七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)期末壓軸題試卷及答案（一）培優(yōu)試題

一、解答題

1.如圖，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,3）fB點(diǎn)的坐標(biāo)為（?3,0）,D為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)且不

與B,0重合，將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得線段AE,使得AE_LAD,且AE=AD,連

接BE交y軸于點(diǎn)M.

（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)D在線段OB的延長線上時(shí)，

①若D點(diǎn)的坐標(biāo)為（?5,0）,求點(diǎn)E的坐標(biāo).

②求證：M為BE的中點(diǎn).

③探究：若在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過程中，器■的值是否是定值？如果是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；如

果不是，請(qǐng)說明理由.

（1）如圖①,CD//OE,若/4。8=90。，N08=120°,求N8OE的度數(shù)；

（2）在①中，將射線OE沿射線08平移得?！辏ㄈ鐖D②），若N408=a,探究NOCD

與N8OE的關(guān)系（用含a的代數(shù)式表示）

（3）在②中，過點(diǎn)。，作08的垂線，與NOCD的平分線交于點(diǎn)P（如圖③），若NCP。，

=90。，探究NAOB與N8OE的關(guān)系.

圖①圖②圖③

3.已知，如圖：射線在:分別與直線A3、CO相交于E、F兩點(diǎn),NPFD的角平分線與

直線A8相交于點(diǎn)M,射線交于點(diǎn)N,設(shè)NPFM=a。，NEMF=00且

（a-35）2+|/?-a|=0.

（1）a=,P=:直線48與CO的位置關(guān)系是；

（2）如圖，若點(diǎn)G是射線上任意一點(diǎn)，旦ZMGH=/PNF,試找出NBWN與NG”/

之間存在一個(gè)什么確定的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論.

（3）若將圖中的射線尸M繞著端點(diǎn)尸逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（如圖）分別與AB、C。相交于點(diǎn)

M和點(diǎn)M時(shí)，作/加屈的角平分線M?與射線QW相交于點(diǎn)。，問在旋轉(zhuǎn)的過程中

4.已知，ABWCD.點(diǎn)M在A8上，點(diǎn)2在CU上.

（1）如圖1中，ZBME./￡、NEND的數(shù)量關(guān)系為：:（不需要證明）

如圖2中，ZBMF.NF、NFNO的數(shù)量關(guān)系為：；（不需要證明）

（2）如圖3中，NE平分NFND,M8平分NFME,且2/E+/F=180°,求NFME的度

數(shù)；

（3）如圖4中，ZBME=60°,EF平分/MEN,NP平分乙END,且￡QIINP,則NFEQ的大

小是否發(fā)生變化，若變化，請(qǐng)說明理由，若不變化，求出NFEQ的度數(shù).

F

5.已知，如圖1,射線PE分別與直線48,C。相交于E、F兩點(diǎn)，NPF。的平分線與直線

48相交于點(diǎn)射線交CD于點(diǎn)N,設(shè)NPFM=a。，ZEMF=6°,且（40-2a）2+|6

-20|=0

圖1圖2圖3

（1）a=____,6=；直線4B與CO的位置關(guān)系是；

（2）如圖2,若點(diǎn)G、H分別在射線M4和線段MF上，且NMGH=4PNF,試找出NFMN

與NG的之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（3）若將圖中的射線PM繞著端點(diǎn)P逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（如圖3）,分別與A8、CD相交于

點(diǎn)Ml和點(diǎn)川1時(shí)?，作NPM18的角平分線與射線FM相交于點(diǎn)Q,問在旋轉(zhuǎn)的過程中

差工的值是否改變？若不變，請(qǐng)求出其值；若變化，請(qǐng)說明理由.

6.已知：如圖（1）直線48、CD被直線M/V所截，Z1=Z2.

（1）求證：AB//CD；

（2）如圖（2）,點(diǎn)￡在48,CD之間的直線MN上，P、Q分別在直線A8、CD上，連接

PE、EQ,PF平分NBPE,QF平分NEQD,則NPEQ和NPFQ之間有什么數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接

寫出你的結(jié)論；

（3）如圖（3）,在（2）的條件下，過P點(diǎn)、作PH〃EQ交CD于點(diǎn)H,連接PQ,若PQ平

分乙EPH,ZQPF：ZEQF=1：5,求NPHQ的度數(shù).

7.請(qǐng)觀察下列等式，找出規(guī)律并回答以下問題.

1^1111ill111

b^2-1-2*2^3-2-3>熱一家"4^5"4-5....

（1）按照這個(gè)規(guī)律寫下去，第5個(gè)等式是：；第，個(gè)等式是：

（2）①計(jì)算:b^2+2^33^4+49x50

②若Q為最小的正整數(shù)，g:0,求:

~ab+(a+l)("+l)+(〃+2)(b+2),(〃+3)(b+3)++(a+97)(b+97),

8.閱讀材料:求1+2+22+23+24+...+2?。"的值.

解：SS=l+2+22+23+24+...+22017,

將等式兩邊同時(shí)乘以2得：

2S=2+22+23+24+...+22017+22018

將下式減去上式得2s6=22。鞏1即S=22018-l

即1+2+22+23+24+...+22017=22018-1

請(qǐng)你仿照此法計(jì)算：

(1)1+2+22+23+...+29=；

(2)1+5+52+53+54+...+5。(其中n為正整數(shù))；

(3)1+2X2+3X22+4X23+...+9X28+10X29.

