安徽省蚌埠市2023-2024學年高二下學期7月期末考試數(shù)學

蚌埠市2023—2024學年度第二學期期末學業(yè)水平監(jiān)測高二數(shù)學本試卷滿分150分，考試時間120分鐘注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡和試卷上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.命題“，”的否定為（）A.， B.，C.， D.，2.若，，，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，則（）A. B. C. D.3.已知向量，，則向量在上的投影向量的坐標是（）A. B. C. D.4.已知函數(shù)若，則m的值為（）A. B.2 C.9 D.2或95.在的展開式中，的系數(shù)是（）A. B. C.20 D.806.中，“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C充要條件 D.既不充分也不必要條件7.已知函數(shù)，則函數(shù)的解析式為（）A. B.C. D.8.已知事件A，B，，，，則（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知由樣本數(shù)據(jù)點集合，求得的回歸直線方程為，且，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)兩個數(shù)據(jù)點和誤差較大，剔除后重新求得的回歸直線的斜率為1.2，則（）A.變量與具有負相關關系 B.剔除后不變C.剔除后回歸方程為 D.剔除后相應于樣本點的殘差為0.0510.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列結論正確的是（）A.B.是曲線的一條對稱軸C.函數(shù)是奇函數(shù)D.若方程在上有且僅有6個解，則11.已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為．若函數(shù)的圖象關于點對稱，且，則（）A.的圖象關于點對稱 B.）C. D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知集合，若，寫出一個滿足題意的實數(shù)的值：__________.13.安排甲、乙、丙、丁共4名志愿者完成6項服務工作，每人至少完成1項工作，每項工作由1人完成，甲不能完成其中的A項工作，則不同的安排方式有______種（用數(shù)字作答）.14.函數(shù)在處的切線方程為_________；若有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是_________．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)在處取得極小值5.（1）求實數(shù)a，b的值；（2）當時，求函數(shù)的最大值.16.書籍是精神世界的入口，閱讀讓精神世界閃光，閱讀逐漸成為許多人的一種生活習慣，每年4月23日為世界讀書日．某市某中學為了了解高一年級學生的閱讀情況，從高一年級全部1000名學生中隨機抽取100名學生，調查他們每周的閱讀時間（單位：小時）并進行統(tǒng)計，得到樣本的頻率分布直方圖如圖所示．由頻率分布直方圖可以認為該校高一學生每周閱讀時間服從正態(tài)分布，其中可以近似為100名學生的每周閱讀時間的平均值（同組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點值表示），．（1）試估計高一全體學生中每周閱讀時間不高于6.8小時的人數(shù)（四舍五入取整）；（2）若從高一全體學生中隨機抽取5名學生進行座談，設選出的5人中每周閱讀時間在10.6小時以上的學生人數(shù)為Y，求隨機變量Y的分布列，數(shù)學期望與方差．參考數(shù)據(jù)：若隨機變量服從正態(tài)分布，則，，．17.我國為了鼓勵新能源汽車發(fā)展，推行了許多購車優(yōu)惠政策，包括：國家財政補貼、地方財政補貼、免征車輛購置稅、充電設施獎補、車船稅減免、放寬汽車消費信貸等．為了了解群眾對新能源車和傳統(tǒng)燃油車的偏好是否與年齡有關，調查組對400名不同年齡段（19歲以上）的車主進行了問卷調查，其中有200名車主偏好新能源汽車，這200名車主中各年齡段所占百分比見下圖：在所有被調查車主中隨機抽取1人，抽到偏好傳統(tǒng)燃油車且在19~35歲年齡段的概率為．（1）請將下列2×2列聯(lián)表直接補充完整．

