上海期中解答題50題（基礎(chǔ)版）-2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試滿分全攻略（滬教版2020）教師版

上海期中解答題精選50題（基礎(chǔ)版）

聚焦考點(diǎn)

1.（2021?上海市新場(chǎng)中學(xué)高二期中）如圖，在棱長(zhǎng)為a的正方體中，E、F

分別是BO和8c的中點(diǎn).

（1）求異面直線A8和AR的距離；

（2）求異面直線EF與C。所成角的大小.

【答案】⑴。；（2）y.

【分析】（1）由題意可知AA為異面直線和AA的公垂線段，即為A8和4R的距離；

（2）取BC中點(diǎn)連接由異面直線成角定義可知NFEM即為所與co成角，計(jì)算

即可.

【詳解】（1）?.?AA_LAB，AAnA8=A,AA，AR，AAnan=a，

??.AA為異面直線AB和AA的公垂線段，AA=a，即為AB和AA的距離為。；

（2）取8c中點(diǎn)M,連接EM,尸

因?yàn)镃D//EM,則NEEM即為EF與C。成角，在△EMF中，可知，EM=FM吟,EM1.FM.

TT1T

所以,即面直線E/與C￡＞所成角的大小為了.

44

2.用一個(gè)半徑為10厘米的半圓紙片卷成一個(gè)最大的無底圓錐，放在水平桌面上，被一陣風(fēng)吹

倒，如圖所示，求它的最高點(diǎn)到桌面的距離.

【答案】5指

【分析】先求出圓錐底面的半徑，再在軸截面中利用解三角形的方法可求倒放的圓錐的最高

點(diǎn)到桌面的距離.

【詳解】設(shè)底面半徑為小母線的長(zhǎng)為/,貝l"=10cm,且2%/-g乃/,故r=5.

所以圓錐的軸截面為等邊三角形，且邊長(zhǎng)為10,如圖：

最高點(diǎn)到底面的距離為等邊三角形的高，此高為5>/L

【點(diǎn)睛】

本題考查空間中距離的計(jì)算，注意把距離放置在可解的三角形中，同時(shí)關(guān)注旋轉(zhuǎn)體的軸截面,

因?yàn)樗辛诵D(zhuǎn)體的幾何量，本題屬于基礎(chǔ)題.

3.（2021?上海市南洋模范中學(xué)高二月考）已知正方體A8CD-A與CQ中，BR與平面ACB,

交于點(diǎn)P,設(shè)與AC相交于點(diǎn)。，求證：尸€直線用。.

［分析］先證明點(diǎn)尸是平面BDD品與平面AC4的公共點(diǎn)，再根據(jù)平面BDD國(guó)Q平面ACB、=耳。,

即得證.

【詳解】因?yàn)?。u平面BDD向，且BD、與平面ACB,交于點(diǎn)產(chǎn)，

所以點(diǎn)尸是平面BDD/I與平面ACB,的公共點(diǎn)，

因?yàn)槠矫鍮DD、B、Q平面ACB,=BQ,

所以Pc直線BQ.

4.（2021?上海市中國(guó)中學(xué)高二月考）已知圓錐的母線是其底半徑的2倍，且高為26，求

圓錐軸截面面積.

【答案】4有

【分析】根據(jù)圓錐軸截面的性質(zhì)求解.

【詳解】由題意，圓錐軸截面面積為S=；X4X26=46.

5.（2019?寶山?上海交大附中高二月考）如圖，ABC。是正方形，直線PD_L底面ABC3,

PD=DC,E是尸C的中點(diǎn).

（1）證明：直線以〃平面EZM；

（2）求直線尸B與平面ABC。所成角的正切值.

【答案】（1）證明見解析；（2）交：

2

【分析】（1）連接AC,由三角形中位線可證得根據(jù)線面平行判定定理可證得結(jié)

論；

（2）根據(jù)線面角定義可知所求角為NPB。，且tanNP8D=黑，由長(zhǎng)度關(guān)系可求得結(jié)果.

DU

【詳解】（1）連接AC,交BD于0,連接EO

?.訓(xùn)邊形ABC。為正方形為AC中點(diǎn)，又E為PC中點(diǎn):.EO//PA

?.?EOu平面BOE,PA<Z平面.,.%//平面8OE

（2）?.?P0_L平面A8C。直線尸8與平面ABC。所成角即為NP8￡）

PD

■：PDVBDtanZPBD=-

設(shè)PD=DC=a,則BD=a2+a2=-J2a.1.tanZ.PBD—

【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中線面平行關(guān)系的證明、直線與平面所成角的求解；證明線面平

行關(guān)系常采用兩種方法：（1）在平面中找到所證直線的平行線；（2）利用面面平行的性質(zhì)

證得線面平行.

6.（2019?同濟(jì)大學(xué)第一附屬中學(xué)高二期末）某小區(qū)所有263戶家庭人口數(shù)分組表示如下：

家庭人口數(shù)12345678910

家庭數(shù)20294850463619843

（1）若將上述家庭人口數(shù)的263個(gè)數(shù)據(jù)分布記作*,當(dāng),……，以3,平均值記作"寫出人口數(shù)方

差的計(jì)算公式（只要計(jì)算公式，不必計(jì)算結(jié)果）；

（2）寫出他們家庭人口數(shù)的中位數(shù)（直接給出結(jié)果即可）；

（3）計(jì)算家庭人口數(shù)的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差.（寫出公式，再利用計(jì)算器計(jì)算，精確到0.01）

1__-

【答案】（1）—［（X,-x）2+（x-x）2+-+（x,-x）2］；（2）4；（3）平均數(shù)4.30人,方差L97

263226

【分析】（1）根據(jù)方差的計(jì)算公式可得結(jié)果；

（2）根據(jù)中位數(shù)的概念可得結(jié)果；

（3）根據(jù)平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的公式計(jì)算即可.

