2023~2024學(xué)年第一學(xué)期期中高二數(shù)學(xué)試題（選擇性必修一檢測）含答案

2023~2024學(xué)年第一學(xué)期期中高二數(shù)學(xué)試題（選擇性必修一檢測）說明：本試卷滿分150分，分為第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，第I卷為第1頁至第3頁，第II卷為第3頁至第4頁.試題答案請用2B鉛筆或0.5mm簽字筆填涂到答題卡規(guī)定位置上，書寫在試題上的答案無效.考試時間120分鐘.第I卷（共60分）一?單選題（本題包括8小題，每小題5分，共40分.每小題只有一個選項符合題意）1.已知橢圓的焦點在軸上，焦距為4，則等于（）A8 B.7 C.6 D.5【答案】A【解析】【分析】根據(jù)方程表示橢圓，及焦點的位置得不等關(guān)系，從而得出結(jié)論．【詳解】解：橢圓的焦點在軸上，，即，且，，，又焦距為4，，得．故選：．2.“”是“直線與直線相互垂直”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】直線與直線相互垂直得到，再利用充分必要條件的定義判斷得解.【詳解】因為直線與直線相互垂直，所以，所以.所以時，直線與直線相互垂直，所以“”是“直線與直線相互垂直”的充分條件；當(dāng)直線與直線相互垂直時，不一定成立，所以“”是“直線與直線相互垂直”的非必要條件.所以“”是“直線與直線相互垂直”的充分非必要條件.故選：A【點睛】方法點睛：充分必要條件的判定，常用的方法有：（1）定義法；（2）集合法；（3）轉(zhuǎn)化法.要根據(jù)已知條件靈活選擇方法求解.3.點與圓上任一點連線的中點的軌跡方程是A.B.C.D.【答案】A【解析】【詳解】試題分析：設(shè)圓上任一點為，中點為，根據(jù)中點坐標(biāo)公式得，，因為在圓上，所以，即，化為，故選A.考點：1、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2、“逆代法”求軌跡方程.【方法點晴】本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、“逆代法”求軌跡方程，屬于難題.求軌跡方程的常見方法有:①直接法，設(shè)出動點的坐標(biāo)，根據(jù)題意列出關(guān)于的等式即可；②定義法，根據(jù)題意動點符合已知曲線的定義，直接求出方程；③參數(shù)法，把分別用第三個變量表示，消去參數(shù)即可；④逆代法，將代入.本題就是利用方法④求的軌跡方程的.4.已知、，若A與B到直線l的距離都為2，則滿足條件的直線l有（）A.1條 B.2條 C.3條 D.4條【答案】D【解析】【分析】首先求出斜率與中點坐標(biāo)，再分兩種情況討論，直線過的中點與直線與平行，分別設(shè)出直線方程，利用距離公式得到方程，解得即可；【詳解】解：，，所以，且的中點為，若直線過的中點，顯然直線的斜率存在，設(shè)直線為，即，則到直線的距離，即，解得或；所以直線為或；若直線與平行，設(shè)直線為，則到直線的距離，解得或，所以直線為或；綜上可得滿足條件的直線有4條；故選：D5.在平面直角坐標(biāo)系中，動圓與直線相切，則面積最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】據(jù)題意分析可知直線經(jīng)過定點；圓的圓心到直線距離的最大時，圓的半徑最大，即可得到面積最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】直線方程為：可化為，直線經(jīng)過定點,易知：圓的半徑最大時，圓的面積最大，圓心到直線的距離最大時圓的面積最大，又動圓,圓心為，半徑為，當(dāng)與已知直線垂直時圓的半徑最大，，面積最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.故選：B6.已知橢圓兩焦點，P為橢圓上一點，若，則的的內(nèi)切圓半徑為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由余弦定理得，得到，可求得面積，再由可得答案.【詳解】，，由題意得，，由余弦定理得，得，，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，則，所以.故選：B.【點睛】橢圓的焦點三角形常常考查橢圓定義，三角形中的正余弦定理，內(nèi)角和定理，面積公式等等，覆蓋面廣，綜合性較強，因此受到了命題者的青睞，特別是面積和張角題型靈活多樣，是歷年高考的熱點.7.如圖：正三棱錐中，分別在棱上，，且，則的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】用向量表示、表示向量、，然后利用數(shù)量積運算及夾角公式計算即可【詳解】設(shè)，則，因為，所以，所以，所以，化簡得，所以，所以，即的余弦值為.故選：C.8.雙曲線的左焦點關(guān)于直線的對稱點在該雙曲線上，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用對稱性得到M是線段FQ中點，且，再計算焦點到準(zhǔn)線的距離，結(jié)合中位線和定義構(gòu)建關(guān)系，得到a，b的關(guān)系，即求得離心率.【詳解】如圖所示，雙曲線中，設(shè)是雙曲線右焦點，連接，依題意設(shè)直線FQ交直線于M，則M是線段FQ的中點，且，因為焦點關(guān)于直線即的距離，故，由雙曲線定義知，，又因為O是的中點，故中是中位線，故，故中，結(jié)合，化簡得，故離心率.