江蘇省徐州市睢寧縣2023-2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷（含答案解析）

2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期期中教學(xué)調(diào)研九年級(jí)數(shù)學(xué)試題2023.11（滿(mǎn)分：140分，時(shí)間：90分鐘）一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分。四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)正確選項(xiàng)）1．已知⊙O的半徑為3，點(diǎn)P在⊙O內(nèi)，則OP的長(zhǎng)可能是（）A．5 B．4 C．3 D．22．用配方法解方程x2-2x-1=0，下列配方正確的是（）A．（x-1）2=0B．（x-1）2=1C．（x+1）2=2D．（x-1）2=23．給出下列說(shuō)法：①經(jīng)過(guò)平面內(nèi)的任意三點(diǎn)都可以確定一個(gè)圓；②等弧所對(duì)的弦相等；③長(zhǎng)度相等的弧是等?。虎芟嗟鹊南宜鶎?duì)的圓心角相等．其中正確的是（）A．①③④ B．② C．②④ D．①④4．函數(shù)與在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖像大致是（）A．B．C．D．5．有這么一道題：“直田積八百六十四步，只云長(zhǎng)闊共六十步，問(wèn)長(zhǎng)多闊幾何？”意思是：一塊矩形田地的面積為864平方步，只知道它的長(zhǎng)與寬共60步，問(wèn)它的長(zhǎng)比寬多多少步？經(jīng)過(guò)計(jì)算，你的結(jié)論是：長(zhǎng)比寬多（）A．12步 B．24步． C．36步 D．48步6．如圖，是的切線(xiàn)，切點(diǎn)為，的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)，若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．7．以正六邊形的頂點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，使得新正六邊形的頂點(diǎn)落在直線(xiàn)上，則正六邊形至少旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為（）A． B． C． D．8．二次函數(shù)的圖像如圖所示，若關(guān)于的一元二次方程（為實(shí)數(shù)）的解滿(mǎn)足，則的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題（本大題共10小題，每小題4分，共40分）9．已知關(guān)于的方程的一個(gè)根是，則_______．10．請(qǐng)?jiān)跈M線(xiàn)上寫(xiě)一個(gè)常數(shù)，使得關(guān)于的方程_______．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．11．方程的兩根為、，則_______．12．圓錐的底面半徑為3，母線(xiàn)長(zhǎng)為5，該圓錐的側(cè)面積為_(kāi)______．13．某學(xué)習(xí)機(jī)的售價(jià)為2000元，因換季促銷(xiāo)，在經(jīng)過(guò)連續(xù)兩次降價(jià)后，現(xiàn)售價(jià)為1280元，設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為，根據(jù)題意可列方程為_(kāi)_______．14．已知拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)、，則________（填“”“”或“”）．15．已知二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸有三個(gè)公共點(diǎn)，則k的取值范圍是__．16．如圖是二次函數(shù)的圖像，給出下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的是________（填序號(hào)）17．如圖，在中，，，則能夠?qū)⑼耆采w的最小圓形紙片的半徑是_______．18．如圖，的半徑為，點(diǎn)是半圓的中點(diǎn)，點(diǎn)是的一個(gè)三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)），點(diǎn)是直徑上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值_______．三、解答題（本大題共8小題，共76分．要求寫(xiě)出解答或計(jì)算過(guò)程）19．解方程：（1）；（2）．20．下表是二次函數(shù)的部分取值情況：根據(jù)表中信息，回答下列問(wèn)題：（1）二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是_______；（2）求的值，并在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出該二次函數(shù)的圖象；（3）觀察圖象，寫(xiě)出時(shí)的取值范圍：_______．21．如圖，在中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，以為直徑的交于點(diǎn)．請(qǐng)判斷直線(xiàn)與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．22．某商店經(jīng)銷(xiāo)一種手提包，已知這種手提包的成本價(jià)為50元/個(gè)．市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種手提包每天的銷(xiāo)售量（單位：個(gè)）與銷(xiāo)售單價(jià)（單位：元）有如下關(guān)系：．