2023屆甘肅省武威市高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題（解析版）

高考模擬試題PAGEPAGE1武威市教育局第一次高三聯(lián)考數(shù)學(xué)（理科）第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗解不等式求出集合，得到，再根據(jù)交集定義計算即可.〖詳析〗由得,，得.故選：B.2.設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗由復(fù)數(shù)的幾何意義確定復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，再結(jié)合復(fù)數(shù)的運算法則求.〖詳析〗因為復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為，所以，所以．故選：D.3.在中，，則的范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗由余弦定理可得表達式，結(jié)合可得〖答案〗.〖詳析〗，因為，所以.又，所以的范圍是.故選：B4.某算法的程序框圖如圖所示，則該算法的功能是（）A.計算 B.計算C.計算 D.計算〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗按流程圖順序計算可得結(jié)果.〖詳析〗初始值；第1次循環(huán)，；第2次循環(huán)，；第3次循環(huán)，，；第4次循環(huán)，，此時，跳出循環(huán)，輸出.故選：A5.若，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗先由誘導(dǎo)公式求出的值，再利用拆分角求得結(jié)果.〖詳析〗由，得.故選：C.6.若，滿足約束條件，則下列目標(biāo)函數(shù)中最大值為的是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗畫出可行域，求目標(biāo)函數(shù)的最大值，從而求得正確〖答案〗.〖詳析〗由解得，設(shè)，畫出可行域如下圖所示，由圖可知，目標(biāo)函數(shù)在點處取得最大值，所以的最大值為.故選：B7.在正四棱柱中，是的中點，，則與平面所成角的正弦值為（）A B. C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗根據(jù)線面角定義，先證明為與平面所成的角，再根據(jù)題設(shè)條件求出利用正弦的定義即可求解.〖詳析〗依題意，可得如圖：設(shè)底面的中心為，易得平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，取的中點，連接，則，所以平面，連接，則為與平面所成的角.因為，所以.所以.故選：A.8.隨著新能源技術(shù)的發(fā)展，新能源汽車行業(yè)也迎來了巨大的商機.某新能源汽車加工廠生產(chǎn)某款新能源汽車每年需要固定投入100萬元，此外每生產(chǎn)x輛該汽車另需增加投資g（x）萬元，當(dāng)該款汽車年產(chǎn)量低于400輛時，，當(dāng)年產(chǎn)量不低于400輛時，，該款汽車售價為每輛15萬元，且生產(chǎn)的汽車均能售完，則該工廠生產(chǎn)并銷售這款新能源汽車的最高年利潤為（）A.1500萬元 B.2100萬元 C.2200萬元 D.3800萬元〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗先表示利潤函數(shù)，利潤等于銷售收入減去投資和固定投入100萬元，再分別利用二次函數(shù)、均值不等式求最值.〖詳析〗設(shè)該工廠生產(chǎn)并銷售這款新能源汽車的年利潤為（萬元），由題意可知，，即，當(dāng)時，的對稱軸，則；當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最大值2200.綜上，該工廠生產(chǎn)并銷售這款新能源汽車的最高年利潤為2200萬元.故選：C.9.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，再將所得圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，若在上恰有2個零點，則的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗根據(jù)題意得，由得，由在上恰有2個零點，得，即可解決.