2024-2025學(xué)年度上期高2023級(jí)半期數(shù)學(xué)考試含答案

2024-2025學(xué)年度上期高2023級(jí)半期數(shù)學(xué)考試一?單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每一題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)點(diǎn)在平面上的射影為，則等于（）A. B.5 C. D.【答案】D【解析】【分析】先得到，從而求出，計(jì)算出模長.【詳解】點(diǎn)在平面上的射影為，，故，故選：D2.將10個(gè)數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列如下：，若該組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為22，則（）A.19 B.20 C.21 D.22【答案】C【解析】【分析】由題意，結(jié)合百分位數(shù)的定義即可求解.【詳解】，又該組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為22，則，解得.故選：C3.設(shè)，，，且∥，則（）A B. C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)，可得，；再根據(jù)∥，可得，進(jìn)而得，最后根據(jù)向量的坐標(biāo)求模即可.【詳解】解：因?yàn)?，，且，所以，解得，所以，又因?yàn)?，且∥，所以，所以，所以，所?故選：C.4.對(duì)空中移動(dòng)的目標(biāo)連續(xù)射擊兩次，設(shè)兩次都擊中目標(biāo)兩次都沒擊中目標(biāo){恰有一次擊中目標(biāo)}，至少有一次擊中目標(biāo)}，下列關(guān)系不正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)事件關(guān)系，即可判斷選項(xiàng).【詳解】A.事件包含恰好一次擊中目標(biāo)或兩次都擊中目標(biāo)，所以，故A正確；B.包含的事件為至少一次擊中目標(biāo)，為樣本空間，所以B錯(cuò)誤，C正確；D.事件與事件是對(duì)立事件，所以，故D正確.故選：B5.將一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)拋擲8次，得到的點(diǎn)數(shù)分別為，則這8個(gè)點(diǎn)數(shù)的中位數(shù)為4.5的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)中位數(shù)的定義，將得到的點(diǎn)數(shù)從小到大排列，討論不同情況，即可求解.【詳解】由題意，這8個(gè)點(diǎn)數(shù)的中位數(shù)為4.5，只有三種情況：①將拋擲8次，得到的點(diǎn)數(shù)從小到大分別為，此時(shí)中位數(shù)為；②拋擲8次，得到的點(diǎn)數(shù)從小到大分別為，此時(shí)中位數(shù)為；③拋擲8次，得到的點(diǎn)數(shù)從小到大分別為，此時(shí)中位數(shù)為或；綜上，x的點(diǎn)數(shù)只能為5，或者6，故概率為，故選：D.6.已知某人收集一個(gè)樣本容量為50的一組數(shù)據(jù)，并求得其平均數(shù)為70，方差為75，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)在收集這些數(shù)據(jù)時(shí)，其中得兩個(gè)數(shù)據(jù)記錄有誤，一個(gè)錯(cuò)將80記錄為60，另一個(gè)錯(cuò)將70記錄為90，在對(duì)錯(cuò)誤的數(shù)據(jù)進(jìn)行更正后，重新求得樣本的平均數(shù)為，方差為，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由平均數(shù)，方差計(jì)算公式可判斷各選項(xiàng)正誤.【詳解】設(shè)其他48個(gè)數(shù)據(jù)依次為，則，因?yàn)?，因此平均?shù)不變，即；又由方差計(jì)算公式可知：，，注意到，則.故選：C.7.平行六面體的底面是邊長為2的正方形，且，，為，的交點(diǎn)，則線段的長為（）A.3 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算可得，進(jìn)而結(jié)合數(shù)量積運(yùn)算求模長.【詳解】由題意可知：，則，所以.故選：C.8.如圖，在正方體中，分別為的中點(diǎn)，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A.平面B.異面直線與所成角為C.直線與平面所成角為D.【答案】B【解析】【分析】連接，可得，A選項(xiàng)，利用線面平行的判定定理即可證明；B選項(xiàng)，異面直線與所成角即為直線與與所成角；C選項(xiàng)直線與平面所成角即直線與平面所成角；D選項(xiàng)，由線面垂直的性質(zhì)可以得證.【詳解】如圖，連接，在正方形中，為的中點(diǎn)，則，即也為的中點(diǎn)，在中，分別為的中點(diǎn)，有，又平面，平面，所以平面，故A正確；由題可知，異面直線與所成角即為直線與與所成角，即，為，故B錯(cuò)誤直線與平面所成角即直線與平面所成角，由平面，可知直線與平面所成角為，故C正確；正方體中，平面，平面，則有，由，得，故D正確；，故選：B.二?多項(xiàng)選擇題（每空6分，共18分）9.在我們發(fā)布的各類統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中，同比和環(huán)比都是反映增長速度的核心數(shù)據(jù)指標(biāo)．