四川省內(nèi)江市 2026屆高二數(shù)學(xué)上期半期考試含答案

2026屆高二數(shù)學(xué)上期半期考試本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，全卷滿分150分，考試時間120分鐘.第Ⅰ卷（選擇題共58分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知一個水平放置的用斜二測畫法得到的直觀圖如圖所示，且，則其平面圖形的面積是（）A.4 B. C. D.8【答案】A【解析】【分析】根據(jù)直觀圖畫出平面圖形，求出相關(guān)線段的長度，即可求出平面圖形的面積.詳解】由直觀圖可得如下平面圖形：其中，，所以.故選：A2.設(shè)，是兩條不同的直線，是一個平面，則下列命題正確的是A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【答案】B【解析】【分析】利用可能平行判斷，利用線面平行的性質(zhì)判斷，利用或與異面判斷，與可能平行、相交、異面，判斷.【詳解】，，則可能平行，錯；，，由線面平行的性質(zhì)可得，正確；，，則，與異面；錯，，，與可能平行、相交、異面，錯，.故選B.【點睛】本題主要考查線面平行的判定與性質(zhì)、線面面垂直的性質(zhì)，屬于中檔題.空間直線、平面平行或垂直等位置關(guān)系命題的真假判斷，除了利用定理、公理、推理判斷外，還常采用畫圖（尤其是畫長方體）、現(xiàn)實實物判斷法（如墻角、桌面等）、排除篩選法等；另外，若原命題不太容易判斷真假，可以考慮它的逆否命題，判斷它的逆否命題真假，原命題與逆否命題等價.3.下列命題中正確的是（

）A.點關(guān)于平面對稱的點的坐標(biāo)是B.若直線l的方向向量為，平面的法向量為，則C.已知O為空間任意一點，A，B，C，P四點共面，且任意三點不共線，若，則D.若直線l的方向向量與平面的法向量的夾角為，則直線l與平面所成的角為【答案】D【解析】【分析】利用空間向量對稱性知識來判斷A，利用直線方向向量與法向量垂直，結(jié)合線與面的位置關(guān)系來判斷B，利用空間四點共面的性質(zhì)來判斷C，利用直線方向向量與法向量夾角來判斷D.【詳解】對于A，點關(guān)于平面對稱的點的坐標(biāo)是，A選項錯誤；對于B，若直線l的方向向量為，平面的法向量為，因為，所以，則或，B選項錯誤；對于C，已知O為空間任意一點，A，B，C，P四點共面，且任意三點不共線，若，則，解得，C選項錯誤；對于D，若直線l的方向向量與平面的法向量的夾角為，則直線l與平面所成的角為，D選項正確；故選：D4.如圖，在直三棱柱中，，點為側(cè)棱上的動點．當(dāng)最小時，三棱錐的體積為（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】如圖，將直三棱柱展開成矩形，連結(jié)交于，此時最小，則，利用等體積法和棱錐的體積公式計算即可求解.【詳解】將直三棱柱展開成矩形，如下圖，連接，交于，此時最小，∵，則，而，由且都在面，則面，又，則面，即面，點為側(cè)棱上的動點，當(dāng)最小時，即，得，又為直角三角形，此時三棱錐的體積為：.故選：C5.黃地綠彩云龍紋盤是收藏于中國國家博物館的一件明代國寶級瓷器．該龍紋盤敞口，弧壁，廣底，圈足．器內(nèi)施白釉，外壁以黃釉為地，刻云龍紋并填綠彩，美不勝收．黃地綠彩云龍紋盤可近似看作是圓臺和圓柱的組合體，其口徑，足徑，高，其中底部圓柱高，則黃地綠彩云龍紋盤的側(cè)面積約為（）（附：的值取3，）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先求圓臺母線長，再代入圓臺和圓柱側(cè)面積公式，即可求解.【詳解】設(shè)該圓臺的母線長為，兩底面圓半徑分別為，（其中），則，，，所以，故圓臺部分的側(cè)面積為，圓柱部分的側(cè)面積為，故該黃地綠彩云龍紋盤的側(cè)面積約為.故選：B.6.設(shè)直線l的方程為（），則直線l的傾斜角的取值范圍是

（

）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)直線斜率的取值范圍求傾斜角的范圍.【詳解】設(shè)直線的斜率為，則，故，而，故，故選：C.7.在《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬．如圖，已知四棱錐為陽馬，且，底面．若是線段上的點（不含端點），設(shè)與所成的角為，與底面所成的角為，二面角的平面角為，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件作出與、與底面所成的角，確定二面角的平面角，再推理計算作答.【詳解】四棱錐中，是線段上的點(不含端點)，過E作交CD于F，連接DE，SF，如圖，則是與所成的角，即，因底面，則是與底面所成的角，即，而底面，則，又是長方形，即，而，平面，則平面，又平面，即有，于是得是二面角的平面角，，中，，中，，由底面，底面可得，而，則有，因，平面，則平面，又平面，有，，因，即有，因此，，而正切函數(shù)在上遞增，所以.故選：A8.