安徽省皖中名校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期第四次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題

【新結(jié)構(gòu)】20232024學(xué)年安徽省皖中名校聯(lián)盟高二（下）第四次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則圖中的陰影部分表示的集合為（）A.或 B.或C. D.【答案】B【解析】【分析】由韋恩圖知圖中的陰影部分表示的集合為，再利用集合的基本運(yùn)算求解．【詳解】集合，或，由韋恩圖可知，圖中的陰影部分表示的集合為，，，或或.故選：B.2.在一組樣本數(shù)據(jù)為，，不全相等的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)都在直線上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為（）A. B. C. D.1【答案】C【解析】【分析】根據(jù)直線方程及相關(guān)系數(shù)的概念可得相關(guān)系數(shù).【詳解】由題意可得這兩個(gè)變量是負(fù)相關(guān)，故這組樣本數(shù)據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)為負(fù)值，且所有樣本點(diǎn)

都在直線上，則有，所以樣本相關(guān)系數(shù).故選：C3.下列結(jié)論中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是（）①命題“所有的四邊形都是矩形”是全稱量詞命題；②命題“，”是存在量詞命題；③命題“，”的否定為“，”；④命題“是必要條件”是真命題．A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】根據(jù)存在量詞命題、全稱量詞命題的概念，命題否定的求法，分析選項(xiàng)，即可得答案．【詳解】對(duì)于①：命題“所有的四邊形都是矩形”是全稱量詞命題，故①正確；對(duì)于②：命題“，”是全稱量詞命題；故②錯(cuò)誤；對(duì)于③：命題，，則，，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④：當(dāng)時(shí)，得不到，“”不是“”的必要條件；④錯(cuò)誤；即錯(cuò)誤的有3個(gè).故選：D.4.若正實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)等式計(jì)算得出，再結(jié)合常值代換求和的最值，計(jì)算可得最大值．【詳解】，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，.故選：A.5.已知等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為和，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用等差數(shù)列和的前項(xiàng)和的性質(zhì)可得：，，即可得出．【詳解】由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式可設(shè)：，，，從而，，所以，故選：C6.某試卷中1道選擇題有6個(gè)答案，其中只有一個(gè)是正確的．考生不知道正確答案的概率為，不知道正確答案的考生可以猜，設(shè)猜對(duì)的概率為．現(xiàn)已知某考生答對(duì)了，則他猜對(duì)此題的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)事件為“該考生不知道正確答案”，B事件為“該考生答對(duì)了”．表示出，，，再結(jié)合條件概率公式，以及互斥事件的概率加法公式，即可求解．【詳解】設(shè)事件為“該考生不知道正確答案”，事件為“該考生答對(duì)了”．則，，，，所以所求概率為.故選：A.7.已知是函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離的最小值是（）A. B.5 C.6 D.【答案】D【解析】【分析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線距離求解即可．【詳解】設(shè)直線與直線平行，且與函數(shù)的圖象相切，設(shè)切點(diǎn)為，因?yàn)槭菃握{(diào)遞增函數(shù)，直線的斜率為1，所以，解得，即切點(diǎn)為，所以點(diǎn)到直線的距離的最小值是點(diǎn)到直線的距離，即為．故選：D8.將編號(hào)為1，2，3，4，5，6的小球放入編號(hào)為1，2，3，4，5，6的六個(gè)盒子中，每盒放一球，若有且只有一個(gè)盒子的編號(hào)與放入的小球的編號(hào)相同，則不同的放法種數(shù)為（）A.90 B.135 C.264 D.270【答案】C【解析】【分析】使用間接法結(jié)合計(jì)數(shù)原理可求出結(jié)果．【詳解】解：根據(jù)題意，有且只有1個(gè)盒子的編號(hào)與放入的小球編號(hào)相同，在六個(gè)盒子中任選1個(gè)，放入與其編號(hào)相同的小球，有種選法，剩下的5個(gè)盒子的編號(hào)與放入的小球編號(hào)不相同；因?yàn)樗信帕蟹椒ㄓ蟹N，其中4個(gè)盒子的編號(hào)與放入的小球編號(hào)不相同的放法種數(shù)為種，3個(gè)盒子的編號(hào)與放入的小球編號(hào)不相同的放法種數(shù)為種，2個(gè)盒子的編號(hào)與放入的小球編號(hào)不相同的放法種數(shù)為種，全部都對(duì)上的有1種.綜上，則不同的放法種數(shù)為：種放法．故選：C二、多選題：本題共3小題，共15分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.