湖南省邵陽市2023-2024學年高二下學期期末考試數學試卷

20232024學年湖南省邵陽市高二（下）期末數學試卷一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．（5分）已知集合，，則（）A． B． C． D．2．（5分）已知復數（i為虛數單位），則（）A．8 B．9 C．10 D．1003．（5分）若，則（）A． B． C． D．4．（5分）已知m，n是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面（）A．若，，則B．若，，則C．若，，，則D．若，，，，則5．（5分）某大橋的一側依次安裝有13盞路燈，因環(huán)保節(jié)能的需求，計劃關掉其中的5盞．如果兩端的路燈不能關，則不同關燈方式的種數是（）A．21 B．35 C．70 D．1266．（5分）已知公差不為0的等差數列滿足，則的最小值為（）A． B．1 C． D．27．（5分）已知奇函數及其導函數的定義域均為，．若，，則a，b，c的大小關系正確的是（）A． B． C． D．8．（5分）已知O為坐標原點，，，，，則的最小值為（）A．1 B． C． D．2二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）（多選）9．（6分）下列說法正確的有（）A．的展開式的第4項的系數是280B．對于隨機變量X，若，則C．已知隨機變量，若，則D．一組數據8，9，9，11，13，14，15，18，20，21的第60百分位數為14.5（多選）10．（6分）已知橢圓E：的左、右焦點分別為，，左、右頂點分別為A，B，P是E上異于A，B的一個動點．若，則下列說法正確的有（）A．橢圓E的離心率為B．若，則C．直線PA的斜率與直線PB的斜率之積等于D．符合條件的點P有且僅有2個（多選）11．（6分）已知A，B兩點的坐標分別為，，直線，且直線AM的斜率與直線BM的斜率之和是2，則下列說法正確的有（）A．點M的軌跡關于y軸對稱 B．點M的軌跡關于原點對稱C．若且，則恒成立 D．若且，則恒成立三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12．（5分）有甲、乙兩個工廠生產同一型號的產品，甲廠生產的次品率為2%，乙廠生產的次品率為3%，60%，從中任取一件產品______．13．（5分）已知函數的部分圖象如圖所示．若在中，，______．14．（5分）祖暅在數學上做出了突出貢獻，他提出了體積計算原理：“冪勢既同，則積不容異”．這就是“祖暅原理”，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，，共同圍成的圖形繞y軸旋轉一周所得幾何體的體積為V，則______．四、解答題（本大題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15．（13分）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求A；（2）若，E是邊BC的中點，且16．（15分）如圖所示，AB是的直徑，點C是上異于A，PC⊥平面ABC，E，F分別為PA（1）求證：EF⊥平面PBC；（2）若，，二面角的正弦值為，求BC．17．（15分）已知動點到直線的距離比它到定點的距離多1（1）求的方程；（2）若過點的直線l與相交于A，B兩點，求直線l的方程．18．（17分）已知函數，，其中．（1）求函數在處的切線方程；（2）討論函數的單調性；（3）當時，令函數，證明：．19．（17分）我們把公差不為0的等差數列稱為“一階等差數列”，若數列是“一階等差數列”，則稱數列是“二階等差數列”．定義：若數列是“k階等差數列”，則稱數列為“階等差數列”．例如：1，3，7，13，21后項與前項的差值：2，4，6，8，10，…這些差值構成的數列是公差為2的等差數列，則稱數列1，3，7，13，31…為“二階等差數列”．（1）若數列的通項公式為，試判斷數列是否為“二階等差數列”，并說明理由；（2）若數列為“二階等差數列”，且，對應的“一階等差數列”首項為1，公差為；（3）若“三階等差數列”的前4項依次為1，4，10，，求．