〖詳析〗由題可知，，先將函數(shù)圖象向右平移個單位長度，得，再將所得圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，縱坐標(biāo)不變，得，當(dāng)時，，因為在上恰有2個零點，所以，解得所以的取值范圍為，故選：B10.已知正三角形的邊長為6，，，且，則點到直線距離的最大值為（）A. B.3 C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗由結(jié)合得出點在線段上運動，進而得出點到直線距離的最大值.〖詳析〗因為，所以，所以．如圖，設(shè)，，則．因為，，所以點在線段上運動，顯然，當(dāng)點與點重合時，點到直線的距離取得最大值．故選：D11.已知是離心率為的雙曲線的右支上一點，則到直線的距離與到點的距離之和的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗由雙曲線的定義，將點到左焦點的距離轉(zhuǎn)化為到右焦點的距離，再求右焦點到直線的距離，進而得出結(jié)果.〖詳析〗已知雙曲線，可知，則，所以，分別為的左、右焦點，則，即，設(shè)到直線的距離為，到直線的距離為，且，則.故選：A.12.若函數(shù)有兩個極值點，，且，則取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)有兩個極值點，，由在上有兩個不等實根，求得a的范圍，進而再根據(jù)，得到的范圍，再由，得到，利用導(dǎo)數(shù)法求解.〖詳析〗因為，所以，令，因為函數(shù)有兩個極值點，，所以函數(shù)在上有兩個不等實根，則，解得，因為，且，，所以，且，所以，．令函數(shù)，，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，則，即的取值范圍為．故選：A〖『點石成金』〗關(guān)鍵『點石成金』：本題關(guān)鍵是根據(jù)題意，由在上有兩個不等實根，求得a的范圍，進而再根據(jù)，得到的范圍而得解.第Ⅱ卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把〖答案〗填在答題卡的相應(yīng)位置．13.已知某圓臺的上底面和下底面的面積分別為，，該圓臺的體積為，則該圓臺的高為______.〖答案〗3〖解析〗〖祥解〗由圓臺的體積公式直接求得.〖詳析〗圓臺的體積，得.所以該圓臺的高為3.故〖答案〗為：3.14.將8個人分成三組，其中一組由2人組成，另外兩組都由3人組成，則不同的分組方法種數(shù)為______.〖答案〗280〖解析〗〖祥解〗組合問題中既有均分又有非均分，先從8個人中選出3人為一組，再從5人中選出3人為一組，注意均分分組中的順序問題，剩余兩人為一組.〖詳析〗先從8個人中選出3人為一組，再從5人中選出3人為一組，剩余兩人為一組.滿足條件的分組方法種數(shù)為.故〖答案〗為：280.15.定義在上的奇函數(shù)滿足，當(dāng)時，，則__________.〖答案〗〖解析〗〖祥解〗由題可得，周期為4，據(jù)此可得〖答案〗.〖詳析〗因為是定義在上的奇函數(shù)，所以，解得.又，所以，則，即是以4為周期的周期函數(shù)，故.故〖答案〗為：.16.為橢圓上一點，曲線與坐標(biāo)軸的交點為，，，，若，則到軸的距離為__________.〖答案〗〖解析〗〖祥解〗首先表示出，，，的坐標(biāo)，依題意可得，即可得到為橢圓上一點，聯(lián)立兩橢圓方程，求出，即可得解.〖詳析〗解：不妨設(shè)，，，，則，為橢圓的焦點，所以，又，所以，且，所以在以、為焦點的橢圓上，且，所以，所以為橢圓上一點，由，解得，則，故到軸的距離為.故〖答案〗為：三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.設(shè)等比數(shù)列的前項和為，已知，且.（1）求的通項公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項和為，證明：當(dāng)時，.〖答案〗（1）（2）證明見〖解析〗〖解析〗〖祥解〗（1）根據(jù)等比數(shù)列的通項公式和求和公式列式求，即可得結(jié)果；（2）利用分組求和可求得，再結(jié)合函數(shù)單調(diào)性證明.〖小問1詳析〗設(shè)數(shù)列的公比為，∵，則，解得，故.〖小問2詳析〗由（1）知，所以∵在上單調(diào)遞增，則數(shù)列為遞增數(shù)列，∴當(dāng)時，，故當(dāng)時，.18.