如圖，在三棱錐中，兩兩垂直，且，以為球心，為半徑作球，則球面與底面的交線長度的和為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由等體積公式求出截面圓的半徑為，畫出截面圖形，再利用H為的中心，求出，再利用弦長公式求出，最后求出交線長度.【詳解】由題意知三棱錐為正三棱錐，故頂點在底面射影為的中心，連接，由，得，所以，因為球的半徑為，所以截面圓的半徑，所以球面與底面的交線是以為圓心，為半徑的圓在內(nèi)部部分，如圖所示易求，所以，易得，所以，所以交線長度和為.故選：C.【點睛】本題為空間幾何體交線問題，找到球面與三棱錐的表面相交所得到的曲線是解決問題的關(guān)鍵.具體做法為由等體積公式求出截面圓的半徑，畫出截面圖形，再利用H為的中心，求出，再利用弦長公式求出，最后求出交線長度.二、多選題（本題共3個小題，每題6分，有多個選項，不分選對得部分分，共18分）9.直線的圖象可能是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】將兩直線的方程均化為斜截式，先固定，判斷另外一條是否與之相符.【詳解】對于A，由可知，，此時與圖象不符，故A錯誤；對于B，由可知，，此時圖象可能，故B正確；對于C，由可知，，此時圖象可能，故C正確；對于D，由可知，，此時與圖象不符，故D錯誤.故選：BC.10.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，平面，則（）A. B.C.平面 D.異面直線與夾角的余弦值為【答案】ACD【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量的線性運算判斷A，由向量模的坐標(biāo)表示判斷B，根據(jù)數(shù)量積為0證明垂直判斷C，由異面直線所成角的向量求法判斷D.【詳解】因為平面平面，所以，在正方形中，有，所以兩兩互相垂直，所以以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，而，從而A0,0,0，，，對于A，，故A正確；對于B，，故B錯誤；對于C，，平面的一個法向量為，故C正確；對于D，，所以異面直線與夾角的余弦值為，故D正確．故選：ACD．11.如圖，一個漏斗形狀的幾何體上面部分是一個長方體，下面部分是一個四棱錐，四棱錐的四條側(cè)棱都相等，兩部分的高都是，公共面是一個邊長為1的正方形，則（）A.該幾何體的體積B.直線PD與平面ABCD所成角的正切值為C.異面直線AP與CC1的夾角正弦值為D.存在一個球，使得該幾何體所有頂點都在球面上【答案】ABD【解析】【分析】對于A，根據(jù)長方體和棱錐的體積公式求解即可；對于B，連接交于，連接，則可得為直線與平面所成角，然后求解即可；對于C，由于,則可得的補角為異面直線與的夾角，然后在中求解即可；對于D，先求出長方體的外接球半徑，然后判斷點是否在該球上即可.【詳解】對于A，該幾何體的體積為，故A正確；對于B，連接交于，連接，由題意可知四棱錐為正四棱錐，所以平面，所以為直線與平面所成角，因為正方形的邊長為1，所以，所以，故B正確；對于C，設(shè)，因為，所以或其補角為異面直線與的夾角,且，所以，所以異面直線與的夾角余弦值為，故C錯誤；對于D，設(shè)長方體的外接球的球心為，半徑為，則為的中點，且，得，因為，所以點長方體的外接球上，所以存在一個球，使得該幾何體所有頂點都在球面上，故D正確.故選：ABD.第II卷（非選擇題共92分）三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分，請把答案填在答題卡相應(yīng)位置上.12.若直線：與直線：平行，則實數(shù)_____________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)平行關(guān)系得到方程，求出答案.【詳解】由題意得，解得，檢驗符合.故答案為：13.已知點均在半徑為2的球面上，是邊長為3的等邊三角形，平面，則________．【答案】2【解析】【分析】先用正弦定理求底面外接圓半徑，再結(jié)合直棱柱的外接球以及求的性質(zhì)運算求解.【詳解】如圖，將三棱錐轉(zhuǎn)化為正三棱柱，設(shè)的外接圓圓心為，半徑為，則，可得，設(shè)三棱錐的外接球球心為，連接，則，因為，即，解得.故答案為：2.【點睛】方法點睛：多面體與球切、接問題的求解方法（1）涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體的特殊點(一般為接、切點)或線作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解；（2）若球面上四點P、A、B、C構(gòu)成的三條線段PA、PB、PC兩兩垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有關(guān)元素“補形”成為一個球內(nèi)接長方體，根據(jù)4R2＝a2＋b2＋c2求解；（3）正方體的內(nèi)切球的直徑為正方體的棱長；（4）球和正方體的棱相切時，球的直徑為正方體的面對角線長；（5）利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程(組)求解．14.