清單09勾股定理與最短路徑（7種題型解讀（30題））（原卷版）

清單09勾股定理與最短路徑問題（7種題型解讀（30題））【知識(shí)導(dǎo)圖】【知識(shí)清單】【考試題型1】平面圖形的最短路徑問題1．（2023上·貴州畢節(jié)·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，是一個(gè)外輪廓為長方形的機(jī)器零件平面示意圖，根據(jù)圖中標(biāo)注的尺寸，（單位：mm），可得兩圓孔中心A和B的距離是（

）

A．120mm B．150mm C．90mm2．（2022下·河北保定·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，有一塊長為24m的長方形綠地，在綠地旁邊B處有健身器材，由于居住在A處的居民踐踏了綠地，小穎想在A處立一個(gè)標(biāo)牌“少走（

）步，踏之何忍”，但小穎不知應(yīng)填什么數(shù)字，請你幫助她填上．（假設(shè)兩步為1m）A．8步 B．12步 C．16步 D．20步3．（2022下·廣東惠州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，學(xué)校有一塊長方形花圃，有極少數(shù)人為了避開拐角走“捷徑”，在花圃內(nèi)走出了一條“路”，他們僅僅少走了幾步路，卻踩傷了花草．他們少走的路長為（

）A．2m B．3m C．3.5m4．（2021上·江西景德鎮(zhèn)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，長方形BCFG是一塊草地，折線ABCDE是一條人行道，BC＝12米，CD＝5米．為了避免行人穿過草地（走虛線BD，踐踏綠草，管理部門分別在B、D處各掛了一塊牌子，牌子上寫著“少走米，踏之何忍”．5．（2017上·八年級(jí)單元測試）如圖，有兩條互相垂直的街道a和b，a路上有一小商店A,b路上有一批發(fā)部B．小商店主人每次進(jìn)貨都沿著A—O—B路線到達(dá)B處，然后原路返回．已A,B兩處距十字路口O的距離分別為600米、800米，如果小商店主人重新選一條最近的路線，那么往返一趟最多可比原來少走米．【考試題型2】勾股定理與將軍飲馬模型綜合6．（2022上·云南·八年級(jí)?？计谀┌兹盏巧酵榛穑S香飲馬傍交河．詩中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題：如下圖，詩中將軍在觀望烽火之后從山腳上的A點(diǎn)出發(fā)，奔向小河旁邊的P點(diǎn)飲馬，飲馬后再到B點(diǎn)宿營，若點(diǎn)A到水平直線l（l表示小河）的距離AC為3，點(diǎn)B到水平直線l的距離BD為2，A、B兩點(diǎn)之間的水平距離CD是3，則AP+PB最小值為（

