河南省南陽(yáng)市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題含答案

2023年秋期高中一年級(jí)期中質(zhì)量評(píng)估數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．考生做題時(shí)將答案答在答題卡的指定位置上，在本試卷上答題無(wú)效2．答題前，考生務(wù)必先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上．3．選擇題答案使用2B鉛筆填涂，非選擇題答案使用毫米的黑色中性（簽字）筆或碳素筆書(shū)寫(xiě)，字體工整，筆跡清楚．4．請(qǐng)按照題號(hào)在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效．5．保持卷面清潔，不折疊、不破損．第Ⅰ卷選擇題（共60分）一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)運(yùn)算先求出集合，再利用交集運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)榧希?所以,故選：B2.命題“方程有一個(gè)根是偶數(shù)”的否定是（）A.方程有一個(gè)根不是偶數(shù)B.方程至少有一個(gè)根不偶數(shù)C.方程至多有一個(gè)根不是偶數(shù)D.方程的每一個(gè)根都不是偶數(shù)【答案】D【解析】【分析】根據(jù)命題的否定的定義判斷．【詳解】命題“方程有一個(gè)根是偶數(shù)”的否定是：方程沒(méi)有一個(gè)根是偶數(shù)，只有D符合．故選：D．3.若函數(shù)的圖象如圖所示，則的解析式可能是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圖象上特殊點(diǎn)檢驗(yàn)即可得解.【詳解】對(duì)于A，，與圖象不相符，故錯(cuò)誤；對(duì)于B，無(wú)意義，與圖象不相符，故錯(cuò)誤；對(duì)于D，無(wú)意義，與圖象不相符，故錯(cuò)誤；對(duì)于C，函數(shù)定義域?yàn)?，，，函?shù)為奇函數(shù)，符合圖象，故C正確.故選：C4.我國(guó)古代數(shù)學(xué)家李善蘭在《對(duì)數(shù)探源》中利用尖錐術(shù)理論來(lái)制作對(duì)數(shù)表，他通過(guò)“對(duì)數(shù)積”求得，，由此可知的近似值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及所給數(shù)據(jù)計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，，所以，則.故選：C5.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的單調(diào)性判斷．【詳解】，又，指數(shù)函數(shù)是增函數(shù)，所以，即，，而，冪函數(shù)是增函數(shù)，所以，即，所以，故選：A．6.通過(guò)北師大版必修一教材頁(yè)的詳細(xì)介紹，我們把稱(chēng)為取整函數(shù)．那么“”是“”的（）條件A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分也不必要【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定的信息，結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷作答.【詳解】若，則可設(shè)，則，，其中，∴，而，∴，即“”能推出“”；但當(dāng)時(shí)，不一定相等，例如，，滿(mǎn)足，但，即“”推不出“”，所以“”是“”的充分不必要條件．故選：A.7.若關(guān)于的不等式的解集是，則下列式子中錯(cuò)誤的是（）A. B. C.， D.，【答案】D【解析】【分析】解不等式，根據(jù)不等式的解集確定的值．【詳解】不等式可化為，若，則不等式化為，解集不可能是，因此，A正確；不等式化為，由題意中一個(gè)為1，一個(gè)為3，而，因此有，BC均正確，D錯(cuò)誤．故選：D．8.已知函數(shù)，若存在三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，，使得，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】作出函數(shù)圖象，由圖象得出具有的關(guān)系、范圍，從而再由函數(shù)的單調(diào)性得出結(jié)論．【詳解】作出函數(shù)的圖象，如圖，在上它關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，時(shí)，，且為增函數(shù)，，則，，，，所以，故選：A．二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．）9.滿(mǎn)足函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)的實(shí)數(shù)的值可能是（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到不等式，解出即可.