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高三年級全國普通高考調(diào)研測試數(shù)學(xué)全卷滿分150分,限時120分鐘注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的考試號填寫在答題卡上.2.作答時,將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后,請將答題卡交回.4.請認(rèn)真閱讀考試說明.★預(yù)??荚図樌锏冖窬恚ㄟx擇題,共58分)一、單項選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.若集合,,則的元素個數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】通過討論求得,,利用集合交集運算求出,從而求出結(jié)果.【詳解】因為,且,則,或,且,所以,或,因為,則或,當(dāng),時,,當(dāng),時,,當(dāng)且時,,當(dāng),且,,則,當(dāng),且,,時,,則當(dāng),即,或,綜上,所以的元素個數(shù)為4故選:D2.已知,,則點B到直線AC的距離為()A. B. C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】由坐標(biāo)運算求出,,,進(jìn)而求出,再求得在方向上的投影,然后即可求出點B到直線AC的距離.【詳解】因為,,所以,,,,所以在方向上的投影為,,所以點B到直線AC的距離為.故選:C.3.設(shè),函數(shù)與直線交于點.若曲線與軸上方(不含軸)的正三角形的兩條邊相切,則的取值范圍為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先設(shè)出各點的坐標(biāo),然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)列出方程,最后通過點在軸上方得到取值范圍.【詳解】
由于都在直線上,故平行于軸,再由是偶函數(shù),可設(shè),.據(jù)已知可得是的切線,故.所以由可知,故,從而.由于,故的方程為,令,得,所以.從而根據(jù)已知條件,點在軸上方,這就說明命題等價于.故所求取值范圍是.故選:D.4.現(xiàn)有一份由連續(xù)正整數(shù)(可重復(fù))組成的樣本,其容量為m,滿足上四分位數(shù)為28,第80百分位數(shù)為30,則m的最小值為()A.24 B.25 C.28 D.29【答案】D【解析】【分析】根據(jù)百分位數(shù)定義,結(jié)合已知分析各項對應(yīng)m值,可得答案.【詳解】對于A,若樣本容量的最小值為24,則,,則第個數(shù)據(jù)的平均數(shù)應(yīng)為,第個數(shù)據(jù)應(yīng)為,由是連續(xù)的正整數(shù),顯然不符合情況,故A錯誤;對于B,若樣本容量的最小值為25,則,,則第19個數(shù)據(jù)應(yīng)為,第個數(shù)據(jù)均為,由是連續(xù)的正整數(shù),矛盾,故B錯誤;對于C,若樣本容量的最小值為28,則,,則第個數(shù)據(jù)均為,第23個數(shù)據(jù)應(yīng)為,由是連續(xù)的正整數(shù),矛盾,故C錯誤;對于D,若樣本容量的最小值為29,則,,則第22個數(shù)據(jù)應(yīng)為,則第個數(shù)據(jù)應(yīng)為,所以第個數(shù)據(jù)應(yīng)該是29,符合題意,故D正確;故選:D.5.在遞增數(shù)列中,,.已知表示前n項和的最小值,則()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意依次確定數(shù)列的前9項的值,結(jié)合三角函數(shù)誘導(dǎo)公式,即可得答案.【詳解】由題意在遞增數(shù)列中,,,則,故,則或,結(jié)合題意??;又,則或,結(jié)合題意??;同理,則或,結(jié)合題意取,同理,則或,結(jié)合題意取,同理,則或,結(jié)合題意取,同理可得,,,故前9項和的最小值,可得,故選:C6.在銳角中,已知,則B,C的大小關(guān)系為()A. B. C. D.無法確定【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件,利用誘導(dǎo)公式及和差角的正弦公式化簡,再利用正弦定理邊化角及余弦定理推理即得.【詳解】在銳角中,由,得,則,整理得,于是,由正弦定理得,由余弦定理得,而,因此,所以.