）A．34 B．4 C．5 D．―347．（2023上·四川達(dá)州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，A、B兩個(gè)村在河流CD的同側(cè)，分別到河的距離為AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，現(xiàn)在要在河邊建一自來水廠，向A、B倆村供水，鋪設(shè)水管的費(fèi)用為每千米1萬，請你在河流CD上選擇水廠的位置P，使鋪設(shè)水管的費(fèi)用最節(jié)省，并求出總費(fèi)用是多少？8．（2020上·江蘇南通·八年級(jí)校考期末）在一平直的河岸l同側(cè)有兩A、B村，A村位于河流/正南4km,B村位于A村東8km南7km處，現(xiàn)要在河岸邊建一水廠C9．（2022上·山東濟(jì)南·七年級(jí)校考期中）如圖，A，B兩個(gè)村莊在河CD的同側(cè)，兩村莊的距離為a千米，a2=13，它們到河CD的距離分別是1千米和3千米．為了解決這兩個(gè)村莊的飲水問題，鄉(xiāng)政府決定在河CD邊上修建一水廠向A，(1)在圖上作出向A，B兩村鋪設(shè)水管所用材料最省時(shí)的水廠位置M．（只需作圖，不需要證明）(2)經(jīng)預(yù)算，修建水廠需20萬元，鋪設(shè)水管的所有費(fèi)用平均每千米為3萬元，其他費(fèi)用需5萬元，求完成這項(xiàng)工程鄉(xiāng)政府投入的資金至少為多少萬元．10．（2021上·山東青島·八年級(jí)統(tǒng)考期中）【背景介紹】勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿著魅力．千百年來，人們對它的證明趨之若鶩，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者．向常春在1994年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個(gè)新的證法．【小試牛刀】把兩個(gè)全等的直角三角形△ABC和△DAE如圖1放置，其三邊長分別為a，b，c．顯然，∠DAB＝∠B＝90°，AC⊥DE．請用a，b，c分別表示出梯形ABCD，四邊形AECD，△EBC的面積：S梯形ABCD＝，S△EBC＝，S四邊形AECD＝，再探究這三個(gè)圖形面積之間的關(guān)系，它們滿足的關(guān)系式為，化簡后，可得到勾股定理．【知識(shí)運(yùn)用】如圖2，河道上A，B兩點(diǎn)（看作直線上的兩點(diǎn)）相距200米，C，D為兩個(gè)菜園（看作兩個(gè)點(diǎn)），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分別為A，B，AD＝80米，BC＝70米，現(xiàn)在菜農(nóng)要在AB上確定一個(gè)抽水點(diǎn)P，使得抽水點(diǎn)P到兩個(gè)菜園C，D的距離和最短，則該最短距離為米．【知識(shí)遷移】借助上面的思考過程，請直接寫出當(dāng)0＜x＜15時(shí)，代數(shù)式x2+9+(15-x)2+25【考試題型3】用垂線段求最短距離11．某校要把一塊形狀是直角三角形的廢地開發(fā)為生物園．如圖所示，∠ACB=90°，AC=80m，BC=60m．若線段CD為一條水渠，且D在邊AB上，已知水渠的造價(jià)是10元/米，則D點(diǎn)在距A點(diǎn)多遠(yuǎn)處時(shí)此水渠的造價(jià)最低？最低造價(jià)是多少？在圖上標(biāo)出D點(diǎn)．12．（2022下·甘肅平?jīng)觥ぐ四昙?jí)統(tǒng)考期中）臺(tái)風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺(tái)風(fēng)中心為圓心在周圍上百千米范圍內(nèi)形成極端氣候，有極強(qiáng)的破壞力，如圖，有一臺(tái)風(fēng)中心沿東西方向AB由A行駛向B，已知點(diǎn)C為海港，且點(diǎn)C與直線l上的兩點(diǎn)A，B的距離分別為AC=300km，BC=400km，又AB=500km，以臺(tái)風(fēng)中心為圓心周圍260(1)求∠ACB的度數(shù)；(2)求海港C到直線AB的最短距離；(3)海港C受臺(tái)風(fēng)影響嗎？若受影響請計(jì)算受影響時(shí)間，若不受影響請說明理由．【考試題型4】臺(tái)階中的最短距離13．（2023上·陜西西安·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在一個(gè)長為20m，寬為16m的長方形草地上放著一根長方體木塊，已知該木塊的較長邊和場地寬AD平行，橫截面是邊長為2m的正方形，若點(diǎn)A處有一只螞蟻，它從點(diǎn)A處爬過木塊到達(dá)點(diǎn)C

A．24m B．813m C．1614．（2023上·甘肅張掖·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在一個(gè)高為3米，長為5米的樓梯表面鋪地毯，則地毯長度為米．

15．（2023上·山東棗莊·八年級(jí)校考階段練習(xí)）某會(huì)展中心在會(huì)展期間準(zhǔn)備將高5m、長13m、寬2m16．（2022下·重慶九龍坡·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖有一個(gè)四級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長、寬分別為18分米、4分米．(1)如果給臺(tái)階表面8個(gè)矩形區(qū)域鋪上定制紅毯，需要定制紅毯的面積為432平方分米，那么每一級(jí)臺(tái)階的高為多少分米？(2)A和C是這個(gè)臺(tái)階上兩個(gè)相對的端點(diǎn)，臺(tái)階角落點(diǎn)A處有一只螞蟻，想到臺(tái)階頂端點(diǎn)C處去吃美味的食物，則螞蟻沿著臺(tái)階面從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)C的最短路程為多少分米？【考試題型5】圓柱中的最短距離17．（2023上·山東濟(jì)南·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，圓柱形玻璃杯，底面周長為16cm，AC是底面圓的直徑，點(diǎn)P是BC上的一點(diǎn)，且BC=20cm，PC=34BC，一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，沿著圓柱體的表面爬行到點(diǎn)P

18．（2023上·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）我國古代有這樣一道數(shù)學(xué)問題：“枯木一根直立地上，高二丈周三尺，有葛藤自根纏繞而上，五周而達(dá)其頂，問葛藤之長幾何？”題意是：如圖所示，把枯木看作一個(gè)圓柱體，因一丈是十尺，則該圓柱的高為20尺，底面周長為3尺，有葛藤自點(diǎn)A處纏繞而上．