9.若一個(gè)四位數(shù)t的前兩位數(shù)字相同且各位數(shù)字均不為0,則稱這個(gè)數(shù)為“前介數(shù)〃；若把

這個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字放到前三位數(shù)字組成的數(shù)的前面組成一個(gè)新的四位數(shù)，則稱這個(gè)新的四

位數(shù)為“中介數(shù)”；記一個(gè)“前介數(shù)”與它的“中介數(shù)”的差為P(t).例如，5536前兩位數(shù)字

相同，所以5536為“前介數(shù)";則6553就為它的〃中介數(shù)"，P(5536)=5536-6553=-

1017.

(1)P(2215)=___,P(6655)=.

(2)求證：任意一個(gè)"前介數(shù)"3P(t)一定能被9整除.

(3)若一個(gè)千位數(shù)字為2的“前介數(shù)”t能被6整除，它的"中介數(shù)"能被2整除，請(qǐng)求出滿

足條件的P(O的最大值.

10.。是不為1的有理數(shù)，我們把丁匚稱為。的差倒數(shù).如：2的差倒數(shù)是」=7,現(xiàn)已

\-a1-2

知。產(chǎn);，。2是G的差倒數(shù)，6是。2的差倒數(shù)，。4是。3的差倒數(shù)，…

(1)求。2，。3,。4的值；

⑵根據(jù)⑴的計(jì)算結(jié)果，請(qǐng)猜想并寫出。2016?。20*-。2018的值；

369

⑶計(jì)算：a3+a6+a9+...+CF99"的值.

11.觀察下列各式：

(X—1)(X+1)=X2—1

(x—l)(x2+x+l)=x3—1

(x—l)(x3+x2+x+l)=x4—1

(1)根據(jù)以上規(guī)律，貝|J(X—1)(X6+X5+X4+X3+X2+X+I)=

(2)你能否由此歸納出一般性規(guī)律(X-l)(Xn+Xn—1+xL2+...+x+l)=

(3)根據(jù)以上規(guī)律求1+3+32+...+349+35。的結(jié)果.

12.規(guī)律探究，觀察下列等式：

第1個(gè)等式：4=丁==:、卜一9

第2個(gè)等式：%=擊=昂2)

第3個(gè)等式：/

第4個(gè)等式：…焉

請(qǐng)回答下列問題:

(1)按以上規(guī)律寫出第5個(gè)等式：==

(2)用含n的式子表示第n個(gè)等式：==(n為正整數(shù))

(3)求4+02+/+/++a\w

13.如圖所示，A(1,0)，點(diǎn)8在y軸上，將三角形OA8沿x軸負(fù)方向平移，平移后的

圖形為三角形OEC,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-3,2).

(1)直接寫出點(diǎn)￡的坐標(biāo)；

(2)在四邊形488中，點(diǎn)P從點(diǎn)。出發(fā)，沿O818C1CO移動(dòng)，若點(diǎn)P的速度為每秒1

個(gè)單位長度，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，請(qǐng)解決以下問題；

①當(dāng)t為多少秒時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；

②當(dāng)t為多少秒時(shí)，三角形PE4的面積為2,求此時(shí)P的坐標(biāo)

14.如圖，已知AM〃BN,點(diǎn)P是射線AW上一動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)A不重合)，BC、8。分別平

分乙曲和NP8N,分別交射線41/于點(diǎn)CD.

(1)當(dāng)NA=60°時(shí)，NA8N的度數(shù)是；

(2)當(dāng)4=x。，求NC8D的度數(shù)(用x的代數(shù)式表示)；

(3)當(dāng)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)時(shí)，ZAD8與NAP8的度數(shù)之比是否隨點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而發(fā)生變化?若不變

化，請(qǐng)求出這個(gè)比值；若變化，請(qǐng)寫出變化規(guī)律.

(4)當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到使NAC8=NA8。時(shí)，請(qǐng)直接寫出〃+的度數(shù).

15.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，A(a,0),C(b,2),且滿足m+2尸+病》=0,

過C作a_Lx軸于B,

(1)求a,b的值；

(2)在y軸上是否存在點(diǎn)P,使得△ABC和△OCP的面積相等，若存在，求出點(diǎn)P坐標(biāo),

若不存在，試說明理由.

(3)若過B作BDIIAC交y軸于D,且AE,DE分別平分NCAB,ZODB,如圖2,圖3,

①求：NCAB+NODB的度數(shù)；

②求：NAED的度數(shù).

16.中國傳統(tǒng)節(jié)口“端午節(jié)〃期間，某商場(chǎng)開展了“歡度端午，回饋顧客”的讓利促銷活動(dòng)，

對(duì)部分品牌的粽子進(jìn)行了打折銷售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折.已知

打折前，買6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需660元；打折后，買5盒甲品牌粽子和4

盒乙品牌粽子需520元.

(1)打折前，每盒甲、乙品牌粽子分別為多少元？

(2)在商場(chǎng)讓利促銷活動(dòng)期間，某敬老院準(zhǔn)備購買甲、乙兩種品牌粽子共40盒，總費(fèi)用

不超過2300元，問敬老院最多可購買多少盒乙品牌粽子？

17.如圖1,己知，點(diǎn)4(1,a),AHJLx軸，垂足為"，將線段AO平移至線段8C,點(diǎn)

B(b,0),其中點(diǎn)A與點(diǎn)8對(duì)應(yīng)，點(diǎn)。與點(diǎn)C對(duì)應(yīng)，。、b滿足/^-(8-3)2=0.

(1)填空：①直接寫出48、C三點(diǎn)的坐標(biāo)4)、8()、C()；

②直接寫出三角形40〃的面積.