設(shè)這種手提包每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)為元．（1）當(dāng)這種手提包銷(xiāo)售單價(jià)定為多少元時(shí)，該商店每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？（2）如果物價(jià)部門(mén)規(guī)定這種手提包的銷(xiāo)售單價(jià)不得高于68元，該商店銷(xiāo)售這種手提包每天要獲得200元的銷(xiāo)售利潤(rùn)，銷(xiāo)售單價(jià)應(yīng)定為多少元？23．如圖，一座石橋的主橋拱是圓弧形，某時(shí)刻測(cè)得水面寬度為8米，拱高（弧的中點(diǎn)到水面的距離）為2米．（1）求主橋拱所在圓的半徑；（2）若水面下降1米，求此時(shí)水面的寬度（保留根號(hào)）．24．定義：若、是方程的兩個(gè)整數(shù)根，且滿(mǎn)足，則稱(chēng)此類(lèi)方程為“自然方程”．例如：是“自然方程”．（1）下列方程是“自然方程”的是_______；（填序號(hào)）①；②；③．（2）若方程是“自然方程”，求值．25．據(jù)《爾雅·釋器》記載：“好倍肉，謂之瑗（yuàn）．”如圖1，“好”指中間的孔，“肉”指中孔以外的邊（陰影部分），“好倍肉”指中孔和環(huán)邊比例為．（1）觀察：“瑗”的主視圖可以作兩個(gè)同心圓，根據(jù)圖1中的數(shù)據(jù)，可得小圓與大圓的半徑之比是_______；（2）聯(lián)想：如圖2，在中，，，平分交于點(diǎn)，則_______；（3）遷移：圖3表示一個(gè)圓形的玉坯，若將其加工成玉瑗，請(qǐng)利用圓規(guī)和無(wú)刻度的直尺先確定圓心，再以題（2）的知識(shí)為作圖原理作出內(nèi)孔．（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）26．如圖1，已知拋物線(xiàn)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，，過(guò)點(diǎn)作軸交拋物線(xiàn)于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．（1）填空：_______，_______，_______；（2）在圖1中，若點(diǎn)在軸上方的拋物線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，連接，當(dāng)四邊形面積最大時(shí)，求的值；（3）如圖2，若點(diǎn)在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，連接，是否存在點(diǎn)使為等腰直角三角形？若存在，直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)正確選項(xiàng)）1．D【解析】【分析】本題考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，根據(jù)點(diǎn)在圓內(nèi)，點(diǎn)到圓心的距離小于圓的半徑進(jìn)行判斷．解題的關(guān)鍵是掌握點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP=d，則有：點(diǎn)P在圓外；點(diǎn)P在圓上；點(diǎn)P在圓內(nèi)．【詳解】解：∵⊙O的半徑為3，點(diǎn)P在⊙O內(nèi)，∴OP＜3，即OP的長(zhǎng)可能是2．故選：D．2．D【解析】【分析】本題考查了解一元二次方程，涉及配方法，先移項(xiàng)，再系數(shù)化1，然后配成完全平方式，據(jù)此作答即可．【詳解】解：因?yàn)樗詣t即故選：D3．B【解析】【分析】本題考查圓的認(rèn)識(shí)，確定圓的條件，圓心角、弧、弦的關(guān)系，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：①經(jīng)過(guò)平面內(nèi)不共線(xiàn)的三點(diǎn)確定一個(gè)圓，故①不符合題意；②等弧所對(duì)的弦相等，正確，故②符合題意；③長(zhǎng)度相等的弧不一定是等弧，故③不符合題意；④在同圓或等圓中，相等的弦所對(duì)的圓心角相等，故④不符合題意，∴其中正確的是②．故選：B．4．C【解析】【分析】本題考查了反比例函數(shù)與二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，先根據(jù)每個(gè)選項(xiàng)圖象分別得出值，再進(jìn)行比較，即可作答．【詳解】解：A、二次函數(shù)的開(kāi)口方向向上，即，反比例函數(shù)經(jīng)過(guò)第一、三象限，即，因?yàn)榈膶?duì)稱(chēng)軸，故該選項(xiàng)是不符合題意；B、二次函數(shù)的開(kāi)口方向向上，即，反比例函數(shù)經(jīng)過(guò)第二、四象限，即，此時(shí)互相矛盾，故該選項(xiàng)是不符合題意；C、二次函數(shù)的開(kāi)口方向向下，即，反比例函數(shù)經(jīng)過(guò)第二、四象限，即，因?yàn)榈膶?duì)稱(chēng)軸，故該選項(xiàng)是符合題意；D、二次函數(shù)的開(kāi)口方向向下，即，反比例函數(shù)經(jīng)過(guò)第一、三象限，即，此時(shí)互相矛盾，故該選項(xiàng)是不符合題意；故選：C5．A【解析】【分析】設(shè)矩形田地的長(zhǎng)為x步（x＞30），則寬為（60-x）步，由矩形的面積=長(zhǎng)×寬，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，將其代入x-（60-x）中，即可求出結(jié)論．【詳解】設(shè)矩形田地的長(zhǎng)為步，則寬為步，根據(jù)題意得，，整理得，，解得或(舍去)，所以．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及矩形的面積，根據(jù)矩形的面積公式，列出關(guān)于x的一元二次方程是解題的關(guān)鍵．6．