【詳解】解：（1）由方差的計(jì)算公式得：

人口數(shù)方差為^-%）2+（%2-（）2-%）2］；

Zo3

（2）263戶家庭，則中位數(shù)為第名尹=132戶家庭的人口數(shù),

-.■20+29+48+50=147>132,v2O+29+48=97<132,

所以中位數(shù)為4；

（3）平均數(shù):

-1x20+2x29+3x48+4x50+5x46+6x36+7x19+8x8+9x4+10x3

x=---------------------------------------------------------------------------“4.30,

263

標(biāo)準(zhǔn)差:

+29（2-x）2+48（3-jr）2+50（4-x）2+46（5-x）2+36（6-x）2+19（7-x）2+8（8-x）2+4（9-x）2+300—m2

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------u1.97

263

【點(diǎn)睛】本題考查平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差，中位數(shù)的計(jì)算，是基礎(chǔ)題.

7.（2021?上海市第三女子中學(xué)高二期末）從某中學(xué)200名新生中隨機(jī)抽取10名進(jìn)行身高測(cè)

量，得到的數(shù)據(jù)為：168、159、166、163、170、161、167、155、162、169（單位：cm）,

試估計(jì)該中學(xué)200名新生身高的平均值和中位數(shù)，并求身高大于165cm的概率估計(jì)值.

【答案】平均值164cln,中位數(shù)164.5cm,

【分析】根據(jù)抽取的10名新生數(shù)據(jù)計(jì)算中位數(shù)、平均值，其中身高大于165cm的人數(shù)確定身高

大于165cm的概率，由樣本特征與總體特征的關(guān)系即可得200名新生身高的平均值和中位數(shù)，

身高大于165cm的概率估計(jì)值.

【詳解】由題意，將數(shù)據(jù)排序得：155、159、161、162、163、166、167、168、169、170,

???樣本中位數(shù)為-------=164.5cm,

2+/+位155+159+161+162+163+166+167+168+169+170

樣本平均值為-------------------------------------------=164cm,

其中身高大于165cm共有5名，

.?.身高大于165cm的概率為g.

綜上，由樣本特征值可知該中學(xué)200名新生身高的平均值164cm、中位數(shù)164.5cm,身高大于

165cm的概率估計(jì)值1

8.（2021?上海市西南位育中學(xué)高二期中）某企業(yè)要設(shè)計(jì)一款由同底等高的圓柱和圓錐組成

的油罐（如圖），設(shè)計(jì)要求：圓錐和圓柱的總高度與圓柱的底面半徑相等，均為10m.

（1）已知制作這種油罐的材料單價(jià)為1萬元/nf,則制作一個(gè)油罐所需費(fèi)用為多少萬元？（萬取

3.14,結(jié)果精確到0.01萬元）

（2）已知該油罐的儲(chǔ)油量為0.95噸/m：則一個(gè)油罐可儲(chǔ)存多少噸油？（乃取3.14,結(jié)果精確

到0.01噸）

【答案】（1）979.56萬元；（2）1989.68噸.

【分析】由題意知，求得圓柱和圓錐的高以及圓錐的母線長(zhǎng)；

（1）求得組合體的表面積，從而求得造價(jià)；

（2）求得組合體體積，從而求得儲(chǔ)油量.

【詳解】由題意知，圓柱和圓錐的底面半徑，=10m,圓柱和圓錐的高均為〃=5m；

則圓錐的母線長(zhǎng)/=質(zhì)淳=5層，

（1）由上知，組合體的表面積為：5=2江〃+開產(chǎn)+：2次?/

=2^X10X5+^X102+-X2^X10X5V5=（2（X）+50^）^,

2

則總造價(jià)為（200+50"）;rxl*979.56萬元；

（2）組合體的體積為：V=7rr'h+-7tr~-/z=IO2x5+-1-^x1（）2x5=>

又儲(chǔ)油量為0.95噸/??，則一個(gè)油罐可以儲(chǔ)存油量為：箸藝x0.95=1989.68噸

9.（2020?上海高三期中）已知圓錐的體積為7，底面半徑OA與OB互相垂直，且04=6；

P是母線BS的中點(diǎn).

S'

（1）求圓錐的表面積

（2）求異面直線S。與PA所成角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)表示）

【答案】（1）S表=（2>/5+3,；（2）arctan-715^

【分析】（1）利用圓錐的體積公式求出圓錐的高，進(jìn)而利用表面積公式求解即可；

（2）取B。中點(diǎn)，，連接尸H,AH,S。與R4所成角為N4P"（或其補(bǔ)角），在中求解即

可.

【詳解】（1）-.-V=^Sh,S=3TT,:.SO=1,SB=2,

S堯=7.6-2+乃1Gy=（2退+3）萬

（2）取B。中點(diǎn)”，連接/W,A",S。與力所成角為44尸”（或其補(bǔ)角），

AH=—,PH=~,tanZAPH=V15,

22

所以異面直線SO與姑所成角的大小為arclan后.