【詳解】由題得，解得，則ABC符合題意，D錯(cuò)誤.故選：ABC.10.下列函數(shù)中，具備奇偶性的函數(shù)是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，先求出定義域，定義域符合條件再判斷的關(guān)系得解.【詳解】對(duì)于A，的定義域，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，故錯(cuò)誤；對(duì)于B，定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，又，所以函數(shù)為奇函數(shù)，故B正確；因?yàn)榈亩x域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，當(dāng)時(shí)，則，，當(dāng)時(shí)，則，，當(dāng)時(shí)，，綜上，當(dāng)時(shí)，都有，故函數(shù)為偶函數(shù)，故C正確；因?yàn)?，所以，解得且，所以函?shù)定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，由定義域可知，所以，故函數(shù)為奇函數(shù)，故D正確.故選：BCD11.已知二次函數(shù)滿(mǎn)足，且對(duì)，，都有，則下列結(jié)論正確的有（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】可以知道二次函數(shù)是以為對(duì)稱(chēng)軸，且在區(qū)間上為增函數(shù)，從而在上為減函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性可判斷A的真假，根據(jù)離對(duì)稱(chēng)軸越近，所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值越大，可判斷C的真假，因?yàn)闊o(wú)法確定的符號(hào)，所以D無(wú)法判定.【詳解】∵為二次函數(shù)，由得函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為，即：，故B正確；由對(duì)任意，都有，所以在上為增函數(shù)，從而在上為減函數(shù)，因?yàn)椋海?，故A正確；又因?yàn)椋?，所以，故C正確；因?yàn)闆](méi)有條件涉及，所以的符號(hào)無(wú)法判斷，故D無(wú)法判斷真假.故選：ABC.12.已知，，，則下列結(jié)論成立的是（）A.的最小值為 B.的最小值為C.的最小值為 D.的最小值為【答案】AB【解析】【分析】由基本不等式判斷AB，利用函數(shù)的單調(diào)性判斷CD．詳解】，則由題意，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即的最大值是，，A正確；，B正確；，函數(shù)在時(shí)是減函數(shù)，因此它沒(méi)有最小值也沒(méi)有最大值，C錯(cuò)誤；，而函數(shù)在上是減函數(shù)，沒(méi)有最小值也沒(méi)有最大值，D錯(cuò)．故選：AB．第Ⅱ卷非選擇題（共90分）三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分．）13.冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義可求出的值，再由可求出的值，由此可得出的值.【詳解】因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則，即，可得，則，又因?yàn)?，解得，因此?故答案為：.14.若函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是______．【答案】【解析】【分析】由已知求得的定義域，再由分母中根式內(nèi)部的代數(shù)式大于0求解.【詳解】函數(shù)的定義域是，所以，即，所以的定義域?yàn)?，所以函?shù)有意義需滿(mǎn)足，解得，即數(shù)的定義域?yàn)椋蚀鸢笧椋?15.已知，則不等式的解集是______．【答案】【解析】【分析】將改寫(xiě)成分段函數(shù)，然后根據(jù)分段函數(shù)的解析式，分和兩種情況討論求解【詳解】對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，不等式可化為，即，解得，所以；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，不等式可化為，即，解得，所以；綜上，不等式的解集為，故答案為：.16.如圖，已知等腰三角形中一腰上的中線長(zhǎng)為，則該等腰三角形的面積最大值為_(kāi)_____．【答案】4【解析】【分析】作于，于，設(shè)，，故，得到，，利用均值不等式計(jì)算得到答案.【詳解】如圖所示：作于，于，則，，設(shè)，，故，在中：，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，.故答案為：.四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．）17.（1）已知，求是值（2）計(jì)算：．