2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第六章平面向量及其應(yīng)用6.3.4平面向量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示同步練習(xí)含解析新人教A版必修第二冊

PAGE課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)八平面對(duì)量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示(15分鐘30分)1.已知向量a,b滿意a-b=(1,-5),a+2b=(-2,1),則b= ()A.(1,2) B.(1,-2)C.(-1,2) D.(-1,-2)【解析】選C.由題意得3b=(-3,6),所以b=(-1,2).2.(2024·本溪高一檢測)已知a=,B(1,0),b=(3,4),c=(-1,1)且a=3b-2c,則點(diǎn)A的坐標(biāo)為 ()A.(12,10) B.(12,-10)C.(-10,10) D.(-10,-10)【解析】選D.a=3b-2c=3(3,4)-2(-1,1)=(11,10),即=(11,10),由B(1,0)可得出=+=(1,0)+(-11,-10)=(-10,-10)(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).3.已知向量a=(1-sinθ,1),b=QUOTE,且a∥b,則銳角θ等于 ()A.30° B.45° C.60° D.75°【解析】選B.由a∥b,可得(1-sinθ)(1+sinθ)-QUOTE=0,即cosθ=±QUOTE,而θ是銳角,故θ=45°.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知向量a=QUOTE與向量b=(x2,2x)共線,則實(shí)數(shù)x的值為()A.-3B.-3或0C.3D.3或0【解析】選B.向量a=QUOTE與向量b=(x2,2x)共線,則2xQUOTE-x2=0,即x2+3x=0,解得x=0或x=-3,所以實(shí)數(shù)x的值為-3或0.4.已知A,B,C三點(diǎn)共線,且A(-3,6),B(-5,2),若C點(diǎn)的縱坐標(biāo)為6,則C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為()A.-3 B.9 C.-9 D.3【解析】選A.設(shè)C(x,6),因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)共線,所以∥,又=(-2,-4),=(x+3,0),所以-2×0+4(x+3)=0.所以x=-3.5.(2024·嘉定高一檢測)在平面直角坐標(biāo)系中,O為原點(diǎn),點(diǎn)A(4,-2),點(diǎn)P滿意=-3,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