(2)如圖1,若點(diǎn)。(m,用在線段。4上，證明：4m=n.

(3)如圖2,連OC,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)8開始在x軸上以每秒2個(gè)單位的速度向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)

點(diǎn)Q從點(diǎn)。開始在V軸上以每秒1個(gè)單位的速度向下運(yùn)動(dòng).若經(jīng)過t秒，三角形40P與三

角形COQ的面積相等，試求t的值及點(diǎn)P的坐標(biāo).

18.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A,8的坐標(biāo)分別為(2,0),(-2,0),現(xiàn)將線段48先向上平

移3個(gè)單位,再向右平移1個(gè)單位，得到線段。C,連接A。，BC.

（2）如圖1,在卜軸上是否存在點(diǎn)P,連接R4,依，使=S四邊形”8?若存在這樣的

點(diǎn)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)：若不存在，試說明理由；

（3）如圖2,在直線8上是否存在點(diǎn)。，連接QB,使工℃B=；S齦形.Be?若存在這樣

試說明理由.

2

（4）在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)使四邊形AB8?若存在這樣的點(diǎn)〃，直接寫出

點(diǎn)”的坐標(biāo)的規(guī)律；若不存在，請(qǐng)說明理由.

19.數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小新和小葵各自拿著不同的長方形紙片在做數(shù)學(xué)問題探究.

（1）小新經(jīng)過測(cè)量和計(jì)算得到長方形紙片的長寬之比為3：2,面積為30,請(qǐng)求出該長方

形紙片的長和寬；

（2）小葵在長方形內(nèi)畫出邊長為。，b的兩個(gè)正方形（如圖所示），其中小正方形的一條

邊在人正方形的一條邊上，她經(jīng)過測(cè)量和計(jì)算得到長方形紙片的周長為50,陰影部分兩個(gè)

長方形的周長之和為30,由此她判斷大正方形的面積為100,間小葵的判斷正確嗎？請(qǐng)說

明理由.

20.每年的6月5日為世界環(huán)保日，為提倡低碳環(huán)保，某公司決定購買10臺(tái)節(jié)省能源的

新機(jī)器，現(xiàn)有甲、乙兩種型號(hào)的機(jī)器可選，其中每臺(tái)的價(jià)格、產(chǎn)量如下表：

甲型機(jī)器乙型機(jī)器

價(jià)格(萬元/臺(tái))ab

產(chǎn)量(噸/月)240180

經(jīng)調(diào)查：購買一臺(tái)甲型機(jī)器比購買一臺(tái)乙型機(jī)器多12萬元，購買2臺(tái)甲型機(jī)器比購買3

臺(tái)乙型機(jī)器多6萬元.

(1)求。、b的值；

(2)若該公司購買新機(jī)器的資金不超過216萬元，請(qǐng)問該公司有哪幾種購買方案？

(3)在(2)的條件下，若公司要求每月的產(chǎn)量不低于1890噸，請(qǐng)你為該公司設(shè)計(jì)一

種最省錢的購買方案.

21.數(shù)軸上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)N,如果點(diǎn)M始終在點(diǎn)N的左側(cè)，我們稱作點(diǎn)M是點(diǎn)N的“追

趕點(diǎn)”.如圖，數(shù)軸上有2個(gè)點(diǎn)4B,它們表示的數(shù)分別為?3,1,已知點(diǎn)M是點(diǎn)N的"追

趕點(diǎn)”，且M,/V表示的數(shù)分別為m,n.

(1)由題意得：點(diǎn)4是點(diǎn)8的“追趕點(diǎn)”，48=l-(-3)=4(AB表示線段48的長，以下相同)；

類似的，MN=.

(2)在4M,N三點(diǎn)中，若其口一個(gè)點(diǎn)是另外兩個(gè)點(diǎn)所構(gòu)成線段的中點(diǎn)，請(qǐng)用含m的代

數(shù)式來表示m

4

(3)若AM=BN,MN=-BM,求必和。值.

AB

------------------------1￡----------------->

^301

22.平面直角坐標(biāo)系中，A(a,0),B(0,b),a,b滿足

2

(2a+b+5)+Ja+2b-2=0f將線段AB平移得到CD,A,8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為C,D,其中

點(diǎn)C在y軸負(fù)半軸上.

圖I圖2

(1)求48兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

BF-OF

(2)如圖1,連4D交8c于點(diǎn)E,若點(diǎn)E在y軸正半軸上，求產(chǎn)的值;

(3)如圖2,點(diǎn)F,G分別在CD,8D的延長線上，連結(jié)FG,/MC的角平分線與NDFG

的角平分線交于點(diǎn)H,求NG與NH之間的數(shù)量關(guān)系.

23.在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo)滿足x-2y+3=0,則我們稱點(diǎn)P為“健康

點(diǎn)”：若點(diǎn)Q(x,y)的坐標(biāo)滿足x+y-6=0,則我們稱點(diǎn)Q為"快樂點(diǎn)

(1)若點(diǎn)4既是“健康點(diǎn)〃又是"快樂點(diǎn)”，則點(diǎn)4的坐標(biāo)為；

（2）在（1）的條件下，若8是x軸上的“健康點(diǎn)〃，C是y軸上的“快樂點(diǎn)〃，求AABC的面

積；

（3）在（2）的條件下，若P為x軸上一點(diǎn)，且A8PC與△4BC面積相等，直接寫出點(diǎn)P

的坐標(biāo).

