湖南省漣源市部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題

2024年漣源二中九月月考數(shù)學(xué)卷（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.下列說法正確的是（）A.零向量沒有方向B.空間向量不可以平行移動C.如果兩個向量不相同，那么它們的長度不相等D.同向且等長的有向線段表示同一向量【答案】D【解析】【分析】根據(jù)零向量規(guī)定可以確定A錯誤；根據(jù)空間向量是自由向量可以確定B；根據(jù)相等向量的定義可以確定C、D.【詳解】對于A：零向量的方向是任意的，A錯誤；對于B：空間向量是自由向量可以平移，B錯誤；對于C、D：大小相等方向相同的兩個向量為相等向量即同一向量，所以C中向量大小可以相等，只要方向不同即為向量不同，C錯誤；D符合定義，正確.故選：D.2.設(shè)復(fù)數(shù)，則（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】【分析】由題意可得，再由復(fù)數(shù)模的計算公式求解即可.【詳解】解：因為復(fù)數(shù)，所以.故選：D.3.已知，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間向量平行、垂直的坐標(biāo)表示判斷即可.【詳解】設(shè)，即，則，此方程組無解，故不平行，故A錯誤；設(shè)，即，則，此方程組無解，故不平行，故B錯誤；，則，故C正確；，則不垂直，故D錯誤.故選：C.4.兩平面的法向量分別為，若，則的值是（）A.－3 B.6C.－6 D.－12【答案】B【解析】【分析】由，可得，則，從而可求得結(jié)果.【詳解】因為兩平面的法向量分別為，且，所以，所以，故選：B5.學(xué)校開展學(xué)生對食堂滿意度的調(diào)查活動，已知該校高一年級有學(xué)生550人，高二年級有學(xué)生500人，高三年級有學(xué)生450人.現(xiàn)從全校學(xué)生中用分層抽樣的方法抽取60人調(diào)查，則抽取的高二年級學(xué)生人數(shù)為（）A.18 B.20 C.22 D.24【答案】B【解析】【分析】根據(jù)分層抽樣的方法，高二學(xué)生人數(shù)占總體的，所以被抽取的人數(shù)也應(yīng)占，即20人.【詳解】根據(jù)分層抽樣的方法，應(yīng)抽取高二年級學(xué)生人數(shù)為人.故選：B.6.如圖：在平行六面體中，M為，的交點．若，，，則向量（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間向量基本定理結(jié)合平行六面體的性質(zhì)求解【詳解】因為在平行六面體中，M為，的交點，，，，所以,故選：B7.已知空間中兩條不同的直線，其方向向量分別為，則“”是“直線相交”的（）A..充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】兩條不同的直線的方向向量不共線，兩條不同的直線可能相交，可能異面；兩條直線相交，則兩條直線的方向向量一定不共線.【詳解】由可知，與不共線，所以兩條不同的直線不平行，可能相交，也可能異面，所以“”不是“直線相交”的充分條件；由兩條不同的直線相交可知，與不共線，所以，所以“”是“直線相交”的必要條件，綜上所述：“”是“直線相交”的必要不充分條件.故選：B.【點睛】本題考查了空間兩條直線的位置關(guān)系，考查了空間直線的方向向量，考查了必要不充分條件，屬于基礎(chǔ)題.8.已知二面角中，平面的一個法向量為，平面的一個法向量為，則二面角的平面角滿足（）A.余弦值為 B.正弦值為C.大小為 D.大小為【答案】B【解析】【分析】利用二面角的向量求法即可求得答案．【詳解】設(shè)所求二面角的平面角的大小為，則，所以或，故CD錯誤，又因為，故A錯誤，B正確.故選：B.二?多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分9.下列命題是真命題的有（）A.A，B，M，N是空間四點，若不能構(gòu)成空間的一個基底，那么A，B，M，N共面B.直線l的方向向量為，直線m的方向向量為，則l與m垂直C.直線l的方向向量為，平面α的法向量為，則l⊥αD.平面α經(jīng)過三點是平面α的法向量，則【答案】ABD【解析】【分析】由基底的概念以及空間位置關(guān)系的向量證明依次判斷4個選項即可.【詳解】對于A，若不能構(gòu)成空間的一個基底，則共面，可得A，B，M，N共面，A正確；對于B，，故，可得l與m垂直，B正確；對于C，，故，可得l在α內(nèi)或，C錯誤；對于D，，易知，故，故，D正確.故選：ABD.10.在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，，，，則（）A.BC.異面直線OB與AC所成角的余弦值為D.點O到直線BC的距離是【答案】AC【解析】【分析】利用空間向量的坐標(biāo)表示，結(jié)合向量數(shù)量積、模的意義計算判斷選項AB；利用異面直線夾角的向量求法判斷選項C；利用空間向量求出點到直線距離判斷選項D作答.【詳解】對于A，，，，依題意，，，故A正確；對于B，，，故B錯誤；對于C，，,因為，則異面直線OB與AC所成角的余弦值為，故C正確；對于D，因為，，在上的投影為，所以點O到直線BC的距離是，故D錯誤.故選：AC.11.