設(shè)是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，是其公比，是其前項(xiàng)的積，且，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.與均為的最大值【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)題意，由等比數(shù)列的性質(zhì)依次分析選項(xiàng)，即可得答案．【詳解】根據(jù)題意，是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，是其公比，是其前項(xiàng)的積，由可得，故C正確；由可得，則，故A正確；是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，，則有，對(duì)于B，，則有，故B錯(cuò)誤，對(duì)于D，，則與均為的最大值，D正確.故選：ACD10.小明的計(jì)算器壞了，每啟動(dòng)一次都隨機(jī)地出現(xiàn)一個(gè)5位的二進(jìn)制數(shù)（例如：若，，則，其中二進(jìn)制數(shù)的各位數(shù)中，已知，出現(xiàn)0的概率為，出現(xiàn)1的概率為，記，現(xiàn)在計(jì)算器啟動(dòng)一次，則下列說法正確的是（）A. B.C D.【答案】BD【解析】【分析】先確定的可能取值，再求出相應(yīng)取值的概率，進(jìn)而得到數(shù)學(xué)期望，即可得到答案．【詳解】解：由題意，計(jì)算器啟動(dòng)一次，隨機(jī)變量的可能取值為1，2，3，4，5，則，，，，，，綜上A，C錯(cuò)誤，B，D正確．故選：BD11.偶函數(shù)滿足對(duì)于任意，有，其中為的導(dǎo)函數(shù)，則下列不等式成立的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】構(gòu)造新函數(shù)，由，可得在上單調(diào)遞增，由時(shí)，可得在上是偶函數(shù)，然后對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)判斷即可．【詳解】偶函數(shù)足對(duì)于任意，有，令則當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，又當(dāng)時(shí)，，故在上是偶函數(shù)，，即，，即，故A錯(cuò)誤；，即，，故B正確；，即，，故C正確；，即，，，故D錯(cuò)誤.故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.設(shè)集合，則集合的真子集個(gè)數(shù)為__________．【答案】63【解析】【分析】依題意求出集合，即可求得其真子集個(gè)數(shù)．【詳解】由可知是的正因數(shù)，即可取，故可得的值依次取，即，故集合的真子集有個(gè)．故答案為：63.13.以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，已知如下數(shù)據(jù)：，，則實(shí)數(shù)的值為__________．【答案】2【解析】【分析】由題意取對(duì)數(shù)可得，由回歸直線過和已知數(shù)據(jù)即可得解．【詳解】由兩邊取自然對(duì)數(shù)，可得，令，因關(guān)于的回歸直線經(jīng)過，而，故得，又，解得故答案為：2.14.若函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則的取值范圍是__________【答案】【解析】【分析】利用參數(shù)分離，構(gòu)造新函數(shù)，求得函數(shù)最值，進(jìn)而可得結(jié)論．【詳解】，即函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞增區(qū)間，只需在區(qū)間上有解，即在區(qū)間上有解，所以在區(qū)間上有解，所以令，，則令，則在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共60分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.在的展開式中，前項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值成等差數(shù)列．（1）求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)及各項(xiàng)系數(shù)和；（2）求展開式中所有的有理項(xiàng)．【答案】（1），展開式系數(shù)和為；（2）；.【解析】【分析】（1）根據(jù)展開式通項(xiàng)公式，寫出前三項(xiàng)的系數(shù)，再由三項(xiàng)的絕對(duì)值成等差數(shù)列可求出；根據(jù)的值可確定二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)，再令可求各項(xiàng)的和；（2）寫出二項(xiàng)展開式通項(xiàng)，再由為整數(shù)確定有理項(xiàng).【小問1詳解】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為，因?yàn)榍?項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值成等差數(shù)列，且前三項(xiàng)系數(shù)為，，，所以，即，所以（舍去）或，因?yàn)?，所有展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第五項(xiàng)，即，令得，即展開式系數(shù)和為.【小問2詳解】由（1）知，二項(xiàng)式通項(xiàng)公式：，當(dāng)、6時(shí)對(duì)應(yīng)的項(xiàng)為有理項(xiàng)，有理項(xiàng)分別為：；.16.