【解析】設(shè)P(x,y),因?yàn)?-3,所以(x,y)=-3(4-x,-2-y),(x,y)=(-12+3x,6+3y),QUOTE解得QUOTE所以P(6,-3).答案:(6,-3)6.已知A(-2,4),B(3,1),C(-3,-4),設(shè)=a,=b,=c.(1)求2a-b+c(2)求滿意a=mb+nc的實(shí)數(shù)m,n.【解析】(1)=(5,-3),=(-6,-5),=(1,8),有2a-b+c=(10,-6)-(-6,-5)+(1,8)=(17,7).(2)由a=mb+nc,有(5,-3)=(-6m,-得QUOTE解得QUOTE【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知向量a=(1,1),b=(0,2),且λa+μb=(2,8),求實(shí)數(shù)λ,μ.【解析】因?yàn)閍=(1,1),b=(0,2),所以λa+μb=(λ,λ)+(0,2μ)=(λ,λ+2μ),又λa+μb=(2,8),所以QUOTE所以λ=2,μ=3.(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分,共20分)1.設(shè)向量a=(1,-3),b=(-2,4),c=(-1,-2),若表示向量4a,4b-2c,2(a-c),d的有向線段首尾相連能構(gòu)成四邊形,則向量A.(2,6) B.(-2,6)C.(2,-6) D.(-2,-6)【解析】選D.由題意,得4a+4b-2c+2(a-c)+d=0,則d=-4a-4b+2c-2(a-c+4c2.在△ABC中,點(diǎn)P在BC上,且=2,點(diǎn)Q是AC的中點(diǎn),若=QUOTE,=QUOTE,則等于()A.(-2,7) B.(-6,21)C.(2,-7) D.(6,-21)【解析】選B.因?yàn)辄c(diǎn)Q是AC的中點(diǎn),所以=QUOTE,所以=2-,因?yàn)?QUOTE,=QUOTE,所以=QUOTE,又=2,所以=3=QUOTE.【補(bǔ)償訓(xùn)練】在?ABCD中,=(3,7),=(-2,3),對(duì)稱中心為O,則等于()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.=-QUOTE=-QUOTE(+)=-QUOTE(1,10)=QUOTE.3.已知向量a=(x,3),b=(-3,x),則下列敘述中,正確的個(gè)數(shù)是 ()①存在實(shí)數(shù)x,使a∥b;②存在實(shí)數(shù)x,使(a+b)∥a;③存在實(shí)數(shù)x,m,使(ma+b)∥a;④存在實(shí)數(shù)x,m,使(ma+b)∥b.A.0 B.1 C.2 D.3【解析】選B.由a∥b得x2=-9,無實(shí)數(shù)解,①不對(duì);又a+b=(x-3,3+x),由(a+b)∥a得3(x-3)-x(3+x)=0,即x2=-9,無實(shí)數(shù)解,②不對(duì);因?yàn)閙a+b=(mx-3,3m+x),而(ma+b)∥a,所以(3m+x)x-3(mx-3)=0,即x2=-9,無實(shí)數(shù)解,③不對(duì);由(ma+b)∥b得-3(3m+x)-x(mx-3)=0,即m(x2+9)=0,所以m=0,x∈R,④正確,綜上,正確的個(gè)數(shù)為1.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知向量a=(1,0),b=(0,1),c=ka+b(k∈R),d=a-b,假如c∥d,那么 ()A.k=1且c與d同向B.k=1且c與d反向C.k=-1且c與d同向D.k=-1且c與d反向【解析】選D.因?yàn)閍=(1,0),b=(0,1),若k=1,則c=a+b=(1,1),d=a-b=(1,-1),明顯,c與d不平行,解除A、B.若k=-1,則c=-a+b=(-1,1),d=a-b=-(-1,1),即c∥d且c與d反向.4.設(shè)=(1,-2),=(a,-1),=(-b,0),a>0,b>0,O為坐標(biāo)原點(diǎn),若A,B,C三點(diǎn)共線,則QUOTE+QUOTE的最小值是()A.2 B.4 C.6 D.8【解題指南】由A,B,C三點(diǎn)共線可得關(guān)于a,b的等量關(guān)系,進(jìn)而可以用基本不等式求最值.【解析】選D.由題意可得=-=(a-1,1),=-=(-b-1,2).又因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)共線,所以∥,從而(a-1)×2-1×(-b-1)=0,所以2a+b=1.又因?yàn)閍>0,b>0,所以QUOTE+QUOTE=QUOTE=4+QUOTE≥4+4=8,當(dāng)且僅當(dāng)a=QUOTE,b=QUOTE時(shí)取等號(hào),故QUOTE+QUOTE的最小值是8.二、多選題(每小題5分,共10分,全部選對(duì)得5分,選對(duì)但不全的得3分,有選錯(cuò)的得0分)5.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),已知點(diǎn)A(2,1),B(0,2),C(-2,1),O(0,0),下面結(jié)論正確的是 ()A.-= B.+=C.=-2 D.+2=【解析】選BC.對(duì)于A,=QUOTE,=QUOTE,=QUOTE,所以-≠,故錯(cuò)誤;對(duì)于B,=(2,1),=QUOTE,=(0,2),所以+=成立,故正確;對(duì)于C,=(-4,0),=(0,2),=(2,1),所以=-2成立,故正確;對(duì)于D,=(2,1),=QUOTE,=(0,2),所以+2≠,故錯(cuò)誤.6.已知向量e1=(-1,2),e2=(2,1),若a=λ1e1+λ2e2,則可使λ1λ2<0成立的a可能是 ()A.(1,0) B.(0,1)C.(-1,0) D.(0,-1)【解析】選AC.由已知得a=λ1(-1,2)+λ2(2,1)=QUOTE,若λ1λ2<0,則-λ1+2λ2≠0,解除BD.對(duì)于A,QUOTE=QUOTE,所以QUOTE解得QUOTEλ1λ2<0成立;對(duì)于C,QUOTE=QUOTE,所以QUOTE解得QUOTEλ1λ2<0成立.三、填空題(每小題5分,共10分)7.已知向量a=(1,1),b=(m,-2),且a∥QUOTE,則m的值等于.

