣6），∴18ab＝，﹣（24ab﹣9a+12b）＝﹣2，8ab﹣6a+8b﹣6＝﹣，∴ab＝，∴2﹣9a+12b＝2，∴﹣9a+12b＝0，∴3a＝4b．∴．（3）∵當(dāng)a＝3，b＝2時，E（x）＝（3x+2）（4x﹣3）＝12x2﹣x﹣6，∴E（x）﹣2x（6x+3）＝﹣7x﹣6．∵當(dāng)a＝3，b＝2時，4E（2+x）﹣E（2x﹣1）＝238x+153，∴原不等式組可化為：，解得：，∵不等式組恰好有5個整數(shù)解，∴，∴11≤k＜14.5．21．規(guī)定，若兩個不相等的數(shù)，其中一個數(shù)比另一個數(shù)大1，則稱這兩個數(shù)關(guān)于1的“剎那又一年”，例如：6﹣5＝1或|5﹣6|＝1，則稱6與5是關(guān)于1的“剎那又一年”，請你嘗試運(yùn)用上述規(guī)定，解答下列問題：（1）填空：（在橫線上填“是”或“不是”）①已知：P（2x+12，2y+10）在坐標(biāo)系的原點(diǎn)上，那么x與y是否關(guān)于1的“剎那又一年”是；②已知不等式組的整數(shù)解為a，b，那么a與b是否關(guān)于1的“剎那又一年”是；（2）已知方程組：的解x和y是關(guān)于1的“剎那又一年”，求t的值；（3）已知：x＞y且中的x和y是關(guān)于1的“剎那又一年”，當(dāng)m為正整數(shù)時，S1＝m2+8m+7，S2＝m2+6m+8滿足條件0＜n＜|S1﹣S2|的整數(shù)n有且只有8個，令t＝m+b2，化簡．解：（1）①∵P（2x+12，2y+10）在坐標(biāo)系的原點(diǎn)上，∴2x+12＝0，2y+10＝0，∴x＝﹣6，y＝﹣5，∵y﹣x＝﹣5﹣（﹣6）＝1，∴x與y是關(guān)于1的“剎那又一年”，故答案為：是；②，由①得x≥1；由②得x≤2，∴原不等式的解集為1≤x≤2，∴整數(shù)解為a＝1，b＝2，或a＝2，b＝1，∵a﹣b＝2﹣1＝1或|b﹣a|＝|1﹣2|＝1，∴a與b是關(guān)于1的“剎那又一年”，故答案為：是；（2），①+②得6x＝6t+6，∴x＝t+1，把x＝t+1代入①，2t+2﹣y＝6，解得y＝2t﹣4，∴這個方程組的解為，∵方程組的解x和y是關(guān)于1的“剎那又一年”，∴（t+1）﹣（2t﹣4）＝1或（2t﹣4）﹣（t+1）＝1，解得t＝4或t＝6；（3）∵中的x和y是關(guān)于1的“剎那又一年”，且x＞y，∴x﹣y＝（n﹣10）2﹣（b2+4）＝1，（b2+4）+1＝（n﹣10）2，即b2+5＝（n﹣10）2，∵S1＝m2+8m+7，S2＝m2+6m+8，∴|S1﹣S2|＝|（m2+8m+7）﹣（m2+6m+8）|＝|m2+8m+7﹣m2﹣6m﹣8|＝|2m﹣1|，∵m為正整數(shù)，∴2m﹣1＞0，∴|S1﹣S2|＝2m﹣1，且2m﹣1是整數(shù)，∵0＜n＜|S1﹣S2|的整數(shù)n有且只有8個，即0＜n＜2m﹣1的整數(shù)n有且只有8個，∴2m﹣1＝9，解得m＝5，∵t＝m+b2，∴t＝5+b2，∵b2+5＝（n﹣10）2，∴t＝（n﹣10）2，∴＝＝|（n﹣10）|∵0＜n＜9，∴（n﹣10）＜0，∴|（n﹣10）|＝10﹣n，即＝10﹣n．22．我們把關(guān)于x，y的兩個二元一次方程x+ky＝b與kx+y＝b（k≠1）叫做互為共軛二元一次方程，二元一次方程組叫做共軛二元一次方程組．（1）若關(guān)于x，y的二元一次方程組為共軛二元一次方程組，則a＝﹣1，b＝1．（2）若二元一次方程x+ky＝b中x，y的值滿足下列表格：x20y01則這個方程的共軛二元一次方程是2x+y＝2．（3）直接寫出方程組的解：的解為；的解為；的解為．（4）發(fā)現(xiàn)：若共軛二元一次方程組的解是，則m，n之間的數(shù)量關(guān)系是m＝n．