如圖是某專業(yè)機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)的2022年1-12月中國校車銷量走勢圖，則下列結(jié)論正確的是（）A.8月校車銷量的同比增長率與環(huán)比增長率都是全年最高B.1-12月校車銷量的同比增長率的平均數(shù)小于環(huán)比增長率的平均數(shù)C.1-12月校車銷量環(huán)比增長率的極差大于同比增長率的極差D.1-12月校車銷量的環(huán)比增長率的方差大于同比增長率的方差【答案】BCD【解析】【分析】由統(tǒng)計(jì)圖數(shù)據(jù)對(duì)選項(xiàng)逐一判斷可得答案.【詳解】2022年8月校車銷量的同比增長率比9月的低，故A錯(cuò)誤；由校車銷量走勢圖知1-12月校車銷量的同比增長率的平均數(shù)為負(fù)數(shù)，環(huán)比增長率的平均數(shù)是正數(shù)，故B正確；1-12月校車銷量的環(huán)比增長率的極差為，同比增長率的極差為，所以環(huán)比增長率的極差大于同比增長率的極差，故C正確；由校車銷量走勢圖知1-12月校車銷量的環(huán)比增長率的波動(dòng)大于同比增長率的，所以環(huán)比增長率的方差大于同比增長率的方差，故D正確．故選：BCD.10.給出下列命題，其中正確的是（）A.若是空間的一個(gè)基底，則也是空間的一個(gè)基底B.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面yOz的對(duì)稱點(diǎn)是C.若空間四個(gè)點(diǎn)P，A，B，C滿足，則A，B，C三點(diǎn)共線D.平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為.若，則【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)三個(gè)向量是否共面判斷A，由點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)面的對(duì)稱判斷B，由向量的運(yùn)算確定三點(diǎn)共線可判斷C，根據(jù)向量共線求參數(shù)可判斷D?！驹斀狻繉?duì)于A,不共面，則不共面，所以也是空間的一個(gè)基底，故正確；對(duì)于B,點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面yOz的對(duì)稱點(diǎn)是，故錯(cuò)誤；對(duì)于C，由可得，即,所以A，B，C三點(diǎn)共線，故正確；對(duì)于D，由平面平行可得，所以，解得，故正確.故選：ACD11.已知事件A、B發(fā)生的概率分別為，，則下列說法正確的是（）A.若A與B相互獨(dú)立，則 B.若，則事件A與相互獨(dú)立C.若A與B互斥，則 D.若B發(fā)生時(shí)A一定發(fā)生，則【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)互斥事件和獨(dú)立事件的概率公式逐項(xiàng)判斷.【詳解】對(duì)于A，若A與B相互獨(dú)立，則，所以，故A對(duì)；對(duì)于B，因?yàn)?，，則，因?yàn)?，所以事件與相互獨(dú)立，故B對(duì)；對(duì)于C，若A與B互斥，則，故C錯(cuò)；對(duì)于D，若B發(fā)生時(shí)A一定發(fā)生，則，則，故D對(duì)．故選：ABD三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)的直線的一個(gè)方向向量是______.【答案】(時(shí)，均可)【解析】【分析】求出向量符合題意，所有與共線非零向量均可.【詳解】點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，則直線的一個(gè)方向向量為，時(shí)，也都是直線的方向向量.故答案為：（時(shí)，均可）13.某品牌新能源汽車2019-2022年這四年的銷量逐年增長，2019年銷量為5萬輛，2022年銷量為22萬輛，且這四年銷量的中位數(shù)與平均數(shù)相等，則這四年的總銷量為__________萬輛.【答案】53【解析】【分析】根據(jù)中位數(shù)和平均數(shù)公式，結(jié)合題意，即可求解.【詳解】設(shè)2020年的銷量為，2021年的銷量為，，由題意可知，中位數(shù)為，平均數(shù)為，由，得，所以這四年的總銷量為萬量.故答案為：5314.已知是空間單位向量，.若空間向量滿足，且對(duì)于任意，，則__________，__________.【答案】①.2②.【解析】【分析】問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到最小值，利用數(shù)量積求向量的模，且當(dāng)模最小時(shí)，求出相關(guān)的數(shù)值.【詳解】，由于，所以，問題等價(jià)于當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到最小值，.則，解得，，.故答案為：2；.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：涉及向量的模，通常用到求解.四?解答題：共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.柜子里有3雙不同的鞋，分別用，；，；，表示6只鞋，其中，，表示每雙鞋的左腳，，，表示每雙鞋的右腳.如果從中隨機(jī)地取出2只，那么（1）寫出試驗(yàn)的樣本空間；（2）求下列事件的概率：①取出的鞋都是一只腳的；②取出的鞋子是一只左腳一只右腳的，但不是一雙鞋.（3）求取出的鞋不成雙的概率.【答案】（1）見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）通過列舉法寫出試驗(yàn)的樣本空間；（2）（3）結(jié)合（1）所求的樣本空間，利用古典概型的概率公式逐一求解即可．