故選:A7.已知標(biāo)準(zhǔn)橢圓上P,Q兩點的切線方程分別為,,則直線PQ的斜率為()A. B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)橢圓方程為,分別聯(lián)立直線方程,根據(jù)判別式聯(lián)立求解可得,然后求出坐標(biāo)可得斜率.【詳解】設(shè)橢圓方程為,,聯(lián)立消去得①,則②,聯(lián)立消去得③,則④,聯(lián)立②④解得,代入①得,解得,所以,代入③得,解得,所以,所以.故選:D8.若滿足在上恒成立的a唯一,則整數(shù)b的值為()A.3 B. C.4 D.【答案】A【解析】【分析】用特殊值法來進(jìn)行判斷函數(shù)恒等問題,不妨設(shè),,分類討論判斷范圍進(jìn)行求解.【詳解】不妨設(shè),,對于A,,滿足在上恒成立的a唯一,當(dāng)時,在上單調(diào)遞減,則,即,與矛盾;當(dāng)時,令得;若,即,有在上單調(diào)遞減,則,即,與矛盾;若,即,,在上單調(diào)遞增;,在上單調(diào)遞減;,,,;可知,解得,符合題意,A正確;對于B,當(dāng)時成立,只需驗證當(dāng)時,在上單調(diào)遞增,則,即,與矛盾;當(dāng)時,令得;若,即,有在上單調(diào)遞增,則,即,可知不唯一,B錯誤;對于C,D,,滿足在上恒成立的a唯一,則當(dāng)時,在上單調(diào)遞減,則,即,與矛盾;當(dāng)時,令得;若,即,有在上單調(diào)遞減,則,即,與矛盾;若,即,,在上單調(diào)遞增;,在上單調(diào)遞減;,,,;可知,解得,不符合題意,C,D錯誤;故選:A.【點睛】關(guān)鍵點睛:本題考查不等式恒成立問題,解答的關(guān)鍵是要結(jié)合選項,分類討論,驗證選項中的參數(shù)值是否符合題意.二、多項選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.9.已知的外接圓圓心在AC邊上,內(nèi)切圓半徑為,且.設(shè)D為AC邊上動點,將沿BD向上翻折,得到四面體ABCD,記為M,其體積為V.則()A.的外接圓面積為4πB.M不可能是正三棱錐C.M的外接球球心不可能在其棱上D.V取最大值時,【答案】ABD【解析】【分析】先根據(jù)條件解出是,的直角三角形,算出邊長,判斷A;再根據(jù)是等邊三角形時,,判斷B;再取,將翻折到時,中點是的外接球球心,判斷C;最后將翻折到平面平面時,過作,計算有最大值時點的位置判斷D.【詳解】的外接圓圓心在AC邊上,則是為直角的直角三角形,中點是的外接圓圓心,又,則,,設(shè),內(nèi)切圓半徑為,可得,即.的外接圓半徑,面積為,故A正確.若是正三棱錐,則一定是等腰三角形,又,即是等邊三角形,此時點與點重合,為正三棱錐的底面,而側(cè)棱,所以不可能是正三棱錐,故B正確.取,將翻折到時,此時,,,,即,取中點為,則,是的外接球球心,故C錯誤.以為原點,,為軸,軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系,則,,,設(shè),將沿BD向上翻折,當(dāng)平面平面時,點到底面的距離最大,過作,則為四面體的高,直線方程為,,,,設(shè),,設(shè),,則在上單調(diào)遞減,又,,一定存在,使,且,而,所以當(dāng)時,,遞增;當(dāng)時,,遞減;則的最大值是.因此當(dāng)點更靠近點,時,有最大值,即取最大值時,,故D正確.故選:ABD.10.已知拋物線Γ:的焦點為F,P為Γ上一動點.過F且斜率大于0的直線與Γ交于不同的兩點A,B,且滿足,.則下列說法錯誤的是()A.直線AB的傾斜角大于60°B.若,則C.點P可能在第一象限D(zhuǎn).直線PB的橫截距不可能是【答案】AC【解析】【分析】設(shè)直線方程為,,代入找出與的關(guān)系式,判斷AC;根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)判斷B;最后取,假設(shè)直線與拋物線Γ交于點,計算判斷D.【詳解】拋物線Γ:的焦點為,直線過F且斜率大于0,設(shè)直線方程,,聯(lián)立,化簡得,由韋達(dá)定理,設(shè),,,代入韋達(dá)定理得,又點不在直線上,則,即只有,當(dāng),即時,有實數(shù)解,且存在點,又,則點在第四象限,故C錯誤.設(shè)直線的斜率為,則,直線的傾斜角小于等于,故A錯誤.若,則,,代入,解得,,所以,即,故B正確.