A【解析】【分析】本題考查切線(xiàn)的性質(zhì)、圓周角定理，連接，根據(jù)圓周角定理求出，根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)得到，根據(jù)直角三角形的兩銳角互余可得答案．掌握?qǐng)A的切線(xiàn)垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖所示，連接，∵，∴，∵是的切線(xiàn)，∴，∴，∴的度數(shù)為．故選：A．7．B【解析】【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)應(yīng)用，熟練掌握多邊形內(nèi)角和及外角和的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵，連接，根據(jù)正六邊形的外角為，可得，，再根據(jù)，可得，進(jìn)而得到正六邊形至少旋轉(zhuǎn)的度數(shù)．【詳解】解：連接，∵正六邊形的每個(gè)外角，∴正六邊形的每個(gè)內(nèi)角，∴，，∵∴∴∴正六邊形至少旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為故選：B．8．C【解析】【分析】本題考查拋物線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，一元二次方程（為實(shí)數(shù)）在的范圍內(nèi)有實(shí)數(shù)解相當(dāng)于函數(shù)與直線(xiàn)在的范圍內(nèi)有交點(diǎn)．據(jù)此進(jìn)行解答即可．【詳解】解：方程的解相當(dāng)于與直線(xiàn)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，∵方程（為實(shí)數(shù)）的解滿(mǎn)足，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又∵，∴拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為，最小值為，∴當(dāng)時(shí)，則，∴當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)在的范圍內(nèi)有交點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，方程在的范圍內(nèi)有實(shí)數(shù)解，∴的取值范圍是．故選：C．二、填空題（本大題共10小題，每小題4分，共40分）9．6【解析】【分析】本題考查一元二次方程解，解題的關(guān)鍵是根據(jù)方程解的定義將代入方程得到關(guān)于的一元一次方程，求解即可．【詳解】解：∵關(guān)于的方程的一個(gè)根是，∴，解得：，故答案為：．10．9【解析】【分析】本題考查了根的判別式，牢記“當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根”是解題的關(guān)鍵．根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，即可得出關(guān)于的方程，求出的值即可．【詳解】解：，故答案為：9．11．3【解析】【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系即可求解，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：移項(xiàng)得：，，故答案為：3．12．15【解析】【分析】利用圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)和扇形的面積公式求解．【詳解】解：圓錐的側(cè)面積=?2π?3?5=15π．故答案為15π．13．【解析】【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)等量關(guān)系列出方程即可求解，理清題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：依題意得：，故答案為：．14．【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為：，則關(guān)于對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為：，再根據(jù)二次函數(shù)的增減性即可求解，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：依題意得：拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為：，關(guān)于對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為：，，且拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，，故答案為：．15．且【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)，根據(jù)，且解出的范圍即可求出答案．解題的關(guān)鍵是正確列出進(jìn)行計(jì)算．【詳解】解：由題意可知：且，解得：且，故答案為：且．16．①②④【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵：根據(jù)拋物線(xiàn)與軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可判斷結(jié)論①；根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸的位置可判斷結(jié)論②；根據(jù)拋物線(xiàn)過(guò)“特殊點(diǎn)”與系數(shù)的關(guān)系可判斷結(jié)論③；根據(jù)拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸的位置及圖像與軸交點(diǎn)的位置可判斷結(jié)論④．