寒假作業(yè)06等腰（等邊）三角形-2024年八年級數(shù)學(xué)寒假培優(yōu)練（人教版）

限時練習(xí)：40min完成時間：月日天氣：寒假作業(yè)06等腰（等邊）三角形的性質(zhì)與判定1.等腰三角形：有兩條邊相等的三角形是等腰三角形.腰：相等的兩邊；底邊：不相等的那條邊；頂角：兩腰的夾角；底角：腰與底邊的夾角.2.等腰三角形的性質(zhì)與判定：性質(zhì)1：等腰三角形的兩個底角相等（簡稱等邊對等角）.性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合（簡稱“三線合一”）.判定：若一個三角形的兩角相等，則這個三角形是等腰三角形（簡稱等角對等邊）.3.等邊三角形的性質(zhì)與判定：等邊三角形：有三條邊相等的三角形是等邊三角形.性質(zhì)：等邊三角形的三條邊和三個角都相等，且每個角都等于60°.判定1：三個角都相等的三角形是等邊三角形.判定2：有兩個角是60°的三角形是等邊三角形.判定3：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.1．下列條件中，可以判定是等腰三角形的是（

）A．， B．C． D．三個角的度數(shù)之比是【答案】D【解析】A．∵，，∴，∴不是等腰三角形，故選項A錯誤；B．∵，，∴，，，∴不是等腰三角形，故選項B錯誤；C．∵，，∴，∴，而無法判斷與的大小，∴不是等腰三角形，故選項C錯誤；D．∵三個角的度數(shù)之比是，∴三個角的度數(shù)分別是，，，∴是等腰三角形，故選項D正確.故選D．2．已知等腰三角形一腰上的高線與另一腰的夾角為，那么這個等腰三角形的頂角等于（

）A．或 B． C． D．或【答案】D【解析】①如圖，當(dāng)該等腰三角形為銳角三角形時，由題意可知，∴；②如圖，當(dāng)該等腰三角形為鈍角三角形時，由題意可知，∴．綜上可知這個等腰三角形的頂角度數(shù)為或，故選D．3．等腰三角形的兩條邊長分別為3，7，則等腰三角形的周長為．【答案】17【解析】根據(jù)題意，①當(dāng)腰長為時，，不能構(gòu)成三角形；②當(dāng)腰長為時，，符合題意，周長，故答案為：．4．如圖，為等邊三角形，為邊上的高，點為邊上的中點，請僅用無刻度的直尺按要求作圖．(1)在圖①中，作的平分線；(2)在圖②中，以點為頂點作三角形，使所作三角形的面積等于面積的．【解析】（1）的平分線如圖1所示.

圖1圖2（2）如圖2，（或）即為所求.5．如圖，在中，，．作出邊的垂直平分線，交于點，交于點，連接．(1)下列結(jié)論正確的是（填序號）．①平分；②；③的周長等于；④．(2)結(jié)論正確的說明理由．【解析】（1）如圖所示，結(jié)論正確的是：①②③，故答案為：①②③.（2）理由如下：∵，，∴，∵是邊的垂直平分線，∴，∴，∴，∴，∴BD平分，故結(jié)論①正確；∵，∴，∴，∵，∴，故結(jié)論②正確；∵，，∴的周長為：，故結(jié)論③正確；∵，∴，∵，∴，故結(jié)論④錯誤；綜上所述：正確的結(jié)論是①②③．6．已知是上一點.(1)用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖，過點作于點，延長交延長線于（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)求證：是等腰三角形．【解析】（1）作圖如下：（2），，，，，，，而，，為等腰三角形．7．如圖，在中，，且．(1)在邊的延長線上求作點，使；（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）(2)在（1）的作圖條件下，若，求的度數(shù)．【解析】（1）如圖所示.（2）∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴.8．已知：如圖，中，，平分，平分，過D作直線平行于，分別交，于點E，F(xiàn)．(1)求證：是等腰三角形；(2)求的周長．【解析】（1）∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴是等腰三角形.（2）∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴的周長為：．9．如圖，點D，E，F(xiàn)在等邊的邊上，且．(1)求證：是等邊三角形；(2)若，求的長．【解析】（1）∵是等邊三角形,∴，∵，∴，∴，∴，同理，∴是等邊三角形；（2）由（1）可知：是等邊三角形，∴，在和中，，∴，∴，在中，∵，∴，∴，∴，∵cm，∴cm，∴．10．如圖，在中，，于點D，平分，分別與交于點E，F(xiàn)．(1)求證：是等邊三角形；(2)若，求的長．【解析】（1）∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴是等邊三角形；（2）∵，∴，∴，由（1）知是等邊三角形，，∴，∴，∴，，，．11．如圖，在中，點D、E在上，．(1)從①，②中，選擇一個作為條件，另外一個作為結(jié)論，構(gòu)成一個真命題，并證明；條件：，結(jié)論：(填序號)．(2)在(1)的條件下，當(dāng)時，求的度數(shù)．【解析】（1）條件：；結(jié)論：；證明：∵，∴，在和中，，∴，∴；（2）∵，，∴是等邊三角形，∴，∴，∵，∴，，∴，∴．12．如圖，在等邊中，是邊上的高，，在下列結(jié)論中：①；②；③；④．正確的是．（填序號）【答案】①②③④【解析】∵等邊中，是邊上的高，∴，，，，在與中，，∴，故①正確；∵，∴，在與中，，∴，故③正確；∵在與中，，∴，故②正確；同理，∵，∴，故④正確，故答案為：①②③④．13．已知，如圖，為等邊三角形，，、相交于點P，于Q．(1)求證：；(2)求的度數(shù)；(3)若，，求的長．【解析】（1）∵為等邊三角形，∴，∵，∴，∴；（2）由（1）知，，∴，∴，∴；（3）由（2）知．∵，∴，∴，∴，∴，即．14．如圖，過等邊的頂點在內(nèi)部作射線，（且），點A關(guān)于射線的對稱點為點，直線交于點，連接，．(1)依據(jù)題意，補全圖形；(2)在（且）變化的過程中，的大小是否發(fā)生變化？如果發(fā)生變化，請直接寫出變化的范圍；如果不發(fā)生變化，請求出的大?。?3)連接交于點，用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．【解析】（1）補全圖形如圖1所示.