取,則直線的直線方程為,聯(lián)立,化簡得,方程其中一個根為點縱坐標(biāo),則另一根為,若另一根為點縱坐標(biāo),則,此時,代入方程無解,所以與無法垂直,則不存在這樣過的直線,即直線的橫截距不可能是,故D正確.故選:AC.11.已知函數(shù),記時的極值點為(且的值均不同).則下列說法錯誤的是()A.滿足有唯一零點的唯一 B.無論取何值,都沒有過原點的切線C.若,則 D.若,則【答案】BD【解析】【分析】對于A,可分類討論的零點個數(shù),從而證明結(jié)論;對于B,直接給出作為反例即可;對于C,構(gòu)造函數(shù)證明對有,其中,然后利用的單調(diào)性即可;對于D,直接說明即可.【詳解】設(shè),則,故對有,對有.所以在上遞減,在上遞增,從而,即.我們有,故對有,對有.所以在上遞減,在上遞增.從而有極小值點,故.由于,故.若,此時,而,故對有.所以.這就表明在和上各有一個零點,從而至少有兩個零點;若,則根據(jù)的單調(diào)性,知存在唯一的零點.對于A,當(dāng)時,有,所以,從而至少有兩個零點;當(dāng)時,有,所以,從而至少有兩個零點;當(dāng)時,有,所以,從而存在唯一的零點.這就表明當(dāng)且僅當(dāng)時,的零點唯一,故A正確;對于B,由于當(dāng)時,在處的切線過原點,故B錯誤;對于C,若,由于,故.設(shè),則,故對有,對有所以在上遞增,在上遞減.由已知有,故可不妨設(shè),而,故.再設(shè),則,且,.而對有.所以在上遞增,從而對有;所以在上遞增,從而對有;所以在上遞增,從而對有,即.從而有.根據(jù)的單調(diào)性,知,故.所以,故C正確;對于D,根據(jù)前面的討論,恒有成立,所以.這就得到,故D錯誤.故選:BD.【點睛】關(guān)鍵點點睛:本題的關(guān)鍵在于構(gòu)造的函數(shù)并研究其單調(diào)性,方可解決相應(yīng)問題.第Ⅱ卷(非選擇題,共92分)三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.已知復(fù)數(shù),若,則______.【答案】【解析】【分析】利用求根公式求出,然后根據(jù)復(fù)數(shù)運算求解可得.【詳解】由得,由求根公式得,當(dāng)時,,所以,當(dāng)時,,所以,綜上,故答案為:13.甲和乙玩小游戲測試他們的默契度.在一輪游戲中,他們各寫下一個三位數(shù),分別記為A和B.當(dāng)以下任一條件成立時,他們“不默契”,否則“心有靈犀”:①A、B中相同的數(shù)字少于兩個(如147和289)②A、B中相同的數(shù)字不少于兩個,但不都在相同的數(shù)位上(如147和174)根據(jù)以上內(nèi)容判斷:在本輪游戲中,甲和乙“心有靈犀”的概率為______.【答案】##【解析】【分析】先分析時,甲和乙“心有靈犀”的概率,然后根據(jù)互斥事件的概率加法公式可得.【詳解】由題知,當(dāng)A、B中至少有兩個數(shù)字相同,且相同數(shù)位上時,甲和乙“心有靈犀”.不妨記,當(dāng)A、B中有三個數(shù)字相同時,有1種情況;當(dāng)A、B中只有兩個數(shù)字相同時,若百位和十位相同,有9種情況,若百位和個位相同,有9種情況,若十位和個位相同,有8種情況,所以,當(dāng)A、B中只有兩個個數(shù)字相同時,有種情況.綜上,當(dāng)時,有種情況使得甲和乙“心有靈犀”.因為三位數(shù)共有個,所以當(dāng)時,甲和乙“心有靈犀”的概率為,又因為甲寫出每一個三位數(shù)且甲和乙“心有靈犀”的事件互斥,例如:事件“且甲和乙“心有靈犀””和事件“且甲和乙“心有靈犀””互斥.所以,甲和乙“心有靈犀”的概率為.故答案為:.14.給定一種有窮正整數(shù)列的延伸機(jī)制Ξ,如圖所示:記經(jīng)Ξ延伸后得到的無窮數(shù)列為,則______.【答案】【解析】【分析】先分析第個連續(xù)的串的長度,用等比數(shù)列工具求解,然后再利用相應(yīng)結(jié)果得到答案.【詳解】記第個連續(xù)的串的長度分別是,則,.從而,即,,.根據(jù)等比數(shù)列知識,得到,,.由于,.所以.故答案為:.【點睛】關(guān)鍵點點睛:本題的關(guān)鍵在于使用合適的工具分析問題,以及對新定義的理解.四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.俱樂部是具有某種相同興趣的人進(jìn)行社會交際、文化娛樂等活動的團(tuán)體和場所.一些頂尖的俱樂部不僅對會員的要求非常嚴(yán)苛,加入也要經(jīng)過現(xiàn)任會員邀請并接受資格測試和對個人素養(yǎng)、社會地位等的綜合考察.研究人員通過模型預(yù)測某俱樂部標(biāo)準(zhǔn)資格測試的參試成績(總計100份),繪制成下表(已知B卷難度更大):某俱樂部標(biāo)準(zhǔn)資格測試參試成績預(yù)測
