2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期高一級(jí)數(shù)學(xué)科期中考試試卷含答案

2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期高一級(jí)數(shù)學(xué)科期中考試試卷一、單項(xiàng)選擇題，本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1已知全集，集合，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先解不等式求出和，再求即可.【詳解】因?yàn)?，所以，由，得，解得，所以，所以，故選：C2.已知命題，使得，則為（）A.，都有 B.，使得C.，都有 D.，使得【答案】C【解析】【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題判斷即可.【詳解】命題，使得為存在量詞命題，則為，都有.

故選：C3.在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)(，且)與的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】按和兩種情況討論指數(shù)函數(shù)單調(diào)性，再考慮直線圖象與軸的交點(diǎn)位置，即得結(jié)果.【詳解】若，則，函數(shù)是上的增函數(shù)，函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)在軸上方，C符合，D不符合；若，則，函數(shù)是上的減函數(shù)，函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)在軸下方，A，B均不符合.故選：C.4.已知函數(shù)，則（）A.2 B.1 C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出，進(jìn)而可得出答案.【詳解】由，得，所以.故選：A.5.下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪互化正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式的互化，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)：由，故該項(xiàng)等號(hào)兩側(cè)不相等，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)：由，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)：由指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，可得，所以C正確；對(duì)于D選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，顯然當(dāng)時(shí)，該項(xiàng)的等量關(guān)系不成立，所以D錯(cuò)誤.故選：C.6.流行病學(xué)基本參數(shù)：基本再生數(shù)指一個(gè)感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔T指相鄰兩代間傳染所需的平均時(shí)間．在新冠肺炎疫情初始階段，可用模型：（其中是開始確診病例數(shù)）描述累計(jì)感染病例隨時(shí)間t（單位：天）的變化規(guī)律，指數(shù)增長率r與，T滿足，有學(xué)者估計(jì)出．據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，當(dāng)時(shí)，t的值為（）（）A.1.2 B.1.7 C.2.0 D.2.5【答案】B【解析】【分析】根據(jù)所給模型求得，代入已知模型，再由，得，求解值得答案【詳解】解：把代入，得，解得，所以，由，得，則，兩邊取對(duì)數(shù)得，，得，故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用，考查計(jì)算能力，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解題意，弄清函數(shù)模型中各個(gè)量的關(guān)系，屬于中檔題7.是定義在R上的函數(shù)，為奇函數(shù)，則（）A.－1 B. C. D.1【答案】A【解析】【分析】由奇函數(shù)定義得，及即可求值【詳解】是定義在R上的函數(shù)，為奇函數(shù)，則.∴.故選：A8.記函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，則的最小值為（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】【分析】分類討論結(jié)合一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象計(jì)算即可.【詳解】以下只分析函數(shù)在上的圖象及性質(zhì)，分類討論如下：①當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，即，此時(shí)單調(diào)遞減，；②當(dāng)時(shí)，，所以，易知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，此時(shí)；③當(dāng)時(shí)，，即，易知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，此時(shí)；

而，綜上可知的最小值為.故選：A

二、多項(xiàng)選擇題，本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上為增函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)可排除A，C選項(xiàng)，再判斷選項(xiàng)B，D中函數(shù)的單調(diào)性從而得出答案.【詳解】函數(shù)不是偶函數(shù)，函數(shù)是奇函數(shù)，不是偶函數(shù)，故可排除A，C選項(xiàng).函數(shù)，均為偶函數(shù).又二次函數(shù)在上為增函數(shù).，當(dāng)時(shí)，函數(shù)可化為，在上為增函數(shù).故選項(xiàng)B，D滿足條件.故選：BD10.已知，則下列命題正確的是（）A.若，則B.若，則的最小值為4C.若，則的最大值為2D.若，則的最大值為【答案】ABC【解析】【分析】結(jié)合條件使用基本不等式求最值即可判斷.【詳解】由，有，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故A正確；若，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，則的最小值為4，故B正確；若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，則的最大值為2，故C正確；若，則，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，則的最大值為，故D錯(cuò)誤.故選：ABC11.定義在上的函數(shù)滿足：對(duì)于定義域上的任意，，當(dāng)時(shí)，恒有,則稱為“理想函數(shù)”則下列函數(shù)中是“理想函數(shù)”的是（

