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2024年秋季高二年級期中數(shù)學(xué)適應(yīng)性考試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號。回答非選擇題時,將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。4.本試卷主要考試內(nèi)容:北師大版選擇性必修第一冊第一、二章。一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為()A.30° B.60° C.120° D.150°2.已知直線,直線.若,則()A.-3 B.-2 C.2 D.2或-33.已知橢圓的短軸長為4,則()A.2 B.4 C.8 D.164.如圖,吊車梁的魚腹部分是拋物線的一部分,寬6m,高1m,根據(jù)圖中的坐標(biāo)系.可得這條拋物線的準(zhǔn)線方程為()A. B. C. D.5.已知圓,過直線上一點(diǎn)向圓作切線,切點(diǎn)為,則的最小值為()A. B.4 C.5 D.66.已知橢圓,則橢圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為()A. B. C. D.7.已知圓,直線,為圓上一動點(diǎn).為直線上一動點(diǎn),定點(diǎn),則的最小值為()A. B. C. D.8.已知為曲線上任意一點(diǎn),,,則的最小值為()A. B.5 C. D.7二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.9.已知雙曲線,下列選項(xiàng)正確的是()A.雙曲線的漸近線方程為 B.雙曲線的實(shí)軸長為8C.雙曲線的焦距為 D.雙曲線的離心率為10.已知直線經(jīng)過點(diǎn),且在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對值相等,則直線的方程可能是()A. B. C. D.11.在平面直角坐標(biāo)系中,的頂點(diǎn),,且,記的頂點(diǎn)的軌跡為,則下列說法正確的是()A.軌跡的方程為B.面積的最大值為3C.邊上的高的最大值為D.若為直角三角形,則直線被軌跡截得的弦長的最大值為三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.雙曲線的虛軸長為______,以的左焦點(diǎn)為圓心,1為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為______。13.若點(diǎn)在圓的外部,則正實(shí)數(shù)的取值范圍是______。14.拋物線的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線為,過焦點(diǎn)且斜率為的直線與交于點(diǎn)(在第一象限內(nèi)),為上一動點(diǎn),則周長的最小值為______。四、解答題:本題共5小題,共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15.(13分)已知圓經(jīng)過,,三點(diǎn).(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)判斷圓與圓的位置關(guān)系.16.(15分)已知雙曲線的一條漸近線方程為,且經(jīng)過點(diǎn).(1)求雙曲線的方程;(2)直線與雙曲線相交于,兩點(diǎn),若線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為,求直線的方程.17.(15分)已知圓(為常數(shù)).(1)當(dāng)時,求直線被圓截得的弦長.(2)證明:圓經(jīng)過兩個定點(diǎn).(3)設(shè)圓經(jīng)過的兩個定點(diǎn)為,,若,且,求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.18.(17分)已知不在軸下方的動點(diǎn)到點(diǎn)的距離比到軸的距離長,記動點(diǎn)的軌跡為.(1)求軌跡的方程.(2)已知直線與軌跡交于,兩點(diǎn),以,為切點(diǎn)作兩條切線,切線分別為,.直線,相交于點(diǎn).若.求.19.(17分)已知為坐標(biāo)原點(diǎn),動點(diǎn)到軸的距離為,且,其中,均為常數(shù),動點(diǎn)的軌跡稱為曲線.(1)判斷曲線為何種圓錐曲線.(2)若曲線為雙曲線,試問,應(yīng)滿足什么條件?(3)設(shè)曲線為曲線,斜率為(且)的直線過的右焦點(diǎn),且與交于,兩個不同的點(diǎn).(ⅰ)若,求;(ⅱ)若點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為,試證明直線過定點(diǎn).