24.閱讀感悟：

有些關(guān)于方程組的問題，要求的結(jié)果不是每一個(gè)未知數(shù)的值，而是關(guān)于未知數(shù)的代數(shù)式的

值，如以下問題：

已知實(shí)數(shù)X、滿足3x—y=5①，2x+3y=7②，求工一4），和7x+5y的值.

本題常規(guī)思路是將①②兩式聯(lián)立組成方程組，解得匯、y的值再代入欲求值的代數(shù)式得到

答案，常規(guī)思路運(yùn)算量比較大.其實(shí)，仔細(xì)觀察兩個(gè)方程未知數(shù)的系數(shù)之間的關(guān)系，本題還

可以通過適當(dāng)變形整體求得代數(shù)式的值，如由①一②可得％-4y=-2,由①+②x2可得

7x+5），=19.這樣的解題思想就是通常所說的“整體思想〃.

解決問題：

（1）已知二元一次方程組則x-y=_______,x+y=_______:

[x+2y=8

（2）某班級(jí)組織活動(dòng)購買小獎(jiǎng)品，買20支水筆、3塊橡皮、2本記事本共需35元，買39

支水筆、5塊橡皮、3本記事本工序62元，則購買6支水筆、6塊橡皮、6本記事本共需

多少元？

（3）對(duì)于實(shí)數(shù)“、九定義新運(yùn)算：x*y=or+勿+c,其中。、b、c是常數(shù)，等式右邊

是通常的加法和乘法運(yùn)算.已知3*5=15,4*7=28,那么1*1=.

25.某治污公司決定購買10臺(tái)污水處理設(shè)備.現(xiàn)有甲、乙兩種型號(hào)的設(shè)備可供選擇，其中

每臺(tái)的價(jià)格與月處理污水量如下表：

甲型乙型

價(jià)格（萬元/臺(tái)）Xy

處理污水量（噸/月）300260

經(jīng)調(diào)查：購買一臺(tái)甲型設(shè)備比購買一臺(tái)乙型設(shè)備多2萬元，購買3臺(tái)甲型設(shè)備比購買4臺(tái)

乙型設(shè)備少2萬元.

（1）求x,y的值；

（2）如果治污公司購買污水處理設(shè)備的資金不超過91萬元，求該治污公司有哪幾種購買

方案；

（3）在（2）的條件下，如果月處理污水量不低于2750噸，為了節(jié)約資金，請(qǐng)為該公司設(shè)

計(jì)一種最省錢的購買方案.

26.某數(shù)碼專營店銷售A,B兩種品牌智能手機(jī)，這兩種手機(jī)的進(jìn)價(jià)和售價(jià)如表所示：

AB

進(jìn)價(jià)（元/

33003700

部）

售價(jià)（元/

38004300

部）

（1）該店銷售記錄顯示，三月份銷售A、B兩種手機(jī)共34部，且銷售A種手機(jī)的利潤恰

好是銷售B種手機(jī)利潤的2倍，求該店三月份售出A種手機(jī)和B種手機(jī)各多少部？

（2）根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，該店四月份計(jì)劃購進(jìn)這兩種手機(jī)共40部，要求購進(jìn)B種手機(jī)數(shù)不低

于A種手機(jī)數(shù)的|,用于購買這兩種手機(jī)的資金低于140000元，請(qǐng)通過計(jì)算設(shè)計(jì)所有可

能的進(jìn)貨方案.

27.某體育拓展中心的門票每張10元，一次性使用考慮到人們的不同需求，也為了吸引更

多的顧客，該拓展中心除保留原來的售票方法外，還推出了一種“購買個(gè)人年票”（個(gè)人年

票從購買日起，可供持票者使用一年）的售票方法.年票分A、B兩類：A類年票每張120

元，持票者可不限次進(jìn)入中心，且無需再購買門票；B類年票每張60元，持票者進(jìn)入中心

時(shí)，需再購買門票，每次2元.

（1）小麗計(jì)劃在一年中花努80元在該中心的門票匕如果只能詵擇一種購買門票的方

式，她怎樣購票比較合算？

（2）小亮每年進(jìn)入該中心的次數(shù)約20次，他采取哪種購票方式比較合算？

（3）小明根據(jù)自己進(jìn)入拓展中心的次數(shù)，購買了A類年票，請(qǐng)問他一年中進(jìn)入該中心不

低于多少次？

28.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)分別為（2,-4）,（c,O）,且a,c滿

足方程（2a-4）^+/-3=0為二元一次方程.

(1)求A,。的坐標(biāo).

(2)若點(diǎn)。為y軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

①如圖1,當(dāng)AD//8C時(shí)、與ZAC8的平分線交于點(diǎn)P,求NP的度數(shù)；

②如圖2,連接80，交X軸于點(diǎn)E.若成立.設(shè)動(dòng)點(diǎn)。的坐標(biāo)為(04)，求

d的取值范圍.

29.若關(guān)于x的方程ax+b=0(a#0)的解與關(guān)于y的方程cy+d=0(CHO)的解滿足-1次

-y<l,則稱方程ax+b=0(a*0)與方程cy+d=O(c*0)是"友好方程例如：方程2x-l

=0的解是x=0.5,方程y-1=0的解是y=l,因?yàn)?Kx?ySl,方程2x-l=0與方程y

?1=0是“友好方程

(1)請(qǐng)通過計(jì)算判斷方程2x-9=5x-2與方程5(y-1)-2(1-y)=-34-2y是不是

“友好方程

(2)若關(guān)于x的方程3x-3+4(x-1)=0與關(guān)于y的方程哲史+y=2k+l是"友好方

程"，請(qǐng)你求出k的最大值和最小值.