）A. B.C. D.【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)條件可得在上單調(diào)遞增，結(jié)合選項(xiàng)以及常見函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】由，設(shè)，可得，，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，對(duì)于A，，函數(shù)在為減函數(shù)，所以A不符合題意；對(duì)于B，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以B不符合題意對(duì)于C，，由二次函數(shù)知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以C符合題意對(duì)于D，，由冪函數(shù)的性質(zhì)知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以D符合題意．故選:CD．12.高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，他和阿基米德?牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù).例如：，.已知函數(shù)，則關(guān)于函數(shù)的敘述中正確的是（）A.是奇函數(shù) B.在上是減函數(shù)C.是偶函數(shù) D.的值域是【答案】AD【解析】【分析】利用奇偶性的定義判斷可選項(xiàng)A，C，由函數(shù)單調(diào)性的結(jié)論可判斷選項(xiàng)B，由函數(shù)單調(diào)性求出的取值范圍，結(jié)合定義可得的值域可判斷選項(xiàng)D．【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)楹瘮?shù)，，可得，所以函數(shù)為奇函數(shù)，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?、在R上是增函數(shù)，所以在R上是增函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，則，，即，所以函數(shù)不是偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?，則，可得，所以的值域?yàn)?，故D正確．故選：AD．三、填空題：本題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分13.函數(shù)的定義域?yàn)開_____.【答案】【解析】【分析】利用二次根式被開方數(shù)非負(fù)和分式分母不為零，列不等式組可求得答案【詳解】由題意得，解得且，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，故答案為?4.如果函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則的取值范圍為__________.【答案】【解析】【分析】先由函數(shù)解析式，確定二次函數(shù)對(duì)稱軸，以及單調(diào)性，再由題意，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)榈膶?duì)稱軸為，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，因此.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查由二次函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的問題，熟記二次函數(shù)的性質(zhì)即可，屬于常考題型.15.已知函數(shù)，若，則_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)得到，然后求即可.【詳解】因?yàn)椋?，則，.故答案為：.16.已知是定義在R上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，對(duì)于任意實(shí)數(shù)t，恒成立，求a的取值范圍__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性分析可得，得，即，然后構(gòu)造函數(shù)，令，由基本不等式可求出其最大值，從而可求出a的取值范圍.【詳解】因?yàn)槭嵌x在R上的偶函數(shù)，所以由，得，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以恒成立，所以，令，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，得或，即a的取值范圍為，故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程成演算步驟17.計(jì)算：（1）求值：（2）已知：，求的值【答案】（1）81（2）10【解析】【分析】（1）根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)即可求出；（2）根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)和完全平方公式即可求出.【小問1詳解】原式.【小問2詳解】因?yàn)椋?，，所?18.（1）設(shè)集合，求實(shí)數(shù)a的值；（2）設(shè)集合．如果，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)得到，然后分、和三種情況討論即可；（2）根據(jù)得到，然后分和兩種情況討論即可.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，，?dāng)時(shí)，，，，，不成立；當(dāng)時(shí)，，，，，成立；不成立；綜上可得，.（2）因?yàn)?