為了豐富大學(xué)生的課外生活，某高校團委組織了有獎猜謎知識競賽，共有名學(xué)生參加，隨機抽取了名學(xué)生，記錄他們的分數(shù)，將其整理后分成組，各組區(qū)間為，，，，并畫出如圖所示的頻率分布直方圖（1）估計所有參賽學(xué)生的平均成績各組的數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中間值作代表；（2）若團委決定對所有參賽學(xué)生中成績排在前名的學(xué)生進行表彰，估計獲得表彰的學(xué)生的最低分數(shù)線（3）以這名學(xué)生成績不低于分的頻率為概率，從參賽的名學(xué)生中隨機選名，其中參賽學(xué)生成績不低于分的人數(shù)記為，求的方差〖答案〗（1）分（2）分（3）〖解析〗〖祥解〗（1）利用頻率分布直方圖進行數(shù)據(jù)分析，求出，再求出這名參賽學(xué)生的平均成績，由此估計出所有參賽學(xué)生的平均成績；（2）求出可以獲得表彰的學(xué)生人數(shù)的頻率，設(shè)獲得表彰的學(xué)生的最低分數(shù)線為，根據(jù)條件建立關(guān)于的方程求解即可；（3）根據(jù)條件,可知，然后由方差公式求解即可.〖小問1詳析〗由，得這名參賽學(xué)生的平均成績約為分，故估計所有參賽學(xué)生的平均成績?yōu)榉帧夹?詳析〗獲得表彰的學(xué)生人數(shù)的頻率為，設(shè)獲得表彰的學(xué)生的最低分數(shù)線為，由分數(shù)在區(qū)間的頻率為，可知，由，得，故估計獲得表彰的學(xué)生的最低分數(shù)線為分〖小問3詳析〗這名學(xué)生成績不低于分的頻率為，由題意，可知，故19.如圖，在四棱錐中，四邊形是直角梯形，，，，，，是棱的中點．（1）證明：平面；（2）若，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值的最大值．〖答案〗（1）證明見〖解析〗（2）〖解析〗〖祥解〗（1）由線面垂直判定可證得平面，進而得到；利用勾股定理和線面垂直的判定得到平面，從而得到；利用勾股定理可證得，由此可得結(jié)論；（2）以為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由二面角的向量求法可求得，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求得的最大值.〖小問1詳析〗連接，，，，又，，為棱中點，，又，，平面，平面，又平面，；在直角梯形中，取中點，連接，，，又，，，四邊形為正方形，，，，又，，，，平面，平面，平面，；，，，，又，平面，平面.〖小問2詳析〗以為坐標(biāo)原點，正方向為軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，，，，；，，；設(shè)平面的法向量為，則，令，解得：，，；軸平面，平面的一個法向量，設(shè)平面與平面所成的銳二面角為，則當(dāng)時，，，即平面與平面所成的銳二面角余弦值的最大值為.20.已知直線與拋物線交于，兩點，且（1）求的方程（2）若直線與交于兩點，點與點關(guān)于軸對稱，試問直線是否過定點？若過定點，求定點的坐標(biāo)；若不過定點，說明理由〖答案〗（1）（2）過定點，〖解析〗〖祥解〗（1）聯(lián)立直線與拋物線，寫出根與系數(shù)關(guān)系，化簡已知條件來求得，進而求得拋物線的方程.（2）連值直線拋物線，寫出根與系數(shù)關(guān)系，求得直線的方程，并求出定點的坐標(biāo).〖小問1詳析〗將代入，得，則，則，解得，故的方程為〖小問2詳析〗設(shè)，則，聯(lián)立方程組，整理得，則，所以，因此直線的方程為，整理得，即，當(dāng)時，，故直線過定點.21.已知函數(shù)．（1）求在上的極值；（2）若，求的最小值．〖答案〗（1）為極小值，無極大值.（2）〖解析〗〖祥解〗(1)求導(dǎo)后，借助導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性，借助單調(diào)性分析極值的情況；(2)令,令，設(shè)，再借助導(dǎo)函數(shù)的正負性，分析原函數(shù)的單調(diào)性確定極值，再反推的單調(diào)性，判斷極大值情況.〖小問1詳析〗，令，得，在為負，單調(diào)遞減，在為正，單調(diào)遞增，故為極小值，無極大值.〖小問2詳析〗由題知,令，令，則，設(shè)則，，為正，在單調(diào)遞增，，為負，在單調(diào)遞減，故為極大值，若，即，此時，則在單調(diào)遞減，又，所以時，在單調(diào)遞增，時，，在單調(diào)遞減，故為極大值，所以，則當(dāng)時，符合條件；，即此時，存在，在上；，則在單調(diào)遞增，又，則在區(qū)間上所以在區(qū)間上，單調(diào)遞減，則，不滿足條件.綜上所述的最小值為.（二）選考題：共10分．請考生從第22，23兩題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一個題目計分．選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22.