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)運(yùn)算即可得解；（2）利用指數(shù)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解.【詳解】（1）由于，因?yàn)?，所以?）原式，．18.已知函數(shù)．（1）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明；（2）求函數(shù)的值域．【答案】18.在上是增函數(shù)，證明見(jiàn)解析19.【解析】【分析】（1）根據(jù)單調(diào)性的定義證明即可.（2）令，換元法結(jié)合單調(diào)性求函數(shù)的值域.【小問(wèn)1詳解】在上是增函數(shù)，證明如下：任取，，且，∵，，且，，，∴即，∴函數(shù)在上是增函數(shù)．【小問(wèn)2詳解】令，則，于是的值域即為求的值域，由（1）知函數(shù)在是單調(diào)遞增的，所以當(dāng)時(shí)，即，即時(shí)，取最小值，所以，所以函數(shù)的值域?yàn)?9.已知集合，．（1）若且，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)，，若是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】19.20.【解析】【分析】（1）利用元素與集合的關(guān)系列出不等式組，求解不等式組即得.（2）由必要不充分條件的定義，利用集合的包含關(guān)系列式求解即得.小問(wèn)1詳解】依題意，，解得，所以的取值范圍為.小問(wèn)2詳解】由是的必要不充分條件，得真包含于，而，不等式，顯然，即，解得，則，因此，于是，解得，所以的取值范圍為.20.為鼓勵(lì)大學(xué)畢業(yè)生自主創(chuàng)業(yè)，某市出臺(tái)了相關(guān)政策：由政府協(xié)調(diào)，本市企業(yè)按成本價(jià)提供產(chǎn)品給大學(xué)畢業(yè)生自主銷(xiāo)售，成本價(jià)與出廠價(jià)之間的差價(jià)由政府承擔(dān)．大學(xué)畢業(yè)生袁陽(yáng)按照相關(guān)政策投資銷(xiāo)售本市生產(chǎn)的一種新型節(jié)能燈，已知這種節(jié)能燈的成本價(jià)為每件元，出廠價(jià)為每件元，每月的銷(xiāo)售量（單位：件）與銷(xiāo)售單價(jià)（單位：元）之間的關(guān)系近似滿(mǎn)足一次函數(shù)：．（1）設(shè)袁陽(yáng)每月獲得的利潤(rùn)為（單位：元），寫(xiě)出每月獲得的利潤(rùn)與銷(xiāo)售單價(jià)的函數(shù)關(guān)系；（2）物價(jià)部門(mén)規(guī)定，這種節(jié)能燈的銷(xiāo)售單價(jià)不得高于40元．如果袁陽(yáng)想要每月獲得的利潤(rùn)不小于元，那么政府每個(gè)月為他承擔(dān)的總差價(jià)的取值范圍是多少元？【答案】（1）（2）元【解析】【分析】（1）每件的銷(xiāo)售利潤(rùn)乘以每月的銷(xiāo)售量即為利潤(rùn)，據(jù)此列方程即可；（2）設(shè)政府每個(gè)月為他承擔(dān)的總差價(jià)為元，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求出總差價(jià)的最小值．【小問(wèn)1詳解】依題意可知每件的銷(xiāo)售利潤(rùn)為元，每月的銷(xiāo)售量為件，所以每月獲得的利潤(rùn)與銷(xiāo)售單價(jià)的函數(shù)關(guān)系為【小問(wèn)2詳解】由每月獲得的利潤(rùn)不小于元，得：化簡(jiǎn)，得．解得．又因?yàn)檫@種節(jié)能燈銷(xiāo)售單價(jià)不得高于元，所以．設(shè)政府每個(gè)月為他承擔(dān)的總差價(jià)為元，則．由，得．故政府每個(gè)月為他承擔(dān)的總差價(jià)的取值范圍為元．21.已知，，其中．（1）求實(shí)數(shù)，的值；（2）若函數(shù)在定義域上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，令，利用，求出關(guān)系，結(jié)合，求出，的值.（2）將，的值代入，換元令，轉(zhuǎn)換為在指定區(qū)間為增函數(shù)問(wèn)題，分類(lèi)討論即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)，則，因?yàn)?，所以，則．又，所以，即，又，解得，．【小問(wèn)2詳解】由（1）得，令，，則，．為使在上為增函數(shù)，則或或，解得或或，綜上，的取值范圍為22.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，．（1）若函數(shù)為奇函數(shù)，求函數(shù)的表達(dá)式；（2）若函數(shù)是奇函數(shù)且在上單調(diào)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）在（1）的條件下，若關(guān)于的方程有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）