黑龍江省龍東地區(qū)2024-2025學年高二上學期期中數學試卷含答案

階段測試卷（三）數學試題注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮搝干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選譯題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.考試結東后，將本試卷和答題卡一并交回.考試時間120分鐘，滿分150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.拋物線的準線方程是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由拋物線的標準方程及性質，直接求解.【詳解】由拋物線方程可知，故準線方程為：.故選：B.2.若橢圓焦點在軸上且經過點，焦距為6，則該橢圓的標準方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據題意得出，即可得解.【詳解】由題意得橢圓焦點在軸上且經過點，焦距為6，所以，則，所以橢圓的標準方程為.故選：B.3.在空間直角坐標系中，點到x軸的距離為（）A.2 B.3 C. D.【答案】D【解析】【分析】結合空間直角坐標系，數形結合利用勾股定理求解點到x軸的距離.詳解】在空間直角坐標系中，過作平面，垂足為，則軸，在坐標平面內，過作軸，與軸交于，由，則，，由，平面，平面，則軸平面，平面，則軸，故即點到x軸的距離，則.故選：D.4.若直線與曲線有兩個交點，則實數的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據直線和曲線方程在平面直角坐標系中畫出圖形，數形結合分析即可.【詳解】由題意，直線的方程可化為，所以直線恒過定點，，可化為其表示以為圓心，半徑為2的圓的一部分，如圖.當與該曲線相切時，點到直線的距離，解得.設，則.由圖可得，若要使直線與曲線有兩個交點，則.故選：C.5.已知雙曲線的左頂點為，右焦點為，虛軸長為，離心率為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由雙曲線的方程可求得，計算可判斷每個選項的正確性.【詳解】由雙曲線，可得，所以，所以雙曲線的左頂點，右焦點，故AB錯誤；虛軸長，故C錯誤；離心率，故D正確.故選：D.6.分別是拋物線和軸上的動點，，則的最小值為（）A.5 B. C. D.2【答案】D【解析】【分析】首先把問題轉化為和到軸的距離之和的最小值，再根據拋物線的定義最小，根據數形結合得出結論.【詳解】設拋物線的焦點為，無論在何處，PQ的最小值都是到軸的距離，所以的最小值和到軸的距離之和的最小值和到準線的距離之和減去最小，根據拋物線的定義問題轉化為最小，顯然當三點共線時最小，最小值為.故選：D7.黃金分割是指將整體一分為二，較大部分與整體部分的比值等于較小部分與較大部分的比值，其比值為，把稱為黃金分割數．已知焦點在軸上的橢圓的焦距與長軸長的比值恰好是黃金分割數，則實數的值為（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】根據題意結合離心率，代入運算求解．【詳解】焦點在軸上的橢圓中，，，所以．由題意得，即，即，解得．故選：A．8.雙曲線C：的左、右焦點為，，直線l過點且平行于C的一條漸近線，l交C于點P，若，則C的離心率為（）A. B.2 C. D.3【答案】C【解析】【分析】設Px,y，通過題意求出直線的方程、直線的方程，之后聯(lián)立直線的方程、直線的方程及雙曲線方程，計算即可得出答案．【詳解】設Px,y，由對稱性可知P點在x軸上方或者下方不影響結果，不妨令P點在x設F1?c,0、，，雙曲線其中一條漸近線為，直線的方程為，①由，得，即直線的斜率為，直線方程為，②由點Px,y在雙曲線上，得，③聯(lián)立①③，得，聯(lián)立①②，得，則，即，因此，所以離心率．故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知圓的方程為，圓的方程為，其中a，．那么這兩個圓的位置關系可能為（）A.外離 B.外切 C.內含 D.內切【答案】ABD【解析】【分析】根據圓心距與半徑的關系，二次函數的性質即可解出．【詳解】由題意可得圓心，半徑，圓心，半徑，則，所以兩圓不可能內含．故選：ABD．10.已知曲線的方程為，則（）A.當時，曲線表示一個圓B.當時，曲線表示橢圓C.當時，曲線表示焦點在軸上的雙曲線D.當時，曲線表示焦點在軸上的雙曲線【答案】ACD【解析】【分析】根據雙曲線、橢圓及圓的方程判斷即可.【詳解】當時，曲線是，故A正確；當時，曲線表示一個圓，故B錯誤；當時，曲線表示焦點在軸上的雙曲線，故C正確；當時，曲線表示焦點在軸上的雙曲線，故D正確.故選：ACD11.已知橢圓，且兩個焦點分別為，，是橢圓上任意一點，以下結論正確的是（）A.橢圓的離心率為 B.的周長為12C.的最小值為3 D.的最大值為16【答案】BD【解析】【分析】由題，利用離心率公式、橢圓的定義和基本不等式即可一一判斷．