在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程；（2）過曲線上任意一點作與直線的夾角為45°的直線，且與交于點，求的最小值.〖答案〗（1）曲線的普通方程為；直線的直角坐標(biāo)方程為.（2）〖解析〗〖祥解〗（1）對曲線的參數(shù)方程消去參數(shù)，可得曲線的普通方程；將代入的極坐標(biāo)方程中，可得直線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)，利用點到直線的距離公式和三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可.〖小問1詳析〗曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），由，消去參數(shù)，可得曲線的普通方程為.將代入直線極坐標(biāo)方程中，可得直線的直角坐標(biāo)方程為.〖小問2詳析〗設(shè)，則點到的距離其中.因為過點的直線與的夾角為45°，所以，故的最小值為.選修4-5：不等式選講23.已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）設(shè)函數(shù)的最大值為，若正數(shù)，滿足，求的最小值.〖答案〗（1）（2）〖解析〗〖祥解〗（1）對分，及討論去掉絕對值號解不等式即可；（2）由絕對值不等式性質(zhì)可知，再利用基本不等式求最值即可.〖小問1詳析〗依題意，當(dāng)時，不等式轉(zhuǎn)化為，解得.當(dāng)時，不等式轉(zhuǎn)化為，解得.當(dāng)時，不等式轉(zhuǎn)化為，解得.綜上所述，不等式的解集為.〖小問2詳析〗由（1）得，，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時，等號成立，故的最小值為.

高考模擬試題PAGEPAGE1武威市教育局第一次高三聯(lián)考數(shù)學(xué)（理科）第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗解不等式求出集合，得到，再根據(jù)交集定義計算即可.〖詳析〗由得,，得.故選：B.2.設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗由復(fù)數(shù)的幾何意義確定復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，再結(jié)合復(fù)數(shù)的運算法則求.〖詳析〗因為復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為，所以，所以．故選：D.3.在中，，則的范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗由余弦定理可得表達式，結(jié)合可得〖答案〗.〖詳析〗，因為，所以.又，所以的范圍是.故選：B4.某算法的程序框圖如圖所示，則該算法的功能是（）A.計算 B.計算C.計算 D.計算〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗按流程圖順序計算可得結(jié)果.〖詳析〗初始值；第1次循環(huán)，；第2次循環(huán)，；第3次循環(huán)，，；第4次循環(huán)，，此時，跳出循環(huán)，輸出.故選：A5.若，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗先由誘導(dǎo)公式求出的值，再利用拆分角求得結(jié)果.〖詳析〗由，得.故選：C.6.若，滿足約束條件，則下列目標(biāo)函數(shù)中最大值為的是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗畫出可行域，求目標(biāo)函數(shù)的最大值，從而求得正確〖答案〗.〖詳析〗由解得，設(shè)，畫出可行域如下圖所示，由圖可知，目標(biāo)函數(shù)在點處取得最大值，所以的最大值為.故選：B7.在正四棱柱中，是的中點，，則與平面所成角的正弦值為（）A B. C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗根據(jù)線面角定義，先證明為與平面所成的角，再根據(jù)題設(shè)條件求出利用正弦的定義即可求解.〖詳析〗依題意，可得如圖：設(shè)底面的中心為，易得平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，取的中點，連接，則，所以平面，連接，則為與平面所成的角.因為，所以.所以.故選：A.8.隨著新能源技術(shù)的發(fā)展，新能源汽車行業(yè)也迎來了巨大的商機.