4TT

10.（2020?上海市金山中學(xué)高二期中）將圓心角為彳，半徑為kTM的扇形，卷成圓錐形容

器，求：

（1）這個(gè)容器的側(cè)面積；

（2）這個(gè)容器的容積.

【答案】（1）~^~cm2:（2）兀cm'.

381

【分析】（1）計(jì)算出扇形的面積，即可得出這個(gè)圓錐形容器的側(cè)面積;

（2）計(jì)算出圓錐底面圓半徑，可計(jì)算出圓錐的高，進(jìn)而利用錐體體積公式可求得這個(gè)容器的

容積.

【詳解】（1）由題意可知，這個(gè)圓錐形容器的側(cè)面積為S=gx與xl=等LM）：

47r2

（2）設(shè)圓錐形容器的底面半徑為「cm,則2行=羊、1,可得r=：,

所以，圓錐形容器的高為〃=VF=7=/_圖-邛（⑹,

因此，這個(gè)容器的容積為

33（3）3811，

【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的側(cè)面積和體積的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

11.（2017?上海楊浦區(qū)?高三期中）如圖，正四棱柱AB8-A8CQ的底面邊長(zhǎng)A3=2,

若異面直線AA與BC所成角的大小為arctang,

（1）求與底面ABC。所成角的正切值；

（2）求正四棱柱4BCD-ABCQ的體積.

【答案】⑴逝：（2）16.

【分析】（1）根據(jù)正四棱柱的特征，以及題中條件，先求出側(cè)棱長(zhǎng)，再連接B。，得到N"B。

即為8已與底面A8CO所成的角，根據(jù)題中數(shù)據(jù)，即可求出結(jié)果；

（2）根據(jù)正四棱柱的體積公式，即可求出結(jié)果.

【詳解】（1）因?yàn)樵谡睦庵鵄BCD-A4GA中，AAMB出,

所以NBBQ即等于異面直線A4與B,C所成角，

因?yàn)檎睦庵鵄BCO-A5CQ的底面邊長(zhǎng)AB=2,所以BC=2,

又異面直線4A與86所成角的大小為arctang,

1BC1

所以tanN網(wǎng)C=（即函=5,解得：明=4,

即正四棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為4,

又因?yàn)樵谡睦庵鵄BC。-AfGR中，側(cè)棱垂直于底面,

所以。。，平面ABC。，

連接8D,

因此ND、BD即為BD,與底面ABCO所成的角,

所以tanND,BD=^==6,

因此與底面ABCO所成角的正切值為應(yīng)；

（2）由（1）可得8耳=4,

所以該正四棱柱的體積為：V=S4flCflBBl=2x2x4=16.

【點(diǎn)睛】本題主要考查求直線與平面所成的角，以及棱柱的體積，熟記線面角的概念，以及

正棱柱的結(jié)構(gòu)特征，與棱柱的體積公式即可，屬于?？碱}型.

12.（2018?上海市第二中學(xué)高二期中）如圖，梯形48CC滿足A8//CD,NABC=90,且

AB=273,BC=\,ABAD=30,現(xiàn)將梯形ABCD繞AB所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體記作Q,

求C的體積匕

B--------IC

【答案】史兀

3

【分析】由題意易得該幾何體為圓錐和圓柱的組合體，分別求出圓錐和圓柱的體積，再相加

即可；

【詳解】幾何體為圓柱與圓錐的組合體，

圓錐和圓柱的底面半徑為，=BC=1,圓錐的高為九=有，

圓柱的高色=,

/.V=^-xl2x5/3+-^xl2乂正=.

33

【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征，體積的計(jì)算，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基

礎(chǔ)題.

13.(2018?上海市淞浦中學(xué)高二期中)在正四棱柱A8CO-44GQ中，已知底面ABC。的

邊長(zhǎng)為2,C0=4,點(diǎn)尸是CC,的中點(diǎn)，求：

(1)正四棱柱ABCO-AAG2的體積；

(2)異面直線BC和AP所成角的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示).

【答案】(1)16；(2)arccos—

3

【分析】(1)根據(jù)正四棱柱的體積公式：V=S/z完成計(jì)算，S是正四棱柱的底面積，力是正

四棱柱的高；

(2)作出示意圖，取3片中點(diǎn)。，連接尸Q,AQ,根據(jù)尸。與8c的關(guān)系可找出異面直線所成角

或其補(bǔ)角，由此可計(jì)算出異面直線8c和AP所成角的大小.

【詳解】(1)因?yàn)?^8=22=4,A=CG=4,所以y=S〃=4x4=16；、

(2)取B⑸中點(diǎn)Q,連接PQ,AQ,如圖所示：

因?yàn)椤笧镃C,的中點(diǎn)，所以PQ//BC,

所以異面直線8C和AP所成角即為44PQ或其補(bǔ)角,

又因?yàn)锳B=BC=2,CG=4,

所以AP=」22+22+22=26，AQ=，2?+22=2五，PQ=2,

12+4-8

所以cosZAPQ=

2?2行2一3

所以異面直線BC和AP所成角為arccos也.

3

【點(diǎn)睛】本題考查空間幾何體的體積計(jì)算以及異面直線所成角的求解，難度較易.求解異面直

線所成角大小時(shí)，可通過將直線平移至同一平面內(nèi)，然后根據(jù)線段長(zhǎng)度利用余弦定理求解出

異面直線所成角的余弦值，再根據(jù)余弦值的正負(fù)即可求解出異面直線所成角的大小.