20232024學年湖南省邵陽市高二（下）期末數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．【分析】先求出集合A，B，再利用集合的交集運算求解．【解答】解：集合，則．故選：C．【點評】本題主要考查了一元二次不等式的解法，考查了集合的交集運算，屬于基礎題．2．【分析】利用復數模的公式求解即可．【解答】解：，則．故選：C．【點評】本題考查了復數模的求法，是基礎題．3．【分析】直接利用三角函數的關系式的變換求出函數的值．【解答】解：由于，故，故．故選：B．【點評】本題考查的知識點：三角函數的誘導公式，三角函數值的求法，主要考查學生的運算能力，屬于中檔題．4．【分析】根據空間中各要素的位置關系逐一判斷即可．【解答】解：若，，∴A選項錯誤；若，，∴B選項錯誤；若，，又，∴C選項正確；若，，，則不一定成立．故選：C．【點評】本題考查空間中各要素的位置關系，屬基礎題．5．【分析】根據題意，采用插空法完成，先將保留的8盞燈排成一排，在8盞燈形成的7個空位中，選出5個空插空即可得解．【解答】解：因為兩端的路燈不能關，且相鄰的路燈不能同時關，即先將保留的8盞燈排成一排，進而在8盞燈形成的2個空位中，所以共有（種）不同的關燈方式．故選：A．【點評】本題主要考查了排列組合知識，考查了插空法的應用，屬于基礎題．6．【分析】根據等差數列性質可得，從而，進而，由此能求出的最小值．【解答】解：∵公差不為0的等差數列滿足，∴根據等差數列性質可得，∴，∴當且僅當時，取“＝”號，∴的最小值為1．故選：B．【點評】本題考查等差數列的性質、基本不等式等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．7．【分析】構造函數，判斷的單調性及奇偶性，結合單調性及奇偶性即可比較a，b，c的大小．【解答】解：設，若為奇函數，則，所以，即函數為偶函數，因為．又當時，，所以，則函數在，故在（上為增函數．則，，且．故選：D．【點評】本題主要考查了函數的單調性及奇偶性在函數值大小比較中的應用，屬于中檔題．8．【分析】由平面向量的坐標運算可得P的軌跡方程，由條件可得Q的軌跡方程，再求圓上一點到直線上一點的距離的最小值即可．【解答】解：因為，，設，，，所以點P的軌跡方程為：，又由，得點Q的軌跡方程為：，所以為圓上一點到直線上一點的距離，所以．故選：B．【點評】本題平面向量的坐標運算，點到直線的距離求法，屬于基礎題．二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）（多選）9．【分析】根據二項展開式的通項公式可判斷A；由期望的性質即可判斷B；根據正態(tài)分布的對稱性即可判斷C；由百分位數的定義求解即可判斷D．【解答】解：對于A，的展開式的第4項為，所以第4項的系數為280，故A正確；對于B，對于隨機變量X，則，故B正確；對于C，已知隨機變量，若，則，則，故C錯誤；對于D，數據從小到大排列為8，5，9，13，15，20，因為，所以第60百分位數為．故選：ABD．【點評】本題主要考查二項式定理，正態(tài)分布，期望的性質，百分位數的定義，考查運算求解能力，屬于中檔題．（多選）10．【分析】由橢圓的定義、方程和性質，結合直線的斜率公式和向量數量積的性質，對選項分析即可得到結論．【解答】解：由，可得，可得；設，則，，若，可得，，，故B錯誤；設，則直線PA的斜率與直線PB的斜率之積為；由，可得以O為圓心，則符合條件，故D錯誤．故選：AC．【點評】本題考查橢圓的定義、方程和性質，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題．（多選）11．【分析】由直線的斜率公式可得，，且，判斷函數的奇偶性可判斷AB；由不等式的性質和恒成立思想可判斷CD．【解答】解：由直線AM的斜率與直線BM的斜率之和是2，可得，化為，，可得函數y為奇函數，關于原點對稱，故A錯誤；當且時，，故C正確；當且時，可取，由，故D錯誤．故選：BC．【點評】本題考查直線的斜率公式和函數的性質、不等式恒成立問題，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題．