（1）若繞五周后其末端恰好到達(dá)點(diǎn)B處，則問題中葛藤的最短長度是尺．（2）若繞n周后其末端恰好到達(dá)點(diǎn)B處，則問題中葛藤的最短長度是尺．19．（2023上·江西九江·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）課本再現(xiàn)如圖1，有一個(gè)圓柱，它的高為12cm，底面圓的周長為18cm．在圓柱下底面的點(diǎn)A處有一只螞蟻，它想吃到上底面與點(diǎn)A相對的點(diǎn)

方法探究（1）對于立體圖形中求最短路程問題，應(yīng)把立體圖形展開成平面圖形，再確定A，B兩點(diǎn)的位置，依據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，結(jié)合勾股定理，解決相應(yīng)的問題．如圖2，在圓柱的側(cè)面展開圖中，點(diǎn)A，B對應(yīng)的位置如圖所示，利用勾股定理求出螞蟻爬行的最短路程是______cm．方法應(yīng)用（2）如圖3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面邊長為3cm，高為10cm．在其側(cè)面從點(diǎn)A開始，繞側(cè)面兩周，嵌入裝飾彩條至點(diǎn)B停止．求彩條的最短長度．（3）如圖4，圓柱形玻璃杯底面周長為30cm，高為35cm，杯底厚1cm．在玻璃杯外壁距杯口2cm的點(diǎn)A處有一只螞蟻，螞蟻相對面的內(nèi)壁底部B【考試題型6】長方體的最短距離20．（2023上·福建寧德·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖是一個(gè)長方體包裝盒，高為5cm，底面是正方形，邊長為6cm，現(xiàn)需用繩子裝飾，繩子從A出發(fā)，沿長方體表面繞到C處，則繩子的最短長度是（A．10 B．11 C．12 D．1321．（2023上·陜西西安·八年級(jí)西安市第二十六中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，一個(gè)長方體蛋糕盒的長、寬、商分別為40cm、30cm、20cm，點(diǎn)E到點(diǎn)D的距離為10

A．1029cm B．1037cm C．22．（2023上·河南鄭州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）有一個(gè)如圖所示的長方體透明玻璃魚缸，假設(shè)其長AD=80cm，高AB=50cm，水深A(yù)E=40cm，在水面上緊貼內(nèi)壁的G處有一塊面包屑，G在水面線EF上，且FG=30cm，一只螞蟻想從魚缸外的A點(diǎn)沿魚缸壁爬進(jìn)魚缸內(nèi)的G處吃面包屑．螞蟻爬行的最短路線為（A．100 B．110 C．502+10 D23．（2023上·山西太原·八年級(jí)統(tǒng)考期中）包裝紙箱是我們生活中常見的物品．如圖1，創(chuàng)意DIY小組的同學(xué)將一個(gè)10cm×30cm×40cm的長方體紙箱裁去一部分（虛線為裁剪線），得到圖2所示的簡易書架．若一只蜘蛛從該書架的頂點(diǎn)A出發(fā)，沿書架內(nèi)壁爬行到頂點(diǎn)24．（2023上·河南鄭州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖是一個(gè)供滑板愛好者使用的U型池，該U型池可以看作是一個(gè)長方體去掉一個(gè)半圓柱而成，中間可供滑行部分的截面是半徑為4m的半圓，其邊緣AB=CD=20m，點(diǎn)E在CD上，CE=4m，一滑行愛好者從A點(diǎn)滑行到E點(diǎn)，則他滑行的最短距離為m（π的值為

25．（2023上·山東東營·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖是一個(gè)長方體盒子，其長，寬、高分別為4，2，9，用一根細(xì)線繞側(cè)面綁在點(diǎn)A，B處，不計(jì)線頭，細(xì)線的最短長度為．

26．（2023上·河南鄭州·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，一個(gè)長方體形的木柜放在墻角處（與墻面和地面均沒有縫隙），有一只螞蟻從柜角A處沿著木柜表面爬到柜角C1

(1)請你在備用圖中畫出螞蟻能夠最快到達(dá)目的地的可能路徑；(2)當(dāng)AB=BC=4，【考試題型7】正方體的最短距離27．（2023上·山東青島·八年級(jí)青島大學(xué)附屬中學(xué)校考期中）如圖，有一棱長為3dm的正方體盒子，現(xiàn)要按圖中箭頭所指方向從點(diǎn)A到點(diǎn)D拉一條捆綁線繩，使線繩經(jīng)過ABFE、BCGF、EFGH、CDHG四個(gè)面，則所需捆綁線繩的長至少為（

）dm．A．15 B．9 C．313 D．28．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考一模）如圖，用7個(gè)棱長為1的正方體搭成一個(gè)幾何體，沿著該幾何體的表面