14.(2019?上海市通河中學(xué)高二期中)過圓錐軸的截面為等腰直角三角形。為底面

Q

圓周上一點(diǎn)，已知3。=26，圓錐體積為§乃，點(diǎn)。為底面圓的圓心

(1)求該圓錐的全面積

(2)求異面直線SA與所成角的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)表示)

(3)求點(diǎn)A到平面SQB的距離

【答案】(1)40萬+4%(2)arctan(3)土叵

35

【分析】(1)設(shè)底面圓的半徑為R,則高R=SO,利用體積公式求出R,即可求出側(cè)面積,進(jìn)而

求得該圓錐的全面積；

(2)連接Q。并延長(zhǎng)交圓周于C點(diǎn)，再連接ACAQ,BC,SC,則A。=B。=。。=OC,所以西邊形

AQBC是平行四邊形，AC//QB,N&1C的大小為異面直線弘與8Q所成角。的大??；

(3)求三棱錐S-AQB的體積以S為頂點(diǎn)，以AAQB底面,也可以A為頂點(diǎn)，以底面，通過

等體積法求解點(diǎn)A到平面SQB的距離.

【詳解】(1)設(shè)底面圓的半徑為R

ASAB等腰直角，故：|人。=|5。

R=\SO\

???根據(jù)圓錐的體積計(jì)算公式：v=；s/

1,8

-7TR-R=-TI:得：R=2

母線的長(zhǎng)為|SA|=依+a=2拒

圓錐的側(cè)面展開圖為扇形,根據(jù)扇形面積公式：S闞彩=《/用形弧長(zhǎng)/形鉆

圓錐的側(cè)面積為：S『M?-|SA|=4缶

圓錐的全面積=5樹+S底=4&兀+4勿

(2)

如圖:連接QO并延長(zhǎng)交圓周于C點(diǎn)，再連接ACAQ,BC,SC

m。=忸。=囪=|0。

四邊形4QBC是平行四邊形，得AC/QB

NMC的大小為異面直線SA與BQ所成角0的大小.

由（1）知在A5AC中，|M=|SC|=20,卜4=|四=2有

過點(diǎn)S作S〃_LAC丁點(diǎn)”

AASC為等腰三角形，故|4叫=6

在吟陽中有：tan”陷尸產(chǎn)-本-士

\AH\\AH\63

-0=arctan---

3

（3）根據(jù)三棱錐的體積計(jì)算公式：V=：S底〃

在AAQ8中|A8|2=|AQ|2+|QB|2可得：|AQ=2

k紗=:（如。卜附）闕=:（：22時(shí).2=^^

VASQ8三ASAC中故：S.SQB=；?64=A

VA-SQB=J5,59/=得：＜，岳h=

解得：人=疫

5

???點(diǎn)A到平面SQB的距離為：生叵.

5

【點(diǎn)睛】本題主要考查圓錐的全面積、異面直線所成的角的求法,考查邏輯分析能力與運(yùn)算求

解能力，屬于中檔題.

15.（2018?上海市通河中學(xué)）在直三棱柱A8C-A4G中，ABAC=90°,AB=AC=AAi=2,

點(diǎn)E、F分別為棱AC與A0的中點(diǎn)

(1)求三棱錐4-EFG的體積

(2)求異面直線AC與政所成角的大小

【答案】(1)I：(2)J

36

【分析】(1)由線面垂直的判定方法可知A尸，平面從而利用體積橋匕LMC,=V~AEC,

求得三棱錐體積；

(2)取AA中點(diǎn)P,由三角形中位線的平行關(guān)系可知所求角為NFEP，利用勾股定理求得\EFP

三邊長(zhǎng)，根據(jù)余弦定理求得cosNFEP,進(jìn)而得到結(jié)果.

【詳解】(1)：三棱柱為直三棱柱平面A^G

又4尸u平面AB￡AA,1A,F

NBAC=90NgA?=90",即A尸AG

;A4(，4Gu平面AGE,AA1cAic]=A4尸_L平面AGE

^A,-EFC,==§S1VliGE,4尸=]X]X2x2x1=]

(2)取4A中點(diǎn)尸，連接EP,FP

???E，P分別為AC,"1中點(diǎn):.EP//A,C

異面直線4。與EF所成角即為EP與EF所成角，即NFEP

vFP=5/i+T=>/2.￡P(guān)=Vi+T=>/2.EF=Jl+4+l=#

EF2+EP2-FP26=671

/.cosZEFP=/EFP=—

2EFEP2后0-26

即異面直線AC與EF所成角為I

【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中三棱錐體積的求解、異面直線所成角的求解問題；求解三棱錐

體積時(shí)，常采用體積橋的方式將問題轉(zhuǎn)化為底面面積和高易求的二棱錐的情況；求解異面直

線所成角的關(guān)鍵是能夠通過平移，將問題轉(zhuǎn)化為相交直線所成角的求解.

16.（2018?上海市寶山中學(xué)高二期中）已知圓柱。的底面半徑為13cm,高為10a”，一平

面平行于圓柱。。1的軸00、,且與軸。。1的距離為5加，截圓柱得矩形ABBtAt.

（1）求圓柱的側(cè)面積與體積；

（2）求截面48AA的面積.

【答案】（1）側(cè)面積為260;rcM；體積為1690;TC加1；（2）240cM

【分析】

（1）求得底面圓周長(zhǎng)后，由圓柱側(cè)面積公式求得側(cè)面積；根據(jù)圓柱體積公式求得體積；

（2）由截面與。的距離可求得A8,根據(jù)矩形面積公式求得結(jié)果.