【小問1詳解】該試驗(yàn)的樣本空間可表示為,，,，,，,，,，,，,，,，,，,，,，,，,，,，,；【小問2詳解】記：“取出的鞋都是一只腳的”,，,，,，,，,，,，，；記“取出的鞋子是一只左腳一只右腳的，但不是一雙鞋”，,,,，,，,，,，，，【小問3詳解】記“取出的鞋不成雙”，由（1）得，，,，,，，，；16.2023年是中國共產(chǎn)黨建黨102周年，為了使全體黨員進(jìn)一步堅(jiān)定理想信念，傳承紅色基因，市教育局以“學(xué)黨史?悟思想?辦實(shí)事?開新局”為主題進(jìn)行“黨史”教育，并舉辦由全體黨員參加的“學(xué)黨史”知識(shí)競賽.競賽共設(shè)100個(gè)小題，每個(gè)小題1分，共100分.現(xiàn)隨機(jī)抽取1000名黨員的成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，并將成績分成以下七組：并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求這1000名黨員成績的眾數(shù)，中位數(shù)；（2）用分層隨機(jī)抽樣的方法從低于80分的黨員中抽取5人，若在這5人中任選2人進(jìn)行問卷調(diào)查，求這2人中至少有1人成績低于76分的概率.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用頻率分布直方圖估計(jì)眾數(shù)和中位數(shù).（2）根據(jù)分層抽樣的方法，確定樣本中人員的構(gòu)成，再列出人選2人的所有可能，利用古典概型的公式求相應(yīng)的概率.【小問1詳解】由頻率分布直方圖可得，1000名學(xué)員成績眾數(shù)為，成績在的頻率為，成績在的頻率為，故中位數(shù)位于之間，中位數(shù)是【小問2詳解】∵與的黨員人數(shù)的比值為，采用分層隨機(jī)抽樣方法抽取5人，則在中抽取2人，中抽3人，設(shè)抽取人的編號(hào)為，，抽取人的編號(hào)為，，，則從5人中任選2人進(jìn)行問卷調(diào)查對(duì)應(yīng)的樣本空間為：，，，，，，，，，，共10個(gè)樣本點(diǎn)，這2人中至少有1人成績低于76分的有：，，，，，，，共7個(gè)樣本點(diǎn)，故這2人中至少有1人成績低于76分的概率.17.在四棱錐中．底面為矩形，且平面．為中點(diǎn)．（1）求點(diǎn)到直線的距離；（2）求異面直線所成角的余弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出、，利用空間向量法求出，從而求出，再由點(diǎn)到直線的距離計(jì)算可得；（2）利用空間向量法計(jì)算可得.【小問1詳解】因?yàn)闉榫匦?，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫妫裕苑謩e以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，所以，所以，則有，所以，所以點(diǎn)到直線的距離．【小問2詳解】因?yàn)?，所以，所以異面直線所成角的余弦值．18.如圖，在三棱柱中，底面是邊長為2的等邊三角形，分別是線段的中點(diǎn)，在平面內(nèi)的射影為.（1）求證：平面；（2）若點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，求點(diǎn)到平面的距離；（3）若點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），求銳二面角的余弦值的取值范圍.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）利用線面垂直、面面垂直的性質(zhì)定理與判定定理可證；（2）利用空間向量法求點(diǎn)到面的距離；（3）利用空間向量求出二面角的余弦值，再借助函數(shù)性質(zhì)求值域.【小問1詳解】連接，因?yàn)闉榈冗吶切危瑸橹悬c(diǎn)，則，由題意可知平面平面，平面平面，平面，所以平面，則平面，可得，由題設(shè)知四邊形為菱形，則，因?yàn)?，分別為，中點(diǎn)，則，可得，且，，平面，所以平面.【小問2詳解】在平面內(nèi)的射影為，所以平面，由題設(shè)知四邊形為菱形，是線段的中點(diǎn)，所以為正三角形，由平面，平面，可得，，又因?yàn)闉榈冗吶切危瑸橹悬c(diǎn)，所以，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線為，，軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，可得，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，可得，所以點(diǎn)到平面的距離為.【小問3詳解】因?yàn)?，設(shè)，，則，可得，，，即，可得，由（2）知：平面的一個(gè)法向量設(shè)平面的法向量，則，令，則，，可得；則，令，則，可得，因?yàn)椋瑒t，可得，所以銳二面角的余弦值的取值范圍為19.在空間直角坐標(biāo)系中，定義：過點(diǎn)，且方向向量為的直線的點(diǎn)方向式方程為；過點(diǎn)，且法向量為的平面的點(diǎn)法向式方程為，將其整理為一般式方程為，其中．（1）求經(jīng)過的直線的點(diǎn)方向式方程；（2）已知平面，平面，平面，若，證明：；（3）已知斜三棱柱中，側(cè)面所在平面經(jīng)過三點(diǎn)，，側(cè)面所在平面的一般式方程為，側(cè)面所在平面的一般式方程為，求平面與平面的夾角大?。敬鸢浮浚?）（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）先求直線的方向向量，結(jié)合題意即可得直線方程；（2）根據(jù)題意可得平面、、的法向量，進(jìn)而可求交線的方向向量，利用空間向量判斷線面關(guān)系；（3）