30.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，A(a,0)是x軸正半軸上一點(diǎn)，C是第四象限內(nèi)一

(2)如圖2,設(shè)D為線段0B上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)AD_LAC時(shí)，/ODA的角平分線與NCAE的角

平分線的反向延長線交于點(diǎn)P，求NAPD的度數(shù)；(點(diǎn)E在x軸的正半軸).

(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)D在線段0B上運(yùn)動(dòng)時(shí)，作DM_LAD交BC于M點(diǎn)，ZBMD>NDA。的

平分線交于N點(diǎn)，則點(diǎn)D在運(yùn)動(dòng)過程中，NN的大小是否會(huì)發(fā)生變化？若不變化，求出其

值；若變化，請(qǐng)說明理由.

【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請(qǐng)不要?jiǎng)h除

一、解答題

1.(1)①后(3,-2)②見解析；③空■=2，理由見解析；⑵0D+0A=2AM或0A

BD2

-0D=2AM

【分析】

(1)①過點(diǎn)E作EH_Ly軸于H.證明△DOa△AHE(AAS)可得結(jié)論.

②證明ABOM堂△EHM(AAS)可得結(jié)論.

③是定值，證明△BOM2△EHM可得結(jié)論.

(2)根據(jù)點(diǎn)D在點(diǎn)B左側(cè)和右側(cè)分類討論，分別畫出對(duì)應(yīng)的圖形，根據(jù)全等三角形的判

定及性質(zhì)即可分別求出結(jié)論.

【詳解】

解：(1)①過點(diǎn)E作EH_Ly軸于H.

A

/A(0,3),B(-3,0),D(-5,0),

OA=OB=3,OD=5,

,/ZAOD=ZAHE=ZDAE=90°,

NDAO+NEAH=90°,ZEAH+ZAEH=90°,

/.ZDAO=NAEH,

△D0A2△AHE(AAS),

AH=OD=5,EH=0A=3,

OH=AH-OA=2,

/.E(3,-2).

EH_Ly軸，

ZEHO=ZBOH=90°,

/ZBMO=ZEMH,0B=EH=3,

△BOM些△EHM(AAS),

BM=EM.

③結(jié)論：*

理由：,/△DOA^△AHE,

OD=AH,

OA=OB,

BD=OH,

△BOM號(hào)△EHM,

OM=MH,

/.OM=yOH=yBD.

(2)結(jié)論：OA+OD=2AMfigOA-OD=2AM.

理由：當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，

,/△BOM金△EHM,△DO給△AHE

OM=MH,OD=AH

OH=2OM,OD-OB=AH-OA

BD=OH

BD=2OM,

OD-OA=2(AM-AO),

/.OD+OA=2AM.

當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，過點(diǎn)E作EH±y軸于點(diǎn)H

ZAOD=ZAHE=ZDAE=90°,

ZDAO+ZEAH=90°,ZEAH+ZAEH=90°,

/.ZDAO=ZAEH,

AD=AE

「.△DOA合△AHE(AAS),

/.EH=AO=3=OB,OD=AH

/.ZEHO=ZBOH=90°,

,/ZBMO=ZEMH,0B=EH=3,

△BOM登△EHM(AAS),

OM=MH

OA+OD=OA+AH=OH=OM+MH=2MH=2(AM+AH)=2(AM+OD)

整理可得OA-OD=2AM.

綜上：OA+OD=2AM或OA-OD=2AM.

【點(diǎn)睛】

此題考查的是全等三角形的判定及性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和平面直角坐標(biāo)系，掌握全等三角形

的判定及性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和點(diǎn)的坐標(biāo)與線段長度的關(guān)系是解決此題的關(guān)鍵.

2.(1)150°；(2)ZOCD+N8?！?360。r；(3)ZAOB=ABO'E'

【分析】

(1)先根據(jù)平行線的性質(zhì)得到/AOE的度數(shù)，再根據(jù)直角、周角的定義即可求得N8OE的

度數(shù)；

(2)如圖②，過。點(diǎn)作OFIICD,根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)可得NOCD、N8OF的數(shù)量關(guān)

系；

(3)由已知推出CPII08,得到N40B+NPCO=180。，結(jié)合角平分線的定義可推出

ZOCD=2ZPCO=360°-2ZAOB,根據(jù)(2)/OCD+Z80'F=360°-/AOB,進(jìn)而推出

Z4O8=NBOE.

【詳解】

解：(1)???CDIIOE,

NAOE=A08=120。，

Z8OE=3600-ZAOE-Z.408=360°-90°-120°=150°；

(2)N2C0+NBO'F=3600-a.

證明：如圖②，過。點(diǎn)作OFIICD,

圖②

「CDIIOE,

：.0F\lOE,

/.Z4OF=1800-ZOCD,Z80F=NE'0'0=180°-NBOE,

：.ZAOB=ZAOF+ZeOF=180°-Z08+1800-/8O'E'=360°-(ZOCD+ZBOE)=a,

ZOCD+Z8O'F=360°-a；

(3)ZAOB=ABOE.

證明：??./CPO'=90°,

PO」CP,

P0」08,

CPIIOB,

...ZPCO+Z408=180°,

/.2ZPCO=360°-2ZAOBt

「CP是NOCD的平分線，

Z0CD=2Z.PCO=3600-2ZAOB,

?.?由(2)知，NOCD+N8O'F=360°?a=360：NA08,

3600-2ZAOB+A8OE=3600-NAOB,

/.ZAOB=ABOE.