【詳解】（1）圓柱的底面圓周長(zhǎng)為：2Tx13=26萬（cm），側(cè)面積5=26%X10=260萬卜?。?/p>

圓柱體積^=萬xl32xl0=16901小力）

（2）；截面4匹片與。。距離為5c7/AB=2>/132-52=24（cw）

二.截面AB54的面積為：ABAA,=24x10=240[cnv）

【點(diǎn)睛】本題考查圓柱側(cè)面積、體積和截面面積的求解問題，考查對(duì)于公式的掌握情況，屬

于基礎(chǔ)題.

17.（2018?上海市吳淞中學(xué)高三期中）如圖，已知長(zhǎng)方體ABC。-ABGR的底面是邊長(zhǎng)為2

的正方形，P為線段AC的中點(diǎn)，若異面直線PA與BC所成角的大小是60。，求長(zhǎng)方體

【答案】4立

【分析】取AB中點(diǎn)E,根據(jù)三角形中位線可確定異面直線AP與BC所成角即為NAPE,設(shè)

長(zhǎng)方體高為6,表示出AA/E各邊，利用余弦定理構(gòu)造方程可求得高，進(jìn)而得到長(zhǎng)方體體積.

【詳解】取A8中點(diǎn)E,連接

VP,E分別為AC,AB中點(diǎn):.PE//BC且PE=；BC=1

"PE即為異面直線A,P與BC所成角，即"PE=60

設(shè)A4=〃，則AENI+*,&+/

在然PE中，由余弦定理可得：1+川=2+/?2+1-2亞Vcos6（y，解得：h=&

???長(zhǎng)方體A88-4耳CQ的體積：Y=2x2x夜=4點(diǎn)

【點(diǎn)睛】本題考查長(zhǎng)方體體積的求解問題，涉及到異面直線所成角的知識(shí)；關(guān)鍵是能夠利用

余弦定理構(gòu)造方程求解出長(zhǎng)方體的高.

18.（2020?上海市三林中學(xué)）如圖，在長(zhǎng)方體ABC￡>-A￡CQ中，AB=BC=2,AA,=3.

（1）求四棱錐A-A3c。的體積；

（2）求異面直線AC與B與所成角的大小.

【答案】（1）4：（2）arctan3區(qū).

3

【分析】（1）根據(jù)題意，得到44,平面ABCD,再由題中數(shù)據(jù)，以及棱錐體積公式，即可

得出結(jié)果；

（2）連結(jié)AC,由題意得到AC與⑨所成的角，等于異面直線AC與四所成的角：即NA4C

等于異面直線AC與8片所成的角；根據(jù)題中數(shù)據(jù)，求出tanN44,C,即可得出結(jié)果.

【詳解】（1）因?yàn)樵陂L(zhǎng)方體ABCO-ASCa中，AA_L平面ABC。，

又AB=8C=2,M=3,

所以四棱錐A-A8CC的體積為匕，—。;（人員氏丁僅二（？？，：牝

（2）連結(jié)AC,因?yàn)殚L(zhǎng)方體ABCO-AgCQ中，

所以AC與441所成的角，等于異面直線AC與8片所成的角；

即ZAA,C等于異面直線4。與BB、所成的角；

又ACNAB^+BC。=20，

所以tanZAAjC=,因此ZAA|C=arctan2區(qū),

A4,33

即異面直線AC與BBi所成角的大小為arctan逑.

3

【點(diǎn)睛】本題主要考查求四棱錐的體積，以及求異面直線所成的角，熟記棱錐的體積公式，

會(huì)用幾何法求異面直線所成的角即可，屬于?？碱}型.

19.（2018?上海市南洋模范中學(xué)高三期中）已知正四棱錐P-49CD的全面積為2,記正四

棱錐的高為A.

（1）用磁示底面邊長(zhǎng)，并求正四棱錐體積尚最大值；

（2）當(dāng)上取最大值時(shí)，求異面直線力題Z5而成角的大小.（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）

11

【答案】（1）。=了京,V；；（2）arctan3.

【分析】（1）設(shè)底面邊長(zhǎng)為。，側(cè)面三角形高為H,由全面積構(gòu)造方程可求得H利

a2

用“2=好+（￡|2可構(gòu)造方程求得。=3萬；根據(jù)三棱錐體積公式得到“=而刁，結(jié)合基

本不等式可求得體積的最大值；

（2）取CO中點(diǎn)Q,由平行關(guān)系知NPR2即為所求角；根據(jù)（1）中結(jié)論可知的值，進(jìn)而

可求得tanNPDQ,從而得到結(jié)果.

【詳解】（1）設(shè)底面邊長(zhǎng)為。，側(cè)面三角形的高為“，則/+2“H=2

a2

又"5+目，即（:雪—+圖卷

?“泊=舟=內(nèi)

V/Z+7>2（當(dāng)且僅當(dāng)人=；,即〃=1時(shí)取等號(hào)）

hh

即匕,*=：（當(dāng)為=1,a=立時(shí)取最大值）

662

（2）取CO中點(diǎn)。，正方形ABC￡>中心0,連接PO,PQ,。。

AB!/CDANPDQ即為異面直線AB與尸。所成角

??,Q為CA中點(diǎn)，PC=PD:.PQ±CD,即PQ="

由（1）知，H=^-—=—

44

^DO=-a=—tanNPOQ==3NP￡）Q=arctan3

24DQ

即異面直線A8與PC所成角的大小為：arctan3

【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中異面直線所成角、體積最值的求解問題；求解體積最值問題的

關(guān)鍵是能夠?qū)Ⅲw積表示為關(guān)于某一變量的函數(shù)的形式，從而利用函數(shù)求最值的方法來求解所

求的最值.