如圖，邊長為2的正方形沿對角線折疊，使，則三棱錐的體積為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，得到，，證得平面，設(shè)，且，由，求得，得到，求得，結(jié)合，即可求解.【詳解】取中點O，連接，可則,，因為且平面，所以平面，設(shè)，且，因為正方形的邊長為，可得且，又由，因為，可得，解得，所以，所以，所以三棱錐的體積為.故答案為：四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知，，．求：（1）BC邊上的中線所在的直線方程；（2）AB邊垂直平分線方程；【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)中點坐標(biāo)公式求出中點，然后利用兩點坐標(biāo)寫出直線方程即可；（2）利用垂直平分線經(jīng)過AB的中點，且和AB垂直求解即可.【小問1詳解】由于，，則中點坐標(biāo)為，直線的斜率，所以BC邊上的中線所在的直線方程為，整理得；【小問2詳解】由于，，所以直線的斜率，AB中點坐標(biāo)為所以，AB邊垂直平分線斜率且過，故AB邊垂直平分線方程為整理得．16.如圖，PA⊥平面ABC，AB為圓O的直徑，E，F(xiàn)分別為棱PC，PB的中點．（1）證明：EF平面ABC．（2）證明：平面EFA⊥平面PAC．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用中位線定理得到EFBC，利用線面平行的判定定理即可得證；（2）由AB為圓O的直徑，得到BC⊥AC，再利用線面垂直得到BC⊥PA，從而BC⊥平面PAC，結(jié)合（1）中，所以EF⊥平面PAC，得到面面垂直.【小問1詳解】因為E，F(xiàn)分別為棱PC，PB的中點，所以EFBC，因為平面ABC，平面ABC，所以EF平面ABC；【小問2詳解】因為AB為圓O的直徑，所以BC⊥AC．因為PA⊥平面ABC，平面ABC，所以BC⊥PA，又，PA，平面PAC，所以BC⊥平面PAC，由（1）知，所以EF⊥平面PAC，又平面EFA，所以平面EFA⊥平面PAC．17.已知一條動直線，（1）求直線恒過的定點的坐標(biāo)；（2）若直線與x、y軸的正半軸分別交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，的面積為6，求直線的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）重新整理直線方程，由此列方程組來求得定點坐標(biāo).（2）利用截距式設(shè)出直線方程，根據(jù)三角形的面積以及點坐標(biāo)求得直線的方程，再經(jīng)過驗證來確定正確答案.【小問1詳解】由題意，整理得，所以不管取何值時，直線恒過定點的坐標(biāo)滿足方程組，解得，即.【小問2詳解】設(shè)直線方程為，則，由直線恒過定點，得，由整理得：，解得或，所以直線方程為：或，即或，又直線的斜率，所以不合題意，則直線方程為.18.如圖，三棱臺中，是正三角形，平面ABC，，M，N分別為棱的中點.（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成的角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）先應(yīng)用線面垂直判定定理得出平面再應(yīng)用線面垂直性質(zhì)得出線線垂直，即可證明線面垂直；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用空間向量法求線面角正弦值即可.【小問1詳解】因為是正三角形，M為AB中點，所以CM⊥AB，因為平面平面ABC，所以，又平面所以平面又因為平面，所以，連接，易得，所以，所以，又因為，所以，因為，平面，所以平面.【小問2詳解】取AC中點O，連接，易知三條直線兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，由（1）知平面的一個法向量為，又，所以，因為直線與平面所成的角為直線與所成角的余角，所以直線與平面所成的角的正弦值為．19.已知兩個非零向量，在空間任取一點，作，則叫做向量的夾角，記作．定義與的“向量積”為：是一個向量，它與向量都垂直，它的模．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，底面，為線段上一點，．（1）求的長；（2）若為的中點，求二面角的正弦值；（3）若為線段上一點，且滿足，求．【答案】（1）2（2）（3）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用向量的坐標(biāo)運算將條件等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程求解可得；（2）利用法向量方法求二面角；（3）設(shè)，，利用向量的坐標(biāo)運算將條件轉(zhuǎn)化為垂直關(guān)系，結(jié)合模長等量關(guān)系，建立的方程組求解可得.【小問1詳解】由題意，以為坐標(biāo)原點，分別以所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角