（5）應(yīng)用：請你構(gòu)造一個共軛二元一次方程組，并直接寫出它的解．解：（1）∵是共軛二元一次方程組，∴1﹣a＝2，b+2＝3，解得a＝﹣1，b＝1，故答案為：﹣1，1；（2）將x＝2，y＝0；x＝0，y＝1代入方程x+ky＝b中，∴2＝b，k＝b，∴k＝b＝2，∴二元一次方程是x+2y＝2，∴共軛二元一次方程是2x+y＝2，故答案為：2x+y＝2；（3），①×2得，2x+4y＝6③，②﹣③得，y＝1，將y＝1代入①，得x＝1，∴方程組的解為；，①×2得，6x+4y＝﹣20③，②×3得，6x+9y＝﹣30④，④﹣③得，y＝﹣2，將y＝﹣2代入①，得x＝﹣2，∴方程組的解為；，①×2得，4x﹣2y＝8③，②+③得，x＝4，將x＝4代入①得，y＝4，∴方程組的解為；故答案為：，，；（4）的解為，∴，①﹣②，得（1﹣k）m+（k﹣1）n＝0，∴（1﹣k）（m﹣n）＝0，∵k≠1，∴m＝n，故答案為：m＝n；（5），①×2，得2x﹣4y＝2③，②+③得，y＝﹣1，將y＝﹣1代入①得，x＝﹣1，∴方程組的解為．23．閱讀理解：定義：若一元一次方程的解在一元一次不等式組解集范圍內(nèi)，則稱該一元一次方程為該不等式組的“子方程”，例如：2x﹣1＝3的解為x＝2，的解集為﹣3≤x＜4，不難發(fā)現(xiàn)x＝2在﹣3≤x＜4的范圍內(nèi)，所以2x﹣1＝3是的“子方程”．問題解決：（1）在方程①3x﹣1＝0，②，③2x+3（x+2）＝21中，不等式組的“子方程”是③．（填序號）（2）若關(guān)于x的方程2x﹣k＝2是不等式組的“子方程”，求k的取值范圍；（3）若方程2x+4＝0，＝﹣1都是關(guān)于x的不等式組的“子方程”，試求m的取值范圍．解：（1）①3x﹣1＝0，解得：x＝，②，解得：x＝，③2x+3（x+2）＝21，解得：x＝3，，解不等式①得：x＞2，解不等式②得：x≤5，∴原不等式組的解集為：2＜x≤5，∴不等式組的“子方程”是：③，故答案為：③；（2），解不等式①得：x＞，解不等式②得：x≤3，∴原不等式組的解集為：＜x≤3，2x﹣k＝2，解得：x＝，∵方程2x﹣k＝2是不等式組的“子方程”，∴＜≤3，解得：3＜k≤4；（3）2x+4＝0，解得：x＝﹣2，＝﹣1，解得：x＝﹣1，，解不等式①得：x≥m﹣5，解不等式②得：x＜m﹣3，∴原不等式組的解集為：m﹣5≤x＜m﹣3，∵方程2x+4＝0，＝﹣1都是關(guān)于x的不等式組的“子方程”，∴，解得：2＜m≤3．24．定義一種新運(yùn)算：對于實(shí)數(shù)x、y，有L（x，y）＝ax+by（其中a，b均為非零常數(shù)），由這種運(yùn)算得到的數(shù)稱之為線性數(shù)，記為L（x，y），其中x，y叫做線性數(shù)的一個數(shù)對，若實(shí)數(shù)x，y都取正整數(shù)，稱這樣的線性數(shù)為正格線性數(shù)，這時的x，y叫做正格線性數(shù)的正格數(shù)對．（1）若L（x，y）＝2x+7y，則L（3，﹣2）＝﹣8，L（，﹣）＝﹣；（2）已知L（5，）＝，L（2，）＝8．①若L（m﹣1，m+2）為正格線性數(shù)，求滿足66＜L（m﹣1，m+2）＜99的正格數(shù)對有哪些？②若正格線性數(shù)L（x，y）＝55，滿足這樣的正格數(shù)對中，有滿足問題①的數(shù)對嗎，若有，請找出；若沒有，請說明理由．解：（1）∵L（x，y）＝2x+7y，∴L（3，﹣2）＝2×3+7×（﹣2）＝﹣8，L（，﹣）＝2×+7×（﹣）＝﹣，故答案為：﹣8，﹣；（2）∵L（5，）＝，L（2，）＝8，∴，∴，∴L（x，y）＝3x+5y，①∵L（m﹣1，m+2）為正格線性數(shù)，∴m＞1，∵6