20.（2018?上海普陀?曹楊二中高三期中）如圖ABCO-4BCQ是棱長(zhǎng)為2的正方體，M、

N分別是8月、8的中點(diǎn).

(1)求三棱錐B-AMV的體積；

(2)求異面直線MN與。2所成角的大小.(用反三角函數(shù)值表示)

2

【答案】(1)~:(2)arctan有.

【分析】(1)根據(jù)等體積法，VB-AMN=VM-ABN,根據(jù)底面積和高即可求得體積.

(2)因?yàn)楫惷嬷本€與。。所成角等于MN與所成角的大小，連接NB,解三角形即可求

解,最后再轉(zhuǎn)化為反三角函數(shù)即可.

【詳解】(1)連接8N

=V

因?yàn)閂B-AMNM-ABN,SABN=，2X2=2

12

所以VB-AMN=VM-ABN=^X2X1=-

(2)異面直線MN與DDt所成角等于MN與8月所成角

在RtMIBN中,2NMB即為MN與BB,所成角

BN=5+P=6,MN=1

所以tanNNMB=牛=小

所以NNMB=arctan-J5

【點(diǎn)睛】本題考查了等積法在立體幾何中的應(yīng)用，異面直線夾角的求法,屬于基礎(chǔ)題.

21.(2020?上海市復(fù)興高級(jí)中學(xué)高三期中)如圖，直三棱柱A8C-A8G中，N48C=9Oo,

AB=4,BC=4,明=3,歡A分別是BS和AC的中點(diǎn).

(1)求異面直線Aq與GN所成的角;

(2)求三棱錐M-GCW的體積.

【答案】（1）arccos^^-（2）2

【分析】（1）過川乍交4G于0,連接30,可得N4加（或其補(bǔ)角）是異面直線45

與GV所成角.在46加中，分別求出仍、4和8,施勺長(zhǎng)，結(jié)合余弦定理算出cos/和施勺值，從

而得到異面直線仍與GA所成的角是arccos姮；

5

（2）平面4區(qū)G中，過M乍〃〃4G于"根據(jù)直三棱柱的性質(zhì)結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理，得到

，他平面A44C,「雌二棱錐"-GG的高.算出物的長(zhǎng)和NGG的面積，結(jié)合二棱錐的體積公

式，可得三棱錐"-GC1的體積.

【詳解】（1）平面力46仲，過4作力。〃卬V；交4G于Q,連接BQ

：.ZBtAQ（或其補(bǔ)角）就是異面直線力笈與G.A所成的角

矩形/4G舛，八是力舛點(diǎn)，可得Q是4G中點(diǎn)

仇△力45中，48=jAA^+4Bj=5,同理可得/10=Ji7

等腰/中，50是斜邊的中線

.?.80孝45=2拒，

△iW機(jī)cosNB、AQ=25+17二=匝＞。

2x5x7175

ZB\AQ=arccos^^-,即異面直線陽與。八所成的角等于arccos/^；

（2）平面48C中，過M乍物L(fēng)4G于〃

?直三棱柱/比-45G中，CG_L平面43G,CGU平面444C

/.平面GCL平面4旦G，

?.?平面44GC_L平面4〃G=4G,MH1A.C,,

."婚"L平面44CC,MH是三棱錐M-GCA,的高線

,.?△5G沖，，促4G中點(diǎn)，.物/〃40

."例是△3C硒中位線，得揚(yáng)/=3耳。=忘

?；△GG的面積S=；avxCC=gx2拒x3=3夜

二三棱錐M-C◎的體積％Mg=京根儂，/"=；x30x點(diǎn)=2

【點(diǎn)睛】本題給出特殊三棱柱，求異面直線所成角并求錐體的體積，著重考查了線面垂直、

面面垂直的判定與性質(zhì)，異面直線所成角的求法和錐體體積公式等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.

22.(2020?寶山?上海交大附中高二期中)現(xiàn)有四個(gè)正四棱柱形容器，1號(hào)容器的底面邊長(zhǎng)

是“，高是b；2號(hào)容器的底面邊長(zhǎng)是b,高是“；3號(hào)容器的底面邊長(zhǎng)是。，高是“；4號(hào)容器

的底面邊長(zhǎng)是人，高是尻假設(shè)出方，問是否存在一種必勝的4選2的方案(與a涉的大小無關(guān))，

使選中的兩個(gè)容器的容積之和大于余下的兩個(gè)容器的容積之和？無論是否存在必勝的方案，

都要說明理由.

【答案】存在，選擇3號(hào)和4號(hào)容器.

3}222

【分析】分別計(jì)算出四個(gè)容器的體積，^^a+b-ab-ba=(<a+bXa-bj>0,從而得到

必勝方案，即選擇3號(hào)和4號(hào)容器.

【詳解】1號(hào)容器體積為：a2b-,2號(hào)容器體積為：/a:

3號(hào)容器體積為：/；4號(hào)容器體積為：護(hù)

,:a豐b

32222

o'+b-ab-ba=(^a+b)^a-ab+b^-ab[<a+b)=^a+b')^a-by>0

...存在必勝方案，即選擇3號(hào)和4號(hào)容器

【點(diǎn)睛】本題考查與棱柱體積有關(guān)的計(jì)算問題，關(guān)鍵是能夠進(jìn)行因式分解得到恒大于零的式

子，從而得到所求方案.