【詳解】解：∵拋物線(xiàn)與軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)，∴，故結(jié)論①正確；∵對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，∴，∴，故結(jié)論②正確；由圖像知，當(dāng)時(shí)，，∴，故結(jié)論③不正確；∵拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，∴，∴，∵拋物線(xiàn)與軸的交點(diǎn)在負(fù)半軸，∴，∴，故結(jié)論④正確；∴正確的是①②④．故答案為：①②④．17．4【解析】【分析】本題考查了三角形的外接圓、圓周角定理、解直角三角形、垂徑定理，根據(jù)圓周角定理及垂徑定理得，，進(jìn)而可得，在中解直角三角形即可求解，理解要使能夠?qū)⑼耆采w的最小圓形紙片，則這個(gè)小圓形紙片是的外接圓是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：要使能夠?qū)⑼耆采w的最小圓形紙片，則這個(gè)小圓形紙片是的外接圓，作的外接圓，連接，，作交于，如圖：，，，，，在中，，，，故答案為：4．18．【解析】【分析】如圖，作點(diǎn)關(guān)于直徑的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，根據(jù)圓的對(duì)稱(chēng)性可知點(diǎn)在圓上，連接，交直徑于點(diǎn)，此時(shí)的最小值是的長(zhǎng)，根據(jù)弧的度數(shù)等于它所對(duì)圓心角的度數(shù)可知，，根據(jù)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可得，，由垂徑定理及推論可知，，根據(jù)角的直角三角形和勾股定理可得，即可得出答案．【詳解】解：如圖，作點(diǎn)關(guān)于直徑的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，則點(diǎn)在圓上，連接，交直徑于點(diǎn)，∴，則的最小值是的長(zhǎng)，∵點(diǎn)是半圓的中點(diǎn)，的半徑為，∴等于半圓的一半，∴，∵點(diǎn)是的一個(gè)三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)），∴等于的，∴，∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直徑的對(duì)稱(chēng)，∴，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即的最小值是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，弧的度數(shù)和圓心角的關(guān)系，垂徑定理及推論，等腰三角形的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短，角的直角三角形和勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，掌握弧的度數(shù)和圓心角的關(guān)系，垂徑定理以及直角三角形的邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共8小題，共76分．要求寫(xiě)出解答或計(jì)算過(guò)程）19．（1）或（2）或【解析】【分析】本題考查了解一元二次方程：（1）先移項(xiàng)再提公因式，得，再運(yùn)用因式解法計(jì)算即可；（2）先移項(xiàng)，，再運(yùn)用公式法計(jì)算即可；正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．【小問(wèn)1詳解】解：則那么或即或【小問(wèn)2詳解】解：則故所以即或20．（1）（2），作圖見(jiàn)解析（3）【解析】【分析】本題考查拋物線(xiàn)與軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于的一元二次方程．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和在平面直角坐標(biāo)系中作圖．（1）先利用拋物線(xiàn)的性質(zhì)得到對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，結(jié)合表中數(shù)據(jù)得到拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）把代入中可求出的值，然后利用描點(diǎn)法畫(huà)出二次函數(shù)的圖像；（3）先解方程確定拋物線(xiàn)與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，，然后寫(xiě)出二次函數(shù)圖象在軸上方所對(duì)應(yīng)的自變量的范圍即可．【小問(wèn)1詳解】∵拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，∴二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，故答案為：；【小問(wèn)2詳解】把代入中，得：，解得：，如圖，【小問(wèn)3詳解】由（2）知：二次函數(shù)的解析式為，當(dāng)時(shí)，，解得：，，∴拋物線(xiàn)與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，，由圖可知：當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的圖象在軸的上方，即，∴時(shí)的取值范圍為．故答案為：．21．直線(xiàn)與相切，理由見(jiàn)解析【解析】【分析】連接、，由等腰三角形的性質(zhì)可得，根據(jù)直角所對(duì)的圓周角是直角得，而點(diǎn)是的中點(diǎn)，則，，繼而得到，即可得證．【詳解】解：直線(xiàn)與相切．理由：連接、，則，∴，∵是的直徑，∴，∴，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，，∴，∴，∴，∴，∵是的半徑，∴直線(xiàn)是的切線(xiàn)，∴直線(xiàn)與相切．