（2）不發(fā)生變化，；點A關(guān)于射線的對稱點為點，，，是等邊三角形，，，，，，，，，不發(fā)生變化，；（3）線段，，之間的數(shù)量關(guān)系為：；證明：如圖，在上取一點，使，連接，，是等邊三角形，，，，，，，，點A關(guān)于射線的對稱點為點，，，，，，則．15．定義：一個三角形的一邊長是另一邊長的2倍，這樣的三角形叫做“倍長三角形”．若等腰是“倍長三角形”，底邊BC的長為3，則腰AB的長為．【答案】6【解析】∵△ABC是等腰三角形，底邊BC=3，∴AB=AC，當(dāng)AB=AC=2BC時，△ABC是“倍長三角形”；當(dāng)BC=2AB=2AC時，AB+AC=BC，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，可知此時構(gòu)不成三角形，不符合題意，所以當(dāng)?shù)妊鰽BC是“倍長三角形”，底邊BC的長為3時，腰AB的長為6．故答案為6．16．如圖1，是等邊三角形的邊所在直線上一點，是邊所在直線上一點，且與不重合，若，則稱為點關(guān)于等邊三角形的反稱點，點稱為反稱中心．在平面直角坐標(biāo)系中，(1)已知等邊三角形的頂點的坐標(biāo)為，點A在第一象限內(nèi)，反稱中心在直線上，反稱點在直線上．①如圖2，若為邊的中點，在圖中作出點關(guān)于等邊三角形的反稱點，并直接寫出點的坐標(biāo)：；②若，求點關(guān)于等邊三角形的反稱點的坐標(biāo)；(2)若等邊三角形的頂點為，，反稱中心在直線上，反稱點在直線上，且，請直接寫出點關(guān)于等邊三角形的反稱點的橫坐標(biāo)的取值范圍：_________（用含的代數(shù)式表示）.【解析】（1）①如圖2，過點作，垂足為，

，，∵點的坐標(biāo)為，，∵點是的中點，，，，，，，，，∴點的坐標(biāo)為，故答案為：；②∵等邊三角形的兩個頂點為，，，．是等邊三角形的邊所在直線上一點，且，∴點與坐標(biāo)原點重合或點在邊的延長線上，如圖3，若點與坐標(biāo)原點重合，，．是邊所在直線上一點，且與不重合，點的坐標(biāo)為，如圖4，若點在邊的延長線上，，．

圖4為等邊三角形，．．．，∴點與點重合．這與題目條件中的與不重合矛盾，故這種情況不合題意，綜上所述：；（2），，，，，∴點在的延長線上或在的延長線上，如圖5，點在的延長線上，過點A作，過點作，圖5，，，，，，，，，點的坐標(biāo)為，，如圖6，點在的延長線上，過點A作，圖6同理可得：點的橫坐標(biāo)的取值范圍：，綜上所述：點的橫坐標(biāo)的取值范圍是：或，故答案為：或．17．（2023·江蘇宿遷·中考真題）若等腰三角形有一個內(nèi)角為，則這個等腰三角形的底角是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】等腰三角形有一個內(nèi)角為，∴這個等腰三角形的底角是，故選C．18．（2023·浙江臺州·中考真題）如圖，銳角三角形中，，點D，E分別在邊，上，連接，．下列命題中，假命題是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】A【解析】∵，∴，∵若，又，∴與滿足“”的關(guān)系，無法證明全等，因此無法得出，故A是假命題；∵若，∴，在和中，，∴，∴，故B是真命題；若，則，在和中，，∴，∴，∵，∴，故C是真命題；若，則在和中，，∴，∴，故D是真命題.故選A．19．（2023·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）如圖，等邊三角形的邊長為，動點P從點A出發(fā)以的速度沿向點B勻速運動，過點P作，交邊于點Q，以為邊作等邊三角形，使點A，D在異側(cè)，當(dāng)點D落在邊上時，點P需移動s．【答案】1【解析