圓的一般方程課件

2.4.2

圓的一般方程問(wèn)題

直線方程有哪些形式？

直線的一般式方程直線的傾斜角和斜率直線的兩點(diǎn)式方程直線的點(diǎn)斜式方程過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率公式斜截式方程截距式方程課堂導(dǎo)入展開(kāi)得

由上可知，任何一個(gè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程都可變形成二元二次方程，反過(guò)來(lái)，二元二次方程一定能變形成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程嗎？將圓的標(biāo)準(zhǔn)方程課堂導(dǎo)入思考：方程

和

能不能變形成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程？

一般地，方程

中的D，E，F(xiàn)滿足什么條件時(shí)，這個(gè)方程表示圓？分析：對(duì)于方程將其配方可得方程表示以(1，-2)為圓心，半徑為2的圓；而方程

配方后得

，方程無(wú)意義，不表示任何圖形.形成概念一般地，把方程

配方可得：(1)當(dāng)

時(shí)，方程表示以

為圓心，

為半徑的圓；(2)當(dāng)

時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn)

；(3)當(dāng)

時(shí)，方程無(wú)解，不表示任何圖形.圓的一般方程

從上面的分析可知，任何一個(gè)圓的方程都可以寫(xiě)成的形式；反過(guò)來(lái)，當(dāng)

時(shí)，方程才表示一個(gè)圓，我們把它叫做圓的一般方程.注：圓的一般式突出了代數(shù)方程的形式結(jié)構(gòu)：(1)x2和y2系數(shù)相同，都不等于0；(2)沒(méi)有xy這樣的二次項(xiàng).圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與圓的一般方程各有什么特點(diǎn)呢？標(biāo)準(zhǔn)方程一般方程方程代數(shù)特征平方和特殊的二元二次方程系數(shù)圓心（a,b）半徑r思考辨析

判斷正誤

1.方程x2＋y2＋x＋1＝0表示一個(gè)圓.(

)2.若方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圓，則E≠0.(

)3.二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定是某個(gè)圓的方程.(

)4.任何一個(gè)圓的方程都能寫(xiě)成一個(gè)二元二次方程.(

)××√√例若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圓.(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)寫(xiě)出圓心坐標(biāo)和半徑.解

由表示圓的條件，得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，法二：將方程

x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0寫(xiě)成標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m解1：(待定系數(shù)法)設(shè)過(guò)O,M1,M2的圓方程為則∴過(guò)O,M1,M2的圓方程為例1.求過(guò)三點(diǎn)O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的圓的方程及圓的半徑和圓心坐標(biāo).例1.求過(guò)三點(diǎn)O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的圓的方程及圓的半徑和圓心坐標(biāo).解2：(待定系數(shù)法)設(shè)過(guò)O,M1,M2的圓方程為則∴過(guò)O,M1,M2的圓方程為解3：(幾何方法)?l′?xO(0,0)yM1(1,1)??M2(4,2)l例1.求過(guò)三點(diǎn)O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的圓的方程及圓的半徑和圓心坐標(biāo).變式：已知一圓過(guò)P(4,-2),Q(-1,3)兩點(diǎn),且在y軸上截得的線段長(zhǎng)為4,求圓的方程.解

(法1：待定系數(shù)法)設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,將P,Q的坐標(biāo)分別代入上式,變式：已知一圓過(guò)P(4,-2),Q(-1,3)兩點(diǎn),且在y軸上截得的線段長(zhǎng)為4,求圓的方程.(方法2

幾何法)由題意得線段PQ的垂直平分線的方程為x-y-1=0,∴所求圓的圓心C在直線x-y-1=0上,設(shè)其坐標(biāo)為(a,a-1).例2.已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是(4,3)，端點(diǎn)A在圓(x+1)2+y2=4上運(yùn)動(dòng)，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程..Oxy.B(4,3).A(x0,y0).M(x,y)追問(wèn)：什么是軌跡和軌跡方程？直線：在平面直角坐標(biāo)系中，與定點(diǎn)連線的傾斜角為定值的點(diǎn)的集合；圓：在平面直角坐標(biāo)系中，到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合.例2.已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是(4,3)，端點(diǎn)A在圓(x+1)2+y2=4上運(yùn)動(dòng)，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程..Oxy.B(4,3).A(x0,y0).M(x,y)定點(diǎn)：

，定圓：.

A(主動(dòng)點(diǎn))

M(從動(dòng)點(diǎn))由于A在圓上，則

課堂小結(jié)2.一般方程標(biāo)準(zhǔn)方程配方展開(kāi)1.任何一個(gè)圓的方程可以寫(xiě)成

（1）的形式，但方程（1）

表示的不一定是圓，只有

時(shí)，方程表示圓心為，半徑

為3.用待定系數(shù)法求圓的一般方程.4.類比：類比直線的一般式方程的獲得過(guò)程，由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得到圓的一般式方程.作業(yè)1.求下列各圓的方程，并畫(huà)出圖形：（1）圓心為點(diǎn)C（8，-3），且過(guò)點(diǎn)A（5，1）；（2）過(guò)A（－1，5），B（5，5），C（6，－2）三點(diǎn)．2.

平面直角