【點(diǎn)睛】本題考查切線(xiàn)的判定和性質(zhì)，圓周角定理，直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半，等腰三角形的性質(zhì)，垂直的定義等知識(shí)，正確作出所需要的輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．22．（1）當(dāng)這種手提包銷(xiāo)售單價(jià)定為65元時(shí)，該商店每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是元（2）該商店銷(xiāo)售這種手提包每天要獲得200元的銷(xiāo)售利潤(rùn)，銷(xiāo)售單價(jià)應(yīng)定為60元【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用：（1）根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（2）當(dāng)時(shí)，代入即可求解；理清題意，根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．【小問(wèn)1詳解】解：依題意得：，整理得：，當(dāng)時(shí)，有最大值為，答：當(dāng)這種手提包銷(xiāo)售單價(jià)定為65元時(shí)，該商店每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是元．【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，，解得：，，，，答：該商店銷(xiāo)售這種手提包每天要獲得200元的銷(xiāo)售利潤(rùn)，銷(xiāo)售單價(jià)應(yīng)定為60元．23．（1）主橋拱所在圓的半徑長(zhǎng)為5米（2）此時(shí)水面的寬度為米【解析】【分析】本題考查了垂徑定理，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線(xiàn)，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．（1）連接，設(shè)半徑，在中，利用勾股定理構(gòu)建方程求解即可；（2）根據(jù)勾股定理列式可得的長(zhǎng)，最后由垂徑定理可得結(jié)論．【小問(wèn)1詳解】∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，，∴經(jīng)過(guò)圓心，設(shè)拱橋的橋拱弧所在圓的圓心為，連接，設(shè)半徑，在中，，解得．答：主橋拱所在圓的半徑長(zhǎng)為5米；【小問(wèn)2詳解】設(shè)與相交于點(diǎn)，連接，∴，∴，在中，，答：此時(shí)水面的寬度為米．24．（1）③（2）或【解析】【分析】本題考查解一元二次方程，含絕對(duì)值的方程，有理數(shù)的運(yùn)算，（1）利用“自然方程”定義判斷即可；（2）利用因式分解法表示出方程的解，根據(jù)“自然方程”定義確定出m的值即可；熟練掌握一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵．【小問(wèn)1詳解】解：①，解得：，，則該方程的解不是整數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；②，，∵，∴，則該方程的解不是整數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；③，，或，解得：，，∴，故此選項(xiàng)符合題意；故答案為：③；【小問(wèn)2詳解】，，或，解得：，，∵方程“自然方程”，∴，解得：或，∴的值為或．25．（1）（2）（3）作圖見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)圖1中的數(shù)據(jù)可確定小圓和大圓的半徑，即可得出答案；（2）根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得，根據(jù)角平分線(xiàn)的定義可得，再根據(jù)等角對(duì)等邊和角的直角三角形可得，，可得出答案；（3）作直線(xiàn)交圓于點(diǎn)，，作的垂直平分線(xiàn)交圓于點(diǎn)，，作的垂直平分線(xiàn)交圓于點(diǎn)，，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，以點(diǎn)為圓心，為半徑畫(huà)弧交圓于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，作的平分線(xiàn)交于點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，為半徑畫(huà)圓，根據(jù)垂徑定理的推論和垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)可確定點(diǎn)為大圓的圓心，證明為等邊三角形，得到，從而得到，再結(jié)合（2）的結(jié)論可得出結(jié)論．【小問(wèn)1詳解】解：如圖1，小圓半徑是：，大圓半徑是：，∴小圓與大圓的半徑之比是：，故答案：；【小問(wèn)2詳解】∵在中，，，∴，∵平分，∴，∴，，∴，∴，，∴，，故答案為：；【小問(wèn)3詳解】作直線(xiàn)交圓于點(diǎn)，，作的垂直平分線(xiàn)交圓于點(diǎn)，，作的垂直平分線(xiàn)交圓于點(diǎn)，，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，以點(diǎn)為圓心，為半徑畫(huà)弧交圓于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，作的平分線(xiàn)交于點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，為半徑畫(huà)圓，∵垂直平分，是圓的弦，∴線(xiàn)段為圓的直徑，∵垂直平分于點(diǎn)，∴點(diǎn)為大圓的圓心，，∵以點(diǎn)為圓心，為半徑畫(huà)弧交圓于點(diǎn)，∴，∴為等邊三