不及格及格良好優(yōu)秀A卷ab164B卷201262(1)若至少有5%的把握認(rèn)為及格率與試卷難度無關(guān),求a的最小值;(2)在預(yù)測的40份B卷參試成績中隨機(jī)挑選3份,記不及格的份數(shù)為X①求X的分布列及數(shù)學(xué)期望;②人教A版選擇性必修第三冊第80頁上寫道:對于不放回抽樣,當(dāng)n遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于N時…此時,超幾何分布可以用二項分布近似.近似指的是期望還是方差?試判斷并說明理由.附:,其中.α0.0500.0250.0100.0050.0013.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1)19;(2)①分布列見解析,;②方差,理由見解析.【解析】【分析】(1)根據(jù)表格數(shù)據(jù)寫成列聯(lián)表,解不等式即可;(2)①根據(jù)超幾何分布概率公式求概率即可得分布列,再由期望公式求期望;②根據(jù)超幾何分布和二項分布的關(guān)系進(jìn)行分析可得.【小問1詳解】根據(jù)表中數(shù)據(jù)得列聯(lián)表:
不及格及格合計A卷a60B卷202040合計100零假設(shè)為:及格率與試卷難度無關(guān).由題知,,整理得,解得,依題意知,,所以a的最小值為.【小問2詳解】①在預(yù)測的40份B卷參試成績中,不及格和及格各20份,由題知,的可能取值有,,,得X的分布列為:0123所以.②當(dāng)n遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于N時,超幾何分布與二項分布近似指的是方差,由①知,若進(jìn)行放回抽樣,則,,放回抽樣和不放回抽樣期望相等,所以近似指的是方程.當(dāng)n遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于N時,每次抽取后對N的影響非常小,此時放回與不放回對概率影響可以忽略不計,所以,此時超幾何分布與二項分布近似.16.已知定義在上的函數(shù),.(1)分別說明,的單調(diào)性;(2)若函數(shù)存在唯一極小值點,求的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)【解析】【分析】(1)分別求出函數(shù),導(dǎo)數(shù),再對分類討論,利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系即可求解;(2)令,求出的導(dǎo)函數(shù),對進(jìn)行分類討論,由函數(shù)存在唯一極小值點,即可求得的取值范圍.【小問1詳解】由題可得:,當(dāng)時,在上恒成立,所以在上單調(diào)遞減;當(dāng)時,令,解得:,令,解得:,所以在上單調(diào)遞減;在上單調(diào)遞增,綜上,當(dāng)時在上單調(diào)遞減;當(dāng)時,在上單調(diào)遞減;在上單調(diào)遞增;由題可得:,令,解得:,令,解得:,所以在上單調(diào)遞減;在上單調(diào)遞增【小問2詳解】令,則,令,則,①當(dāng)時,在上恒成立,故當(dāng)時,,當(dāng)時,,在上單調(diào)遞增,當(dāng)時,,在上單調(diào)遞減,所以有唯一極大值點,沒有極小值點,不滿足題意;②當(dāng)時,在恒成立,在上單調(diào)遞增,,故當(dāng)時,,當(dāng)時,,在上單調(diào)遞減,當(dāng)時,,在上單調(diào)遞增,所以有唯一極小值點,滿足題意;③當(dāng)時,令,解得:,令,解得:,故在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,則,令,解得,當(dāng)時,在上恒成立,由②可知有唯一極小值點,滿足題意;當(dāng)時,,,,又因為在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以存在唯一實數(shù),,使得,,又,故當(dāng)時,,在上單調(diào)遞減,當(dāng)時,,在上單調(diào)遞增,當(dāng)時,,在上單調(diào)遞減當(dāng)時,,在上單調(diào)遞增,所以的極小值點為,,不唯一,不滿足題意;綜上,的取值范圍【點睛】方法點睛:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值、最值的方法(1)若求極值,則先求方程的根,再檢查在方程根的左右函數(shù)值的符號;(2)若探究極值點個數(shù),則探求方程在所給范圍內(nèi)實根的個數(shù);(3)若已知極值大小或存在情況,則轉(zhuǎn)化為已知方程根的大小或存在情況來求解;(4)求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間的最值時,在得到極值的基礎(chǔ)上,結(jié)合區(qū)間端點的函數(shù)值,與的各極值進(jìn)行比較,從而得到函數(shù)的最值.17.