偏好新能源汽車偏好燃油車合計19~35歲

35歲以上

合計

并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下，認為偏好新能源汽車與年齡有關？（2）將上述調查中的頻率視為概率，按照分層隨機抽樣方法，從偏好新能源汽車的車主中選取5人，再從這5人中任意取2人，求2人中恰有1人在1935歲年齡段的概率．附：，其中．0.1000.0500.0100.0050.00127063.8416.635787910.82818.定義函數(shù)的“伴隨向量”為，向量的“伴隨函數(shù)”為．（1）若向量的“伴隨函數(shù)”滿足，求的值；（2）已知，設，且的“伴隨函數(shù)”為，其最大值為t，求的最小值，并判斷此時向量，的關系．19.若非空集合A與B，存在對應關系f，使A中的每一個元素a，B中總有唯一的元素b與它對應，則稱這種對應為從A到B的映射，記作f：A→B．設集合，（，），且．設有序四元數(shù)集合且，．對于給定的集合B，定義映射f：P→Q，記為，按映射f，若（），則；若（），則．記．（1）若，，寫出Y，并求；（2）若，，求所有的總和；（3）對于給定的，記，求所有的總和（用含m的式子表示）．蚌埠市2023—2024學年度第二學期期末學業(yè)水平監(jiān)測高二數(shù)學本試卷滿分150分，考試時間120分鐘注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡和試卷上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.命題“，”的否定為（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】直接根據(jù)全稱命題的否定求解即可.【詳解】命題“，”的否定為“，”.故選：D.2.若，，，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】應用對數(shù)函數(shù)單調性判斷大小即可.【詳解】因為單調遞增，又,所以,可得;又因為單調遞增，又,所以,所以,可得,所以.故選：B.3.已知向量，，則向量在上的投影向量的坐標是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)坐標計算，然后由投影向量公式可得.【詳解】因為，所以向量在上的投影向量為.故選：A4.已知函數(shù)若，則m的值為（）A. B.2 C.9 D.2或9【答案】C【解析】【分析】由題可得或，即求.【詳解】∵函數(shù)，，∴或，解得.故選：C.5.在的展開式中，的系數(shù)是（）A. B. C.20 D.80【答案】D【解析】【分析】先求出展開式中的通項，再求出值即可．【詳解】展開式中的通項公式為：，令，則，展開式中的系數(shù)為，故選：D．6.中，“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】等價于，由正弦定理以及充分必要條件的定義判斷即可.【詳解】在三角形中，因為，所以，即若，則，即，若，由正弦定理，得，根據(jù)大邊對大角，可知所以“”是“”的充要條件故選：C7.已知函數(shù)，則函數(shù)的解析式為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由二倍角公式以及平方關系、商數(shù)關系即可得解.【詳解】，所以.故選：D.8.已知事件A，B，，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】應用條件概率公式及全概率公式計算即可.【詳解】因為,所以,所以,所以.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知由樣本數(shù)據(jù)點集合，求得的回歸直線方程為，且，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)兩個數(shù)據(jù)點和誤差較大，剔除后重新求得的回歸直線的斜率為1.2，則（）A.變量與具有負相關關系 B.剔除后不變C.剔除后的回歸方程為 D.剔除后相應于樣本點的殘差為0.05【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用回歸直線方程的性質、殘差的基本概念等進行解題.【詳解】對于A，由剔除前回歸直線的斜率為，剔除后重新求得的回歸直線的斜率為，兩者均大于0，則變量與具有正相關關系，A錯誤；對于B，剔除前，而剔除的兩個數(shù)據(jù)點，，因此剔除后不變，B正確；對于C，剔除后，，而回歸直線的斜率為，則回歸直線方程為，C正確；對于D，剔除后的回歸直線方程為，當時，，則殘差為，D錯誤.故選：BC10.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列結論正確的是（）AB.