某新能源汽車加工廠生產(chǎn)某款新能源汽車每年需要固定投入100萬元，此外每生產(chǎn)x輛該汽車另需增加投資g（x）萬元，當(dāng)該款汽車年產(chǎn)量低于400輛時，，當(dāng)年產(chǎn)量不低于400輛時，，該款汽車售價為每輛15萬元，且生產(chǎn)的汽車均能售完，則該工廠生產(chǎn)并銷售這款新能源汽車的最高年利潤為（）A.1500萬元 B.2100萬元 C.2200萬元 D.3800萬元〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗先表示利潤函數(shù)，利潤等于銷售收入減去投資和固定投入100萬元，再分別利用二次函數(shù)、均值不等式求最值.〖詳析〗設(shè)該工廠生產(chǎn)并銷售這款新能源汽車的年利潤為（萬元），由題意可知，，即，當(dāng)時，的對稱軸，則；當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最大值2200.綜上，該工廠生產(chǎn)并銷售這款新能源汽車的最高年利潤為2200萬元.故選：C.9.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，再將所得圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，若在上恰有2個零點，則的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗根據(jù)題意得，由得，由在上恰有2個零點，得，即可解決.〖詳析〗由題可知，，先將函數(shù)圖象向右平移個單位長度，得，再將所得圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，縱坐標(biāo)不變，得，當(dāng)時，，因為在上恰有2個零點，所以，解得所以的取值范圍為，故選：B10.已知正三角形的邊長為6，，，且，則點到直線距離的最大值為（）A. B.3 C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗由結(jié)合得出點在線段上運動，進而得出點到直線距離的最大值.〖詳析〗因為，所以，所以．如圖，設(shè)，，則．因為，，所以點在線段上運動，顯然，當(dāng)點與點重合時，點到直線的距離取得最大值．故選：D11.已知是離心率為的雙曲線的右支上一點，則到直線的距離與到點的距離之和的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗由雙曲線的定義，將點到左焦點的距離轉(zhuǎn)化為到右焦點的距離，再求右焦點到直線的距離，進而得出結(jié)果.〖詳析〗已知雙曲線，可知，則，所以，分別為的左、右焦點，則，即，設(shè)到直線的距離為，到直線的距離為，且，則.故選：A.12.若函數(shù)有兩個極值點，，且，則取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)有兩個極值點，，由在上有兩個不等實根，求得a的范圍，進而再根據(jù)，得到的范圍，再由，得到，利用導(dǎo)數(shù)法求解.〖詳析〗因為，所以，令，因為函數(shù)有兩個極值點，，所以函數(shù)在上有兩個不等實根，則，解得，因為，且，，所以，且，所以，．令函數(shù)，，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，則，即的取值范圍為．故選：A〖『點石成金』〗關(guān)鍵『點石成金』：本題關(guān)鍵是根據(jù)題意，由在上有兩個不等實根，求得a的范圍，進而再根據(jù)，得到的范圍而得解.第Ⅱ卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把〖答案〗填在答題卡的相應(yīng)位置．13.已知某圓臺的上底面和下底面的面積分別為，，該圓臺的體積為，則該圓臺的高為______.〖答案〗3〖解析〗〖祥解〗由圓臺的體積公式直接求得.〖詳析〗圓臺的體積，得.所以該圓臺的高為3.故〖答案〗為：3.14.將8個人分成三組，其中一組由2人組成，另外兩組都由3人組成，則不同的分組方法種數(shù)為______.〖答案〗280〖解析〗〖祥解〗組合問題中既有均分又有非均分，先從8個人中選出3人為一組，再從5人中選出3人為一組，注意均分分組中的順序問題，剩余兩人為一組.〖詳析〗先從8個人中選出3人為一組，再從5人中選出3人為一組，剩余兩人為一組.滿足條件的分組方法種數(shù)為.故〖答案〗為：280.15.定義在上的奇函數(shù)滿足，當(dāng)時，，則__________.〖答案〗〖解析〗〖祥解〗由題可得，周期為4，據(jù)此可得〖答案〗.〖詳析〗因為是定義在上的奇函數(shù)，所以，解得.又，所以，則，即是以4為周期的周期函數(shù)，故.故〖答案〗為：.16.為橢圓上一點，曲線與坐標(biāo)軸的交點為，，，，若，則到軸的距離為__________.