【點(diǎn)睛】

此題考查了平行線的判定和性質(zhì)，平移的性質(zhì)，直角的定義，角平分線的定義，正確作出

輔助線是解決問題的關(guān)鍵.

3.(1)35,35,平行；(2)NFMN+NGHF=180。,證明見解析：(3)不變，2

【分析】

(1)根據(jù)(。-35)2+|0-?|=0,即可計(jì)算a和6的值，再根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等可證4811CD；

(2)先根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等證G”llPN,再根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)和等量代換得出

ZFMN+Z.GHF=180°；

(3)作NPEMi的平分線交MiQ的延長線于R,先根據(jù)同位角相等證￡RIIFQ,得

ZFQMkNR,設(shè)NPERMREB=x,ZPMiR=NRMiB=y,得出/EPMi=2NR,即可得

【詳解】

解：(1)v(a-35)2+|6-a|=0,

a=6=35>

ZPFM=ZMFN=350,ZEMF=35\

ZEMF=NMFN,

??.4811CD：

(2)ZFMN+AGHF=130°；

理由：由(1)得4811CD,

ZMNFMPME,

ZMGHMMNF,

ZPME=NMGH,

：.GHWPN,

：.ZGHM必FMN,

■：ZGHF+NGHM=180°,

/.ZFMN+NGHF=180°；

(3)置U的值不變，為2,

理由：如圖3中，作NP￡Mi的平分線交MiQ的延長線于8,

「4811CD,

ZPEMi=APFN,

4PER=；NPEMi,NPFQ=；NPFN,

ZPER=NPFQ,

ERWFQ,

B

ZFQMi=ZR,

設(shè)NPERMREB=x,ZPMiR=NRMiB=y,

[y=x+ZR

n1

“有：[2y=2x+ZEPMl

可得NFPMi=2ZR,

/.ZEPMi=2NFQMi，

NEPM、2FPN\

，，"QM=N。2

【點(diǎn)睛】

本題主要考查平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握內(nèi)錯(cuò)角相等證平行，平行線同旁內(nèi)角互補(bǔ)等

知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

4.(1)ZBME=Z.MEN-ZEND：4BMF=4MFN+乙FND；(2)120°：(3)不變，30°

【分析】

(1)過E作EHII4B,易得EHIIABIICD,根據(jù)平行線的性質(zhì)可求解：過F作FVIIAB,易

得FHIIA8IICD,根據(jù)平行線的性質(zhì)可求解；

(2)根據(jù)(1)的結(jié)論及角平分線的定義可得2(NBME+NEND)+ZBMF-Z.FA/D=180°,

可求解N8MF=60。，進(jìn)而可求解；

(3)根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義可推知NF￡a=g/8ME,進(jìn)而可求解.

【詳解】

解：(1)過E作EHIMB,如圖1,

Z8ME=NMEH,

：ABWCD,

/.HEWCD,

：.ZEND=4HEN,

ZMEN=NME”+NHEN=Z8/WE+NEND,

即NBME=Z.MEN-ZEND.

如圖2,過F作出II48,

/.ZBMF=ZMFK,

「4811CD,

FHWCD,

ZFND=,KFN,

：.ZMFN=NMFK-ZKFN=NBMF-ZFND,

圖2

故答案為NBME=NMEN-ZEND；ZBMF=NMFN+NFND.

(2)由(1)得NBME=ZMEN-ZEND；ZBMF=NMF/V+NFND.

NE平分NFND,MB平分/FME,

：.ZFME=Z.8ME+NBMF,ZFND=￡FNE+NEND,

,/2ZMEN+NMFN=130°,

：.2(Z8ME+NEND)+zBMF-Z.FND=180°,

/.2Z8ME+2NEND+NBMF-ZFA/D=180°,

即2N8MF+NFND+NBMF-ZFND=130°,

解得/BMF=60°,

/.ZFME=2Z.BMF=12O0；

(3)NFEQ的大小沒發(fā)生變化，ZFFQ=30°.

由(1)知：NMEN=4BME+NEND,

■：EF平分NMEN,NP平分/END.

二.NFEN=^NMEN=g(ZBM￡+zEND),ZENP=ZEND,

-：EQIINP,

/.ZNEQ=￡ENP,

NFEQ=NFEN-NNEQ=4(N8ME+NEN。)-yZE/VD=yZ

ZBME=60°f

ZFEQ=；x60°=30°.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查平行線的性質(zhì)及角平分線的定義，作平行線的輔助線是解題的關(guān)鍵.

"PN一一丁*

5.(1)20,20,AB//CD；(2)NEIW+NG〃尸=180°；(3)&?的值不變,

NFPN、一

11—乙

【分析】

（1）根據(jù)（40-2a）2+|/7-20|=0,即可計(jì)算。和萬的值，再根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等可證A8//CQ；

（2）先根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等證G////PN,再根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)和等量代換得出