23.(2021?上海市復(fù)興高級(jí)中學(xué)高二期中)已知圓錐AO的底面半徑為2,母線長(zhǎng)為2加，

點(diǎn)C為圓錐底面圓周上的一點(diǎn)，。為

圓心，力是AB的中點(diǎn)，且N8OC=匹.

2

(1)求圓錐的全面積；

(2)求直線CD與平面AOB所成角的大小.

(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)

【答案】⑴4（1+Ji6）乃；（2）arctan^.

試題分析：（1）圓錐的全面積等于圓錐的底面積與圓錐的側(cè)面積之和，根據(jù)圓錐的側(cè)面積公

式》“求得面積，代入相加即得，（2）先根據(jù)線面垂直判定定理得OCL平面A08,即得NCDO

是直線CQ與平面A08所成角，再解三角形C。。得直線CO與平面A05所成角的大小.

試題解析：（1）圓錐的底面積岳=萬r=4萬

圓錐的側(cè)面積52=?！?4而j/r

圓錐的全面積5=岳+$2=4（1+加）》.

（2）?/ZBOC=y:.OC1OB且OCJ_OA,OCJ■平面AO8

:.ZCDO是直線CO與平面AOB所成角

在MACW中，OC=2,0O=M，

tanNCOO=—,ZCDO=arctan叵

55

所以，直線CO與平面AOB所成角的為arctan萼.

24.（2021?上海市亭林中學(xué)高二期中）在直三棱柱ABC-A禺G中，ZABC=90°,

AB=BC=AA]=1,

（1）求異面直線與G與AC所成的角的大小;

（2）求直線AC與平面ABC所成角.

【答案】（1）45°；（2）arctan.

2

【分析】（1）根據(jù)異面直線所成角的概念，結(jié)合題中條件，得到ZACB即為異面直線所成角,

進(jìn)而可求出結(jié)果；

（2）根據(jù)直棱柱的特征，結(jié)合線面角的概念，得到必。即為所求線面角，進(jìn)而可求出結(jié)果.

【詳解】（1）因?yàn)樵谥比庵鵄BC-A4G中，BC//B.C,,

所以N4C8即為異面直線與AC所成的角，

又NABC=90。，AB=BC=\,

所以AABC為等腰直角三角形，因此ZACB=45。：

（2）在直三棱柱A8C-44G中，側(cè)棱和底面垂直，即平面ABC；

連接AC,則幺6即為直線AC與平面A8C所成角，

又AB=BC=A4=1,

則AC="+F*

因此tanZACA="1=,

'AC2

所以直線AC與平面ABC所成角為arctan也.

2

25.（2021?上海市市西中學(xué)高二期中）如圖所示，在正三棱錐A-8CD中，E為棱BC的中

點(diǎn).

（1）求證：BC1AD；

(2)若AB=布,且點(diǎn)A到底面8C。的距離為2,求二面角A-BC-D的大小(結(jié)果用反三

角函數(shù)值表示).

【答案】(1)證明見解析；(2)arctan4.

【分析】(1)證得BC_L平面3,結(jié)合線面垂直得性質(zhì)定理即可證出結(jié)論；

(2)因此ZAEO為二面角A-8C-D的平面角，在在汝AAEO中，直接求正切值即可求出結(jié)

果.

【詳解】

(1)證明：連接。E,正三棱錐A—BCD中，AB^AC,E為BC中點(diǎn),則等邊三

角形3CO中，E為BC中點(diǎn)，則DEJ.8C,^.AE[}DE=E,

因此8C_L平面A￡>E,又因?yàn)锳￡)u平面A￡>E,因此3C_LAO.

(2)由于AE_L8C,DEYBC,

因此ZAE￡>為二面角A-8C-。的平面角，過A作AOL平面BC。于。，則。為等邊三角形

88的重心，連接08,由已知得49=2,48=后，則8。=1,60=3，

…八AO2“

.-->tan^A.ED==-=4

在中，EO1

2

由圖可知二面角A-BC-。的平面角為銳角，因此二面角A-8C-。的大小為arctan4.

26.(2021?上海市市西中學(xué)高二期中)如圖所示，在正方體ABCD-AMGR用、N中，M、N

分別是A。、GP的中點(diǎn).

(1)證明：直線AM,CN相交;

（2）求異面直線A"與CA所成角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）.

【答案】（1）證明見解析；（2）arccos典.

5

【分析】（1）通過線線平行證得四點(diǎn)共面，進(jìn)而證得結(jié)論；

（2）首先證得NCRE（或其補(bǔ)角）是異面直線AM與CR所成角，在中利用余弦定理

解三角形即可求出結(jié)果.

【詳解】

（1）證明：連接用MAC、AC,

由M、N為A2、CA中點(diǎn)，則MN〃AG,MN=gAG

又AA//CG，A4,=CC,,則平行四邊形AAGC中，AC,//AC,

因此MV〃AC,直線MN與AC共面，且MNHAC,所以直線AW、CN相交.

（2）

取AO中點(diǎn)E,連接RE、CE,不妨設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2,

則D.M//AE,】M=AE,在平行四邊形AEDtM中，DtE//AM,

因此NC^E（或其補(bǔ)角）是異面直線4W與CR所成角,

在△CRE中，D,E=^5,D、C=2&CE=Bcos/CRE=5y遮

2,\/5,25/25

因此異面直線AM與CD,所成為arccos?