故選：B.【點睛】求雙曲線離心率常見方法：（1）直接法：由a，c直接計算離心率；（2）構(gòu)建齊次式：利用已知條件和雙曲線的幾何關(guān)系構(gòu)建關(guān)于a，b，c的方程和不等式，利用和轉(zhuǎn)化成關(guān)于的方程和不等式，通過解方程和不等式即求得離心率的值或取值范圍.二.多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分.）9.已知平面過點，其法向量，則下列點在平面內(nèi)的是（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)條件，求出平面方程，在判斷點是否在平面上.【詳解】方法一：根據(jù)題意，平面的方程為：，即.對A：因為，所以點在平面內(nèi)，故A正確；對B：因為，所以點不在平面內(nèi)，故B錯誤；對C：因為，所以點不在平面內(nèi)，故C錯誤；對D：因為，所以點在平面內(nèi)，故D正確.方法二：對A：設(shè)，則，因為，所以在平面內(nèi)，故A正確；對B：設(shè)，則，因為，所以點不在平面內(nèi)，故B錯誤；對C：設(shè)，則，因為，所以點不在平面內(nèi)，故C錯誤；對D：設(shè)，則，因為，所以點在平面內(nèi)，故D正確.故選：AD10.若圓：與圓：的交點為，則（

）A.公共弦所在直線方程為B.線段中垂線方程為C.公共弦的長為D.在過兩點的所有圓中，面積最小的圓是圓【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)題意，依次分析選項：對于A，聯(lián)立兩個圓的方程，分析可得公共弦所在直線方程，可判斷A，對于B，由兩個圓的方程求出兩圓的圓心坐標(biāo)，分析可得直線的方程，即可得線段中垂線方程，可判斷B，對于C，分析圓的圓心和半徑，分析可得圓心在公共弦上，即可得公共弦的長為圓的直徑，可判斷C，對于D，由于圓心在公共弦上，在過兩點的所有圓中，面積最小的圓是圓，即可判斷D．【詳解】根據(jù)題意，依次分析選項：對于A，圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，因為，即兩圓相交，將兩個圓的方程相減可得，即公共弦所在直線方程為，A正確；對于B，由A的分析可知，兩圓相交，故的中垂線即為兩圓圓心的連線，圓，其圓心為，圓，其圓心為，故直線的斜率為，其方程為，即線段中垂線方程為，B錯誤，對于C，圓，即，其圓心為，半徑，圓心滿足，即點在公共弦上，則公共弦的長即為圓的直徑，即的長為，C錯誤；對于D，圓心在公共弦上，在過兩點的所有圓中，面積最小的圓是圓，D正確,故選：AD.11.已知橢圓的左、右兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2，P為橢圓上一動點，M，則下列結(jié)論正確的有（）A.的周長為6 B.的最大面積為C.存在點P使得 D.最大值為5【答案】ABD【解析】【分析】對選項A，利用橢圓定義即可判斷A正確；對選項B，根據(jù)，即可判斷B正確；對選項C，根據(jù)以為圓心，的圓與橢圓不相交，即可判斷C錯誤；對選項D，根據(jù)，即可判斷D正確.【詳解】橢圓，，，，對選項A，的周長，故A正確.對選項B，，故B正確；對選項C，若存在點P使得，則，即存在以為圓心，的圓與橢圓相交.因為，即圓與橢圓不相交，所以不存在點P使得，故C錯誤；對選項D，，故D正確.故選：ABD12.如圖，棱長為的正方體的頂點在平面內(nèi)，其余各頂點均在平面的同側(cè)，已知頂點到平面的距離分別是和.下列說法正確的有（）A.點到平面的距離是B.點到平面的距離是C.正方體底面與平面夾角的余弦值是D.在平面內(nèi)射影與所成角的余弦值為【答案】ACD【解析】【分析】以為坐標(biāo)原點可建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面的法向量，利用點到平面的距離可構(gòu)造方程組，解得法向量，由點到平面距離的向量求法可求得AB正誤；由面面角的向量求法可求得C正確；首先確定投影對應(yīng)的向量，利用線線角的向量求法可知D正確.【詳解】以為坐標(biāo)原點，正方向為軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，即，令，解得：，，；對于A，點到平面的距離為，A正確；對于B，點到平面的距離為，B錯誤；對于C，軸平面，平面的一個法向量，，即平面與平面夾角的余弦值為，C正確；對于D，在平面內(nèi)的投影對應(yīng)的向量，，即在平面內(nèi)射影與所成角的余弦值為，D正確.故選：ACD.第II卷（非選擇題，共90分）三?填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分.）13.在空間直角坐標(biāo)系中，已知，則點到直線的距離為__________.【答案】【解析】【分析】先求在的射影，再利用勾股定理求點到直線的距離.【詳解】由題意，，所以在的射影為：.所以點到直線的距離為：.故答案為：114.若雙曲線的離心率為2，則其兩條漸近線所成的銳角的大小為__________.【答案】##【解析】【分析】由離心率公式可得，根據(jù)雙曲線的漸近線方程及斜率公式即可求解.【詳解】由題意，即，可得，所以漸近線的斜率為，所以兩條漸近線的傾斜角為和，所以雙曲線的兩條漸近線所成的銳角為.