NFMN+NGHF=180

（3）作/尸EM的平分線交M。的延長線于R,先根據(jù)同位角相等證ER//A2,得

NFQM]=/R,設(shè)/PER=/REB=x,/PMR=NR%8=y,得出/即叫=2/火，即可

得必=2

付ze

【詳解】

解：（1）（40-2。尸+|￡-20|=0,

.?.40-2?=0,4-20=0,

.?.a=/7=20,

.?."FM=NMFN=20°,4EMF=20°,

:.ZEMF=ZMFNy

:.AB//CDi

故答案為：20、20,AB33、

（2）NFMN+NGHF=18O°；

理由：由（1）得AB//C￡>,

;.ZMNF=GME,

ZMGH=^MNF,

:2PME=/MGH,

..GH//PN,

:.NGHM=NFMN,

4GHFtNGHM=1琳，

"FMN+/GHF=1800；

/FPNZFPN、

（3）2」的值不變,=2；

NQ

理由：如圖3中，作/PEM的平分線交的延長線于R,

AB//CD,

4PEM\=Z.PFN,

/PER='/PEM\,/PFQ=L/PFN,

22

:.ZPER=ZPFQt

:.ER//FQt

圖3

/.4FQM、=NR,

設(shè)/PER=/REB=x,NPM】R=/RMiB=y,

y=x+ZR

則有：c/mu，

2y=2x+Z.EPMy

可得NEPMjNR,

:.NEPMi=2"QMi,

,"PMy

NFQMi.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握內(nèi)錯(cuò)角相等證平行，平行線同旁內(nèi)角互補(bǔ)等

知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

6.(1)見解析；(2)NPEQ+2ZPFQ=360°；(3)30°

【分析】

(1)首先證明N1=N3,易證得4B〃CD：

(2)如圖2中，ZPFQ+2ZPFQ=360°.EH//AB.理由平行線的性質(zhì)即可證明；

(3)如圖3中，設(shè)NQPF=y,ZPHQ=x.NEPQ=z,則NEQF=NFQH=5y,想辦法構(gòu)建

方程即可解決問題；

【詳解】

Z1=Z3,

AB//CD.

(2)結(jié)論：如圖2中，ZPEQ+2APFQ=360°.

理由：作EH〃AB.

M

B

7%0

N(2)

???AB//CD,EH//AB,

/.EH//CD,

：.Z1=Z2,Z3=Z4,

Z2+Z3=Z1+Z4,

ZPEQ=/1+Z4,

同法可證：ZPFQ=N3PF+NFQD.

/ZBPE=2ZBPF,NEQD=2/FQD,Z1+ZBPE=130°,Z4+ZEQD=180%

Z1+Z4+ZEQD+NBP￡=2xl80c,

KPzP￡Q+2(NFQD十/BPF)=3G0°,

ZPEQ+2NPFQ=360°.

(3)如圖3中，設(shè)NQPF=y,ZPHQ=x.ZEPQ=z,則/￡QF=ZFQH=5y,

???EQ”PH,

Z￡QC=NPHQ=x,

x+10y=180°,

AB//CD.

：.Z8PH=NPHQ=x,

「PF平分NBPE,

：.ZEPQ+ZFPQ=ZFPH+NBPH,

ZFPH=y+z-x,

?--PQ平分NEPH,

Z=y+y+z-x,

?.x=2y,

/.12y=180°,

y=15°,

...x=30°,

ZPHQ=30°.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，角平分線的定義等知識(shí).（2）中能正確作出輔助線是解

題的關(guān)鍵；（3）中能熟練掌握相關(guān)性質(zhì)，找到角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

7?⑴小十*⑵①2②蹤

【分析】

（1）根據(jù)規(guī)律可■得第5個(gè)算式；根據(jù)規(guī)律可得第n個(gè)算式；

（2）①根據(jù)運(yùn)算規(guī)律可得結(jié)果.

②利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出。與b的值，代入原式后拆項(xiàng)變形，抵消即可得到結(jié)果.

【詳解】

1.I111

（D根據(jù)規(guī)律得：第5個(gè)等式是息第〃個(gè)等式是聲包二7一區(qū)1；

(2)①+—^—+1

+-----,

,1x22x33x449x50

11111111

=----+-----+-----++-----

1223344950

=1-—,

50

=49

~50：

②。為最小的正整數(shù),7^3=0,

a=1，b=3，

11111

原式=----1-----1-----1-----brLH-------,

1x32x43x54x698x100

1八1、4x

=”匕）

224235246298100

111111

(,一+———+―——+———++-——-),

r324354698100

lll1、

=-x（zll+-----------）,

2299100

=14651

-19800,

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了數(shù)字的變化規(guī)律，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，運(yùn)用規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵.

8.(1)210-1；(2)；(3)9x210+l.

4

【分析】

（1）根據(jù)題目中材料可以得到用類比的方法得到1+2+22+23+...+29的值；

（2）根據(jù)題目中材料可以得到用類比的方法得到1+5+52+53+54+...+?的值.

（3）根據(jù)題目中的信息，運(yùn)用類比的數(shù)學(xué)思想可以解答本題.

【詳解】

解：（1）設(shè)S=l+2+22+23+...+29,

將等式兩邊同時(shí)乘以2得：

2S=2+22+23+24+...+29+210,

將下式減去上式得2S-S=21O-1,即S=210-l,

即1+2+22+23+...+29=201.

故答案為21°-1；

(2)S=l+5+52+53+54+...+5%

將等式兩邊同時(shí)乘以5得：

5S=5+52+53+54+55+...+5n+5n*1,

將下式減去上式得5S-S=5n+1-1,即S=-——,

4

即l+5+52+53+54+...+5n=^—；

4

(3)設(shè)S=1+2X2+3X22+4X23+...+9X28+10X29,

將等式兩邊同時(shí)乘以2得：

2S=2+2X22+3X23+4X24+...+9X29+10X210,

將上式減去下式得6=1+2+22+23+...+29+10x2】。,

-S=210-l-10x210,

S=9x210+l,

即1+2X2+3X22+4X23+...+9X28+10X2?=9X210+1.