〖答案〗〖解析〗〖祥解〗首先表示出，，，的坐標(biāo)，依題意可得，即可得到為橢圓上一點，聯(lián)立兩橢圓方程，求出，即可得解.〖詳析〗解：不妨設(shè)，，，，則，為橢圓的焦點，所以，又，所以，且，所以在以、為焦點的橢圓上，且，所以，所以為橢圓上一點，由，解得，則，故到軸的距離為.故〖答案〗為：三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.設(shè)等比數(shù)列的前項和為，已知，且.（1）求的通項公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項和為，證明：當(dāng)時，.〖答案〗（1）（2）證明見〖解析〗〖解析〗〖祥解〗（1）根據(jù)等比數(shù)列的通項公式和求和公式列式求，即可得結(jié)果；（2）利用分組求和可求得，再結(jié)合函數(shù)單調(diào)性證明.〖小問1詳析〗設(shè)數(shù)列的公比為，∵，則，解得，故.〖小問2詳析〗由（1）知，所以∵在上單調(diào)遞增，則數(shù)列為遞增數(shù)列，∴當(dāng)時，，故當(dāng)時，.18.為了豐富大學(xué)生的課外生活，某高校團委組織了有獎猜謎知識競賽，共有名學(xué)生參加，隨機抽取了名學(xué)生，記錄他們的分數(shù)，將其整理后分成組，各組區(qū)間為，，，，并畫出如圖所示的頻率分布直方圖（1）估計所有參賽學(xué)生的平均成績各組的數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中間值作代表；（2）若團委決定對所有參賽學(xué)生中成績排在前名的學(xué)生進行表彰，估計獲得表彰的學(xué)生的最低分數(shù)線（3）以這名學(xué)生成績不低于分的頻率為概率，從參賽的名學(xué)生中隨機選名，其中參賽學(xué)生成績不低于分的人數(shù)記為，求的方差〖答案〗（1）分（2）分（3）〖解析〗〖祥解〗（1）利用頻率分布直方圖進行數(shù)據(jù)分析，求出，再求出這名參賽學(xué)生的平均成績，由此估計出所有參賽學(xué)生的平均成績；（2）求出可以獲得表彰的學(xué)生人數(shù)的頻率，設(shè)獲得表彰的學(xué)生的最低分數(shù)線為，根據(jù)條件建立關(guān)于的方程求解即可；（3）根據(jù)條件,可知，然后由方差公式求解即可.〖小問1詳析〗由，得這名參賽學(xué)生的平均成績約為分，故估計所有參賽學(xué)生的平均成績?yōu)榉帧夹?詳析〗獲得表彰的學(xué)生人數(shù)的頻率為，設(shè)獲得表彰的學(xué)生的最低分數(shù)線為，由分數(shù)在區(qū)間的頻率為，可知，由，得，故估計獲得表彰的學(xué)生的最低分數(shù)線為分〖小問3詳析〗這名學(xué)生成績不低于分的頻率為，由題意，可知，故19.如圖，在四棱錐中，四邊形是直角梯形，，，，，，是棱的中點．（1）證明：平面；（2）若，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值的最大值．〖答案〗（1）證明見〖解析〗（2）〖解析〗〖祥解〗（1）由線面垂直判定可證得平面，進而得到；利用勾股定理和線面垂直的判定得到平面，從而得到；利用勾股定理可證得，由此可得結(jié)論；（2）以為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由二面角的向量求法可求得，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求得的最大值.〖小問1詳析〗連接，，，，又，，為棱中點，，又，，平面，平面，又平面，；在直角梯形中，取中點，連接，，，又，，，四邊形為正方形，，，，又，，，，平面，平面，平面，；，，，，又，平面，平面.〖小問2詳析〗以為坐標(biāo)原點，正方向為軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，，，，；，，；設(shè)平面的法向量為，則，令，解得：，，；軸平面，平面的一個法向量，設(shè)平面與平面所成的銳二面角為，則當(dāng)時，，，即平面與平面所成的銳二面角余弦值的最大值為.20.已知直線與拋物線交于，兩點，且（1）求的方程（2）若直線與交于兩點，點與點關(guān)于軸對稱，試問直線是否過定點？若過定點，求定點的坐標(biāo)；若不過定點，說明理由〖答案〗（1）（2）過定點，〖解析〗〖祥解〗（1）聯(lián)立直線與拋物線，寫出根與系數(shù)關(guān)系，化簡已知條件來求得，進而求得拋物線的方程.（2）連值直線拋物線，寫出根與系數(shù)關(guān)系，求得直線的方程，并求出定點的坐標(biāo).〖小問1詳析〗將代入，得，則，則，解得，故的方程為〖小