是曲線的一條對稱軸C.函數(shù)是奇函數(shù)D.若方程在上有且僅有6個解，則【答案】ACD【解析】【分析】由及，可求得，從而判斷A，B，C；解出的6個正根，再求出第7個正根，即可得的范圍，從而判斷D．【詳解】解：對于A．，即，又因為，所以，所以，又因為，所以，所以，，解得，，又因為，所以，，所以，所以，所以，故A正確；對于B．因為，所以，所以不是函數(shù)的對稱軸，故B錯誤；對于C．因為，易知此時函數(shù)為奇函數(shù)，故C正確；對于D．，或，即，或，若方程在上有且只有6個根，則將它們從小到大排列為：，，，，，，由規(guī)律可知，大于且離最近的使得的為，所以，故D正確．故選：ACD．11.已知函數(shù)及其導函數(shù)定義域均為．若函數(shù)的圖象關于點對稱，且，則（）A.的圖象關于點對稱 B.）C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象變換及其對稱性，可判斷A；結合和，化簡得到，可判斷B；對和，兩邊同時求導，得，從而得是以4為周期的周期函數(shù)，即可判斷C；令，可得的周期為4，且令，用賦值法求得，，，，根據(jù)求解即可．【詳解】解：A．設函數(shù)的圖象關于對稱，則關于對稱，可得關于對稱，因為函數(shù)的圖像關于點對稱，可得，，解得，，所以函數(shù)圖象關于對稱，所以A正確；B．由函數(shù)的圖象關于對稱，可得，因為，可得，兩式相減得，即，所以B不正確；C．由，可得，即，所以，在中，兩邊求導得：，即，，所以，即，所以的周期為4，所以，故C正確；D．令，可得，因為，所以，所以，所以函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，因為，且函數(shù)關于對稱，可得（1），（2），又因為，令，可得，所以，再令，可得，所以，由，可得，，，，可得，又由函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，且，所以，所以D正確．故選：ACD．【點睛】關鍵點點睛：本題D選項的關鍵是求出函數(shù)的周期以及一個周期內函數(shù)值的和，最后求和即可.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知集合，若，寫出一個滿足題意的實數(shù)的值：__________.【答案】2（本題答案不唯一，只要所寫數(shù)值滿足即可）【解析】【分析】解對數(shù)不等式求出集合，然后根據(jù)可得的范圍，即可得答案.【詳解】由得，即，所以，因為，所以或，得.故答案為：2（答案不唯一）13.安排甲、乙、丙、丁共4名志愿者完成6項服務工作，每人至少完成1項工作，每項工作由1人完成，甲不能完成其中的A項工作，則不同的安排方式有______種（用數(shù)字作答）.【答案】【解析】【分析】先分組，然后將不含工作A的3組工作中選1組分配為甲，再分配其他3組工作即可.【詳解】第一步，將6項工作分為或有種情況；第二步，從不含工作A3組工作中選1組分配為甲，有種情況；第三步，將剩下的3組工作分配給其余3人，有種情況.由分布計數(shù)乘法計數(shù)原理可得不同的安排方式有種.故答案為：14.函數(shù)在處的切線方程為_________；若有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是_________．【答案】①.②.【解析】【分析】第一個空，對求導，求出和，即可求解切線方程；第二個空，進行合理換元和同構，轉化為的圖象與直線有兩個交點，轉化為交點問題，再利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、最值，最后得到參數(shù)的取值范圍即可．【詳解】，則，又，所以函數(shù)在處的切線方程為；令，所以．令，定義域為，，令，易知在上單調遞增，且．所以，則函數(shù)有兩個零點轉化為函數(shù)的圖象與直線有兩個交點．則，當時，；當時，，即在上單調遞減，在上單調遞增，所以，當時，；當時，，則，解得，即實數(shù)的取值范圍是．故答案為：；．【點睛】關鍵點點睛：本題第二問的關鍵是利用同構思想，構造函數(shù)，轉化為直線與函數(shù)交點問題.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)在處取得極小值5.（1）求實數(shù)a，b的值；（2）當時，求函數(shù)的最大值.【答案】（1），.（2）10【解析】【分析】（1）直接求導得，解出值，驗證即可；（2）由（1）知，求導再列表即可得到其最大值.【小問1詳解】，因為在處取極小值5，所以，得，此時，令，解得；令，解得或，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以在時取極小值，符合題意.所以，.又，所以.綜上，，.【小問2詳解】由（1）知，，列表如下：0123