如圖，正方體的棱長為2，E為的中點，P為棱BC上的動點（包含端點），則下列結(jié)論正確的是（）A.存在點P，使B.存在點P，使C.四面體的體積為定值D.二面角的余弦值的取值范圍是【答案】AB【解析】【分析】利用向量法，根據(jù)線面垂直，兩點間的距離，幾何體的體積，二面角等知識對選項進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，則，，，當(dāng)時，即點與點重合時，，故A正確.由知，解得，此時點與點重合，故B正確為定值，故C錯誤.又，，設(shè)平面的法向量，由，令則，，，又平面的法向量，，又，，故D錯誤.故選：AB三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共計20分．12.已知向量，分別是直線的方向向量，若，則___________．【答案】18【解析】【分析】由空間中兩直線平行的向量關(guān)系即可求解.【詳解】，，所以存在實數(shù)，使得，則，解得，，..故答案為：18.13.已知，，那么向量___________.【答案】【解析】【分析】由空間向量的線性坐標(biāo)運算可得答案.【詳解】因為，，所以，故答案為：.14.若為空間兩兩夾角都是的三個單位向量，則______．【答案】【解析】【分析】先平方，結(jié)合向量數(shù)量積公式求出，從而得到答案.【詳解】為空間兩兩夾角都是三個單位向量，，.故答案為：四?解答題：本題共6小題，共計70分．解答時應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟．15.已知向量．（1）求（2）求向量與夾角的余弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)向量坐標(biāo)運算和模的公式計算；（2）利用數(shù)量積的公式計算.【小問1詳解】∵，，∴，，.【小問2詳解】設(shè)與的夾角為，則，，，，，∴，∴向量與夾角的余弦值為．16.已知正方體棱長為2，若F為的中點，則（1）求直線與直線的夾角的余弦值（2）求證：平面平面【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，直線與直線的夾角，即直線與直線的夾角，解直角三角形得解；（2）取的中點，連接，易得即為平面與平面所成角，根據(jù)面面垂直的定義，證明為直角即可.【小問1詳解】在正方體中，，所以直線與直線的夾角，即直線與直線的夾角，即為，在中，，，，則，所以直線與直線的夾角的余弦值為.【小問2詳解】如圖，在正方體中，取的中點，連接，易得，，所以，，又平面，平面，且平面平面，所以即為平面與平面所成角，因為，是的中點，則，在中，，同理，在中，，又平面，所以在中，，則，所以，所以平面平面.17.已知，，分別為三個內(nèi)角，，的對邊，且．（1）求（2）若，的面積為，求的周長．【答案】（1）（2）6【解析】【分析】（1）先利用正弦定理將已知等式統(tǒng)一成邊的形式，化簡后再利用余弦定理可求得結(jié)果；（2）由三角形的面積可求得，再結(jié)合（1）中得到的式子可求出的值，從而可求出三角形的周長.【小問1詳解】因為，，（為外接圓的半徑），又因為，所以，即，所以，由余弦定理得，因為，所以．【小問2詳解】因為，所以，因為，所以，所以，所以的周長為618.在四棱錐中，底面，且，四邊形是直角梯形，且，，，，為中點，在線段上，且.（1）求證：平面；（2）求直線PB與平面所成角的正弦值；（3）求點到PD的距離.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）構(gòu)造平面，由面面平行的判定定理證明面面平行，再根據(jù)面面平行的性質(zhì)可得線面平行；（2）根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運算代入計算，即可得到結(jié)果；（3）根據(jù)題意，由空間向量的坐標(biāo)運算，代入計算，即可得到結(jié)果.【小問1詳解】如圖，取中點，連接因為為中點，，，，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，因為為中點，為中點，則，又平面，平面，所以平面，因為平面，所以平面平面，又平面，故平面．【小問2詳解】根據(jù)題意，分別以所在直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，由條件可得，，則，設(shè)平面的法向量為，則，解得，取，則，所以平面的一個法向量為，設(shè)直線PB與平面所成角為，則.所以直線PB與平面所成角的正弦值為.【小問3詳解】由（2）可知，，所以點到PD的距離為.19.如圖所示，在三棱錐中，已知平面，平面平面．（1）證明：平面；（2）若，，在線段上（不含端點），是否存在點，使得二面角的余弦值為，若存在，確定點的位置；若不存在，說明理由．【答案】（1）證明見解析（2）存在；是上靠近的三等分點【解析】【分析】（1）過點作于點，由面面垂直性質(zhì)定理可得平面，由此證明，再證明，根據(jù)線面垂直判定定理證明結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求平面，平面的法向量，利用向量夾角公式求法向量夾角，由條件列方程確定點的位置；【小問1詳解】過點作于點，因為平面平面，且平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，又平面，