函數(shù)的周期性和對(duì)稱(chēng)性及其應(yīng)用總結(jié)講義-

MACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\r1\hSEQMTChap\r1\h函數(shù)的周期性和對(duì)稱(chēng)性總結(jié)講義【考試要求】1、了解函數(shù)的周期性及其幾何意義；2、會(huì)根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用；3、能通過(guò)平移，分析得出一般的軸對(duì)稱(chēng)和中心對(duì)稱(chēng)公式和推論；4、會(huì)利用對(duì)稱(chēng)公式解決問(wèn)題。【知識(shí)精講】一、函數(shù)的周期性1、周期函數(shù)設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，若存在一個(gè)非零常數(shù)，使得，都有，且，則稱(chēng)函數(shù)為周期函數(shù)，非零常數(shù)叫做這個(gè)函數(shù)的周期；核心公式：2、最小正周期若周期函數(shù)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，則這個(gè)最小的正數(shù)就叫做的最小正周期；3、周期重要結(jié)論與關(guān)系推導(dǎo)出的周期結(jié)論：關(guān)系式周期二、函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性1、奇函數(shù)、偶函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性（1）奇函數(shù)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，偶函數(shù)關(guān)于對(duì)稱(chēng)；（2）若是偶函數(shù)，則函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為；若是奇函數(shù)，則函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)中心為；推廣：若是偶函數(shù)，則函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為；若是奇函數(shù)，則函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)中心為；2、單個(gè)函數(shù)對(duì)稱(chēng)性：“同號(hào)對(duì)稱(chēng)軸，異號(hào)對(duì)稱(chēng)中心”（1）（2）3、兩個(gè)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性：“取相等”關(guān)系式周期與與與與與與與與三、與對(duì)稱(chēng)性有關(guān)的周期結(jié)論1、單個(gè)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性與周期的關(guān)系定義在上的函數(shù)：滿(mǎn)足條件結(jié)論（1）有兩個(gè)對(duì)稱(chēng)軸為周期函數(shù)，最小正周期為：（2）有兩個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為周期函數(shù)，最小正周期為：（3）一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心和一個(gè)對(duì)稱(chēng)軸為周期函數(shù)，最小正周期為：2、兩個(gè)函數(shù)的周期關(guān)系若和分別是周期為的周期函數(shù)，則為周期函數(shù)；不是所有函數(shù)都有最小正周期，比如常函數(shù)；3、對(duì)稱(chēng)性和周期性的一般關(guān)系式總結(jié)：（1）看：同號(hào)周期，異號(hào)對(duì)稱(chēng)（2）看：同號(hào)對(duì)稱(chēng)軸，異號(hào)對(duì)稱(chēng)中心關(guān)系式結(jié)論對(duì)稱(chēng)軸：對(duì)稱(chēng)中心：周期：【題型總結(jié)】題型1函數(shù)的周期性題型2函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性題型3對(duì)稱(chēng)性和周期的關(guān)系【典型例題】題型1函數(shù)的周期性【例1】已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，則（

）A．B．C．0D．1【答案】A【解析】方法1賦值法，令可得，，，令可得，，即，函數(shù)為偶函數(shù)，令得，，即有，則，，故，即，的一個(gè)周期為．，，，，，一個(gè)周期內(nèi)的．由于22除以6余4，．答案為A．方法2構(gòu)造函數(shù)法（1）根據(jù)抽象函數(shù)表達(dá)式聯(lián)想到常見(jiàn)函數(shù)的性質(zhì)，構(gòu)造出具體的符合條件的函數(shù)：由，聯(lián)想到余弦函數(shù)和差化積公式，可設(shè)，由方法1中知，解得，取，，則，符合條件，（2）直接使用具體函數(shù)的性質(zhì)解題：的周期，，且，，22除以6余4，．答案為A．【變式1】已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù),滿(mǎn)足.若，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】（1）先根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)以及對(duì)稱(chēng)性確定函數(shù)周期：是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且，,（2）據(jù)周期以及對(duì)應(yīng)函數(shù)值求結(jié)果：，，，，，答案為C.題型2函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性1、單個(gè)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性【例2】已知函數(shù)，則（）A．的最小值為2B．的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)C．的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)D．的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)【答案】D【解析】可以為負(fù)，A錯(cuò)；關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；故B錯(cuò)；關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，故C錯(cuò)，D對(duì)，答案為D.【變式2】已知函數(shù)，則（）A．在單調(diào)遞增B．在單調(diào)遞減C．的圖像關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)D．的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)【答案】C【解析】，的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，故C正確，D錯(cuò)；又（）由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，A，B錯(cuò)誤，答案為C．2、兩個(gè)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性【例3】已知函數(shù)滿(mǎn)足，若函數(shù)與圖像的交點(diǎn)為則（）A．0B．C．D．【答案】B【解析】方法1直接法.得關(guān)于對(duì)稱(chēng)，也關(guān)于對(duì)稱(chēng)，∴對(duì)于每一組對(duì)稱(chēng)點(diǎn)∴，答案為B．方法2特殊值法.由得不妨設(shè)因?yàn)?，與函數(shù)的交點(diǎn)為∴當(dāng)時(shí)，，答案為B．方法3構(gòu)造法.設(shè)，則，故為奇函數(shù).設(shè)，則，故為奇函數(shù).∴對(duì)于每一組對(duì)稱(chēng)點(diǎn).將，代入，即得∴，答案為B．方法4由題意得,函數(shù)和的圖象都關(guān)于對(duì)稱(chēng),兩函數(shù)的交點(diǎn)也關(guān)于對(duì)稱(chēng),對(duì)于每一組對(duì)稱(chēng)點(diǎn)和，都有..答案為B.【變式3】設(shè)函數(shù)的圖像與的圖像關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，且，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】設(shè)是函數(shù)的圖像上任意一點(diǎn)，它關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)為（），由已知（）在函數(shù)的圖像上，，解得，即，，解得，答案為C．題型3對(duì)稱(chēng)性和周期的關(guān)系【例4】（2022·全國(guó)新Ⅰ卷）（多選）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，若，均為偶函數(shù)，則（

）A．B．C．D．【答案】BC【解析】方法1：對(duì)稱(chēng)性和周期性的關(guān)系對(duì)，為偶函數(shù)，即①，，關(guān)于對(duì)稱(chēng)，則，故C正確；對(duì)，為偶函數(shù)，，，關(guān)于對(duì)稱(chēng)，由①求導(dǎo)，和，得，，關(guān)于對(duì)稱(chēng)，其定義域?yàn)镽，，結(jié)合關(guān)于對(duì)稱(chēng)，周期，，，故B正確，D錯(cuò)；若函數(shù)滿(mǎn)足題設(shè)條件，則函數(shù)（C為常數(shù)）也滿(mǎn)足題設(shè)條件，無(wú)法確定的函數(shù)值，故A錯(cuò).答案為BC.方法2特殊值，構(gòu)造函數(shù)法.由方法1知周期為2，關(guān)于對(duì)稱(chēng)，故可設(shè)，則，顯然A，D錯(cuò)誤，選BC.答案為BC.【變式4】設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．若，則（

）A．B．