【詳解】橢圓，則對于A：，故A錯誤；對于B：的周長為，故B正確；對于C：的最小值為，故C錯誤；對于D：，當且僅當時等號成立，故D正確．故選：BD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在空間直角坐標系中，已知，，則的最小值是__________．【答案】##【解析】【分析】利用空間距離公式及二次函數知識求解.【詳解】.當時，等號成立.所以的最小值是.故答案為：.13.設、為雙曲線Γ：左、右焦點，且Γ的離心率為，若點M在Γ的右支上，直線與Γ的左支相交于點N，且，則______.【答案】3【解析】【分析】根據離心率公式求出，畫出草圖，結合雙曲線定義可解．【詳解】如圖，畫出草圖．由的離心率為，且，可得，解得.因為，所以由雙曲線的定義，可得.故答案為：．14.已知分別為橢圓的左?右焦點，為上一點，則的離心率為__________，內切圓的半徑為__________.【答案】①.②.【解析】【分析】第一空，將點代入得出方程，用公式求出離心率；第二空，畫出圖形，直角三角形中用等面積法求出內切圓半徑即可.【詳解】第一空，將代入中，，即，，則橢圓方程為，離心率為：.第二空，如圖所示，易得，則，，，因為(為三角形周長，為內切圓半徑).又，代入得，解得.故答案為：；.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知圓經過點，且被直線平分.（1）求圓的一般方程；（2）設是圓上的動點，求線段的中點的軌跡方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據直線方程求定點，結合圓的性質，可得圓心，利用兩點之間距離公式，可得答案；（2）設動點坐標，根據題意，建立等量關系，代入圓的方程，可得答案.【小問1詳解】直線恒過點.因為圓恒被直線平分，所以恒過圓心，所以圓心坐標為，又圓經過點，所以圓的半徑，所以圓的方程為，即.【小問2詳解】設.因為為線段的中點，所以，因為點是圓上的動點，所以，即，所以的軌跡方程為.16.已知動點到定點的距離與動點到定直線的距離相等，若動點的軌跡記為曲線．（1）求的方程；（2）不過點的直線與交于橫坐標不相等的A，B兩點，且，若的垂直平分線交軸于點，證明：為定點．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由題意，根據拋物線的定義進行求解即可；（2）設出直線的方程，將直線方程與曲線的方程聯(lián)立，利用韋達定理及得到，，，求出的中點坐標和直線的方程，進而即可得證．【小問1詳解】因為動點到定點的距離與動點到定直線的距離相等，所以動點的軌跡為焦點在軸，開口朝右的拋物線，此時，則曲線的方程為；【小問2詳解】證明：設直線的方程為，，，聯(lián)立，消去并整理得，此時，解得，由韋達定理得，，因為，所以，因為，所以，解得，設點為中點，此時，所以直線的方程為，令，解得．故點為定點，坐標為．17.如圖，在棱長為1的正方體中，為線段的中點，F(xiàn)為線段的中點．（1）求直線\到直線的距離；（2）求直線到平面的距離．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用向量法求得直線到直線的距離；（2）轉化為到平面的距離,利用點到平面的距離向量法可得答案.【小問1詳解】建立如下圖所示的空間直角坐標系，，，因為，所以，即，所以點到直線的距離即為直線到直線的距離，，，，，所以直線到直線的距離為；【小問2詳解】因為，平面，平面，所以平面，所以直線到平面的距離等于到平面的距離，,，設平面的一個法向量為，則，即，取，可得，所以到平面的距離為，所以直線到平面的距離為.18.已知橢圓的左?右焦點分別為，短軸長為，點在上.（1）求橢圓的標準方程；（2）已知點，點為橢圓上一點，求周長的最大值；（3）過的左焦點，且斜率不為零的直線交于兩點，求面積的最大值.【答案】（1）；（2）；（3）3.【解析】【分析】（1）根據給定條件，求出即得橢圓的標準方程.（2）由橢圓的定義可求出的最大值，從而可得周長最大值.（3）設直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，借助根與系數的關系列出三角形面積的關系式，利用對勾函數性質求出最大值．【小問1詳解】依題意，，且，解得，所以橢圓的標準方程為.【小問2詳解】由（1）知，，而，則，周長，當且僅當點是線段延長線與橢圓的交點時取等號，所以周長的最大值為.【小問3詳解】設直線方程為，，由消去得：，顯然，，，因此面積，令，，顯然函數在上單調遞增，則當，即時，取得最小值，所以當時，面積取得最大值3.【點睛】結論點睛：過定點的直線l：y=kx+b交圓錐曲線于點，，則面積；過定點直線l：x=ty+a交圓錐曲線于點，，則面積.19.過雙曲線（常數）上任意一點A作軸，交y軸于點E，作軸，交x軸于點F，得到矩形AEOF，則它的面積S＝k，k是與點A位置無關的常數，試把這個結論推廣到一般雙曲線，并證明你的推廣．【答案】答案見解析.【解析】【分析】類比題目結論，從曲線上取一點，作兩條漸近線的平行線，圍成的四邊形面積為常數.證明時設所取點的坐標，計算面積為常數.【詳