【解析】依據(jù)題意,向量a=(1,1),b=(m,-2),則a+2b=(1+2m,-3),若a∥QUOTE,則有1+2m=-3,解得:m=-2.答案:-28.已知點(diǎn)O(0,0),A(1,2),B(4,5)及=+t,(1)t滿意時(shí),點(diǎn)P在x軸上;

(2)t滿意時(shí),點(diǎn)P在y軸上;

(3)t滿意時(shí),點(diǎn)P在其次象限內(nèi).

【解析】=(3,3),=(1,2),=+t=(1+3t,2+3t).若點(diǎn)P在x軸上,則2+3t=0,解得t=-QUOTE.若點(diǎn)P在y軸上,則1+3t=0,解得t=-QUOTE.若點(diǎn)P在其次象限內(nèi),則QUOTE解得-QUOTE<t<-QUOTE.答案:(1)t=-QUOTE(2)t=-QUOTE(3)-QUOTE<t<-QUOTE四、解答題(每小題10分,共20分)9.已知A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-1,0),(3,-1),(1,2),并且=QUOTE,=QUOTE,求證:∥.【證明】設(shè)E,F的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),依題意有=(2,2),=(-2,3),=(4,-1),因?yàn)?QUOTE,所以(x1+1,y1)=QUOTE(2,2).所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為QUOTE.同理點(diǎn)F的坐標(biāo)為QUOTE,=QUOTE.又QUOTE×(-1)-4×QUOTE=0,所以∥.10.設(shè)四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)分別為A(4,8),BQUOTE,C(-2,-1),DQUOTE,求AC與BD交點(diǎn)M的坐標(biāo).【解析】設(shè)M(x,y),則=(x-4,y-8),=QUOTE,=(x+2,y+1),=QUOTE.因?yàn)锳,M,C共線,有(x-4)(y+1)=(x+2)(y-8),即3x-2y+4=0;因?yàn)锽,M,D共線,有(x+1)(y-7)=QUOTE,化簡為4x+2y-11=0,由QUOTE得QUOTE所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為QUOTE.1.我國古代人民早在幾千年以前就已經(jīng)發(fā)覺并應(yīng)用勾股定理了,勾股定理最早的證明是東漢數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)給出的,被后人稱為“趙爽弦圖”.如圖,大正方形ABCD是由4個(gè)全等的直角三角形和中間的小正方形組成的,若=a,=b,E為BF的中點(diǎn),則= ()A.QUOTEa+QUOTEb B.QUOTEa+QUOTEbC.QUOTEa+QUOTEb D.QUOTEa+QUOTEb【解題指南】建立平面直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)AB=1,BE=x,則AE=2x.利用勾股定理可得x,通過Rt△ABE的邊角關(guān)系,可得E的坐標(biāo),設(shè)=m+n,通過坐標(biāo)運(yùn)算性質(zhì)即可得出.【解析】選A.如圖所示,建立平面直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)AB=1,BE=x,則AE=2x.所以x2+4x2=1,解得x=QUOTE.設(shè)∠BAE=θ,則sinθ=QUOTE,cosθ=QUOTE.所以xE=QUOTEcosθ=QUOTE,yE=QUOTEsinθ=QUOTE.設(shè)=m+n,則QUOTE=m(1,0)+n(0,1).所以m=QUOTE,n=QUOTE.所以=QUOTEa+QUOTEb.2.已知四邊形ABCD是邊長為6的正方形,E為AB的中點(diǎn),點(diǎn)F在BC上,且BF