三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12．（5分）【分析】根據已知條件，結合全概率公式，即可求解．【解答】解：由題意可知，從中任取一件產品．故答案為：0.026．【點評】本題主要考查全概率公式，屬于基礎題．13．（5分）【分析】結合周期先求出，結合特殊點求出，結合最值求A，進而可得及B，然后結合余弦定理及三角形面積公式即可求解．【解答】解：∵，∴，又，，∴．又，∴．∵，∴，又，∴，設角B，C，D的對邊為b，c，，當且僅當．∴，∴，∴面積最大值為．故答案為：．【點評】本題主要考查了函數性質在的解析式求解中的應用，還考查了余弦定理及三角形面積公式的應用，屬于中檔題．14．（5分）【分析】令，分別代入=和中，求得，，由點，繞y軸旋轉一周得到的圓的半徑分別，計算圓環(huán)的面積，根據祖暅原理求出該幾何體的體積．【解答】解：令，分別代入和中，解得：，．記點，繞y軸旋轉一周得到的圓的半徑分別為R，r．則，，此圓環(huán)的面積，恒為定值．根據祖暅原理該幾何體的體積與底面圓半徑為，高為6的圓柱的體積相等，所以．故答案為：．【點評】本題考查了空間幾何體的體積計算問題，也考查了推理與運算能力，是中檔題．四、解答題（本大題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15．【分析】（1）利用三角變換即可求解；（2）根據，得到，再結合余弦定理求c，利用勾股定理求AE即可．【解答】解：（1）∵，由正弦定理得，∴，由余弦定理可得，∴，又，∴；（2）∵，∴，∴，∴在中，由余弦定理得，∴，由勾股定理得．【點評】本題考查三角變換，余弦定理以及三角形的面積公式，屬于中檔題．16．（15分）【分析】（1）根據已知條件，結合線面垂直的判定定理即可得證；（2）建立空間直角坐標系，分別求出平面PAC和平面PAB的一個法向量，利用向量夾角公式即可求解．【解答】解：（1）證明：由PC⊥平面ABC，知，由AB是的直徑，知，∵，∴AC⊥平面PBC，由E，F分別是PA，知，∴EF⊥平面PBC．（2）以C為原點，CA，CP所在直線分別為x軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，設，b，，易知平面PAC的一個法向量，設平面PAB的一個法向量，則則，即，∴．取，得，則，∵二面角的正弦值為，則其余弦值為，∴，又，（，解得，．故．【點評】本題考查線面垂直的判定以及空間向量的應用，屬于中檔題．17．【分析】（1）由題意，根據拋物線的定義進行求解即可；（2）設直線l的方程為，將直線方程與拋物線方程聯立，結合韋達定理以及向量的坐標運算求出t的值，再進行驗證即可得到直線方程．【解答】解：（1）因為動點到直線的距離比它到定點所以動點到直線的距離等于它到定點則動點的軌跡是以，為準線的拋物線，故Γ的方程為；（2）設直線l的方程為，，，聯立，消去x并整理得，此時，由韋達定理得，，因為，所以，解得或，則．當時，直線l的方程為；當時，直線l的方程．故直線l的方程為．【點評】本題考查軌跡方程以及直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了邏輯推理和運算能力，屬于中檔題．18．（17分）【分析】（1）先對函數求導，結合導數的幾何意義先求出切線斜率，進而可求切線方程；（2）對求導，結合導數與單調性關系對a的范圍進行分類討論即可求解；（3）先對求導，結合導數與單調性關系，不等式恒成立與最值的轉化關系即可證明．【解答】解：（1）由題意得，，，∴．∴切線方程為：，即；（2）由題意得，，①當時，上單調遞減；②當時，時，．時，．綜上，當時，上單調遞減．當時，在，在上單調遞增．（3）證明：當時，，∴，令，則．構建函數，∴．∴當時，，∴函數單調遞增．∴當時，，∴．∵，，∴在（40．∴當，，∴函數單調遞減．當，，∴函數單調遞增．∴當時，函數取最小值．∵，∴．∴，．構造函數，∴．令，∴．∴當時，．∴當時，．∴，∴．【點評】本題主要考查了導數與單調性及最值關系的綜合應用，屬于中檔題．19．（17分）【分析】（1）結合已知定