2024-2025學年新教材高中數(shù)學2一元二次函數(shù)方程和不等式2.1第2課時等式性質與不等式性質課后素養(yǎng)落實含解析新人教A版必修第一冊_第1頁
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課后素養(yǎng)落實(十一)等式性質與不等式性質(建議用時:40分鐘)一、選擇題1.已知:a,b,c,d∈R,則下列命題中必成立的是()A.若a>b,c>b,則a>cB.若a>-b,則c-a<c+bC.若a>b,c<d,則eq\f(a,c)>eq\f(b,d)D.若a2>b2,則-a<-bB[選項A,若a=4,b=2,c=5,明顯不成立;選項C,不滿意倒數(shù)不等式的條件,如a>b>0,c<0<d時,不成立;選項D,只有a>b>0時才可以,否則如a=-1,b=0時不成立,故選B.]2.已知a,b,c∈R,則下列命題正確的是()A.a>b?ac2>bc2 B.eq\f(a,c)>eq\f(b,c)?a>bC.eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,,ab<0))?eq\f(1,a)>eq\f(1,b) D.eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(ab>0,,a>b))?eq\f(1,a)>eq\f(1,b)C[當c=0時,A錯誤;當c<0時,B錯誤;當a<0,b<0時,D錯誤,故選C.]3.設a,b∈R,若a+|b|<0,則下列不等式中正確的是()A.a-b>0 B.a3+b3>0C.a2-b2<0 D.a+b<0D[∵a+|b|<0,∴|b|<-a,∴b<-a,∴a+b<0.故選D.]4.設a>1>b>-1,則下列不等式中恒成立的是()A.eq\f(1,a)<eq\f(1,b) B.eq\f(1,a)>eq\f(1,b)C.a2>2b D.a>b2D[A錯,例如a=2,b=-eq\f(1,2)時,eq\f(1,a)=eq\f(1,2),eq\f(1,b)=-2,此時,eq\f(1,a)>eq\f(1,b);B錯,例如a=2,b=eq\f(1,2)時,eq\f(1,a)=eq\f(1,2),eq\f(1,b)=2,此時,eq\f(1,a)<eq\f(1,b);C錯,例如a=eq\f(5,4),b=eq\f(15,16)時,a2=eq\f(25,16),2b=eq\f(30,16),此時a2<2b;由a>1,b2<1得a>b2,故D正確.]5.若1<a<3,-4<b<2,那么a-|b|的范圍是()A.-3<a-|b|≤3 B.-3<a-|b|<5C.-3<a-|b|<3 D.1<a-|b|<4C[∵-4<b<2,∴0≤|b|<4,∴-4<-|b|≤0.又1<a<3,∴-3<a-|b|<3,故選C.]二、填空題6.能說明“若a>b,則eq\f(1,a)<eq\f(1,b)”為假命題的一組a,b的值依次為________.[答案]1,-2(答案不唯一)7.若8<x<10,2<y<4,則eq\f(x,y)的取值范圍是________.2<eq\f(x,y)<5[∵2<y<4,∴eq\f(1,4)<eq\f(1,y)<eq\f(1,2).∵8<x<10,∴2<eq\f(x,y)<5.]8.給出以下四個命題:①a>b?an>bn(n∈N*);②a>|b|?an>bn(n∈N*);③a<b<0?eq\f(1,a)>eq\f(1,b);④a<b<0?eq\f(1,a-b)>eq\f(1,a).其中真命題的序號是________.②③[①中取a=-1,b=-2,n=2,不成立;②a>|b|,得a>0,∴an>bn成立;③a<b<0,得eq\f(1,a)>eq\f(1,b)成立;④a<b<0,得a-b<0,且a-b>a,故eq\f(1,a-b)<eq\f(1,a),④不成立.]三、解答題9.(1)a<b<0,求證:eq\f(b,a)<eq\f(a,b);(2)已知a>b,eq\f(1,a)<eq\f(1,b),求證:ab>0.[證明](1)由于eq\f(b,a)-eq\f(a,b)=eq\f(b2-a2,ab)=eq\f(b+ab-a,ab),∵a<b<0,∴b+a<0,b-a>0,ab>0,∴eq\f(b+ab-a,ab)<0,故eq\f(b,a)<eq\f(a,b).