圓的一般方程課件

2.4.2

圓的一般方程問題

直線方程有哪些形式？

直線的一般式方程直線的傾斜角和斜率直線的兩點式方程直線的點斜式方程過兩點的直線斜率公式斜截式方程截距式方程課堂導(dǎo)入展開得

由上可知，任何一個圓的標(biāo)準(zhǔn)方程都可變形成二元二次方程，反過來，二元二次方程一定能變形成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程嗎？將圓的標(biāo)準(zhǔn)方程課堂導(dǎo)入思考：方程

和

能不能變形成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程？

一般地，方程

中的D，E，F(xiàn)滿足什么條件時，這個方程表示圓？分析：對于方程將其配方可得方程表示以(1，-2)為圓心，半徑為2的圓；而方程

配方后得

，方程無意義，不表示任何圖形.形成概念一般地，把方程

配方可得：(1)當(dāng)

時，方程表示以

為圓心，

為半徑的圓；(2)當(dāng)

時，方程表示一個點

；(3)當(dāng)

時，方程無解，不表示任何圖形.圓的一般方程

從上面的分析可知，任何一個圓的方程都可以寫成的形式；反過來，當(dāng)

時，方程才表示一個圓，我們把它叫做圓的一般方程.注：圓的一般式突出了代數(shù)方程的形式結(jié)構(gòu)：(1)x2和y2系數(shù)相同，都不等于0；(2)沒有xy這樣的二次項.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與圓的一般方程各有什么特點呢？標(biāo)準(zhǔn)方程一般方程方程代數(shù)特征平方和特殊的二元二次方程系數(shù)圓心（a,b）半徑r思考辨析

判斷正誤

1.方程x2＋y2＋x＋1＝0表示一個圓.(

)2.若方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圓，則E≠0.(

)3.二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定是某個圓的方程.(

)4.任何一個圓的方程都能寫成一個二元二次方程.(

)××√√例若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圓.(1)求實數(shù)m的取值范圍；(2)寫出圓心坐標(biāo)和半徑.解

由表示圓的條件，得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，法二：將方程

x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0寫成標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m解1：(待定系數(shù)法)設(shè)過O,M1,M2的圓方程為則∴過O,M1,M2的圓方程為例1.求過三點O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的圓的方程及圓的半徑和圓心坐標(biāo).例1.求過三點O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的圓的方程及圓的半徑和圓心坐標(biāo).解2：(待定系數(shù)法)設(shè)過O,M1,M2的圓方程為則∴過O,M1,M2的圓方程為解3：(幾何方法)?l′?xO(0,0)yM1(1,1)??M2(4,2)l例1.求過三點O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的圓的方程及圓的半徑和圓心坐標(biāo).變式：已知一圓過P(4,-2),Q(-1,3)兩點,且在y軸上截得的線段長為4,求圓的方程.解

(法1：待定系數(shù)法)設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,將P,Q的坐標(biāo)分別代入上式,變式：已知一圓過P(4,-2),Q(-1,3)兩點,且在y軸上截得的線段長為4,求圓的方程.(方法2

幾何法)由題意得線段PQ的垂直平分線的方程為x-y-1=0,∴所求圓的圓心C在直線x-y-1=0上,設(shè)其坐標(biāo)為(a,a-1).例2.已知線段AB的端點B的坐標(biāo)是(4,3)，端點A在圓(x+1)2+y2=4上運動，求線段AB的中點M的軌跡方程..Oxy.B(4,3).A(x0,y0).M(x,y)追問：什么是軌跡和軌跡方程？直線：在平面直角坐標(biāo)系中，與定點連線的傾斜角為定值的點的集合；圓：在平面直角坐標(biāo)系中，到定點的距離等于定長的點的集合.例2.已知線段AB的端點B的坐標(biāo)是(4,3)，端點A在圓(x+1)2+y2=4上運動，求線段AB的中點M的軌跡方程..Oxy.B(4,3).A(x0,y0).M(x,y)定點：

，定圓：.

A(主動點)

M(從動點)由于A在圓上，則

課堂小結(jié)2.一般方程標(biāo)準(zhǔn)方程配方展開1.任何一個圓的方程可以寫成

（1）的形式，但方程（1）

表示的不一定是圓，只有

時，方程表示圓心為，半徑

為3.用待定系數(shù)法求圓的一般方程.4.類比：類比直線的一般式方程的獲得過程，由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得到圓的一般式方程.作業(yè)1.求下列各圓的方程，并畫出圖形：（1）圓心為點C（8，-3），且過點A（5，1）；（2）過A（－1，5），B（5，5），C（6，－2）三點．2.

平面直角