【點(diǎn)睛】

本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算、數(shù)字的變化類，解題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化規(guī)

律.

9.(1)-3006,990；(2)見解析；(3)P(t)的最大值是P(2262)=36.

【分析】

(1)根據(jù)“前介數(shù)與它的“中介數(shù)〃的差為P(t)的定義求解即可；

(2)設(shè)"前介數(shù)”為y7豆且。、b、c均不為0的整數(shù)，即1"、b,c<9,根據(jù)定義得到

P(t)=aabc-caab=9(110?+Z?-lllc),則P(t)一定能被9整除；

(3)設(shè)"前介數(shù)"為，=^7=2200+10a+b,根據(jù)題意得到。+人+4能被3整除，且b只能

取2,4,6,8中的其中一個(gè)數(shù)；/對(duì)應(yīng)的“中介數(shù)"是歷行=1000/?+220+a，得到。只能

取2,4,6,8中的其中一個(gè)數(shù)，計(jì)算P(t)=1980+9a—99?,推出要求P(t)的最大

值，即。要盡量的大，〃要盡量的小，再分類討論即可求解.

【詳解】

(1)解：2215是“前介數(shù)”，其對(duì)應(yīng)的“中介數(shù)”是5221,

P(2215)=2215-5221=-3006；

6655是“前介數(shù)〃，其對(duì)應(yīng)的“中介數(shù)〃是5665,

P(6655)=6655-5665=990；

故答案為：?3006,990；

(2)證明：設(shè)“前介數(shù)〃為/=嬴且。、b、c均為不為。的整數(shù)，即14。、b、c<9,

Z=100()6r+10(k/4-10/?+c=l100ez+10^+c,

又I對(duì)應(yīng)的"中介數(shù)”是不％=I00(k+1004+10a+0=1000c+110a+。，

P(t)=aahc-caah=\\00a+\0t9+c-(1000c+}10?+Z>)

=1100?+10/?+c-1000c-ll0a-Z?

=990?+9Z?-999c

=9(110^+6-111c),

a、b、c均不為。的整數(shù)，

U0a+/TUc為整數(shù),

P(t)一定能被9整除；

(3)證明：設(shè)“前介數(shù)”為，=兩且即1?。、b<9,a、b均為不為。的整數(shù)，

1=2000+200+10〃+力=2200+1*+人，

二f能被6整除，

能被2整除，也能被3整除，

二.b為偶數(shù),且2+2+a+6=a+6+4能被3整除，

又l<b<9,

??b只能取2,4,6,8中的其中一個(gè)數(shù)，

又1對(duì)應(yīng)的"中介數(shù)”是兩;=1000g200+20+a=1000H220+a，

且該“中介數(shù)〃能被2整除，

。為偶數(shù),

又1<a<9,

?.Q只能取2,4,6,8中的其中一個(gè)數(shù)，

P⑴=五%-西;=2200+10〃+6-(1000力+220+。)

=2200+10a+b-1000/?-220-a

=1980+9a-999Z?,

要求P(t)的最大值，即。要盡量的大，〃要盡量的小，

①。的最大值為8,b的最小值為2,但此時(shí)a+b+4=14,

且14不能被3整除，不符合題意，舍去：

②。的最大值為6,6的最小值仍為2,但此時(shí)4+6+4=12,能被3整除，

旦P(t)=2262-2226=36；

③”的最大值仍為8,〃的最小值為4,但此時(shí)a+〃+4=16,

且16不能被3整除，不符合題意，舍去；

其他情況，“減少，b增大,則P(t)減少，

滿足條件的P(t)的最大值是P(2262)=36.

【點(diǎn)睛】

本題考查用新定義解題，根據(jù)新定義，表示出“前介數(shù)”，與其對(duì)應(yīng)的"中介數(shù)”是求解本題

的關(guān)鍵.本題中運(yùn)用到的分類討論思想是重要一種數(shù)學(xué)解題思想方法.

10.(1)82=2,83="1934=

2

（2）a2oi6ea2oi7ea2oi8=-1

(3)333+366+399+...+39$"=-1

【分析】

⑴將a產(chǎn);代入乙中即可求出az,再將az代入求出a3,同樣求出a,即可.

(2)從⑴的計(jì)算結(jié)果可以看出,從a1開始，每三個(gè)數(shù)一循環(huán),而2016+3=672,則a2o16=-

1,32017=y,32018=2然后計(jì)算32016*22017*82018

⑶觀察可得a3、a6.a9、..前9.都等于?1，將-1代入，即可求出結(jié)果.

【詳解】

.._J_

(1)將ai=；,代入;—,得“I=9；

將32=2,代入—！―,得。3=」=1；

1—a1-2

將a3=-l,代入，得％=";~

1-a1-(-1)2

(2)根據(jù)⑴的計(jì)算結(jié)果，從a】開始，每三個(gè)數(shù)一循環(huán)，

而2016+3=672,則32016=-1,32017=y,32018=2

82016*a2017e82018=(-Dx~x2=-1

2

(3)觀察可得a?、a6、a””299.都等于-1,將T代入，

a33+ae6+a99+...+a9999

=(-1)3+(-1)6+(-1)9+...+(-1)99

=(-1)+1+(-1)+...(-1)

=-l

【點(diǎn)睛】

此類問題考查了數(shù)字類的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是要嚴(yán)格根據(jù)定義進(jìn)行解答，同時(shí)注意分

析循環(huán)的規(guī)律.

V1-I

11.(1)X7-1；(2)/1一1；(3)--