(2)∵eq\f(1,a)<eq\f(1,b),∴eq\f(1,a)-eq\f(1,b)<0,即eq\f(b-a,ab)<0,而a>b,∴b-a<0,∴ab>0.10.已知:3<a+b<4,0<b<1,求下列各式的取值范圍.(1)a;(2)a-b;(3)eq\f(a,b).[解](1)∵0<b<1,∴-1<-b<0,∵3<a+b<4,∴2<a+b+(-b)<4,即2<a<4.(2)∵0<b<1,∴-1<-b<0.又∵2<a<4,∴1<a-b<4.(3)∵0<b<1,∴eq\f(1,b)>1,又∵2<a<4,∴eq\f(a,b)>2.1.(多選)若正實數(shù)x,y滿意x>y,則有下列結論,其中正確的是()A.xy<y2 B.x2>y2C.eq\f(y,x)<eq\f(y+m,x+m)(m>0) D.eq\f(1,x)<eq\f(1,x-y)BCD[A中,由于x,y為正實數(shù),且x>y,兩邊乘以y得xy>y2,故A選項錯誤;B中,由于x,y為正實數(shù),且x>y,所以x2>y2,故B選項正確;C中,由于x,y為正實數(shù),且x>y,m>0,所以y(x+m)-x(y+m)=m(y-x)<0,則y(x+m)<x(y+m),所以eq\f(y,x)<eq\f(y+m,x+m)成立,故C選項正確;D中,由于x,y為正實數(shù),且x>y,所以x>x-y>0,取倒數(shù)得0<eq\f(1,x)<eq\f(1,x-y),故D選項正確.]2.手機屏幕面積與整機面積的比值叫手機的“屏占比”,它是手機外觀設計中一個重要參數(shù),其值通常在0~1之間,設計師將某手機的屏幕面積和整機面積同時增加相同的數(shù)量,升級為一款新手機的外觀,則該手機“屏占比”和升級前比有什么改變()A.“屏占比”不變 B.“屏占比”變小C.“屏占比”變大 D.改變不確定C[設升級前“屏占比”為eq\f(b,a),升級后“屏占比”為eq\f(b+m,a+m)(a>b>0,m>0),因為eq\f(b+m,a+m)-eq\f(b,a)=eq\f(a-bm,aa+m)>0,所以該手機“屏占比”和升級前比變大.]3.已知-1≤x+y≤4,且2≤x-y≤3,則z=2x-3y的取值范圍是________.3≤z≤8[∵z=-eq\f(1,2)(x+y)+eq\f(5,2)(x-y),-2≤-eq\f(1,2)(x+y)≤eq\f(1,2),5≤eq\f(5,2)(x-y)≤eq\f(15,2),∴3≤-eq\f(1,2)(x+y)+eq\f(5,2)(x-y)≤8,∴3≤z≤8.]4.設a,b為正實數(shù),有下列命題:①若a2-b2=1,則a-b<1;②若eq\f(1,b)-eq\f(1,a)=1,則a-b<1;③若|eq\r(a)-eq\r(b)|=1,則|a-b|<1;④若|a3-b3|=1,則|a-b|<1.其中正確的命題為________(寫出全部正確命題的序號).①④[對于①,由題意a,b為正實數(shù),則a2-b2=1?a-b=eq\f(1,a+b)?a-b>0?a>b>0,故a+b>a-b>0.若a-b≥1,則eq\f(1,a+b)≥1?a+b≤1≤a-b,這與a+b>a-b>0沖突,故a-b<1成立.對于②,取特別值,a=3,b=eq\f(3,4),則a-b>1.對于③,取特別值,a=9,b=4時,|a-b|>1.對于④,∵|a3-b3|=1,a>0,b>0,∴a≠b,不妨設a>b>0.∴a2+ab+b2>a2-2ab+b2>0,∴(a-b)(a2+ab+b2)>(a-b)(a-b)2.即a3-b3>(a-b)3>0,∴1=|a3-b3|>(a-b)3>0,∴0<a-b<1,即|a-b|<1.因此正確.]已知三個不等式:①ab>0;②eq\f(c,a)>eq\f(d,b);③bc>ad.以其中兩個作條件,余下一個為結論,能組成哪幾個正確的不等式命題?[解]由②可知eq\f(c,a)-eq\f(d,b)>0,∴eq\f(bc-ad,ab)>0,若③式成立,即bc>ad,則bc-ad>0,∴ab>0,故由②③?①正確;由①ab>0得

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