故答案為：.15.把正方形ABCD沿對角線AC折成的二面角，E、F分別是BC、AD的中點，O是原正方形ABCD的中心，則的余弦值為_________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)空間向量的夾角公式，結(jié)合數(shù)量積的運算即可求解.【詳解】由于,所以,不妨設(shè)正方形的邊長為2，則,,,所以,故,所以故答案為：16.如圖，橢圓，圓，橢圓的左右焦點分別為，過橢圓上一點和原點作直線交圓于兩點，若，則的值為___________．【答案】【解析】【分析】先利用圓的弦長問題將轉(zhuǎn)化為求，再利用平面向量的模長、橢圓的定義、焦點三角形的余弦定理進行求解.【詳解】設(shè)圓的半徑為，由已知，得：，則，所以.故答案為：6.四?解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）17.已知，，，.（1）求實數(shù)的值；（2）若，求實數(shù)的值.【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（1）向量坐標(biāo)化，根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示得到使得，列式得結(jié)果即可；（2）向量坐標(biāo)化，根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示列式求解即可.【小問1詳解】，，使得列式得到【小問2詳解】若，由向量垂直的坐標(biāo)表示得到：解得.18.已知圓的圓心在軸上，且經(jīng)過點.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點的直線與圓相交于兩點，且，求直線的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，設(shè)的中點為，求出的坐標(biāo)，求出直線的斜率，由直線的點斜式方程分析可得答案，設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由圓心的位置分析可得的值，進而計算可得的值，據(jù)此分析可得答案；（2）設(shè)為的中點，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系，分直線的斜率是否存在兩種情況討論，綜合即可得答案.【詳解】解：（1）設(shè)的中點為，則，由圓的性質(zhì)得，所以，得，所以線段的垂直平分線方程是，設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其中，半徑為，由圓的性質(zhì)，圓心在直線上，化簡得，所以圓心，，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由（1）設(shè)為中點，則，得，圓心到直線的距離，當(dāng)直線的斜率不存在時，的方程，此時，符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)的方程，即，由題意得，解得；故直線的方程為，即；綜上直線的方程為或.【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，涉及直線與圓方程的綜合應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.19.已知圓：，直線：.（1）若直線與圓相切，求的值；（2）若，過直線上一點作圓的切線，，切點為，，求四邊形面積的最小值及此時點的坐標(biāo)，【答案】（1）或（2），【解析】【分析】（1）由圓心到直線的距離等于半徑列方程求解即可，（2）當(dāng)時，直線的方程為，而四邊形的面積，由圓的性質(zhì)可得當(dāng)最小時，切線長最短，此時，求出直線的方程，聯(lián)立兩直線方程可得點的坐標(biāo).【小問1詳解】由已知，圓心到直線：的距離等于半徑，即.解得：或.【小問2詳解】當(dāng)時，直線的方程為，四邊形的面積∵為直角三角形，當(dāng)最小時，切線長最短，顯然當(dāng)時，∴四邊形的面積最小值為.此時，，，∴直線：，即.由，解得，即.20.已知橢圓：的離心率為，短軸長為4.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知過點作弦且弦被平分，則此弦所在的直線方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用橢圓離心率及求解即可；（2）設(shè)過點作直線，與橢圓的交點為，，代入橢圓方程作差求斜率，再利用點斜式寫出此弦所在的直線方程即可.【小問1詳解】由題意可知①，②，又橢圓中③，所以聯(lián)立①②③解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】設(shè)過點作直線，與橢圓的交點為，，則，兩式相減得，所以，又因為是中點，所以，，即，，由橢圓的對稱性可得直線的斜率一定存在，所以直線的斜率，所以此弦所在的直線方程為，整理得.21.如圖，四棱錐的底面ABCD是梯形，平面ABCD，，，，，為線段PB上一個動點．（1）若E為線段PB的中點，求E到平面PDC的距離；（2）求直線PC與平面EAD所成角的正弦值的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）連，利用余弦定理