00

1極大值6極小值510由于，故時，.16.書籍是精神世界的入口，閱讀讓精神世界閃光，閱讀逐漸成為許多人的一種生活習慣，每年4月23日為世界讀書日．某市某中學為了了解高一年級學生的閱讀情況，從高一年級全部1000名學生中隨機抽取100名學生，調查他們每周的閱讀時間（單位：小時）并進行統(tǒng)計，得到樣本的頻率分布直方圖如圖所示．由頻率分布直方圖可以認為該校高一學生每周閱讀時間服從正態(tài)分布，其中可以近似為100名學生的每周閱讀時間的平均值（同組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點值表示），．（1）試估計高一全體學生中每周閱讀時間不高于6.8小時的人數(shù)（四舍五入取整）；（2）若從高一全體學生中隨機抽取5名學生進行座談，設選出的5人中每周閱讀時間在10.6小時以上的學生人數(shù)為Y，求隨機變量Y的分布列，數(shù)學期望與方差．參考數(shù)據(jù)：若隨機變量服從正態(tài)分布，則，，．【答案】（1）159人（2）分布列見解析，，．【解析】【分析】（1）利用正態(tài)分布相關知識即可求解；（2）因為，所以每周閱讀時間在10.6小時以上的概率為，可得，然后求出對應的概率即可得解．【小問1詳解】樣本中100名學生每周閱讀時間的均值為：，即，又，所以，所以，所以全年級學生中每周閱讀時間不高于6.8小時的人數(shù)大約為：（人）【小問2詳解】因為，所以每周閱讀時間在10.6小時以上的概率為，可得，故，，，，，，隨機變量Y的分布列為：012345故，．17.我國為了鼓勵新能源汽車的發(fā)展，推行了許多購車優(yōu)惠政策，包括：國家財政補貼、地方財政補貼、免征車輛購置稅、充電設施獎補、車船稅減免、放寬汽車消費信貸等．為了了解群眾對新能源車和傳統(tǒng)燃油車的偏好是否與年齡有關，調查組對400名不同年齡段（19歲以上）的車主進行了問卷調查，其中有200名車主偏好新能源汽車，這200名車主中各年齡段所占百分比見下圖：在所有被調查車主中隨機抽取1人，抽到偏好傳統(tǒng)燃油車且在19~35歲年齡段的概率為．（1）請將下列2×2列聯(lián)表直接補充完整．

偏好新能源汽車偏好燃油車合計19~35歲

35歲以上

合計

并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下，認為偏好新能源汽車與年齡有關？（2）將上述調查中的頻率視為概率，按照分層隨機抽樣方法，從偏好新能源汽車的車主中選取5人，再從這5人中任意取2人，求2人中恰有1人在1935歲年齡段的概率．附：，其中．0.1000.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）表格見解析，能在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下，認為偏好新能源汽車與年齡有關（2）．【解析】【分析】（1）補全列聯(lián)表，計算的值，與臨界值比較即可判斷；（2）利用古典概型的概率公式求解．【小問1詳解】在所有被調查車主中隨機抽取1人，抽到偏好傳統(tǒng)燃油車且在19~35歲年齡段的概率為，所以偏好傳統(tǒng)燃油車且在19~35歲年齡段得人數(shù)：（人），故偏好傳統(tǒng)燃油車且在35歲以上年齡段得人數(shù)：（人），新能源汽車200名車主中在19~35歲年齡段的比例為，故人數(shù)為：（人）：新能源汽車35歲以上的人數(shù)為：（人），填表如下：偏好新能源汽車偏好燃油車合計19~35歲1207524035歲以上80125180合計200200400，則能在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下，認為偏好新能源汽車與年齡有關．【小問2詳解】按照分層隨機抽樣，從偏好新能源汽車的車主中選取5人，其中在歲年齡段的人數(shù)為人，35歲以上的人數(shù)為2，從5人中任意取2人，共有種情況，其中恰有1人在歲年齡段的有種情況，故2人中恰有1人在歲年齡段的概率為．18.定義函數(shù)的“伴隨向量”為，向量的“伴隨函數(shù)”為．（1）若向量的“伴隨函數(shù)”滿足，求的值；（2）已知，設，且的“伴隨函數(shù)”為，其最大值為t，求的最小值，并判斷此時向量，的關系．【答案】（1）（2）最小值為，此時．【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得出的“伴隨函數(shù)”，然后表示出，令，利用換元的思想得到，再利用正切函數(shù)求解即可；（2）設，，利用向量線性運算坐標表示得出，進一步得到的解析式，根據(jù)滿足則時，，從而，即可判斷．【小問1詳解】由題意知，向量的“伴隨函數(shù)”為，所以，令，上式化為，所以，，，即．【小問2詳解】設，，因為，所以，令，若滿足則時，，其中，此時，即，