，所以，?dāng)，，解得；當(dāng)，，解得，綜上可得，取值范圍為.19.已知函數(shù)．（1）設(shè)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明在區(qū)間上單調(diào)遞增；（2）當(dāng)時(shí)，解關(guān)于x的不等式．【答案】（1）證明見詳解.（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.【解析】【分析】（1）利用函數(shù)單調(diào)性的定義、作差法進(jìn)行證明.（2）根據(jù)已知變形，把問題轉(zhuǎn)化為含參的一元二次不等式，對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論進(jìn)行求解.【小問1詳解】因，所以，對(duì)于任意的，且，，由于，且，所以，故，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增；【小問2詳解】不等式可化簡為，因?yàn)?，所以上式化簡得，令，解得或，?dāng)時(shí)，即時(shí)，得；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，得；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，得；綜上，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.20.已知函數(shù)為奇函數(shù)．（1）求實(shí)數(shù)m的值及函數(shù)的值域;（2）若，求x的取值范圍．【答案】（1）1，（2）【解析】【分析】（1）由奇函數(shù)的性質(zhì)得，注意檢驗(yàn)，由指數(shù)函數(shù)的值域通過復(fù)合關(guān)系可以得解.（2）由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知在上單調(diào)遞增，從而將不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的分式不等式即可得解.【小問1詳解】由題意函數(shù)為奇函數(shù)，且注意到其定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以，即，解得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，所以，又因?yàn)?，所以，所以函?shù)的值域?yàn)?【小問2詳解】由（1）可知，因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知在上單調(diào)遞增，所以，解得，因此滿足題意的x的取值范圍為.21.某中學(xué)為了迎接建校100周年校慶，決定在學(xué)校校史館利用一側(cè)原有墻體，建造一間墻高為3米，底面積為24平方米，且背面靠墻的長方體形狀的榮譽(yù)室.由于榮譽(yù)室的后背靠墻，無需建造費(fèi)用.甲乙兩支隊(duì)伍參與競(jìng)標(biāo)，甲工程隊(duì)給出的報(bào)價(jià)為：榮譽(yù)室前面新建墻體的報(bào)價(jià)為每平方米400元，左右兩面新建墻體報(bào)價(jià)為每平方米300元，屋頂和地面以及其他報(bào)價(jià)共計(jì)12600元，設(shè)榮譽(yù)室的左右兩面墻的長度均為米，乙工程隊(duì)給出的整體報(bào)價(jià)為元，綜合考慮兩工程隊(duì)報(bào)價(jià)的最小值，學(xué)校決定選擇報(bào)價(jià)的最小值較低的隊(duì)伍施工，如果報(bào)價(jià)相同，則選擇乙隊(duì)伍.（1）若，問學(xué)校該怎樣選擇；（2）在競(jìng)爭(zhēng)壓力下，甲工程隊(duì)主動(dòng)降價(jià)5400元，若乙工程隊(duì)想要確保自己被選中，求實(shí)數(shù)的最大值.【答案】（1）選擇乙工程隊(duì)進(jìn)行建造.（2）【解析】【分析】（1）設(shè)甲工程隊(duì)的總造價(jià)為元，得到，結(jié)合基本不等式求得，設(shè)乙工程隊(duì)的總造價(jià)為元，得到，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，求得，比較即可得到答案；（2）根據(jù)題意，得到甲工程隊(duì)的最低報(bào)價(jià)為，要使得乙工程隊(duì)確保自己被選中，則滿足，列出不等式，即可求解.【小問1詳解】解：設(shè)甲工程隊(duì)總造價(jià)為元，因?yàn)闃s舉室的左右兩面墻的長度均為米，且長方體底面積為24平方米，可得底面長方形的另一邊長為米，則甲工程隊(duì)的總造價(jià)為：，又由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以（元），當(dāng)時(shí)，設(shè)乙工程隊(duì)的總造價(jià)為元，則，因?yàn)楹瘮?shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù)，所以（元），由，所以學(xué)校選擇乙工程隊(duì)進(jìn)行建造.【小問2詳解】解：若甲工程隊(duì)主動(dòng)降價(jià)5400元，則甲工程隊(duì)的最低報(bào)價(jià)為（元），若乙工程隊(duì)確保自己被選中，則滿足，又由乙工程隊(duì)的造價(jià)為，由（1）知，當(dāng)時(shí)，，由，解得，因?yàn)?，所以，所以?shí)數(shù)的最大值為.22.對(duì)于函數(shù)，若在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)x，滿足，則稱為“局部奇函數(shù)”．（1）已知二次函數(shù)，，試判斷是否為“局部奇函數(shù)”，并說明理由；（2）若為定義在R上的“局部奇函數(shù)”，求函數(shù)在的最小值．【答案】（1）為“局部奇函數(shù)”，理由見解析（2）答案見解析【解析】【分析】（1）直接解方程，方程有解即得；（2）由方程