南陽地區(qū)2024年秋季高二年級期中適應(yīng)性考試卷數(shù)學(xué)參考答案1.C由,得傾斜角為120°.2.A因?yàn)?,所以,解得或.?dāng)時,,,,重合;當(dāng)時,,,符合題意.故.3.B由的短軸長為4,得,即,則,所以或,解得或.經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)時,橢圓的短軸長為4.4.B設(shè)這條拋物線的方程為,由圖可知點(diǎn)的坐標(biāo)為,所以,得,故這條拋物線的準(zhǔn)線方程為.5.B記圓心到直線的距離為,則.因?yàn)椋援?dāng)直線與垂直,即時,的值最小,故.6.D設(shè)橢圓上的點(diǎn)為,則點(diǎn)到直線的距離為,其中,故橢圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為.7.C設(shè)關(guān)于的對稱點(diǎn)為,則解得即,所以,故的最小值為.8.D由,得,所以為雙曲線的右支,為該雙曲線的左焦點(diǎn).設(shè)右焦點(diǎn)為,則,所以.所以,當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)在線段上時,等號成立,所以的最小值為7.9.BD因?yàn)?,,焦點(diǎn)在軸上,所以雙曲線的漸近線方程為,實(shí)軸長為8,故A錯誤,B正確;因?yàn)椋噪p曲線的焦距為,離心率為,故C錯誤,D正確.10.ABD當(dāng)直線的截距為0時,直線的方程為,即.當(dāng)直線的截距不為0時,設(shè)直線的方程為,則解得或當(dāng),時,直線的方程為;當(dāng)時,直線的方程為.11.BD因?yàn)椋裕O(shè),則,整理得,所以頂點(diǎn)的軌跡方程為,且,故A錯誤.當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為時,,所以B正確.當(dāng)與圓相切時,到的距離最大,如圖1,作于點(diǎn),因?yàn)?,所以,所以邊上的高的最大值為,故C錯誤.如圖2,當(dāng)時,,此時直線被圓截得的弦長為;當(dāng)時,由得不妨設(shè),顯然當(dāng)在處時,直線被圓截得的弦長更長,此時直線的方程為,圓心到直線的距離,所以弦長為.故D正確.12.;由,得,則,,,所以雙曲線的虛軸長為,左焦點(diǎn)的坐標(biāo)為,則所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.13.由,得.14.過作直線的垂線,垂足為,則.因?yàn)橹本€的斜率為,所以為正三角形,所以,所以.記關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為,則.當(dāng),,三點(diǎn)共線時,,所以周長的最小值為.15.解:(1)設(shè)圓的方程為,則解得故圓的方程為,標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)圓的圓心為,半徑為.圓的圓心為,半徑為4.設(shè)兩圓圓心之間的距離為,則.因?yàn)?,所以圓與圓相交.16.解:(1)由題意可知解得故雙曲線的方程為.(2)設(shè),則兩式相減得,整理可得.因?yàn)榫€段的中點(diǎn)坐標(biāo)為,所以,所以直線的斜率,故直線的方程為,即.經(jīng)檢驗(yàn),直線與雙曲線相交,所以直線的方程為,17.(1)解:當(dāng)時,圓,此時,圓的圓心為,半徑.則圓心到直線的距離,所以直線被圓截得的弦長為.(2)證明:由,得,令,得,解得或所以圓經(jīng)過兩個定點(diǎn),且這兩個定點(diǎn)的坐標(biāo)為.(3)解:(方法一)設(shè)的中點(diǎn)為,則點(diǎn)的坐標(biāo)為.因?yàn)椋?,所以,解得,所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(方法二)因?yàn)椋?,解得,所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.18.解:(1)由題意知動點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn),為準(zhǔn)線的拋物線,所以軌跡的方程為.(2)設(shè),,聯(lián)立方程組得,則,.易知直線的斜率存在,設(shè)直線的方程為,聯(lián)立方程組得.由,解得,所以切線的方程為.同理可得,直線的方程為,由解得即點(diǎn).因?yàn)?,,,且,所以,即,化簡得,因此或故?9.解:(1)設(shè),由,得,當(dāng),時,,即,所以曲線為橢圓.(2
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