5

27.（2020?上海師范大學(xué)第二附屬中學(xué)高二期中）如圖，四邊形ABC。為矩形，孫，底面

ABCD,AB=2,fiC=l,PA=R

p

:方、一）c

I/、/

I/X/

I/X/

AB

（1）求證：CDJ_平面PAQ；

（2）求直線PC和平面PAO所成角的大小.

【答案】（1）證明見解析；（2）

4

【分析】（1）根據(jù)題中條件，由線面垂直的判定定理，即可證明結(jié)論成立；

（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，得到NCP。為直線PC和平面R4Z）所成角；由題中數(shù)據(jù)求出產(chǎn)。=2,

DC=2,得出tan/CPO=l,即可求出線面角.

【詳解】（1）因?yàn)镻A_L底面ABC/）,COu底面A8C。，所以R4J_C￡）；

由四邊形ABC。為矩形，可得4），8,

又"）cRl=A,A￡）u平面PAO,Elu平面PA。，

所以C￡）,平面E4O；

（2）由（1）CQ_L平面PA。，則尸。是8在平面PAD的射影，且C￡）_LPZ），

所以/CPO為直線PC和平面幺。所成角：

因?yàn)锳fi=2,BC=l,PA=6,所以/。=巧+心=2,DC=2,

因此tanNCP￡>=空=1,則NCP￡>=X,

PD4

所以直線PC和平面PAO所成角的大小為￡.

【點(diǎn)睛】本題主要考查證明線面垂直，考查求線面角，熟記線面垂直的判定定理，以及線面

角的定義即可，屬于?？碱}型.

28.（2018?上海市南洋模范中學(xué)高二期中）如圖，已知平面

AB=AC=3,BC=2j5,A4,=夕,8田=2近，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn).

4

（1）求證：平面43八平面BCq；

（2）求直線A旦與平面BCB1所成角的大小.

【答案】⑴證明見解析；⑵聿

【分析】⑴由己知可得短，8C,因?yàn)?口平面A8C,陰〃他，所以陰1.平面A8C,從而

四||AE.故A￡_L平面SCB,,所以平面AEA,人平面BCB,；

⑵取網(wǎng)中點(diǎn)用和BC中點(diǎn)N,連接AM，AMNE,可證四邊形4NE4為平行四邊形,則

A、N〃AE,且AN=AE=2,可證/郎為直線A,B,與平面BCBt所成的角.又因?yàn)椤ˋB,

48,8片，有故可求出A片，在在RtA^NA中，sin幺8方=整=<,即可得到直線

A蜴與平面BC5所成角.

【詳解】解：⑴因?yàn)锳B=AC,E為BC的中點(diǎn).，所以AELBC.

因?yàn)锳4J平面A8C,85〃44,,所以8片，平面48（，

從而BBJAE.

又因?yàn)?（708旦=8,所以他，平面BCB1,

又因?yàn)锳Eu平面AE4,所以平面AEA入平面BCq:

⑵取BB、中點(diǎn)"和BC中點(diǎn)N,連接A"，AMNE.

因?yàn)镹和E分別為AC和BC的中點(diǎn)，所以NE||BB「NE=；BS（中位線定理），

故NE||AA,NE=A4,,故四邊形ANEA為平行四邊形，

所以AN〃4E,且AN=AE,

又因?yàn)槊嬖?，平?c用，所以ANJ.平面8CB-

從而NAqN為直線A片與平面8c與所成的角.

在AABC中，可得M=2,所以4N=AE=2,

因?yàn)锽M〃/L4,,BM=AAt,

所以四邊形AAB歷是平行四邊形

所4陽〃AB,A,M=AB,

又由AB得AM||四，

在Rt△中，A與=y]B,M2+A,M2=4,

AN_1

在RtAAN片中,sinZAfBlN=

因此NAMN=30.

所以直線4片與平面BC瓦所成角為￡

o

【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線與平面平行、平面與平面垂直、直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知

識(shí)考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力和推理論證能力.

29.(2017?上海市控江中學(xué)高二期中)已知長(zhǎng)方體A8C￡>-A4GA.

(1)求證：人①尸平面8BQD

(2)若4?=4,AO=3,求AA和平面明。。的距離.

12

【答案】⑴證明見解析；⑵y

【分析】(D在長(zhǎng)方體ABC0-A8GA中，44,〃8瓦，可證44戶平面34?！?gt;.

(2)由4A尸平面B片。。，直線4A上任意一點(diǎn)到平面BBQQ的距離都相等，即可以求點(diǎn)A到

平面BB&Q的距離,從而可得答案.

【詳解】⑴在長(zhǎng)方體"CO-ABCQ中，AA、IIBB、

又BB&平面BBRD

所以4Ap平面B8QO

⑵由（1）AAP平面8BQ。，

則直線A4上任意一點(diǎn)到平面BBQQ的距離都相等，

所以只需求直線4A上任意一點(diǎn)到平面3旦。。的距離,

在長(zhǎng)方體ABCD-A4GA中，BBt1平面ABCD

且BB]c平面BBRD,則平面BBRD1平面ABCD

過點(diǎn)A作AH±BD交BD于H,

則平面BBQ。，

即AH為直線4A和平面8月。。間的距離

在AABD中，AB=4,A￡）=3,則80=5.

,…ABxAD4x312

由等面積法得：AH=-—

DDJJ

所以4A和平面BB