司機(jī)在開車時(shí)使用是違法行為，會(huì)存在嚴(yán)重的安全隱患，危及自己和他人的生命．為了研究司機(jī)開車時(shí)使用的情況，交警部門隨機(jī)調(diào)查了100名司機(jī)，得到以下統(tǒng)計(jì)：在55名男性司機(jī)中，開車時(shí)使用的有40人，開車時(shí)不使用的有15人；在45名女性司機(jī)中，開車時(shí)使用的有20人，開車時(shí)不使用的有25人．（1）完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為開車時(shí)使用與司機(jī)的性別有關(guān)；開車時(shí)使用開車時(shí)不使用合計(jì)男性司機(jī)人數(shù)女性司機(jī)人數(shù)合計(jì)（2）采用分層抽樣從開車時(shí)不使用的人中抽取8人，再從這8人中隨機(jī)抽取3人，記為開車時(shí)不使用的男性司機(jī)人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考數(shù)據(jù)：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828參考公式：，其中.【答案】（1）表格見解析，有的把握認(rèn)為開車時(shí)使用與司機(jī)的性別有關(guān)（2）分布列見解析，.【解析】【分析】（1）完善列聯(lián)表，利用卡方公式求出觀測(cè)值，對(duì)照臨界值表即可判斷；（2）由分層抽樣求出對(duì)應(yīng)人數(shù)，得的所有可能取值和對(duì)應(yīng)概率，即可得分布列和期望.【小問1詳解】由題意得列聯(lián)表，如下；開車時(shí)使用開車時(shí)不使用合計(jì)男性司機(jī)人數(shù)401555女性司機(jī)人數(shù)202545合計(jì)6040100零假設(shè)為：開車時(shí)使用與司機(jī)的性別無關(guān)聯(lián).根據(jù)數(shù)表，計(jì)算，則假設(shè)不成立，所以有99.5%的把握認(rèn)為開車時(shí)使用與司機(jī)的性別有關(guān).【小問2詳解】開車時(shí)不使用的男性司機(jī)人數(shù)為：人；開車時(shí)不使用的女性司機(jī)人數(shù)為：人.由題意可知：的所有可能取值為0，1，2，3，；；；.則的分布列為：0123則.17.已知數(shù)列是以公比為1，首項(xiàng)為3的等比數(shù)列，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若不等式對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由利用累加法求出的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出的通項(xiàng)公式．（2）由得，利用錯(cuò)位相減法求出，不等式可轉(zhuǎn)化為，利用的單調(diào)性求出最小值即可．【小問1詳解】數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，，當(dāng)時(shí)，，即，，，，又也滿足上式，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，，【小問2詳解】由（1），可得，①，②，由①②，得，，不等式可化為，即對(duì)任意的恒成立，即轉(zhuǎn)化為令，且易得為遞增數(shù)列，又，所以，綜上，的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列遞推式，考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，訓(xùn)練了錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和，考查數(shù)列的函數(shù)特性，是中檔題．18.已知橢圓過點(diǎn)，且半焦距．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖，已知，過點(diǎn)的直線l與橢圓相交于兩點(diǎn)，直線與x軸分別相交于兩點(diǎn)，試問是否為定值？如果是，求出這個(gè)定值；如果不是，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）；（2）為定值，且．【解析】【分析】（1）由橢圓的定義可得，進(jìn)而由已知求得，得出結(jié)果．（2）設(shè)直線的y軸截距式方程：，結(jié)合直線方程可得，．聯(lián)立直線方程與橢圓方程有，結(jié)合韋達(dá)定理可得，則為定值.【詳解】解：（1）設(shè)橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為，則，由橢圓的定義可得，解得，所以，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)直線l的方程為，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，易知直線與橢圓C相切，不符合題意，同理可得直線的斜率存在，故直線的方程為，則，即，同理．由得，由得，又，所以，故為定值，且．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：解決直線與橢圓的綜合問題時(shí)，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．19.已知函數(shù)，其中.（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，證明（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）求出