已知無限高圓柱.如圖,四邊形內(nèi)接于其底面⊙O,P為其內(nèi)一動點(包括表面),且平面平面,.(1)是否存在點使得直線平面?試判斷并說明理由.(2)若,二面角的大小為,求最大時直線與平面所成角的余弦值.【答案】(1)不存在,理由見解析(2)【解析】【分析】(1)假設(shè)存在點使得直線平面,利用線面垂直的性質(zhì)與判定定理推出矛盾,即可得解;(2)先說明是等邊三角形,確定最大時的情況,結(jié)合空間向量或線面角的定義即可求解.【小問1詳解】不妨假設(shè)存在點使得直線平面,因為平面,所以,又四邊形ABCD內(nèi)接于,所以,在平面PAD上作直線于,因為平面平面,平面平面平面,所以平面,又因為平面,故,又平面平面,所以平面.而平面平面,故,不垂直,與題意矛盾.所以不存在點使得直線平面.【小問2詳解】因為,所以,取AB中點,連接OF延長交于,則,所以四點共線,則,即,因為為AB中點,所以,則。則,所以,同理可證,所以是等邊三角形.法一:以為坐標(biāo)原點,,向上為x,y,z軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)半徑為,其中,所以,設(shè)平面PAB的法向量,則取,可得,取平面ABCD的一個法向量所以,解得,則取,設(shè)平面PAD的法向量,則,取,又,解得,設(shè)直線的方向向量,則,取,可得,所以,由題意可知平面ABCD時AP取得最大值,則,所以,解得舍),則,設(shè)平面PBD的法向量則,取,可得,設(shè)直線PC與平面PBD所成的角為,所以,因為,所以,故最大時直線PC與平面PBD所成角的余弦值為.法二:設(shè)在底面上投影為,直線PA與底面所成角為半徑為,由三余弦定理及三正弦定理得因為,則所以為定值,而,所以取最大值時,取最大值即與重合時,故直線平面ABCD,此時有,作直線BD于,連接PH,作于,所以,因為平面ABCD,所以,又因為平面,所以平面BDH,而平面CDH,所以,又因為平面,所以平面BDH,則即為直線PC與平面BDH所成角的平面角,所以,故取最大時直線PC與平面PBD所成角的余弦值為.18.已知焦點為F的拋物線Γ:,圓F與Γ在第一象限的交點為P,與x正,負(fù)半軸分別交于點H,G.直線PH,直線PF與Γ的另一交點分別為M,N,直線MN與直線PG交于點T.(1)若,證明:;(2)若,求的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】(1)設(shè),根據(jù)題意得到點的坐標(biāo),設(shè)直線的方程為,與拋物線方程聯(lián)立,即可得到點的坐標(biāo),再寫出直線的方程,并與拋物線方程聯(lián)立,即可得到點的坐標(biāo),再結(jié)合到角公式計算出和即可證明;(2)由條件可得,再由代入計算,【小問1詳解】由題意知,設(shè),則,由得,又,所以,設(shè)直線的方程為,由可得,則,又因為,所以.,直線的方程為,由得,由,得.所以所以,所以,所以為銳角;又,所以,所以為鈍角,故;【小問2詳解】因為,由(1)知,設(shè),則,,,,,所以直線的方程為,作,垂足為,則,直線的方程為,將直線與的方程聯(lián)立,得解得.所以,所以,由相似三角形的性質(zhì)可得,故,因為,所以(當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立),故,即的面積的取值范圍為.19.小學(xué)我們都學(xué)過質(zhì)數(shù)與合數(shù),每一個合數(shù)都能分解為若干個質(zhì)數(shù)的積,比如,等等,分解出來的質(zhì)數(shù)稱為這個合數(shù)的質(zhì)因子,如2,3都是6的質(zhì)因子.在研究某兩個整數(shù)的關(guān)系時,我們稱它們是互質(zhì)的,如果它們沒有相同的質(zhì)因子.例如25的質(zhì)因
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